Модель Блэка-Шоулза

[Sapa]

Всем доброго времени суток!

Я студентка. В данный момент пишу диплом о погрешности принципа самофинансирования в модели Блэка-Шоулза. Так как это одна из основных (теоретичесских) формул для оценки стоимости опционов, думаю, что многие с ней знакомы не по наслышке.

Очень хотела бы получить подсказку, где можно посмотреть работы по изучению зависимости погрешности БШ от параметров уравнения, благо их там достаточно .
Например, как оценить влияние величины шага по времени в дискретном случае (хоть чуть-чуть более приближенном к реальности). Я, кстати, о практичесском применении ничего и не знаю толком. Интересно было бы узнать у практиков, как реально пользуются БШ. Как оценивают волатильность и доходность (теор. способов, конечно, масса, ну а на практике?)

В общем, если кто-то готов со мной по этой теме пообщаться, то готова задавать более внятные вопросы

[nchuvakhin]

Очень хотела бы получить подсказку, где можно посмотреть работы по изучению зависимости погрешности БШ от параметров уравнения, благо их там достаточно .

Например, как оценить влияние величины шага по времени в дискретном случае (хоть чуть-чуть более приближенном к реальности).

Нет в БШ никакого "дискретного случая"... Цена считается непрерывным лог-нормальным стохастическим процессом, соответственно, доходность предполагается нормально распределенной.

Я, кстати, о практичесском применении ничего и не знаю толком. Интересно было бы узнать у практиков, как реально пользуются БШ.

Реально БШ пользуются в основном для "обратного прохода". У публично торгуемых опционов цена известна, соответственно, БШ используются для оценки волатильности, заложенной в эту цену (implied volatility). Собственно, именно так открыли "улыбку опционов" -- оказывается, что в цены опционов, находящихся далеко от денег, стабильно "закладывается" более высокая волатильность по сравнению с опционами, находящимися ближе к деньгам.

А собственно оценку опционов методом БШ проводить категорически не рекомендуется. В кратсокрочной перспективе распределение доходности сильно ненормальное. С одной стороны, есть явно видимая асимметрия (большие падения более вероятны, чем большие всплески). С другой стороны, большие изменения случаются гораздо чаще, чем это стоит ожидать, исходя из допущения о нормальном распределении (в одном только XX веке один только американский рынок акций испытал два дневных события -- крах 1929 года и крах 1987 года -- отстоящих более чем на 15 стандартных отклонений от среднего).

В общем, если кто-то готов со мной по этой теме пообщаться, то готова задавать более внятные вопросы

Задавайте -- пообщаемся...

[WLMike]

Позволю себе возразить Николаю, а так же выскажу свое мнение.

Нет в БШ никакого "дискретного случая"... Цена считается непрерывным лог-нормальным стохастическим процессом, соответственно, доходность предполагается нормально распределенной.

Ну, во-первых, доходность распределена логнормально, а логарифм доходности нормально. Во-вторых, никто не мешает приближенно решить уравнение, описывающее непрерывный стохастический процесс, для этого есть конечноразностный метод в математике, или с позиций экономической — модель Cox, Ingersoll, Ross Option-Pricing Model на основе рекомбинируемых биноминальных деревьев или Мотнте-Карло симуляция под риск нейтральными условиями.

Реально БШ пользуются в основном для "обратного прохода". У публично торгуемых опционов цена известна, соответственно, БШ используются для оценки волатильности, заложенной в эту цену (implied volatility). Собственно, именно так открыли "улыбку опционов" -- оказывается, что в цены опционов, находящихся далеко от денег, стабильно "закладывается" более высокая волатильность по сравнению с опционами, находящимися ближе к деньгам.

А собственно оценку опционов методом БШ проводить категорически не рекомендуется. В кратсокрочной перспективе распределение доходности сильно ненормальное. С одной стороны, есть явно видимая асимметрия (большие падения более вероятны, чем большие всплески). С другой стороны, большие изменения случаются гораздо чаще, чем это стоит ожидать, исходя из допущения о нормальном распределении (в одном только XX веке один только американский рынок акций испытал два дневных события -- крах 1929 года и крах 1987 года -- отстоящих более чем на 15 стандартных отклонений от среднего).

