Альфа-бюджетирование – анализ перекрестной дисперсии

Аннотация

Данная работа основана на результатах исследования, проведенного авторами для банка Morgan Stanley и опубликованного в корпоративном бюллетене «Количественные и деривативные стратегии банка Morgan Stanley за март 2006 года. За последние годы глобальный рынок капиталов продемонстрировал существенно меньшую волатильность при увеличенной корреляции и меньшей дисперсии. Это означает, что задача распределения активов и выбора ценных бумаг для инвестирования усложняется, так как возможности получения максимального дохода (альфа-возможности) оказываются ограниченными. Как структурировать процесс инвестирования, чтобы максимально использовать имеющиеся альфа-возможности? В качестве параметра альфа-возможностей мы предлагаем использовать перекрестное стандартное отклонение (или дисперсию), а также продемонстрируем возможности использования этого параметра при управлении исследовательскими ресурсами и при выборе оптимальной комбинации стратегий инвестирования. Данный параметр позволяет провести объективное альфа-бюджетирование в процессе инвестирования. Этот процесс включает в себя как определение основных «нисходящих» носителей активного роста (дисперсии) для определенных рыночных условий, так и выбор подходящей «альфа-структуры» данных носителей, что связано с оптимальной концентрацией акций в портфеле. Альфа-бюджетирование производится по основным «нисходящим» параметрам: стране, сектору, размеру и виду компании и т.д. С помощью новой методики разложения перекрестной дисперсии мы покажем относительную доходность «нисходящих» решений по распределению инвестиций на примере некоторых организационных структур. В Европе инвестирование по секторам продолжает показывать лучшие результаты, чем инвестирование по странам. Альфа-возможности и волатильность представляют возможности для хеджирования: мы устанавливаем связь между перекрестным стандартным отклонением (дисперсией) и показателями корреляции и волатильности за период времени. Дисперсия при малой доходности привносит риск в бизнес-модели активных покупателей акций; мы покажем, как запланированная подверженность волатильности может быть использована в качестве инструмента хеджирования.

Введение

Последние три года глобальный рынок капиталов демонстрировал заметно меньшую волатильность при увеличенной корреляции и меньшей дисперсии. Это означает, что задача распределения активов и выбора ценных бумаг для инвестирования усложняется: возможности получения максимального дохода (альфа-возможности) ограничены. Как структурировать процесс инвестирования, чтобы максимально использовать имеющиеся возможности?

В данной работе мы показываем, что, кроме установления критериев риска и доходности, очень важно понимание текущей альфа-структуры рынка. Под «альфа-структурой» мы понимаем структуру портфеля, обеспечивающую максимальную доходность при нисходящих («сверху-вниз») и восходящих («снизу-вверх») типах решений. Перекрестная дисперсия доходности и ее источники являются важными параметрами для определения альфа-структуры. Наша модель дисперсии доходности имеет несколько достоинств. Мы покажем способы ее разбиения на отдельные модели «сверху-вниз» и «снизу-вверх» в соответствии с процессом активного инвестирования. Такая модель поможет обоснованно сформировать структуру ставок портфеля.

Также будет математически показана взаимосвязь (перекрестная) между дисперсией доходности и показателями волатильности и корреляции за период времени, а также влияние изменений волатильности и корреляции на возможности получения максимального дохода (альфа-возможности). Мы рассмотрим возможные стратегии хеджирования для защиты от изменений в дисперсии доходности.

Предшествующие исследования

В широком смысле тема «альфа-структуры» исследовалась ранее через дисперсию доходности, которая тесно связана с понятием диверсификации в теории управления рисками. Солник (Solnik) и Руле (Roulet) в исследовании за 2000 г. ввели параметр перекрестной корреляции для оценки глобальных уровней корреляции и трендов доходности капитала с помощью однофакторной модели. Они подчеркивали, что максимизация глобальной дисперсии при минимизации глобальной корреляции должна быть главной целью распределения активов в глобальном масштабе. Однако точные критерии должны меняться в зависимости от преобладающей структуры корреляции на мировом рынке. В этой связи с помощью поддающегося измерению параметра «альфа-доступности» можно определить потенциально успешные и неудачные стратегии. Хван (Hwang) и Салмон (Salmon) в 2004 г. разработали статистические показатели для измерения «стадного» и «вирусного» поведения на различных фондовых рынках.

