Показатель внутренней нормы доходности и его модификации

Журнал "Аудит и финансовый анализ"

6. ВНД В УСЛОВИЯХ ВЕРОЯТНОСТНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В этом разделе мы рассмотрим вопрос о корректном определении ВНД в условиях, когда эффекты проекта — случайны. Простейшим примером являются дискретные проекты с фиксированными моментами t1, …, tm получения случайных эффектов. Такие проекты характеризуются только случайным вектором F = (f1, …, fm), компоненты которого отражают соответствующие эффекты. На практике учитывается также влияние случайных факторов не только на размеры доходов и расходов, но и на моменты их осуществления. В частности, случайными могут оказаться момент ввода предприятия в эксплуатацию или моменты получения и погашения займа.

Поэтому определим случайный проект (проект со случайными эффектами) как функцию накопленного эффекта F(t, w), зависящую не только от времени t, но и от случайного исхода (элементарного события) w. Детерминированные функции F(t, w), отвечающие разным элементарным исходам w, назовем реализациями проекта F. Мы будем считать их функциями ограниченной вариации без разрывов второго рода.

Назовем случайный проект финитным, если семейство всех его реализаций {F(t, w)} равномерно финитно в смысле п.3.1, т.е. если жизненные циклы и вариации всех этих реализаций будут равномерно ограничены. Такое определение исключает ситуации, когда среди реализаций проекта найдутся начинающиеся как угодно рано или завершающиеся как угодно поздно или имеющие сколь угодно большие накопленные затраты или результаты.

Пусть F — случайный финитный проект. Тогда при фиксированном t будет определено и конечно математическое ожидание величины F(t), обозначим его через . Полученная функция от t, очевидно, финитна, полунепрерывна справа и имеет ограниченную вариацию, поэтому принадлежит F. Назовем случайный проект F регулярным, если регулярно его математическое ожидание . Далее мы ограничимся рассмотрением только финитных и регулярных случайных проектов.

Последовательность проектов {Fn} назовем равномерно финитной, если равномерно финитным является семейство всех реализаций этих проектов, и равномерно регулярной, если последовательность соответствующих математических ожиданий равномерно регулярна в смысле п.3.1. Равномерно финитную и равномерно регулярную последовательность назовем правильной.

Мы хотим определить для некоторых (допустимых) проектов F показатель P(F), обладающий свойствами ВНД. Чтобы отличать его от “обычной” ВНД детерминированных проектов, будем, пользуясь терминологией [1, 3, 5, 6, 15], называть P(F) ожидаемой доходностью проекта F. “Обычную” ВНД детерминированного проекта F мы, как и раньше, будем обозначать через R(F).

Для детерминированных проектов мы ввели операции умножения на число и одновременной реализации (суммирования). Для случайных проектов первая операция определяется элементарно: соответствующая случайная функция умножается на число. Однако определение одновременной реализации независимых проектов требует уточнения. Дело в том, что ранее упоминание о независимости проектов носило во многом “декоративный” характер, хотя и отражала суровую экономическую реальность: если совместно реализовывать влияющие друг на друга проекты, можно получить в результате всё, что угодно (и это хорошо показала практика социалистического строительства). Теперь настало время придать этому термину более содержательный смысл, считая проекты независимыми, если независимы соответствующие случайные функции накопленного эффекта. Далее мы будем рассматривать только независимые в этом смысле проекты и трактовать одновременную реализацию независимых проектов как суммирование соответствующих случайных функций накопленного эффекта.

При определении сходимости последовательностей случайных проектов надо учесть, что их реализациям могут отвечать разрывные функции накопленного эффекта и точки разрыва у разных реализаций могут быть разными. Начнем поэтому с одного из определений слабой сходимости случайных векторов: последовательность случайных векторов {f_n} слабо сходится к случайному вектору f, если и только если для любого вектора h последовательность случайных величин — скалярных произведений h· f_n слабо сходится к случайной величине h· f (или, что то же, функции распределения случайных величин h· f_n слабо сходятся к функции распределения случайной величины h· f). Если вместо случайных векторов рассматривать случайные функции, то скалярные произведения следовало бы заменить линейными функционалами в соответствующем пространстве. Однако структура линейных функционалов на классе функций ограниченной вариации без разрывов второго рода достаточно сложна, и это вынуждает ввести определение, порождающее “еще более слабую” сходимость.

