Модель Блэка-Шоулза

[WLMike]

На горизонтальной время - t; на вертикальной погрешность. Та, что со словом "bad" - это если мы предположили, что цена - бр/дв с параметрами мю и сигма, сигму угадали,а мю нет.

До конца я все равно не понял. Какие параметры вы в базовом варианте заложили, и как поменяли параметр mu в варианте bad?
Можете пояснить, почему ошибка сначала нарастает по модулю, а потом при t примерно 8 становится нулевой.
Как вы считаете ошибку, можете более-менее полно объяснить по шагам схему вашей маткадовской программы.
Я сегодня погонял в экселе этот вопрос, и не увидел сколько-нибудь существенной зависимости, что мне и казалось изначально, правда надо учитывать, что этот инструмент не столь совершенный как маткад и я тоже мог ошибиться.

[WLMike]

Ну не согласна! Что ж Вы так к своим знаниям относитесь?!
А под комплексом Вы подразумеваете пытливый ум? ;) Гордиться надо, товарисч своей "заточкой"!

Желание верить, что у тебя пытливый ум - это лишь еще один повод подпитать свои комплексы. Тем более, если веришь, что это должно иметь некие последствия в виде зарплаты, уважения или еще чего.

[Sapa]

Какие параметры вы в базовом варианте заложили, и как поменяли параметр mu в варианте bad?...Как вы считаете ошибку, можете более-менее полно объяснить по шагам схему вашей маткадовской программы.

Могу.
1. Моделирую цену на основе бр/дв: S(t+dt)=S + S*(mu*dt + sirma*dz), dz=E*(dt)1/2, E - 1 или -1 с вероятностью 0,5.
2. Моделирую функцию X(S,t) - стоимость портфеля по БШ (ранее выкладывала формулы).
3. Моделирую погрешность БШ (опять же по формулам, выложенным ранее).

!4. Пытаюсь якобы угадать статистику цены. В S(t+dt)=S + S*(mu*dt + sirma*dz), dz=E*(dt)1/2 подставляю те же, что и в 1. E, dt, sigma, а mu немного сдвигаю. Получается ещё одна статистика цены.
5. Моделирую для статистики из 4. функцию и погрешность БШ.

6. Сравниваю погрешность для обоих случаев.


рисунок из программы, где mu=0.15 mu_bad=0.10, т.е. мю недооценили

[Sapa]

Дельта-хеджирование - это и есть имитация опциона с помощью акции и облигации или наоборот, так что это вам и нужно.

О! Прочла про дельта-хеджирование! Так это то, что нужно! Это ж, как я поняла, как раз даются способ вносить корректировки. Но оценки погрешности там всё равно не даются..

[WLMike]

Могу.
1. Моделирую цену на основе бр/дв: S(t+dt)=S + S*(mu*dt + sirma*dz), dz=E*(dt)1/2, E - 1 или -1 с вероятностью 0,5.

А почему так приближенно? Ваша симуляция больше напоминает дискретную модель Cox, Ingersoll, Ross в которой акция движется по мультипликативному рекомбенирующему дереву. Точнее модификацию этой модели Jarrow-Rudd с равной вероятность движения по веткам. В этих моделях присутствует более сильная зависимость от mu.
А ведь если акция следует броуновскому движению S(t+dt) распределено, как S(t)*exp((mu-sigma^2/2)*dt+N(0,1)*sigma*dt^0,5), где N – нормальное распределение. Почему бы вам именно так и не моделировать цену.

2. Моделирую функцию X(S,t) - стоимость портфеля по БШ (ранее выкладывала формулы).
3. Моделирую погрешность БШ (опять же по формулам, выложенным ранее).

Я вашу формулу не очень понял, поэтому не могли бы тут выписать в явном виде сколько вы покупаете акций, сколько облигаций в момент t? Как считаете образующееся расхождение между этим портфелем и ценой опциона в момент t+dt, как расчитываете накопленное расхождение за весь период T.

!4. Пытаюсь якобы угадать статистику цены. В S(t+dt)=S + S*(mu*dt + sirma*dz), dz=E*(dt)1/2 подставляю те же, что и в 1. E, dt, sigma, а mu немного сдвигаю. Получается ещё одна статистика цены.
5. Моделирую для статистики из 4. функцию и погрешность БШ.

6. Сравниваю погрешность для обоих случаев.

Соответственно, пока я не пойму, чего вы делаете в третьем пункте, мне сложно комментировать этот пункт.

!рисунок из программы, где mu=0.15 mu_bad=0.10, т.е. мю недооценили

А можете так же указать и величину sigma, rf и Т.

[WLMike]

О! Прочла про дельта-хеджирование! Так это то, что нужно! Это ж, как я поняла, как раз даются способ вносить корректировки. Но оценки погрешности там всё равно не даются..

Наверное потому что аналитически ее сложно выразить.

