Оптимизация деятельности дистрибьютора в условиях неопределенности

Севастьянов П.В., Степанов Д.В.
Оглавление журнала

Специфической чертой функционирования логистических центров является синтез различных видов деятельности, таких как транспортное обслуживание, формирование оптимальных партий грузов, торгово-закупочная деятельность и т. д. Такого рода многоплановая деятельность требует рационального управления и оптимизации, что практически невозможно осуществить без использования современных информационных технологий. Проблема осложняется тем, что в следствии объективных и субъективных причин значительная часть доступной информации характеризуется неопределенностью различной природы, а также многокритериальностью задач принятия оптимальных решений при наличии, зачастую, антагонистических критериев.
Существует большое количество постановок задач, которые учитывают те или иные реальные процессы, протекающие в коммерческо-транспортной фирме (или транспортном отделе). В настоящей работе рассматривается одна из наиболее приближенных к реальной деятельности дистрибьютора постановка задачи.
Коммерческо-транспортная фирма (дистрибьютор) закупает товар одного и того же вида у группы поставщиков, а также производит его транспортировку (необязательно своим транспортом) и реализацию покупателям (схема товародвижения представлена на рис. 1).

Рисунок 1 - Структура товародвижения.
Имеется М поставщиков и N покупателей. Известны предельные возможности каждого из поставщиков (данные о величине максимальных продаж a_i, i=1,2,..., М) и покупателей (максимально возможные объемы покупок b_j , j=1, 2,...,N). Дистрибьютор располагает информацией о ценах приобретения единицы товара у каждого поставщика, ценах продажи единицы товара каждому потребителю и удельных транспортных издержках c_ij , (i=1,2,..., М; j=1, 2,...,N) при доставке единицы товара от i-го поставщика к j-му потребителю. В соответствии с заключенными контрактами дистрибьютор обязан приобрести у i-го поставщика как минимум p_i единиц его товара по цене t_i за единицу , а также удовлетворить потребности j-го покупателя как минимум на q_jединиц этого товара по цене s_j за единицу. Весь объем товара, превышающий контрактное значение p_i, приобретается дистрибьютором со скидкой по цене k_i за единицу. В свою очередь, покупатель весь объем товара, превышающий контрактное значение q_j приобретает у дистрибьютора со скидкой по цене r_j ( в реальной ситуации скидки имеют линейную зависимость от объёма товара или многоступенчатую структуру; в нашей задаче для простоты приняты одноступенчатые скидки).
Решением задачи являются оптимальные количества товаров x_ij(i=1,2,..., М; j=1, 2,...,N), закупаемые у каждого из поставщиков и поставляемые каждому из потребителей, максимизирующие доход дистрибьютора при ограничениях, обеспечивающих выполнение им контрактных обязательств.
Из постановки задачи следует, что доход дистрибьютора может быть представлен выражением:

(1)
В итоге, задача сводится к поиску x_ij максимизирующих доход D при ограничениях:
- по верхней границе предложения и спроса:
(2)
-по нижней границе предложения и спроса:
(3)
Представленная базовая задача не учитывает неопределенностей, является типичной задачей линейного программирования и была реализована в виде пакета прикладных программ на основе языка С++.
Для дальнейшего исследования и сравнения результатов использования различных методов учета неопределенностей приведем конкретные исходные данные, на основании которых получены количественные результаты (цены в условных денежных единицах, объемы перевозок , спроса и предложения в тоннах).
Количество поставщиков M=3, покупателей- N=3: верхняя граница предложения : a₁=460, a₂= 460, a₃= 610.; верхняя граница спроса: b₁=410, b₂=510, b₃=610.; обязательный контрактный объём предложения : p₁=440, p₂=440, p₃=590.; обязательный контрактный объём спроса : q₁=390, q₂=490, q₃=590; цена единицы товара при покупке : t₁=600, t₂=491., t₃=581; цена единицы товара при продаже : s₁=1000, s₂=1130, s₃=1197; цена единицы продукции закупаемой сверх контракта : k₁=590, k₂=480, k₃=570; цена единицы продукции продаваемой сверх контракта: r₁=990, r₂=1100, r₃=1180; удельные стоимости перевозок товаров : c₁₁=100, c₁₂=30, c₁₃=100, c₂₁=110, c₂₂=36, c₂₃=405, c₃₁=120, c₃₂=148, c₃₃=11.
Решение задачи (1-3) с приведенными базовыми тестовыми исходными данными дало следующие результаты. x₁₁=400, x₁₂=10 т, x₁₃=0, x₂₁=50, x₂₂=450, x₂₃=10, x₃₁=0, x₃₂=0, x₃₃=600.
При этом доход при найденных оптимальных объемах перевозок составил: D=775000 у.е..
Однако получаемые результаты даже этой расширенной задачи могут представлять лишь академический интерес ввиду ряда обстоятельств, затрудняющих их практическое использование (отметим, что эти обстоятельства имеют общий для задач математического моделирования и оптимизации характер).
Дело в том, что на практике, как правило, невозможно четко определить используемые параметры, так как в реальности они изменяются в достаточно широких диапазонах. Например, стоимость перевозок может зависеть от погоды, от состояния дороги, от квалификации водителя и пр., т.е. от широкой группы неопределенных факторов, для которых не всегда даже можно определить статистические законы распределения.
Традиционно неопределенность принято отождествлять со случайностью, при этом предполагается, что неопределенные параметры системы распределены в соответствии с некоторыми каноническими частотными распределениями.
В методических целях неопределенные параметры нашей тестовой задачи принимались распределенными по нормальному закону с математическими ожиданиями соответствующими приведенным выше данными среднеквадратическим отклонениями составляющим 10% от соответствующих математических ожиданий.
Для получения итоговых результатов с учетом неопределенностей использовался метод статистических испытаний. Для этого с помощью генератора случайных чисел на основе введенных частотных распределений параметров находились их конкретные значения, для которых решалась задача (1)-(3). Следует подчеркнуть, что для получения достаточно гладких частотных распределений итоговых результатов потребовалось порядка 10⁶ решений задачи (1)-(3).
Результатами метода статистических испытаний являлись соответствующие частотные распределения, некоторые из которых представлены на рис. 2 - 4.

Рисунок 2 – Оптимальное количество товара для перевозки от поставщика 2 к потребителю 1 (х₂₁)

Рисунок 3 – Оптимальное количество товара для перевозки от поставщика 3 к потребителю 3 (х₃₃)

Рисунок 4 – Доход дистрибьютора (метод статистических испытаний).
Появление нескольких экстремумов в результирующих частотных распределениях объясняется наличием альтернативных решений. И как показал анализ, возникновение дополнительного экстремума происходит практически скачкообразно при изменении оптимальных объемов перевозок.
Полученные результаты свидетельствуют о сложностях аргументированной интерпретации решений задач оптимизации деятельности дистрибьютора при использовании традиционного вероятностного подхода к учету неопределенности.
На практике при моделировании реальных технико-экономических систем лишь некоторые неопределенные параметры могут быть задана в виде частотных распределений, большинство параметров не могут быть представлены в такой форме ввиду ненадежности или отсутствия необходимой для этого информации. В то же время в подавляющем большинстве случаев на основе каких-либо нормативных документов, опыта и интуиции удается оценить крайние (нижние и верхние) возможные значения неопределенных параметров, а также области их наиболее вероятных (ожидаемых, допустимых и пр.) значений. Информация такого рода вполне естественным образом описывается с использованием математического аппарата теории нечетких множеств.
Поскольку точность результатов решения будет определяться наименее точными исходными данными, то имеет смысл привести все исходные данные к единой форме представления (пусть и наименее точной). Наиболее целесообразным является приведение частотных распределений к нечетко-интервальному виду. Эта методика подробно описана в статье [1].
Для решения логистических задач описанного выше типа разработана методика, основанная на элементах теории нечетких множеств. В основу методики положено нечетко-интервальное расширение математических операций.
Для описанной задачи оптимизации деятельности дистрибьютора (1)-(3) нечеткие интервалы строятся на основе анализа реальной обстановки на рынке. Например, объём предложения ограничен сверху возможностями поставщика A₄ (производственные мощности, финансовое состояние и т.д.) и ограничен снизу объёмом A₁, ниже которого все торгово-закупочные операции будут для него убыточными. При этом существует интервал наиболее выгодных и удобных объёмов [A₂,A₃] ( рис. 5).

Рис. 5 – Функция принадлежности нечеткого интервала для объема предложения

На рисунке 5 показана функция принадлежности к нечеткому интервалу, которая обозначается как m

Аналогично можно представить и другие ограничения, а также входные данные (объём спроса, цены покупок, продаж, перевозок и пр.).

После построения нечетких интервалов неопределенных параметров производилось нечетко-интервальное расширение задачи (1)-(3) путем замены параметров и ограничений (цен закупок и продаж, удельные стоимостей перевозок, предполагаемых объёмы контрактов с поставщиками и покупателями) на соответствующие нечеткие интервалы.