Последовательность случайных проектов {Fn} назовем сходящейся к проекту F (Fn -—>  F), если для любой непрерывной функции времени h(t) последовательность случайных величин слабо сходится к случайной величине .

Нетрудно убедиться, что, если проекты Fn и F финитные и детерминированные, то введенное определение эквивалентно обычной слабой сходимости проектов (п.3.1). Кроме того, если F и G — произвольные проекты, то F+eG-—> F при e ® 0.

Как и раньше, мы хотим одновременно определить класс Q допустимых регулярных проектов F и определенный на нем функционал доходности P(F). Для этого потребуем, чтобы Q и P удовлетворяли следующим аксиомам.

Начнем с аксиомы, которой до сих пор не было, и которая, по идее, должна служить “мостом” от ранее полученных результатов для детерминированного случая. Она базируется на том, что детерминированные проекты являются частным (предельным) случаем проектов со случайными эффектами.

Согласованность. Если детерминированный проект допустим (т.е. имеет ожидаемую доходность), то его ожидаемая доходность совпадает с ВНД.

Аксиомы однородности, инвариантности к одновременной реализации и усредняемости сохраняются, однако в их формулировке термин “доходность” заменяется на “ожидаемую доходность”. Что касается двух других аксиом, отражающих свойства депозитов и слабую инвариантность при аффинном преобразовании оси времени, мы сохраним их без изменения, однако только для детерминированных проектов.

Наконец, функционал ожидаемой доходности должен быть в определенном смысле непрерывен на классе случайных проектов. Соответствующая аксиома является обобщением введенной в п.3.2 и совпадает с ней для детерминированных проектов.

Непрерывность. Если правильная последовательность {Fn} сходится (в указанном выше смысле) к допустимому проекту F, то, начиная с некоторого n, проекты Fn будут допустимыми и P(Fn) ® P(F).

Из этой аксиомы, в частности, следует, что если проект F допустим, а проект H регулярен, то при e, достаточно малых по модулю, проект F + eH будет допустимым, а его доходность будет непрерывно зависеть от e.

Структура функционала ожидаемой доходности дается теперь следующей теоремой.

Теорема 4. Регулярный случайный проект F допустим тогда и только тогда, когда допустимо его математическое ожидание . При этом P(F) = R().

Доказательство. Достаточность условий теоремы очевидна, ибо множество случайных проектов с регулярным и допустимым математическим ожиданием и функционал P(F) = R() на нем удовлетворяют всем введенным аксиомам.

Для доказательства необходимости применим следующий прием. Пусть F — допустимый случайный проект, z = P(F), G = . Построим ассоциированную с F последовательность проектов {Gn} следующим способом: возьмем n независимых “копий” F1, F2,…, Fn проекта F и положим Gn = (F1 + F2 +…+ Fn)/n. В силу однородности и инвариантности к одновременной реализации все Gn допустимы и P(Gn) = P(F) = z. Легко видеть также, что последовательность {Gn} правильная и Gn -—> G при n ®  ¥ , причем проект G регулярен. Дальше возможны два случая.

1. Проект G допустим. Тогда искомое равенство P(F) = R(G) вытекает из согласованности и непрерывности.

2. Проект G недопустим. Далее мы покажем, что этот случай невозможен, что и завершит доказательство теоремы. Пусть V(x; G) — ИДЭ проекта G, определенный формулой (7). Легко видеть, что проект G может быть недопустимым, только если функция V(x; G) либо не имеет корней, либо имеет аномальный или нестрого нормальный корень. Рассмотрим каждый из этих случаев.

