Математическая модель динамики посещаемости интернет-ресурса

Оглавление

В данной работе построена модель динамики посещаемости нового уникального в своем роде интернет-ресурса до момента, пока у него не появятся конкуренты.

Будем считать, что аудитория сети Интернет однородна, т. е. доля пользователей со сходными интересами постоянна и равномерно распределена по времени посещения ресурсов Интернета.

Рассмотрим множество приверженцев ресурса F — пользователей, которым данный ресурс оказался полезным, и они готовы будут вернуться снова.

Также введем понятия внутренних и внешних обстоятельств, применительно к интернет-ресурсам.

Внутренние обстоятельства — совокупность условий, созданных и зависящих только от руководства ресурса, прямым образом влияющих на посещаемость ресурса. Содержание любого интернет-ресурса есть исключительно информация разного рода, и она является единственной причиной его (ресурса) посещения, Другими словами — это политика руководства ресурса в отношении содержащейся в нем информации. Например, тематика, информационная структура ресурса, лицензионная политика, политика в отношении актуализации информации и т. д.

Внешние обстоятельства — совокупность условий, не зависящих от руководства ресурса, влияющих на посещаемость ресурса.

Примеры: появление конкурентов, потеря актуальности информации для пользователей и т. д.

Изменение числа приверженцев ресурса за промежуток времени можно записать так:

F(t + Δt) = F(t) + A(t), (1)

где
F(t) – число приверженцев ресурса в момент времени t,
F(t + Δt) – число приверженцев ресурса в момент времени t+Δdt,
A(t) – число новых приверженцев ресурса, появившихся за промежуток времени Δt.

Так как мы строим модель посещаемости нового в своем роде интернет-ресурса, будем считать, что пользователи определяются в полезности для них ресурса в момент получения информации о его существовании еще до посещения.

Из допущения об однородности интернетаудитории следует:

A(t) = µ · D(t), (2)

где
µ = const, µ ∈ [0;1] – коэффициент, показывающий, сколько пользователей сети Интернет, узнавших о существовании ресурса, станут его приверженцами,
D(t) – число пользователей сети Интернет, узнавших о существовании ресурса.

Из допущения об однородности интернетаудитории также следует, что:

N(t) = φ · F(t), (3)

где
N(t) – число посетителей интернетресурса в момент времени t,
F = const, φ ∈ [0;1] – коэффициент, показывающий, как часто приверженцы посещают ресурс.

Коэффициент µ является величиной постоянной только при неизменных внешних и внутренних обстоятельствах для интернетресурса и наличии однородной интернетаудитории. При этом установившееся изменение внешних и/или внутренних обстоятельств, приведет лишь к количественному изменению коэффициента µ. Например, изменение политики предоставления информации, скажем, введение платной подписки, скорее всего приведет к тому, что количество новых приверженцев за единицу времени уменьшится, но при наличии однородной аудитории коэффициент µ будет постоянным. Введение дорогостоящей платной подписки может вообще отпугнуть новых пользователей от ресурса, так как они найдут замену в виде off line источников информации.

В таком случае µ = 0.

Все вышесказанное о коэффициенте µ, также касается коэффициента φ, при этом φ может быть равным нулю, только если µ равен нулю. Таким образом, модель может иметь разные коэффициенты на разных промежутках времени.

Число посетителей ресурса в момент времени t + Δt, при этом φ ∈ [0;1], (иначе N(t) = 0, F(t) = 0, A(t) = 0):

N(t + Δt) = φ · F(t + Δt). (4)

Выразим F(t) и F(t + Δt) из выражения (3) и (4) соответственно:

(5)

(6)

Подставим полученные выражения (2), (5) и (6) в выражение (1). Получим:

(7)

Преобразуем выражение (7):

N (t + Δt) = N(t) + µ · φ · D(t). (8)

Для дальнейшего создания модели необходимо рассмотреть механизм распространения информации о новом ресурсе.

Очевидно, пользователи сети Интернет могут получить информацию о новом ресурсе либо от пользователей, посещавших ресурс напрямую (при личном общении, в сообщениях по электронной почте и т. д.) и косвенно – через блоги, форумы, СМИ и т. д., т. е. посредством каналов массовой коммуникации. Значит:

D(t) = D_личн.(t) + D_косв.(t), (9)

где
D_личн.(t) – число пользователей Интернета, узнавших о ресурсе напрямую от пользователей ресурса,
D_косв.(t) – число пользователей Интернета, узнавших о ресурсе посредством каналов массовой коммуникации.