Соглашусь, что формула Блека и Шольца (а точнее Мертона) применять напрямую категорически нельзя. Причем тут существует целый пласт проблем. Первую упомянул Николай – реальное распределение имеет асимметрию в сторону неблагоприятных исходов. Причем с точки зрения оценки стоимости опциона имеет значение риск нейтральная плотность вероятности, а у нее асимметрия гораздо сильнее, чем у реальной. За примерами далеко ходить не надо - достаточно прикинуть реальную и риск нейтральную вероятность банкротства у средней корпорации ААА.
Реальное распределение доходности имеет толстые хвосты, а как следствие это обычно ведет еще к большему искривлению риск нейтрального распределения доходности.
Валотильность активов непостоянна и имеет определенную корреляцию с доходностью, что ведет к толстым хвостам у реальной доходности и усиливает асимметрию риск нейтральной.
Безрисковые ставки непостоянны, а их стохастика завязана на такую непростую штуку как интерпоральное хеджирование.
И т.д.

Но все это не мешает изучить «зависимости погрешности БШ от параметров уравнения», как это сформулировано автором ветки, только надо определиться, что мы будем изучать.
Исследование данного вопроса, с моей точки зрения, можно разбить на два больших класса:
1. Мы не трогаем исходный стохастический процесс, заложенный в формулу БШ, считаем, что цена актива действительно движется согласно логарифмическому броуновскому движению. Этот вопрос достаточно легко изучить, причем с разных сторон, как это можно сделать напишу ниже.
2. Мы подвергаем сомнению стохастический процесс, который заложен в формулу БШ. Этот вопрос по сложнее и его можно совсем по-разному крутить, но насколько я понимаю, обычно это сводится к оценке риск нейтрального распределения цены актива. За базу берется логнормальное и в него вносятся корректировки, согласующиеся с существующими ценами опционов, при этом накладывается различные ограничения на плотность (должна быть достаточно гладкой и не слишком удаленной от логнормальной в неких терминах) и учитывать микроструктуру цен (асинхронность торговли, бид-аск спред и т.д.). Классическая работа по этой тематике Implied Binomial Trees Mark Rubinstein. Могут быть и другие подходы, например, можно задать более богатую динамику цены актива, процентных ставок и валотильности, решить аналитически или численно и сравнить с формулой БШ. Примеры такого анализа практически в любой серьезной книжке по диревативам, например, в том же Hull, Фьючерсы, опционы и другие диревативы. Однако вопрос изменений в стохастике более сложный и его следует затрагивать опосля.

Что же касается первого пункта, то тут все достаточно легко. Самый первый этап анализа – исследование зависимости от шага при известных параметрах процесса. Вы задаете параметры, рассчитываете стоимость опциона, рассчитываете дельту и формируете портфель на полученную сумму. Дальше генерируете цену в конце периода (это легко сделать в стат. пакете, с помощь Кристалл Бола или @Risk, да в общем и экселевский генератор сойдет для небольшого исследования). На основе полученной цены, переоцениваете свою позицию, считаете дельту, перекладываете активы. Снова генерите, переоцениваете, считаете дельту, перекладываете и т.д. до конечного момента. Оцениваете стоимость портфеля и сравниваете со стоимостью опциона. Делаете несколько таких прогонов пока не накопите достаточно статистики. Далее проводите такую процедуру для других шагов, делаете выводы. По-моему у Hullа есть такой анализ.
Далее вы можете углубить анализ, предположить, что стандартное отклонение вам неизвестно, поэтому вы будете вычислять его из статистики. Генерите стоимость актива за некий период, считает стандартное отклонение по выборке, и его используете при расчет дельты. А дальше проворачиваете туже процедуру, что для известной валотильности. Сравниваете результаты, делаете выводы.