При этом возможные скидки автоматически учитывались заданием соответствующих нечетких интервалов. Минимальные и максимальные значения объемов покупок и продаж также описывались с помощью нечетких интервалов. Эти два фактора позволили редуцировать постановку задачи и, соответственно упростить решение задачи.

Опишем постановку задачи с учетом сделанных замечаний (все параметры, которые представлены в нечетко-интервальном виде обозначены через ^).

Коммерческо-транспортная фирма (дистрибьютор) закупает товар одного и того же вида у группы поставщиков, а также производит его транспортировку и реализацию покупателям. Имеется М поставщиков и N покупателей. Известны объемы продаж {_i} (i=1,2..M), которые могут предоставить поставщики, объемы покупок {_j} (j=1,2..N), которые могут приобрести покупатели, а также удельная доход от перевозки единицы товара от поставщика к потребителю {_ij} (i=1,2..M, j=1,2..N) (первоначально рассматривались цены покупок {_i} (i=1,2..M), продаж {_j}(j=1,2..N) и стоимости перевозок {_ij}(i=1,2..M, j=1,2..N) отдельно, но для упрощения рассмотрения задачи они были сведены в удельные стоимости перевозок: _ij=_ij.+_i-_j).

Решением задачи является оптимальные количества товаров {_ij} (i=1,2,...,М; j=1,2,...,N), закупаемых у каждого из поставщиков и поставляемые каждому из потребителей, максимизирующие доход дистрибьютора при выполнении возможностей поставщиков и требований потребителей.

Исходя из условия задачи, доход дистрибьютора может быть представлен в виде:

(4)

В итоге постановка задачи свелась к поиску {_ij}, максимизирующих доход D при ограничениях по согласованию объемов продаж и покупок:

, (5)

Следует подчеркнуть, что разработанная методика позволяет при нечетко интервальном расширении одновременно с нечеткими интервалами использовать четкие интервалы и точно заданные числа как вырожденные случаи нечетких интервалов.

Разработанная методика предполагает решение задачи в два этапа. На первом этапе решается так называемая задача нечеткого линейного программирования, позволяющая получить искомые оптимальные объемы перевозок в нечетко-интервальном виде.

Для решения полученной нечетко-интервальной задачи линейного программирования, разработаны методика и специальное программное обеспечение, основанные на правилах арифметики нечетких чисел [2].

Основой компьютерной реализации данного метода является методология объектно-ориентированного программирования.

Итоговое решение задачи также получается в виде нечетких интервалов, что позволяет более реалистично прогнозировать будущие доходы и, что особенно важно, количественно оценивать риск дистрибьютора при принятии им управленческих решений.

Несмотря на то, что решение в виде нечеткого интервала намного информативнее чем результаты обычной форме, традиции и хозяйственная практика часто требуют, чтобы в качестве итоговых оценок были четкие числа. Для этого были определены ряд параметров, имеющих содержательный смысл и характеризующих нечёткие интервалы, полученные в результате решения задачи: - наиболее ожидаемое значение, что соответствует средневзвешенному значению нечетких интервалов; - среднее значение, вычисляемое по формуле Xcp= (x1+x2 +x3+x4)/4.

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим конкретный пример. Для этого исходные данные для этой задачи строились на основе частотных распределений определенных выше:

Количество поставщиков M=3;

количество покупателей N=3;

объемы предложений:

₁={380,390,410,420};₂={476,488,512,524};₃₌{570,585,615,630};

объемы спроса:

₁= {428,439,461,472};₂= {428,439,461,472};₃= {570,585,615,630};

удельные стоимости перевозок:

₁₁={284,292,308,316};₁₂={380,390,410,420};₁₃={284,292,308,316};

₂₁={476,488,512,524};₂₂={570,585,615,630};₂₃={380,390,410,420};

₃₁={476,488,512,524};₃₂={284,292,308,316};₃₃={570,585,615,630}.

Результат решения задачи в нечетко-интервальной форме:

объемы перевозимых товаров:

₁₁={380,390,410,420};₁₂={0,0,0,0};₁₃={0,0,0,0};

₂₁={-36,7,93,136}; ₂₂={384,417,483,516};₂₃={0,0,0,0};

₃₁={-44,-22,22,44}; ₃₂₌{-88,-44,44,88}; ₃₃={570,585,615,630};

доход дистрибьютора: ={579628, 676306, 871638, 974484}.