Следует заметить, что от пользователей, посещавших ресурс можно получить не только положительный отзыв о ресурсе, но и отрицательный, что, в том числе, и учитывает коэффициент µ.

Подставим выражение (9) в (8) и раскроем скобки:

N(t + Δt)= N(t) + µ · φ · D_личн.(t) + µ · φ · D_косв. (10)

Рассмотрим интенсивность распространения положительной информации о ресурсе как отношение числа новых приверженцев ресурса к общему числу приверженцев за промежуток времени Δt:

(11)

где
α₁ = α – интенсивность межличностного общения, величина постоянная, показывает, сколько новых приверженцев появляется, благодаря личным связям одного старого за единицу времени, [α] = c^-1,

(12)

где
α₂(t) – интенсивность передачи информации посредством каналов массовой коммуникации, которая уменьшается со временем, т. к. с течением времени для все большего и большего числа пользователей Интернета информация о ресурсе не станет новостью. Выберем самый простой вариант:

(13)

где
b – некоторая константа, показывает, сколько новых приверженцев узнают о существовании ресурса по каналам массовой коммуникации от одного старого в любой момент времени.

Данный механизм распространения информации основан на таких же предположениях, на базе которых была построена модель, описывающая временную динамику распространения информации¹.

Представим число приверженцев в выражении (11) и (12) с учетом (13) в виде (5) и выразим D_личн.(t) и D_косв.(t) соответственно:

Подставим полученные выражения (15) и (17) в выражение (10) и упростим:

N(t + Δt) = N(t) + α · N(t) · Δt + b/t · N(t) · Δt. (18)

Преобразуем выражение (18) в следующий вид:

(19)

Устремив Δt к нулю, запишем левую часть выражения (19):

(20)

Тогда выражение (19) принимает вид:

(21)

Приведем подобные:

(22)

Функция, стоящая перед N(t), является функцией роста посещаемости ресурса:

(23)

Полученное дифференциальное уравнение (22) решается методом разделения переменных:

(24)

где
N₀ – значение числа посетителей ресурса в начальный момент времени t = t₀.

Итак, давайте проверим способность полученной модели описывать посещаемость интернетресурсов. Будем рассматривать посещаемость ресурсов за время, пока они были уникальными в своем роде или их конкуренты не успели набрать заметную посещаемость.

I. Myspace.com – крупнейшая социальная сеть. Ресурс создан в июле 2003 года, от этой даты мы и начнем отсчет посещаемости ресурса.

Основной конкурент Facebook.com был создан в феврале 2004, а достиг посещаемости одного порядка с Myspace.com к началу 2006 года.

Данные посещаемости сняты с графика, найденного в Интернете, предоставленного компанией Alexa (alexa.com). На графике (рис. 1) по горизонтальной оси отложено время в кварталах, по вертикальной оси – число уникальных посетителей.

Рис. 1. График посещаемости www.myspace.com

Данные посещаемости представлены в векторной форме: вектор V_n содержит данные о числе уникальных посетителей, вектор V_t – соответствующее время в месяцах.

Аппроксимацию будем проводить средствами пакета MathCad.

Для наилучшей аппроксимации прологарифмируем функцию посещаемости (24) и найдем коэффициенты a и b для натуральных логарифмов данных о посещаемости. Получаем a = 0,162 и b = 0. Учитывая то, что аппроксимация получена численными методами, примем, что b стремится к нулю, но не равна нулю, иначе мы получим функцию, не равную нулю в нуле. Этого быть не должно, так как за начало отсчета принимается момент создания ресурса. В формулу подставим значение b = 107 (рис. 2).

Рис. 2. График прологарифмированных данных посещаемости и аппроксимация

Среднеквадратичное отклонение равно

Функция посещаемости (рис. 3):

Рис. 3. График посещаемости и полученной функции посещаемости www.myspace.com

Для данной функции величина 1/a является периодом увеличения числа посетителей в e раз и равна 6,173 месяца. Среднеквадратичное отклонение равно

Модель показывает, что информация о данном ресурсе распространяется преимущественно посредством межличностного общения, чего и следовало ожидать, т. к. подобные социальные сети прежде всего служат для общения знакомых лично людей, часто пользователи разрешают доступ к своему аккаунту только для «друзей», а общение с целью знакомства, напротив, большая редкость.