[Sapa]

Спасибо большое за ответы!

Зря я не упомянула, что учусь не на экономическом факультете, а на естественнонаучном, направление: прикладная математика и информатика. Вот для разнообразия решила залезть в экономику Это я к тому, что половину Ваших слов просто не поняла к сожалению.

Про волатильность я поняла: бывает историчесская и подразумеваемая. Определяется, соответственно, по ретроспективным данным или с помощью моделей оценки цен опционов, к примеру,- Блэка-Шоулза.

А доходность? Как практичесски оценивают её?

[Sapa]

Сейчас я рассматриваю формулу БШ чисто теоретически, но пытаюсь якобы приблизить её к практике.

Про волатильность.
В книгах (том же Хале) написано про "тяжёлые хвосты", и что с ними как раз и борются поверхностями волатильности. И как-то так всё написано, как будто простые опционы всё-таки оценивают с помощью БШ, но, конечно, модифицированного (цена акции с поправкой на скачки, волатильность по поверхностям..)

Так всё-таки БШ пользуются на практике или нет?

Про оценку шага по времени. (У Хала её нет)
Так как я изучаю погрешность в дискретном случае, выходит, что БШ не удаётся до конца компенсировать прибыли/убытки, если данные поступают через большие промежутки времени. А вот можно ли оценить накапливаемую погрешность в зависимости от шага по времени. Хотя бы чисто аналитически и на броуновской цене
Пока что я просто всё смоделировала и получила вот такой рисунок зависимости погрешности от шага

[Sapa]

А рисунки нельзя вставлять?

[WLMike]

Спасибо большое за ответы!

Зря я не упомянула, что учусь не на экономическом факультете, а на естественнонаучном, направление: прикладная математика и информатика. Вот для разнообразия решила залезть в экономику Это я к тому, что половину Ваших слов просто не поняла к сожалению.

Про волатильность я поняла: бывает историчесская и подразумеваемая. Определяется, соответственно, по ретроспективным данным или с помощью моделей оценки цен опционов, к примеру,- Блэка-Шоулза.

А доходность? Как практичесски оценивают её?

А зачем ее оценивать - доходность актива в формулу не входит.

[WLMike]

Сейчас я рассматриваю формулу БШ чисто теоретически, но пытаюсь якобы приблизить её к практике.

Про волатильность.
В книгах (том же Хале) написано про "тяжёлые хвосты", и что с ними как раз и борются поверхностями волатильности. И как-то так всё написано, как будто простые опционы всё-таки оценивают с помощью БШ, но, конечно, модифицированного (цена акции с поправкой на скачки, волатильность по поверхностям..)

Так всё-таки БШ пользуются на практике или нет?

Понимает, практика бывает разная, поэтому конечно ряд практиков ее использует как напрямую, так и косвенно, кое-кто с корректировками.

Про оценку шага по времени. (У Хала её нет)

Не поленился и открыл - если у вас русское издание, то страница 490 с таблицей, ну и с начала 15 главы объяснения.

Так как я изучаю погрешность в дискретном случае, выходит, что БШ не удаётся до конца компенсировать прибыли/убытки, если данные поступают через большие промежутки времени. А вот можно ли оценить накапливаемую погрешность в зависимости от шага по времени. Хотя бы чисто аналитически и на броуновской цене

Вам как математику виднее, можно ли аналитически оценить это отклонение (я полагаю, что для маленьких шагов вполне возможно), но легче это сделать симуляцией.

Пока что я просто всё смоделировала и получила вот такой рисунок зависимости погрешности от шага

Сравните с Халом, а то нам не видно.

[WLMike]

А рисунки нельзя вставлять?

Их можно прицепить.

[Andruxa]

Так всё-таки БШ пользуются на практике или нет?

Используют. В основном для оценки подразумеваемой волатильности и/или для установления первоначальной цены. Но профессионально я этим не занимаюсь, так что мне можно не верить.

Про оценку шага по времени. (У Хала её нет)

Это вопрос численных методов и методов Монте-Карло.

