Библиотека управления

Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами

Недосекин А.О.

Журнал "Аудит и финансовый анализ"

3. УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ ПОРТФЕЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ

3.1. Описание проблемы и подход к ее разрешению

Держатель фондового портфеля - частный вкладчик, инвестиционная компания, взаимный фонд - управляет своими инвестициями, руководствуясь определенными соображениями. С одной стороны, инвестор старается максимизировать свою доходность. С другой стороны, он фиксирует предельно допустимый риск неэффективности своих инвестиций - риск убытков. Если инвестор вкладывается в казначейские обязательства США с купоном 7.5% годовых, то считается, что его риск в этом случае равен нулю (отбросим системные риски, связанные с крахом денежного рынка США, с любыми иными событиями глобального порядка). Таким образом, если доходность портфеля инвестора оказалась ниже 7.5% годовых за период владения, мы можем говорить о ситуации неэффективного портфельного выбора. В принципе, мы можем заложить в качестве критерия неэффективности портфельного выбора любую другую процентную ставку, и чем выше эта ставка, тем агрессивнее настроен инвестор, тем более он склонен к риску во имя максимума ожидаемой прибыли.

Классической моделью управления фондовым портфелем является модель Марковица [26, 27, 28]. Пусть портфель содержит N типов ценных бумаг (ЦБ), каждая из которых характеризуется пятью параметрами:

  • начальной ценой Wi0 одной бумаги перед помещением ее в портфель;
  • числом бумаг ni в портфеле;
  • начальными инвестициями Si0 в данный портфельный сегмент, причем выполняется:

Si0 = Wi0 ´ ni; ( 34)

  • ожидаемой доходностью бумаги ri;
  • ее стандартным отклонением s i от среднеожидаемого дохода.

Из перечисленных условий ясно, что случайная величина конечной цены бумаги (включающая промежуточные выплаты) имеет нормальное распределение с параметрами (Wi0 ´ (1+ri), s i).

Сам портфель характеризуется:

  • суммарным объемом портфельных инвестиций S;
  • долевым ценовым распределением бумаг в портфеле {xi}, причем для исходного портфеля выполняется:

( 35)

  • корреляционной матрицей {r ij}, коэффициенты которой характеризуют связь между доходностями i-ой и j-ой бумаг. Если r ij = -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если r ij = 1 - имеет место полно положительная корреляция. Всегда выполняется r ii = 1, так как ЦБ положительно коррелирует сама с собой.

Таким образом, портфель описан системой статистически связанных случайных величин с нормальными законами распределения. Тогда, согласно теории случайных величин, ожидаемая доходность портфеля r находится по формуле:

, ( 36)

а стандартное отклонение портфеля s определяется по формуле:

. ( 37)

Задача управления таким портфелем имеет следующее описание: определить вектор {xi}, максимизирующий целевую функцию r вида (36) при заданном ограничении на уровень риска s , оцениваемый (37):

. ( 38)

Замечание. В подходе Марковица к портфельному выбору под риском понимается не риск неэффективности инвестиций, а степень колеблемости ожидаемого дохода по портфелю, причем как в меньшую, так и в большую сторону. Можно без труда перейти от задачи вида (38) к задаче, где в качестве ограничения вместо фиксированного стандартного отклонения выступает вероятность того, что портфельная доходность окажется ниже заранее обусловленного уровня.

Подход Марковица, получивший широчайшее распространение в практике управления портфелями, тем не менее имеет ряд модельных допущений, плохо согласованных с реальностью описываемого объекта - фондового рынка. Что имеется в виду?

1. Слабость гипотезы о статистичности случайных процессов. Классическая теория вероятностей констатирует статистичность случайных событий в тех условиях, где имеет место статистическая однородность выборки событий. Вернемся к плодотворной аналогии с электронными приборами. Если мы испытываем надежность однотипных радиоэлектронных устройств, находящихся в однотипных условиях, тогда требование статистической однородности соблюдено. Если же часть этих устройств помещается в иной климатический режим (как это и впрямь имеет место в ходе реальных испытаний оборудования), то однородность событий отказов пропадает. То же и на рынке ценных бумаг. Эмитент ЦБ, наблюдаемый 10 лет назад, и тот же эмитент сегодня - это, вообще говоря, два различных объекта наблюдения. Изменилось рыночное окружение фирмы и, соответственно, изменилась рыночная позиция эмитента: он расширил рынок своей продукции или, наоборот, снизил продажи. Соответственно, риск убытков по данной бумаге падает или растет; но причина этих колебаний - внешняя, она не имеет прямого отношения к эмитенту, не присуща ему. Это точно так же, как риск простуды - зависит не только от жизнеспособности организма человека, но и от погоды на дворе. Поэтому нельзя в случае ЦБ говорить о статистической однородности, нельзя говорить о статистичности случайного процесса доходности ЦБ. И, таким образом, нельзя говорить о вероятности того или иного события, связанного со случайной величиной дохода по ЦБ, при классическом понимании вероятности.