Неотъемлемым свойством перекрестной волатильности при любом инвестировании является ее тесная связь с временным рядом — зависимость между этими двумя переменными и их статистические свойства подробно рассмотрены

Хваном и Сатчелом (Satchell) с помощью линейных факторных моделей (2001 г.). Также делались попытки использовать вышеупомянутые показатели в прогнозах рыночного риска и рыночной доходности. В частности, можно упомянуть работы Хвана и Сатчела за 2005 г., а также Гояла (Goyal) и Санта-Клара (Santa-Clara) за 2003 г. в отношении двух вышеупомянутых областей исследования соответственно.

Предшествующие исследования в основном фокусировались на выявлении математических свойств дисперсии доходности и позволили лучше понять одновременные движения цен на акции на определенных фондовых рынках. В то же время, вопросу применения этих дополнительных знаний к структуре портфеля уделялось меньше внимания. В этой работе авторы предлагают новую модель перекрестной волатильности для формирования портфеля и рассматривают взаимосвязь волатильности с распределением общей доходности рынка.

Мы полагаем, что установление такой взаимосвязи полезно для оптимального распределения исследовательских ресурсов с учетом ограничений, имеющихся у менеджеров активов при работе в реальных ситуациях.

Работа построена следующим образом: в следующей главе рассмотрено использование линейных факторных моделей для определения стадного поведения на определенном рынке. Последующая глава посвящена описанию способа анализа для выделения активов с максимальной доходностью с сортировкой «сверху вниз» и ценных бумаг, отсортированных «снизу вверх». В предпоследней главе установлена взаимосвязь между перекрестной дисперсией и корреляцией и волатильностью за период времени с помощью понятия непрерывного времени из финансовой математики. В последней главе представлено заключение.

Дисперсия доходности и максимальная доходность (альфа-возможности)

Динамика перекрестной дисперсии доходности с течением времени (распределение доходности от активов) — это важный показатель при определении абсолютной и относительной привлекательности инвестиционной стратегии. Перекрестная дисперсия может быть описана различными параметрами: диапазоном, внутриквартильным диапазоном и средним абсолютным отклонением. Перекрестная волатильность особенно показательна для дисперсии, поскольку она учитывает весь спектр доходностей портфеля на конкретный момент времени. В невзвешенном варианте перекрестная вариация (квадрат волатильности) определяется по формуле:

где — невзвешенная¹ рыночная доходность.

Либо в матричной форме,

где — вектор доходности актива и M = 1/N(I - (1 × 1^Т/N)) с аналогичной единичной матрицей и двумя аналогичными векторами доходности.

Везде в данной работе мы используем дисперсию и перекрестное стандартное отклонение доходности (χ_t) как взаимозаменяемые понятия.

На рис. 1 показана динамика перекрестной дисперсии индекса MSCI Европы и MSCI США, а также волатильность рынка (временной ряд) и накопленная рыночная доходность (средневзвешенная). На первый взгляд, они подтверждают, что текущий рынок характеризуется низким риском и низким уровнем избыточной доходности.

Рис. 1. Сравнение дисперсии и волатильности
(Кликните по изображению для его увеличения)

Создается впечатление, что дисперсию определяет рынок, т.к. в основном на абсолютные значения доходности влияют рыночные факторы. Возникает вопрос: где находится потенциально максимальная доходность?

Ответ на этот вопрос влияет как на направление исследований, так и на решения о распределении рисков.