Так как я изучаю погрешность в дискретном случае, выходит, что БШ не удаётся до конца компенсировать прибыли/убытки, если данные поступают через большие промежутки времени. А вот можно ли оценить накапливаемую погрешность в зависимости от шага по времени. Хотя бы чисто аналитически и на броуновской цене

Рассмотрите как ведет себя модуль (предел модуля) разницы дискретного приближения и аналитической функции. Если рассматриваете стохастический случай, смотрите моменты.

Однако для практики эта погрешность мало применима. Все равно "справедливая цена" опциона скорее теоретическое, чем практическое понятие.

Если бы формулы были бы выписаны - ведь этих БШ много разных (стохастические, дискретные, непрерывные, упрощенные) - было бы проще.

[Sapa]

А зачем ее оценивать - доходность актива в формулу не входит.

Я предполагаю, что моя цена - броуновское движение с параметрами мю и сигма: dS=S(mu*dt+sigma*dz), где dz - виннеровский процесс. А раз она себя так ведёт, мне нужны волатильность и доходность, чтобы "знать" её статистику.
Потому что если я применяю БШ на цене с неправильной mu, то принцип самофинансирования портфеля не работает

Получается, у меня есть БШ и я с его помощью пытаюсь создать безрисковый портфель, якобы зная закон изменения цены, а он у меня простейший (понятно, что если мы знаем, как пойдёт цена, то и БШ не нужен по сути). Т.е. в общем задача такая: понять, как, зная характер изменения цены, так подобрать параметры, чтобы БШ работал (т.е. на каждом шаге по формулам давал количество акций и облигаций в портфеле, ну и чтоб они перекладывались без привлечения средств) и как оценить ошибку в этом подборе.

Вот, например, я предполагаю, что цена - бр/дв, нахожу "историческую" волатильность. А откуда беру доходность?

[Sapa]

Не поленился и открыл - если у вас русское издание, то страница 490 с таблицей, ну и с начала 15 главы объяснения.

Нет там на 490 - там про дельту какую-то Издание 2007 года на русском.

[Sapa]

Если бы формулы были бы выписаны - ведь этих БШ много разных (стохастические, дискретные, непрерывные, упрощенные) - было бы проще.

Их можно прицепить.

Формулы

[WLMike]

Нет там на 490 - там про дельту какую-то Издание 2007 года на русском.

Дельта-хеджирование - это и есть имитация опциона с помощью акции и облигации или наоборот, так что это вам и нужно.

[WLMike]

Я предполагаю, что моя цена - броуновское движение с параметрами мю и сигма: dS=S(mu*dt+sigma*dz), где dz - виннеровский процесс. А раз она себя так ведёт, мне нужны волатильность и доходность, чтобы "знать" её статистику.
Потому что если я применяю БШ на цене с неправильной mu, то принцип самофинансирования портфеля не работает

В формулу БШ mu не входит – в этом в некотором смысле ее парадоксальность, вы даже можете обратиться к своему файлу. В формулу входит rf (или r в нотации вашего файла). Mu – доходность акции, а rf – это безрисковая ставка, которая к акции не имеет отношения.

Получается, у меня есть БШ и я с его помощью пытаюсь создать безрисковый портфель, якобы зная закон изменения цены, а он у меня простейший (понятно, что если мы знаем, как пойдёт цена, то и БШ не нужен по сути). Т.е. в общем задача такая: понять, как, зная характер изменения цены, так подобрать параметры, чтобы БШ работал (т.е. на каждом шаге по формулам давал количество акций и облигаций в портфеле, ну и чтоб они перекладывались без привлечения средств) и как оценить ошибку в этом подборе.

Сколько акций нужно показывает коэффициент дельта (посмотрите у Халла по внимательнее), а облигации на остальные деньги – точнее для репликации нужна короткая продажа облигаций.

Вот, например, я предполагаю, что цена - бр/дв, нахожу "историческую" волатильность. А откуда беру доходность?