Как видно из решения, средние значения интервалов соответствуют решениям исходной задачи в четкой постановке, что иллюстрирует асимптотические свойства нечеткой постановки задачи (сходимость к усредненной четкой задаче при сужении исходных интервалов). Симметричный относительно нуля интервал для оптимальных значений x₃₃иллюстрирует понятие нечетко-интервального нуля [2] и соответствует нулевому решению, полученному в четкой постановке. Поскольку объемы перевозок не могут быть отрицательными, то в итоговом решении эти значения можно отбросить.

На рисунках 6-8 представлены наиболее типовые результатов моделирования. Рис. 6 отражает практически полное совпадение результатов нечетко-интервального решения и метода статистических испытаний. Так на рисунке 7 показано, что метод статистических испытаний дает двухэкстремальное решение одно из которых совпадает с нечетко-интервальным решением.

Рисунок 6 - Сравнение нечетко-интервального решения с методом статистических испытаний. Оптимальное количество товара для перевозки от поставщика 2 к потребителю 1 (х₂₁)

Рисунок 7 - Сравнение нечетко-интервального решения с методом статистических испытаний. Оптимальное количество товара для перевозки от поставщика 3 к потребителю 3 (X₃₃)

Рисунок 8 - Сравнение нечетко-интервального решения с методом статистических испытаний (доход - D).

На рисунке 8 представлено сравнение расчетных оптимальных доходов в нечетко интервальном решениях и методом статистических испытаний. Нечетко-интервальное решение полностью охватывает результаты решения метода статистических испытаний (что полностью согласуется с основным принципом нечетко-интервальной математики: охват всех возможных вариантов решений). Результаты, представленные на рис. 4 и 5 объясняются наличием альтернативного оптимального нечетко-интервального решения, что также объясняет двухпиковость дохода.

Полученные результаты свидетельствует о неэффективности метода статистических испытаний для задач логистики. В данном решении очень сложно выбрать необходимый план перевозок, так как для достижения оптимума необходимо выбрать определенный набор объемов перевозок (например, если все объемы перевозок взять из интервалов определенных нечетко-интервальным решением, а Х₃₃ взять исходя из второго пика метода статистических испытаний, то выйдем за пределы ограничений по перевозкам). Этот выбор может быть достаточно затруднительным, особенно при большом количестве покупателей и поставщиков.

Исследования показали, что можно избежать двухпиковости дохода. Это достигается увеличением дисперсии исходных данных в 2 и более раза. Но даже при этом остаются альтернативные планы перевозок.

Что касается времени расчета, то для исходных данных определенных выше было необходимо провести 10⁶ расчетов для определения достаточно гладких кривых, отражающих вероятности результирующих данных. Еще при объеме 10⁵ - кривые хотя и отражают общее поведение результата, но не дают достаточно точных итоговых данных. При увеличении количества поставщиков и покупателей число расчетов также будет увеличиваться. Это увеличение будет не равномерным, а иметь экспоненциальную зависимость. Т.е. в реальной ситуации использование метода статистических испытаний будет требовать значительных временных ресурсов, что совершенно непозволительно для задач оперативного планирования.

Вместе с тем, решение задачи оптимизации деятельности дистрибьютора нечетко-интервальными методами получается за один проход, т.е. скорость вычислений увеличивается на несколько порядков.

Полученные результаты позволяют судить о высокой эффективности разработанной методики решения логистических задач в условиях нестатистической неопределенности, возможности получения с ее помощи оптимальных решений, обладающих существенно большей информативностью чем традиционные методы, и перспективности использования нечетко-интервального анализа в экономико-математическом моделировании.

П.В. Севастьянов, В.И. Вальковский. Методика нечетко-интервального имитационного моделирования технико-экономических систем// Информационные технологии. 1999. № 6. С. 23-26.
Алексеев А.В. Интерпретация и определение функций принадлежности нечетких множеств // Методы и системы принятия решений. - Рига,1979.-С.42-50.

Севастьянов П.В. (д.т.н. проф. каф. “Экономическая информатика Могилевского машиностроительного института”. 212022, Беларусь, Могилев, Бурденко 6, кв 132)

Степанов Д.В. (аспирант каф. “Экономическая информатика Могилевского машиностроительного института” 212015, Беларусь, Могилев, Ямницкая 87, кв 17.)

Тел. д.0222-25-47-42

д.0222-26-74-36

р.0172-84-59-10

E-mail: mlstepanov@mail.ru [an error occurred while processing this directive]

Версия для печати