Стадное поведение — рыночное бета-сжатие

Наш параметр дисперсии можно использовать для исследования однородности прибыльности ценных бумаг при различных рыночных условиях, поскольку изменения дисперсии могут быть вызваны широким спектром факторов. Это может быть особенно важно для долгосрочных (долго-краткосрочных) инвесторов, имеющих определенные (чистые) бета-критерии. Низкая бета-дисперсия может привести к непреднамеренной стабильности рынка в отношении ценных бумаг, входящих в портфели. Так, для активных менеджеров это может означать получение низкого прироста дохода от выбранных бумаг, когда фонд получает лишь компенсацию за рыночный риск.

Активные менеджеры могут избегать ценных бумаг, показывающих признаки стадности.

Предшествующие исследователи, например, Хван и Салмон (2004 г.) уже изучили стадное поведение в измеримых условиях. Целью настоящего подраздела является рассмотрение проблемы стадности с акцентом на практических результатах.

Мы используем модель рынка с единственным индексом для изучения доходности отдельных ценных бумаг (принимая безрисковую ставку процента равной нулю):

где r_mt — невзвешенная рыночная доходность, определенная выше.

Вставив данную формулу в наше первое уравнение, легко вывести бета-дисперсию из общей дисперсии доходности (пусть χ²_t(·) обозначает дисперсию в момент времени t):

Предполагается, что системные и специфические (уникальные) риски модели также перекрестно не коррелированы, и остальные факторы перекрестно не зависят друг от друга.

Тем самым, принимая, что остаточные факторы ε_it не коррелируют с рыночной доходностью r_mt и друг с другом, видим, что общий параметр дисперсии ценных бумаг может быть выражен как функция бета-дисперсии и нерыночной дисперсии доходности.

На рис. 2 проиллюстрирована динамика бета-дисперсии в Европе и США. На обоих рынках наблюдается бета-сжатие, а бета-дисперсия снизилась с высоких коэффициентов около 1,4 в 2001 году до низких — около 0,7 в 2003 году. Стадное поведение в отношении бумаг портфеля началось в Европе, затем в США. Бета-дисперсия в США несколько восстановилась после минимальных значений 2003 года, а в Европе оставалась низкой. В то же время, общая дисперсия на обоих рынках оставалась низкой, отражая низкую волатильность рынка.

Мы намерены исследовать все эффекты масштаба вне зависимости от изменений дисперсии с течением времени. Стандартным способом является группировка компаний по рыночной капитализации, разбиение на децили и сравнение их относительного вклада (см. рис. 3). На европейском рынке мы отметили следующее:

• компании с большой капитализацией (10-й дециль) демонстрируют значительную стадность на рынке Европы — в целом, доходность компаний этой группы формирует шаблон для рынка и зависит от крупномасштабных макроэкономических показателей и отраслевых факторов;
• компании с малой капитализацией (1-й дециль) менее подвержены стадности; на них, скорее всего, влияют специфические факторы, такие как корпоративные реорганизации, сюрпризы прибыли и инновационные продукты. Эти специфические для компаний риски обычно не коррелируют с рынком и могут отражать меньшее внимание аналитиков и более низкую ликвидность. Также мы обнаружили значительную вариативность для компаний со средней капитализацией (середина 4–6-го децилей).

Рис. 2 Бета-дисперсия рынка
(Кликните по изображению для его увеличения)

Рис. 3. Вклад в рыночную бета-дисперсию: группировка по масштабу
(кликните по изображению для его увеличения)

Мы использовали равновзвешенное сравнение, что должно исключить влияние масштаба, свойственное обычному сравнению, взвешенному по рыночной капитализации.

Нерыночное сжатие доходности

Активные менеджеры обычно концентрируются на нерыночном компоненте доходности и ищут возможности максимальной доходности по каждому виду бумаг. Разбиение общей доходности на рыночные и специфические компоненты позволяет также исследовать динамику основы максимальной доходности для таких инвесторов.

В данном разделе мы рассматриваем дисперсию нерыночной доходности χ²_t(ε_t). Этот параметр особенно важен для стратегий, нейтральных к рынку.