Еще раз повторю – вам нужна не mu, а rf. В вашем гипотетическом мире, где у rf нет никакой динамики, определить ее нет проблем – берем любую гос. облигации и считаем ytm.

[Sapa]

А вот так я определяю погрешность.

[Sapa]

В формулу БШ mu не входит – в этом в некотором смысле ее парадоксальность, вы даже можете обратиться к своему файлу. В формулу входит rf (или r в нотации вашего файла). Mu – доходность акции, а rf – это безрисковая ставка, которая к акции не имеет отношения.

Правильно, в формулу БШ не входит но входит в акцию. Я же предполагаю, что цена акции - параметризованное броуновское движение, характер которого определяют мю и сигма. Можно взять, конечно, и другую модель поведения цены, но я взяла эту. (Потому как она проще всего).
И теперь, чтобы предположить, закон, по которому меняется цена акции мне нужно это мю определить и подставить.

Суть то не в том, чтобы найти справедливую цену, имея набор параметров, а в том, чтобы, предположив закон изменения цены, провести портфель до конца без потерь, только перераспределением. Пусть и в идеальном случае

А про r понятно, если, конечно, считать её константой, что в общем случае не так.

Про коэффициент дельта почитаю..

[Sapa]

Вот так выглядит смоделированная погрешность принципа самофинансирования в зависимости от шага. t2=10t.

[Sapa]

Задавайте -- пообщаемся...

Так что же с доходностью акции?!

[WLMike]

Правильно, в формулу БШ не входит но входит в акцию. Я же предполагаю, что цена акции - параметризованное броуновское движение, характер которого определяют мю и сигма. Можно взять, конечно, и другую модель поведения цены, но я взяла эту. (Потому как она проще всего).
И теперь, чтобы предположить, закон, по которому меняется цена акции мне нужно это мю определить и подставить.

Суть то не в том, чтобы найти справедливую цену, имея набор параметров, а в том, чтобы, предположив закон изменения цены, провести портфель до конца без потерь, только перераспределением. Пусть и в идеальном случае

А про r понятно, если, конечно, считать её константой, что в общем случае не так.

Про коэффициент дельта почитаю..

Я если честно не очень понимаю, что вы хотите узнать. Как определить mu? Обычно по истории, скорее всего методом наибольшего правдоподобия.
Но я опять же не очень понимаю зачем вам mu нужно. Для составления само финансирующегося портфеля mu знать не нужно - структура портфеля не зависит от mu. А в рамках своих выкладок и стимуляций можете взять любое разумное число - рыночная доходность для развитого рынка около 10% годовых, валотильность для сильно диверсифицированного портфеля 20% годовых.

[Sapa]

Я если честно не очень понимаю, что вы хотите узнать. Как определить mu? Обычно по истории, скорее всего методом наибольшего правдоподобия.
Но я опять же не очень понимаю зачем вам mu нужно. Для составления само финансирующегося портфеля mu знать не нужно - структура портфеля не зависит от mu. А в рамках своих выкладок и стимуляций можете взять любое разумное число - рыночная доходность для развитого рынка около 10% годовых, валотильность для сильно диверсифицированного портфеля 20% годовых.

Ну я вроде как пытаюсь, предположить, что цена - виннеровский процесс с параметрами. Параметры нужны, чтобы его смоделировать. А смоделировать мне его нужно, чтобы на этапе определения справедливой цены опциона предсказать погрешности и учесть их.

Т.е. в конкретный момент, скажем t0, я знаю цену актива S0, r, К, T и хочу определить справедливую цену опциона на этот актив.
Но этого мало. Я хочу пройти от t0 до T, не потеряв в деньгах, и для этого пытаюсь в момент t0 предсказать и оценить возможные погрешности. Для этого мне, ест., нужно знать статистику цены, но в общем случае мы её не знаем, поэтому я беру самый простой путь: моя цена- броуновское движение. Но даже в этом случае ценой "управляют" параметры мю и сигма. И при их неправильном определении я не угадаю статистику цены и БШ совсем разойдётся.