[Sapa]

А почему так приближенно? Ваша симуляция больше напоминает дискретную модель Cox, Ingersoll, Ross в которой акция движется по мультипликативному рекомбенирующему дереву. Точнее модификацию этой модели Jarrow-Rudd с равной вероятность движения по веткам. В этих моделях присутствует более сильная зависимость от mu.
А ведь если акция следует броуновскому движению S(t+dt) распределено, как S(t)*exp((mu-sigma^2/2)*dt+N(0,1)*sigma*dt^0,5), где N – нормальное распределение. Почему бы вам именно так и не моделировать цену.

Так какая разница? Это одно и то же!

[Sapa]

Я вашу формулу не очень понял, поэтому не могли бы тут выписать в явном виде сколько вы покупаете акций, сколько облигаций в момент t? Как считаете образующееся расхождение между этим портфелем и ценой опциона в момент t+dt, как расчитываете накопленное расхождение за весь период T.

Количество акций и облигаций я считаю по формулам БШ (файл прикреплённый ранее - "БШ"). Гамма - количество акций, бета - количество облигаций.
Понимаете, там погрешность не простая, а по принципу самофинансирования. Вот как в прикреплённом ранее файле "погрешность БШ" она написана, так я её и моделирую. Т.е. в момент времени t+dt по формулам БШ считаю гамму и бету и подставляю их вместе с ценой в уравнение.
Далее суммирую все погрешности.

[Sapa]

А можете так же указать и величину sigma, rf и Т.

sigma=0.20, rf=0.03 и Т=10

[WLMike]

sigma=0.20, rf=0.03 и Т=10

Хотя с теоретической точки зрения вы в праве исследовать вашу проблему при любых значениях параметра, с практической точки зрения Т у вас великовато - не исключаю, что такой опцион можно найти, но в большинстве случаев Т 0,5 или 1. А на насколько шагов вы делите Т?

[WLMike]

Так какая разница? Это одно и то же!

Не очень понимаю, как могут быть равны S(t)*exp((mu-sigma^2/2)*dt+N(0,1)*sigma*dt^0,5) и S + S*(mu*dt + sirma*E*(dt)1/2), где N нормальное распределение, а E - 1 или -1 с вероятностью 0,5. В моем варианте S(t+dt) распределено непрерывно, а в вашем дискретно. Я понимаю, что в пределе они сходятся друг к другу, но при конечном dt различаются.
Насколько я понимаю вашу задачу, вы должный точно моделировать S(t) и X(t) на дискретных шагах и смотреть, как гамма(S,t)*S(t+dt)+бета(S,t)*B(t+dt) отличается от X(t+dt). А вы выбрали приближенную схему моделирования S(t).

[WLMike]

Количество акций и облигаций я считаю по формулам БШ (файл прикреплённый ранее - "БШ"). Гамма - количество акций, бета - количество облигаций.

У вас гамма и бета записаны в виде производных – вы можете выписать их в виде явной функции от S и t (ну и других параметров).

Понимаете, там погрешность не простая, а по принципу самофинансирования. Вот как в прикреплённом ранее файле "погрешность БШ" она написана, так я её и моделирую. Т.е. в момент времени t+dt по формулам БШ считаю гамму и бету и подставляю их вместе с ценой в уравнение.

В уравнение один?

Далее суммирую все погрешности.

Просто суммируете? Мне кажется это не совсем хорошо. С экономической точки зрения, ошибка – это нехватка или излишек денег, на который будет начисляться безрисковая ставка. С математической — наверное, лучше суммировать квадраты ошибок, для того чтобы оценить чего-нибудь типа дисперсии ошибки репликации.

[Andruxa]

Ого! Хорошенько же Вы закопались.

Я уже не помню всех этих формул Ито и так далее.
Пока мне неясна следующая ситуация - условие самофинансирования разложили в ряд Тейлора, ок. Остаточными членами пренебрегли, при этом стоимость портфеля - X - подсчитывается без этой поправки. Правильно я понял? Т.е. я не уверен в том, что "оставшееся в выражение в (2) равно нулю при всех ....". Если есть такой вот "инвариант" - стоимость портфеля на основе принципа самофинансирования - то отбрасывание чего-то и даёт погрешность. Кстати для остаточных членов в рядах Тейлора тоже есть аналитические выражения, но они тоже неточные.

Во-вторых, согласен с Майком, что на излишек начисляется по безрисковой ставке. Но это-то ладно, до этого дойти ещё надо.

В-третьих, опять согласен с Майком, что если выпишете без производных эту погрешность, будет куда как проще понимать откуда она берется. Попробуйте сделать сначала для нестохастического случая - когда цена - не броуновский процесс, а что-нибудь непрерывное (хоть синусоида).

Кстати вообще не уверен, что надо смотреть просто сумму погрешностей. Вижу смысл рассматривать отрицательную максимальную по модулю, да и вообще суммировать все отрицательные. В общем сложно тут что-то сказать без отдельных исследований, про эту погрешность, как она зависит от mu или t, пока не подставите решения БШ в погрешность.