На рис. 4 показана динамика нерыночной дисперсии доходности в сравнении с общей дисперсией доходности по Европе и США. Нерыночная дисперсия доходности значительно сократилась во время скачка рынка вверх в 2003 году и с тех пор не восстановилась. В сочетании с текущим бета-сжатием это привело к сокращению остаточных потенциалов доходности, особенно во второй половине 2005 года. Наблюдавшиеся в этот период сниженные показатели некоторых хедж-фондов могут быть объяснены таким сжатием. В целом, нерыночная дисперсия доходности сильно коррелирует с общей дисперсией доходности. Изучение размера и факторов нерыночной дисперсии доходности может быть полезным для определения оптимальных стратегий инвестирования в любой момент времени.

Рис. 4. Нерыночная дисперсия доходности
(Кликните по изображению для его увеличения)

Альфа-бюджетирование

На европейском рынке относительная значимость рыночной бета-дисперсии и нерыночной дисперсии ценных бумаг оценивалась по-разному в зависимости от периода времени:

• относительно высокая нерыночная дисперсия и рыночное бета-сжатие (июль — декабрь 1998 года, июль 2004 — июль 2005 гг.). В периоды, когда нерыночная дисперсия и рыночная бета-дисперсия не согласуются между собой, активный выбор ценных бумаг может принести более высокую доходность, особенно для портфеля, нейтрального к рынку. Отметим, что эти два периода отличаются по абсолютным значениям доходности — в более поздний период доходность была гораздо ниже;
• высокая нерыночная дисперсия доходности и высокая рыночная бета-дисперсия (1999–2002 гг.). В такие периоды сочетания рыночных и нерыночных рисков необходимо осторожно распределять ресурсы между крупными (тактическое распределение) и малыми (фундаментальное распределение) носителями доходности. Этот период охватывал как поздний «бычий» рынок хай-тека и телекома, когда отраслевые факторы были важны для доходности, так и последующий «медвежий» рынок, когда критически важными факторами были оптимальное присутствие на рынке и выбор ценных бумаг;
• низкая абсолютная нерыночная дисперсия с рыночным бета-сжатием (с 2004 года и по настоящее время). Сильная стадность и недостаточные возможности хорошей доходности затрудняют получение дохода от активной покупки ценных бумаг, особенно для бета-нейтральных фондов.

Концепция альфа-структуры

Альфа-структура или наличие отдельных возможностей получения максимальной доходности должны обеспечивать оптимальную концентрацию бумаг в портфеле. Однако альфа-структуру часто бывает трудно измерить.

Перекрестная дисперсия тесно связана с концепцией альфа-структуры: от нее зависит какая доля потенциальной доходности создается при определенном охвате. Фактически дисперсию можно рассматривать как гипотетический идеальный прогноз, который может послужить менеджерам долгосрочных и краткосрочных фондов объективной базой для сравнения.

Чтобы проиллюстрировать такое толкование, мы разработали следующий идеальный прогноз портфеля:

Пусть

где

– невзвешенная рыночная доходность.

В данной формуле w_it — это сумма средств, инвестированных в ценную бумагу i (ее доля в общем объеме не учитывается). При таком предположении долгосрочное или краткосрочное обладание ценной бумагой прямо связано с последующей доходностью; т. е. объем средств фонда изменяется по времени в зависимости от наличия максимальной доходности.

Известно, что

, т. е. это нейтральный по отношению к доллару хедж-фонд.

В результате прибыль от портфеля за период времени t составит:

(т. е. равновзвешенная дисперсия, взятая N раз).

Таким образом, доходность портфеля идентична перекрестной дисперсии до пропорциональной переменной.

Альфа-бюджетирование — по странам, секторам, размеру, виду и другим критериям

Проведенный нами дисперсионный анализ бурной конъюнктуры фондового рынка, изменяющейся от широких колебаний рынка до текущей относительно низкой волатильности, показывает, что поддержание дисциплинированной и реалистической оценки риска и прогнозируемого дохода является крайне важным. Сейчас мы используем дисперсию как диагностический инструмент, чтобы исследовать относительную важность различных категорий активов нисходящего типа, «сверху-вниз», и воздействия, которое они могут оказать на организацию активного инвестиционного процесса.