Ну вот такое я взяла для диплома. Думаете, плохая была идея? А ещё думала пойти учиться на финансового аналитика или вроде того ))))
В конце концов я вроде как математиком становлюсь и мне должно быть пофиг, что на практике мою работу может быть и не применить.. должна любить и уважать теорию

[Andruxa]

Ну вот такое я взяла для диплома. Думаете, плохая была идея? А ещё думала пойти учиться на финансового аналитика или вроде того ))))
В конце концов я вроде как математиком становлюсь и мне должно быть пофиг, что на практике мою работу может быть и не применить.. должна любить и уважать теорию

Случаем не Артемьев препод?
Если Вы в Москве, могу дать отсканировать его книгу "Математическое и статистическое моделирование на фондовых рынках", там есть и про БШ, и про численные и стохастические методы. Когда-то я у него было дело специализировался. Но выпустился не у него.

Что я Вам скажу, как человек с мат. образованием. Математика - язык. Текстовые задачи в школе решали? "Пловец выплывает под углом .... скорость реки ..." и так далее.

Жизнь не сильно от этого отличается. Если по экспериментам в соответствии с Вашей "теорией" (не верю в деление теории и практики) пловец будет совсем не туда плыть, куда предсказано - прощай теория.

А вот мат. методы развивать - это направление. Если действительно найдете поведение оценки стоимости опциона в зависимости от шага дискретизации - это польза для практики. Будут делать другие программы, будут принимать другие решения. С учетом Ваших исследований.

Если распеарите

Хотя при написании диплома, то, о чем я пишу, не очень хорошо читать. Ну а в принципе, мат. образование, оно именно об этом.

[WLMike]

Ну я вроде как пытаюсь, предположить, что цена - виннеровский процесс с параметрами. Параметры нужны, чтобы его смоделировать. А смоделировать мне его нужно, чтобы на этапе определения справедливой цены опциона предсказать погрешности и учесть их.

Т.е. в конкретный момент, скажем t0, я знаю цену актива S0, r, К, T и хочу определить справедливую цену опциона на этот актив.
Но этого мало. Я хочу пройти от t0 до T, не потеряв в деньгах, и для этого пытаюсь в момент t0 предсказать и оценить возможные погрешности. Для этого мне, ест., нужно знать статистику цены, но в общем случае мы её не знаем, поэтому я беру самый простой путь: моя цена- броуновское движение. Но даже в этом случае ценой "управляют" параметры мю и сигма. И при их неправильном определении я не угадаю статистику цены и БШ совсем разойдётся.

Все-таки до конца я так и не понял, поэтому еще раз повторюсь, если вы уверены, что цена акции меняется как броуновское движение, чтобы процесс репликации не расходился «сильно» вам достаточно знать только сигму, потому что количество акции необходимых для репликации (как я понял в вашей нотации это gamma(T,s), а в стандартной - это дельта, поэтому дельта хеджирование это все называется) в момент t не зависит от mu. Ошибка, наверное, слабо будет завысить от mu, но так как вас в первую очередь интересует зависимость ошибки от дискретизации по времени, вы можете mu любым разумным числом выбрать – порядок величины mu я указал выше.

Ну вот такое я взяла для диплома. Думаете, плохая была идея? А ещё думала пойти учиться на финансового аналитика или вроде того ))))

Да идея неплохая, но я думаю, что финансовых аналитиков такого толка нужны единицы и только в Москве. Поэтому перспективы на мой взгляд призрачные, если вы не пробивной человек.

В конце концов я вроде как математиком становлюсь и мне должно быть пофиг, что на практике мою работу может быть и не применить.. должна любить и уважать теорию

Любую работу можно развивать и приближать к практики – всегда теория начинается с простого, а потом углубляется. Ну а как вы относитесь к теории и практике – это личный выбор.

[WLMike]

Кстати, Sapa, если для вас английский не проблема, то наберите в поисковике delta hedging error и найдете достаточно статей, посмотрите как это делаю другие, и с каких сторон эту проблему стоит поглядеть.