2.1. Пусть функция V(x; G) имеет аномальный корень x и x > z (случай x < z рассматривается аналогично). Тогда найдется y > x > z такое, что V(y; G) > 0. Возьмем любой депозит D, ВНД которого равна y. Тогда по непрерывности найдется малое e > 0 такое, что проект D + eF будет допустимым. Уменьшив e при необходимости, можно добиться, чтобы при этом стал допустимым и проект H = D + eG.

Построим теперь последовательность проектов {Hn}, ассоциированную с D+eF. Тогда Hn—> H. Поэтому в силу п.1 P(D+eF) = R(H). Но V(y; H) = V(y; D)+eV(y; G) > 0, так что ВНД проекта H больше y и, значит, P(D + eF) > y. Однако это противоречит аксиоме усредняемости, поскольку P(D) = R(D) = y и P(eF) = z < y.

2.2. Пусть V(x; G), не имеет корней и, для определенности, V(x; G) > 0 при всех x (ситуация, когда V(x; G) < 0 при всех x, рассматривается аналогично). Тогда, выбрав любое y > z и повторив рассуждения п.2.1, мы придем к противоречию.

2.3. Пусть функция V(x; G) имеет нестрого нормальный корень x, т.е. V¢ (x; G) = 0. Подберем депозиты и так, чтобы они имели ВНД = x и выполнялись неравенства r < r < s < s. Тогда детерминированный проект K = будет регулярным. Легко видеть, что при достаточно большом N выполняются соотношения V(x, K) = 0 и . Из аксиомы непрерывности вытекает, что при достаточно малом e>0 проект F+eK будет допустимым. Ассоциированная с ним последовательность проектов, очевидно, сходится к G + eK. При этом V(x; G+eK) = V(x; G) + eV(x; K) = 0, V¢ (x; G+eK) = V¢ (x; G) + eV¢ (x; K) > 0. Это означает, что ИДЭ проекта G + eK имеет аномальный корень x. Невозможность такой ситуации вытекает теперь из п.2.1.

Таким образом, ожидаемая доходность регулярного случайного проекта F совпадает с ВНД детерминированного проекта, эффекты которого равны математическим ожиданиям эффектов проекта F. На “экономическом” языке это означает, что ВНД случайного проекта необходимо определять по “среднему” денежному потоку, образованному из математических ожиданий доходов и расходов для каждого интервала времени (а практически — для каждого года или квартала реализации проекта).

Литература

1. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов и их отбору для финансирования. -М.: “Теринвест”, 1994.

2. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. -М.: Мир, 1972.

3. Смоляк С.А. О сравнении альтернатив со случайным эффектом // Экономика и математические методы, т.32, вып.4, 1996.

4. Массе П. Критерии и методы оптимального определения капиталовложений. - М.: Статистика, 1971.

5. Смоляк С.А. О правилах сравнения альтернатив с неопределенными затратами и результатами // В сб.: Вероятностные модели математической экономики. — М.: ЦЭМИ АН СССР, 1990.

6. Смоляк С.А. О правилах сравнения нечетких альтернатив // Экономика и математические методы, т.29, вып.4, 1993.

7. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. -М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

8. Ван Хорн Дж.К. Основы управления финансами. -М.: Финансы и статистика, 1996.

9. Myers S.C. Interactions of Corporate Financing and Investment Decisions: Implications for Capital Budgeting// J. Finance. 1974. V.29. No 1.

10. Chapmen M. Findlay III and Stephen D. Messner. Real Estate Investment Analysis: IRR versus FMRR // The Real Estate Appraiser, V.41. July/August 1975.

11. Ованесов А., Четвериков В. Поток платежей. МЭНД — мощное оружие аналитика // Рынок ценных бумаг, №12, 1997.

12. Норткотт Д. Принятие инвестиционных решений. -М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

13. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. -М.: Физматгиз, 1977.

14. Ротарь В.И. Теория вероятностей: Учебное пособие для вузов. -М.: Высшая школа, 1992.

Моделирование в процессах управления народным хозяйством. Под ред. акад. Н.П. Федоренко и д.э.н. Н.Я. Петракова // -М.: Наука, 1984

Контактный телефон: (095) 168-9181

Смоляк Сергей Абрамович

[an error occurred while processing this directive]

Версия для печати