Рис. 5. Индекс MSCI по Европе, группировка по странам и отраслям

Сначала мы анализируем страну по секторам для европейских рынков.² На рис. 5 показана средняя дисперсия «сверху-вниз» по странам и группам отраслей, а также средняя корреляция с 1995 года. Наши результаты вновь подтверждают предыдущие выводы — по Европе с 1998 года дисперсия доходности группы по отраслям была всегда выше, чем по странам, даже при том, что оба этих показателя уменьшились с 2002 года. Средняя корреляция была ниже по группам отраслей, чем по странам с 1998 года. Поэтому прогнозируемый доход от распределения по группам отраслей относительно больше, чем от распределения по странам, и инвесторам следует продолжать осваивать секторальный подход к распределению «сверху-вниз» в Европе³.

Мы можем связать дисперсию «сверху-вниз» с более ранними показателями дисперсии совокупного дохода, полученными нами. Это позволит нам ввести концепцию альфа-бюджетирования. Мы проводим перекрестный анализ дисперсии на рынке по двум «независимым» компонентам — привносящему фактору «сверху-вниз» и фактору «снизу-вверх»:

Это чистое ортогональное отношение (см. рис. 6) может обеспечить стандартизированное сравнение различных схем организации фонда. Во время t оно выглядит так:

I_j: количество акций, принадлежащих группе j

w_ijt: значимость акций i, принадлежащих группе j

r_ijt: доход от акций i, принадлежащих группе j

Мы также определяем следующее:

r_jt: взвешенный доход группы j.

где w_jt = w_ijt — это важность группы j на рынке.

r_t: взвешенный доход рынка.

(Показатель w_ijt = 1/N дает невзвешенные результаты, где общее количество акций ).

Это разбиение дисперсии позволяет нам сравнивать на общем основании относительную доходность категорий акций по стране, сектору, размеру или виду⁴. На рис. 7 показан относительный вес различных методов организации по разным режимам рынка — «секторам доходности». Диаметр каждого сектора представляет общую дисперсию доходов — площадку возможностей для альфа-бюджетирования.

Короткая сторона каждого прямоугольного треугольника при этом показывает привносящий фактор «сверху-вниз» из данной категории активов, а более длинная сторона — представляет оставшийся привносящий фактор уровня акций. Мы можем сделать некоторые предварительные выводы из альфа-бюджетирования по индексу MSCI Европы:

• движение по секторам более существенно, чем распределение по странам — по сравнению с 1996–1997 годами, дисперсия «сверху-вниз» по группам отраслей больше в абсолютных значениях, чем дисперсия по странам в течение последующих периодов;
• имеет значение масштаб — сегрегация рынка на корзины рыночной капитализации может привести к значительным возможностям дисперсии «сверху-вниз». Систематические структурные (на базе децилей) вложения в зависимости от масштаба на практике недостижимы, и мы рассматриваем вложения в зависимости от масштаба с крупным шагом (большая капитализация против малой) как важное решение, по крайней мере, с точки зрения контроля над риском.

Несмотря на низкий уровень дисперсии совокупной доходности на мировых рынках в настоящее время, сравнение между доходностью от различных нисходящих категорий показывает, что важно выбрать соответствующий подход к организации фондов и исследованиям в направлении «сверху-вниз».

Этот подход к анализу может быть легко применен на уровне портфеля для изучения активной «структуры вложения» относительно моделей дисперсии на рынке. Мы связываем относительную структуру вложения с активными навыками менеджера портфеля и утверждаем, что наш анализ дисперсии может добавить понимания оптимального распределения дисперсии по портфелю. Тем самым мы можем показать относительную агрессивность в нисходящем и восходящем альфа-бюджетировании по данному портфелю по сравнению с текущим альфа-бюджетом рынка. Как отмечалось ранее, можно использовать любое определение нисходящей категории активов. Поэтому наш подход позволяет менеджеру портфеля исследовать доходность обеих явных (например, по секторам или стилю) и неявных (по размеру или бета) вложений.