[Sapa]

Ошибка, наверное, слабо будет завысить от mu, но так как вас в первую очередь интересует зависимость ошибки от дискретизации по времени, вы можете mu любым разумным числом выбрать – порядок величины mu я указал выше.

В том то и дело, что как ни парадоксально, но у меня от мю очень сильно всё зависит!!! А смотрю я погрешность от всех параметров, а не только от времени.

Вот моделирую я сначала цену как броуновское с мю и сигма, а дальше смотрю, как работает на ней БШ и как работает на ней, но с другой мю. Погрешность получется очень большая по сравнению с погрешностью от шага по времени, хотя от шага-то сильнее должно всё скакать. Уже начинаю сомневаться, правильно ли я моделирую или мне это маткад козни строит

[Sapa]

Да идея неплохая, но я думаю, что финансовых аналитиков такого толка нужны единицы и только в Москве. Поэтому перспективы на мой взгляд призрачные, если вы не пробивной человек.

Какого это "такого толка"? ;) Тут пока толка нет. Чтобы что-то из меня получилось ещё учиться и учиться..

А что финансовые аналитики не востребованы? Вообще мало представляю, какие в этой сфере бывают специальности.

Я живу и учусь в Санкт-Петербурге, в Университете Информационных технологий, механики и оптики (между прочим уже более 3-х лет подряд ВУЗ выигрывает международные соревнования по программированию!)

[WLMike]

Какого это "такого толка"? ;) Тут пока толка нет. Чтобы что-то из меня получилось ещё учиться и учиться..

А что финансовые аналитики не востребованы? Вообще мало представляю, какие в этой сфере бывают специальности.

Финансовые аналитики понятие растяжимое. Такой фразой можно обозвать и человека внедряющего управленческий учет, и того кто инвест. проекты обсчитывает, кто бизнес оценивает, макроэкономическим прогнозирование занимается, управляет пакетом акций, облигаций, деривативов или каким-либо хитрым арбитражем занимается или финансовым инжинирингом. И лишь последним из них нужно знать, то чем вы занимаетесь, да и то не факт. И таких людей не так много нужно.

Я живу и учусь в Санкт-Петербурге, в Университете Информационных технологий, механики и оптики (между прочим уже более 3-х лет подряд ВУЗ выигрывает международные соревнования по программированию!)

На работу не вуз принимать будут, а вас, поэтому важно, какое вы к этим победам отношение имеете, и как вы все это подать сможете своему работодателю. А то я тоже много чего знаю и умею, но мне за это денег не платят. А все эти знания – это лишь «заточка пилы» и удовлетворение личных комплексов.

[WLMike]

В том то и дело, что как ни парадоксально, но у меня от мю очень сильно всё зависит!!! А смотрю я погрешность от всех параметров, а не только от времени.

Вот моделирую я сначала цену как броуновское с мю и сигма, а дальше смотрю, как работает на ней БШ и как работает на ней, но с другой мю. Погрешность получется очень большая по сравнению с погрешностью от шага по времени, хотя от шага-то сильнее должно всё скакать. Уже начинаю сомневаться, правильно ли я моделирую или мне это маткад козни строит

Не очень понимаю ваши графики - чего на вертикально и горизонтальной оси?

[Sapa]

Не очень понимаю ваши графики - чего на вертикально и горизонтальной оси?

На горизонтальной время - t; на вертикальной погрешность. Та, что со словом "bad" - это если мы предположили, что цена - бр/дв с параметрами мю и сигма, сигму угадали,а мю нет.

[Sapa]

А то я тоже много чего знаю и умею, но мне за это денег не платят. А все эти знания – это лишь «заточка пилы» и удовлетворение личных комплексов.

Ну не согласна! Что ж Вы так к своим знаниям относитесь?!
А под комплексом Вы подразумеваете пытливый ум? ;) Гордиться надо, товарисч, своей "заточкой"!