Если же речь идет о субъективных (аксиологических) вероятностях, то введение этих вероятностей должно быть предварено специальным обоснованием (исследованием информативности контекста свидетельств об изучаемом объекте, экспертным опросом и т.д.). Когда вероятностная субъективная оценка производится единичным экспертом, риск произвола и ошибочного прогноза существенно возрастает. Фактически, применяя субъективные вероятности, эксперт отказывается от частотного понимания вероятности и вкладывает в это понятие собственные субъективные ожидания, которые могут быть существенно искажены оглядкой на предысторию курсовых колебаний бумаг. В случае смены рыночных ориентиров эта предыстория перестает быть показательной, объект наблюдения как бы “портится”. Опять наглядный пример: в связи с глобальным планетарным потеплением перестает быть актуальной для прогнозов многолетняя статистика суточных температур, собранная в предшествующий потеплению исторический период.

2. Корреляция как натяжка. Раз нет статистичности случайных процессов дохода по ЦБ, также нет и статистической связи между этими случайными процессами. Когда коэффициенты корреляции r ij задаются константами, предполагается, что раз и навсегда известен характер причинно-следственной связи между доходами двух типов бумаг. В жизни все не так просто, и характер рассматриваемой причинности не может быть описан экспертом рынка вполне точно, будь он хоть семи пядей во лбу, а лишь с той или иной степенью приблизительности. Гораздо больше правды содержится в заключениях эксперта, когда он вместо чисел употребляет лингвистически нечеткие высказывания с той или иной степенью оттеночной уверенности. Сюда относим высказывания типа: сильная положительная связь”, “весьма сильная отрицательная связь”, “относительно сильная положительная связь”, “слабая отрицательная связь”, “связь, скорее, слабая положительная, нежели нейтральная”, и т.п. Неопределенность здесь носит двумерный характер: с одной стороны, это нечеткость в описании самой ситуации, а с другой стороны, неуверенность эксперта при различении одной ситуации от другой.

Лингвистически нечеткое описание связей случайных процессов в условиях существенной информационной неопределенности - это способ для эксперта выражаться предельно четко там, где налицо разительный дефицит четкости. Как трансформировать полученное нечеткое описание в качественный прогноз дохода по портфелю? В последующих работах (если позволит Бог) мы попытаемся ответить на этот вопрос.

Два высказанных замечания к подходу Марковица заставляют исследователя внести коррективы если не в сам подход, то в исходные допущения к модели. Сняв допущение о статистической природе случайных процессов, мы должны перейти к альтернативному способу учета информационной неопределенности относительно будущего состояния рынка ЦБ, содержащихся в портфеле.

Еще раз применим нечетко-множественный подход, по аналогии с тем, как мы сделали это в предыдущих разделах настоящей работы.

3.2. Нечеткое число как модель доходности ЦБ

Поскольку доход по ЦБ случаен, его точное значение в будущем неизвестно, а вероятностное описание такого сорта случайности не вполне корректно, то в качестве описания доходности ЦБ уместно использовать треугольные нечеткие числа (см. раздел 2), моделируя экспертное высказывание следующего вида: “Доходность ЦБ по завершении срока владения ожидаемо равна и находится в расчетном диапазоне [r1, r2]”. Здесь эксперт отказывется от вероятностного описания доходности, отсекает слабовозможные случайные исходы с двух сторон от ожидаемого значения (вероятность таких исходов при нормальном распределении не равна нулю) и формирует расчетный коридор, в котором ожидается уровень доходности ЦБ, при этом за эксперт принимает либо наиболее ожидаемое, либо среднее значение доходности в расчетном коридоре. Функция принадлежности нечеткого числа имеет треугольный вид, если степень субъективной уверенности эксперта в отношении доходности равна нулю за пределами расчетного коридора значений доходности, а максимум этой уверенности, равный единице, достигается в точке . Эксперт убежден, что заведомо попадет в любой расчетный коридор доходности, как бы ни менялись границы этого коридора.

3.3. Доходность портфеля как нечеткое число

Способ описания ожидаемой доходности в форме нечеткого числа автоматически снимает все проблемы, сопряженные с учетом связи ЦБ по тенденциям. Потому что если доходность ЦБ - треугольное нечеткое число, а доходность портфеля - линейная комбинация доходности компонент, то результирующий вид доходности портфеля также известен.

Пусть= (r1i, ,r2i) - доходность по i-ой ценной бумаге, треугольное нечеткое число. Тогда доходность по портфелю:

, ( 39)

также является треугольным нечетким числом. Вывод о том, что линейная комбинация треугольных нечетких чисел есть треугольное нечеткое число, здесь мы приводим без доказательства, как хорошо известный результат теории нечетких множеств.