В табл. 1 сравнивается Европейская модель портфеля⁵ с индексом MSCI Европы, чтобы продемонстрировать наш подход. Мы отслеживаем составляющие портфеля по секторам как нисходящую категорию активов.

Принимая сектора как нисходящую категорию активов, мы видим, что отношение восходящей дисперсии акций (стандартные отклонения) к нисходящей дисперсии составляет около 4,5:1 в MSCI Европы и около 1.8:1 для Европейской модели портфеля. Портфель ориентирует свои вложения больше на изменчивость в секторах, чем на акциях. В целом, любое отклонение между портфелем и основной тенденцией нужно рассматривать с точки зрения ожиданий доходности, а также набора навыков.

В итоге мы видим, что совокупная дисперсия доходности портфеля составляет приблизительно 1,32 процента против 1,54 процента для основной тенденции — это неудивительно, учитывая количество названий в этом концентрированном портфеле относительно общей тенденции.

Учитывая большую дисперсию доходности сектора (0,64 процента для портфеля против 0,33 процента для основной тенденции), дисперсия восходящих вложений в акций по секторам является меньшей в портфеле, чем для основной тенденции. В табл. 1 показано, что это актуально для большинства секторов, но контрастирует с агрессивной восходящей дисперсией в секторе Материалов и минимальной дисперсией в Отраслевом секторе. Поскольку портфель в значительной степени сконцентрирован на охвате по названиям, ожидается некоторая степень активных восходящих возможностей. Портфель относительно активен в выборе акций по секторам Телекоммуникационных услуг и Цикличных товаров.

Порядок восходящей дисперсии акций в портфеле не обязательно должен следовать за дисперсией основной тенденции — так же как для нисходящего (или восходящего) анализа дисперсии восходящие решения дисперсии акций должны соответствовать ожиданиям доходности и навыкам подбора акций в секторах. Корреляция разрядов между восходящей дисперсией в этом портфеле и основной тенденцией (0,42) — это простой показатель, который является признаком того, что в этом случае бюджеты выбора акций не слишком далеки от доступности дохода (альфа-доступности) по рынку.

В целом, несоответствия между восходящей дисперсией в портфеле и основной тенденцией должны происходить из-за стратегически активных доходных вложений или более высоких доходных ожиданий в некоторых секторах. Проведенный нами анализ может выделить непреднамеренные несоответствия, такие как акцент на секторах с относительно высокой однородностью или структура вложения по масштабу, не соответствующая целевым альфа-бюджетам. Это может быть признаком недостаточно оптимальной политики портфеля.

Многоуровневый проект портфеля

Этот способ анализа является достаточно гибким и позволяет приспособиться к любым нисходящим схемам категоризации, если они являются исчерпывающими и исключительными. Мы можем также расширить технику разбиения на несколько слоев категоризации «сверху-вниз», например, распределение по секторам — распределение по размеру — выбор акций⁶. На рис. 8 схематично показаны измененные наборы альфа-бюджета.

Коэффициент дисперсии (относительный размер нисходящей против восходящей дисперсии) имеет значение для любого инвестиционного процесса, включая многоуровневое построение портфеля или множественные источники дохода. Довольно часто в типичных управляющих активами организациях нисходящий и восходящий элементы портфеля управляются отдельно, или же нисходящее распределение может быть побочным продуктом восходящего процесса.

Вышеупомянутая техника позволяет нам определить динамическое взвешенное значение между уровнем принятия решения, управляемое преобладающим отношением дисперсии (отношение катетов прямоугольного треугольника).

Если мы имеем нисходящие и восходящие процессы, дающие целевые весовые значения акций, мы можем использовать отношение дисперсии, чтобы определить совокупное активное весовое значение акций объединенной двухуровневой модели:

где Ω₁ и Ω₂ — это факторы распределения риска, которые установлены динамически, чтобы отразить отношение дисперсии и качество доходов каждого уровня решения. Данный пример может помочь в планировании рисков бюджета в инвестиционном процессе.