II. Wikipedia – свободная энциклопедия. Создан 15 января 2001 года. Конкурентов нет.

Данные посещаемости предоставлены компанией Alexa и получены на сайте Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Awareness_statistics).

Также как и для Myspace, прологарифмируем функцию посещаемости (24) и найдем коэффициенты a и b для натуральных логарифмов данных о посещаемости. Получаем a = 0 и b= 5,499 (рис. 4).

Рис. 4. Прологарифмированные данные посещаемости и аппроксимация

Среднеквадратичное отклонение равно

Функция посещаемости (рис. 5):

Рис. 5. График посещаемости и полученной функции посещаемости www.wikipedia.org

Средневадратичное отклонение равно

Модель показывает, что информация о данном ресурсе распространяется преимущественно по каналам массовой коммуникации, что также соответствует действительности, потому что ссылки на страницы Wikipedia часто появляются в первой пятерке поисковой выдачи Google. Это означает не только, что с поисковых систем идет большой трафик на Wikipedia, но и свидетельствует о высокой релевантности страницы – на нее ссылаются множество страниц других ресурсов.

Однако предложенная модель не учитывает ограничение посещаемости ресурса, связанное с конечным числом пользователей сети Интернет. Это, в свою очередь, влияет на точность результатов при значениях посещаемости более 5·10⁷ уникальных посетителей в сутки.

Попытаемся уточнить ее, основываясь на аналогии между закономерностями изменения числа посетителей интернетресурса и динамикой численности биологической популяции. Рассмотрим уравнение Ферхюльста, описывающее динамику численности популяции при ограниченных ресурсах:

, (25)

где
r = const – величина роста численности популяции, представляющая собой разность рождаемости и смертности при неизменных условиях,
K – емкость среды – предельная численность популяции в данной области.

Налицо сходство выражений (22) и (25). Проводя аналогию, в выражении (25) будем считать N(t) – числом посетителей ресурса в момент времени t, K – суточная целевая аудитория ресурса, а r – функцией роста числа пользователей ресурса. В нашем случае функция роста зависит от времени.

Тогда:

(26)

Полученное уравнение (26) решается методом разделения переменных:

(27)

где
N₀ – значение числа посетителей ресурса в начальный момент времени t = t₀.

Суточная целевая аудитория ресурса рассчитывается следу ющим образом:

K(t) = γ · E(t), (28)

где
E(t) – мировая интернетаудитория.

Уточним функцию посещаемости Wikipedia. По данным компании Miniwatts Marketing Group (internetworldstats.com) Мировая интернетаудитория составляет 1,458 · 10⁹ – пользователей (лето 2008 года).

Примем γ = 1/3, K≈5·10⁸(рис. 6).

Рис. 6. График посещаемости и уточненной функции посещаемости www.wkikpedia.org

Среднеквадратичное отклонение равно

точность заметно возросла. Для повышения точности модели можно в уравнение (26) ввести функцию K(t), которая получается аппроксимацией данных численности интернет пользователей мира. Можно упрощенно считать, что с 2002 года K(t) линейно возрастает (рис. 7).

Рис. 7. График численности интернет=пользователей и аппроксимация

Уравнение (26) принимает вид:

(29)

Аналитическое решение уравнения (29) затруднено, воспользуемся численными методами и получим вид функции посещаемости для неотрицательных значений a и положительных значений b.

Значит, по достижении своего максимума функция посещаемости продолжает расти вместе с ростом аудитории Интернета (рис. 8).

Рис. 8. График посещаемости интернет=ресурса

Выводы

Полученная нами уточненная модель позволяет количественно и качественно описать динамику посещаемости ресурсов Интернета, делать прогнозы будущей посещаемости ресурсов, объясняет механизм роста посещаемости, что в конечном итоге позволит оценить целесообразность инвестирования в какой-либо интернет-ресурс.

¹ Михайлов А.П., Измоденова К.В. Математическое моделирование социальных процессов. Вып. 6. М.: МАКС Пресс, 2004. [an error occurred while processing this directive]

Версия для печати