3.4. Оценка портфельного риска

Зафиксируем r* - критическое значение доходности портфеля. Если фактическое значение доходности r окажется ниже r*, то считаем, что портфель был сформирован неэффективно.

В разделе 2 мы показали, что степень риска неэффективности инвестиций в предположении о том, что показатель эффекта инвестиций - треугольное нечеткое число, определяется по формулам (28) - (30):

( 40)

где

( 41)

( 42)

3.5. Модель управления портфельным риском

Теперь зафиксируем - требуемый уровень ожидаемой доходности портфеля. Манипулируя вектором {xi}, мы можем добиться минимума риска инвестиций. Запись этой задачи:

. ( 43)

Эта задача является двойственной задачей нелинейного программирования к задаче в следующей записи:

. ( 44)

Эта задача подобна (38), только в качестве фактора риска (линейного ограничения в форме равенства) выступает не стандартное отклонение портфеля, а степень риска неэффективности инвестиций.

3.6. Пример

Итак, мы сформулировали основные принципы управления портфельным риском на базе нечеткой модели. Рассмотрим этот подход на простейшем примере.

Пусть портфель состоит из двух видов ценных бумаг (ЦБ1 и ЦБ2) с параметрами: доходность - 8 и 12 процентов соответственно, расчетный коридор ЦБ1 и ЦБ2 - [7.2%, 8.8%] и [9.6%, 12.4%] соответственно. Доля ЦБ1 в портфеле меняется от 0 до 50%, доля ЦБ2 - от 100% до 50% соответственно. Критическое значение доходности портфеля составляет r*=11%.

Оценим риск неэффективности инвестиций при перераспределении долей бумаг в портфеле. Расчеты по формулам (39) - (42) сведены в табл. 14.

Таблица 14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РИСКА ДВУХСЕГМЕНТНОГО ПОРТФЕЛЯ С ГРАНИЧНОЙ СТАВКОЙ r*=11% годовых.

№ пп

Доля ЦБ1

Доля ЦБ2

Ожидаемая доходность портфеля

Нижняя граница доходности

Верхняя граница доходности

Степень риска

1

0.0

1.0

12.0%

9.6%

14.4%

0.109

2

0.1

0.9

11.6%

9.4%

13.8%

0.190

3

0.2

0.8

11.2%

9.1%

13.3%

0.339

4

0.3

0.7

10.8%

8.9%

12.7%

0.670

5

0.4

0.6

10.4%

8.6%

12.2%

0.854

6

0.5

0.5

10.0%

8.4%

11.6%

0.959

Рис. 8. Зависимость “риск-доходность”

Рис. 9. Зависимость “структура портфеля -
степень риска”

Зависимость “риск - ожидаемая доходность” по портфелю представлена на рис. 8, а зависимость степени риска от доли низкопроцентных бумаг в портфеле представлена на рис. 9. Вполне ясно, что с ростом доли низкодоходной бумаги в портфеле, даже несмотря на то, что расчетный коридор по ЦБ1 более узок, нежели расчетный коридор по ЦБ2, падает ожидаемая доходность портфеля в целом - и, соответственно, растет риск неэффективности портфельного выбора.

В целях задачи управления риском, если зафиксировать ограничение по ожидаемой доходности портфеля на уровне, скажем, 11.2%, то, в соответствии в (43), минимум риска такого портфеля составит 34%. Этот минимум достигается, когда доля ЦБ1, по данным табл. 14, составляет 20%. В альтернативной постановке задачи (44), когда фиксируется риск, мы оптимизируем ожидаемую доходность. Так, при фиксации риска на уровне 19%, максимум доходности достигается, когда доля ЦБ1 в портфеле составляет 10%.

Выводы

В заявленной постановке задачи мы, не желая усложнять рассмотрение, намеренно исключили из него допущение о надежности ЦБ, т.е. фактор риска срыва платежей. Это - тема следующего раздела настоящей работы.

Мы считаем, что применение нечетких множеств при учете исходной неопределенности относительно доходов по ценным бумагам - весьма перспективное направление анализа эффективности портфельных инвестиций. Эксперт-аналитик при использовании этого подхода избавлен от необходимости формировать вероятностные прогнозы на весьма шаткой информационной основе, когда поведение торгуемых ценных бумаг не обладает характером статистических случайных процессов. Эксперту достаточно сделать допущение о расчетном коридоре, в котором ожидаемо колеблется будующий доход по ЦБ. При этих простейших допущениях удается оценить степень риска неэффективности портфельных инвестиций и построить процедуру по минимизации этого риска.

Продолжение статьи...