Взаимосвязь перекрестных и временных показателей волатильности

Знание полного распределения доходности и его разбиения по покрытию, а также нисходящих и восходящих привносящих факторов в дисперсию, может быть очень полезным способом диагностики в целях разработки оптимального альфа-бюджетирования. Здесь логично будет спросить, сможем ли мы смоделировать будущую или прогнозируемую дисперсию. Это является не менее сложной задачей, чем прогноз волатильности, однако мы показываем, что есть аналитическая связь между показателями волатильности (временной ряд) и перекрестной дисперсией.

Это отношение может быть установлено алгебраически, и мы показываем ниже, что ожидаемая перекрестная дисперсия может быть выражена следующим образом:

Мы установили, что ожидаемая дисперсия может быть разбита на две части: (1) дифференциал между средней волатильностью акций и волатильностью рынка и (2) дисперсия среди ожидаемой доходности акций (следует отметить, что эта характерная связь не зависит от определения процесса, производящего основную доходность).

Доказательство: Если мы заменяем r_it на R_it, чтобы обозначить случайную переменную, соответствующую производящему процессу доходности, мы можем выразить ожидание перекрестной волатильности во времени следующим образом:

(Соотношение w_it = 1/N дает невзвешенные результаты).

Понимание корреляции (и когда она действует неблагоприятно)

Чтобы оценить, каким образом краткосрочные колебания в дисперсии подпадают под влияние индивидуальных изменений доходности акций, можно игнорировать второй член в последнем выражении. Чтобы понять, почему это возможно посмотрим на случай непрерывного времени. Приняв цены, X_it, в качестве активов на рынке акций, используйте следующую простую многомерную спецификацию распространения за время t:

где B_i – Броуновское движение с

Когда вышеупомянутые производящие доходность процессы используются как входные значения в операторе математического ожидания, приведенном выше, получается следующее:

Второй член, включающий средние ожидаемые доходы по всем инвестициям, исчезает вследствие того факта, что члены, содержащие dt более высокого порядка, чем единица, исчезают в предельном переходе. Поскольку ожидание второго момента и, таким образом, также и вариация, стремятся к нулю, мы в этом случае опускаем знак ожидания по той же причине.

В результате мы видим, что за короткий период изменения дисперсии зависят только от индивидуальной волатильности и общей волатильности рынка.

Учитывая это, мы можем использовать несколько методов приближения, чтобы показать взаимодействие между волатильностью рынка и акций, так же как и их корреляциями. Например, можно ввести следующие обобщения в невзвешенном случае.

Краткосрочная дисперсия (мы опустили здесь для простоты верхние индексы времени):

(когда значение N является достаточно большим и j ≠ k).

Последнее выражение — это просто дифференциал между средней вариацией акций и средней ковариацией между любыми двумя акциями.

Эта схема позволяет нам понять, почему дисперсия падает, когда совокупная волатильность рынка уменьшается, — поскольку первый член выражения (который измеряет полную степень риска составных активов), ведет себя линейно относительно дисперсии рынка. Второй член, который измеряет связанное движение активов, уменьшает дисперсию, будучи положительным, и наоборот. С другой стороны, можно переписать проведенное нами приближение далее в виде , чтобы ясно увидеть отрицательный вклад в дисперсию с риском корреляции, где для j ≠ k. Дисперсия, таким образом, должна уменьшаться, когда средняя волатильность акций падает и (или) когда средняя корреляция повышается.

Сокращение дисперсии — один из главных рисков, противостоящих длинным и коротким инвестициям. Так как дисперсия положительно связана с волатильностью и отрицательно — с корреляцией, возможное частичное хеджирование против снижения дисперсии может быть достигнуто через короткую волатильность и длинную позицию корреляции. В терминах финансовых инструментов, вариативные свопы, в том числе имеющие начало в будущем, а также сделки в отношении дисперсии могут использоваться как синтетические инструменты для получения подобных показателей.

В качестве вывода на рис. 9 показан вклад средней волатильности акций и корреляция к общей дисперсии доходности MSCI Европы. Текущая среда рынка однозначно представляет собой двойную угрозу для инвесторов: низкая волатильность акций, плюс высокая и повышающаяся средняя корреляция.

Заключение

Перекрестная дисперсия доходности может быть привлекательным измерителем альфа-структуры рынков. Проведенный нами краткий обзор вариантов дисперсии на региональных рынках и подход к разделению на нисходящий и восходящий привносящие факторы в дисперсию выдвигают на первый план несколько особенностей текущей среды рынка. Для длинных/коротких инвесторов проведенное нами разделение дисперсии представляет особый интерес и может помочь оптимизировать инвестиционную стратегию в течение долгого времени, обеспечив практическое понимание оптимального соответствия охвата исследования с альфа-возможностями в отношении доходности.

Мы показали, как это разделение дисперсии может использоваться в практическом альфа-бюджетировании для построения портфеля и его контроля. Наши диагностические инструменты добавляют дополнительный уровень понимания для анализа портфеля и могут помочь идентифицировать любые непреднамеренные несоответствия между структурой вложений портфеля и альфа-бюджетами рынка.

Мы также устанавливаем связь между перекрестной дисперсией доходности и волатильностью временного ряда. Мы разрабатываем аналитическую связь между этими двумя факторами и показываем, что дисперсию можно рассматривать как функцию средней вариации акций и средней корреляции между акциями. Это вносит свой вклад в улучшение понимания дисперсии доходности. Мы выдвигаем на первый план возможности хеджирования на практике с использованием вариативных свопов и сделок, связанных с дисперсией, которые могут ограничить влияние (сокращение) дисперсии доходности.

Наша новая аналитическая схема — это значительный вклад в управление рисками в целом и в исследования альфа-структуры в частности. Количественный анализ альфа-структуры может привести к пониманию оптимального построения портфеля, охвата исследования и организации. Ожидается, что исследование в этой области будет продвигаться и в дальнейшем.

Благодарности

Авторы благодарят Стива Сатчела из Тринити-колледжа (Кембридж) за ценные замечания.

Примечания

1. Дисперсия обычно измеряется с использованием невзвешенной доходности. Незначительная модификация может дать взвешенную версию капитализации рынка: , где является взвешенной доходностью рынка.

2. В литературе описано множество подходов, сравнивающих анализ по странам с анализом по секторам для глобального инвестирования. Например, Руэнхорст (Rouwenhorst) в 1999 году использовал мультифакторный подход на основе регресса. Наша новая структура анализа, с другой стороны, может рассматривать тот же аспект без использования предположений о регрессе.

3. Тем не менее, определенные макроэкономические показатели по странам могут все же вносить вклад в тактическое распределение активов и могут служить дополнением к процессу движения по секторам.

4. Группы компаний по размеру представляют собой децили с сортировкой по рыночной капитализации. Группы по типам (создаваемые позже) относят к 12 зонам согласно определению Общей стоимости MSCI и Индекса роста.

5. Европейская модель портфеля сосредоточена на нисходящем распределении сектора, которое выражено в отобранных акциях. Мы используем состав портфеля по состоянию на 30 декабря 2005 г.

6. См. научные работы авторов для получения дополнительных сведений.

Ссылки

Goyal, A. and Santa-Clara, P. (2003) 'Idiosyncratic Risk Matters!', Journal of Finance, 58, 975—1007.

Hwang, S. and Salmon, M. (2004) 'Market Stress and Herding', Journal of Empirical Finance, 11, 585—616.

Hwang, S. and Satchell, S. E. (2001) 'Properties of Cross- sectional Volatility', Financial Econometric Research Centre Working Paper WP00–4, City University Business School.

Hwang, S. and Satchell, S. E. (2005) 'GARCH Model with Cross-sectional Volatility; GARCHX Models', Applied Financial Economics, 15(3), 203–216.

Rouwenhorst, G. (1999) 'European Equity Markets and the EMU', Financial Analyst Journal, 55(3), 57–64.

Solnik, B. and Roulet, J. (2000) 'Dispersion as Cross-Sectional Correlation', Financial Analysts Journal, 56, 54–61.

Версия для печати