Экономический индекс рискованности

С 28 по 29 июня 2007 г в Высшей школе менеджмента СПбГУ проходила Международная научная конференция «Теория игр и менеджмент» («Game Theory and Management», GTM2007). Научная проблематика конференции еще раз подтвердила междисциплинарность проблем менеджмента, а представленные результаты теоретических и прикладных исследований вызвали взаимный интерес у специалистов по теории игр и менеджменту.

В пленарном докладе профессор Р. Ауманн изложил свой подход к определению и вычислению индекса рискованности¹. Следует отметить, что проблематика доклада не является теоретико-игровой в буквальном смысле. Она находится на стыке теории игр с теориями полезности и риска. В своем выступлении Р. Ауманн объяснил причины, по которым он обратился к исследованию проблемы рискованности. Основной результат состоит в определении понятия экономического индекса рискованности и его аксиоматической характеризации, что оформлено в виде теоремы. Данное обстоятельство с одной стороны делает прозрачными смысл введенного понятия, его свойства, с другой — наводит на размышления, связанные со смысловой интерпретацией системы аксиом, вычислением индекса рискованности, связью введенного понятия с другими известными в теории риска и теории финансов показателями. Излагая полученные результаты, Р. Ауманн старается не перегружать слушателей математическими и техническими деталями предлагаемого им подхода к оценке рискованности. Однако неизбежная при устном изложении «нестрогость» высказываний потребовала введения определенных разъяснений читателям в процессе подготовки письменного текста доклада к публикации.

Когда у меня берут интервью, то часто задают вопрос: «Что такое теория игр?» Когда я начинаю объяснять и спрашивающие, как правило, ничего не понимают, они обычно задают следующий вопрос: «Как можно применять теорию игр в повседневной жизни?» Я отвечаю по-разному, но один из ответов стоит упомянуть сейчас. Это жизненный принцип: «Пытайтесь мотивировать других игроков так, чтобы они делали то, что бы вы хотели, чтобы они делали». Этот принцип применим для повседневной жизни и для всей теории игр, кроме игр с нулевой суммой.

Игры с нулевой суммой имеют большое значение для теории игр, но они не занимают в ней центральное место. Я бы назвал их краеугольным камнем теории игр. Краеугольный камень имеет огромное значение для всего здания, без него невозможно ничего построить, но это элемент, который находится в углу, а не в центре.

Теория игр началась с игр с нулевой суммой, но с тех пор она прошла долгий путь. И сегодня, если ты хочешь проверить новую идею, новое определение или новый метод расчетов, сначала проверь его на примере игры с нулевой суммой и только потом переходи к примерам игр с ненулевой суммой, которые и являются центральным элементом теории игр.

Есть два, а точнее, три типа теории игр. Первый тип — теория теории игр (game theory theory). Это разработка фундаментальных инструментов для анализа взаимодействия между людьми. Другой тип — это приложения теории игр. И здесь имеются два типа приложений. Одно из них связано с тем, что называется теорией отраслевой организации (industrial organization). Данный тип приложений имеет дело с такими вопросами, как, например, вход в отрасль или выход из нее. Надо ли входить, можно ли входить, при каких условиях можно входить в каждом отдельном случае? Здесь также изучаются проблемы ведения переговоров, трудовых отношений, забастовок, подписания контрактов и т.д. Это только один тип приложений теории игр. Здесь теория игр дает вам возможность осознать, что происходит в различных ситуациях, предлагает способы их анализа и тем самым — использования ситуации в свою пользу, возможности манипулирования и маневрирования, чтобы улучшить свое состояние. Но при этом ваше понимание и осознание не являются точными (precise) в математическом смысле. Это не то же самое, что игра в шахматы, или покер, или какая-то иная игра.

Есть, однако, другой тип прикладной теории игр, который является более точным. Я называю его конструированием игр (game engineering). Это похоже на проектирование холодильника. Когда вы проектируете холодильник, вам не нужно знать, как работает электрическая сеть. Вы используете знания, полученные из физики о том, как пользоваться электричеством на практике, и проектируете холодильник. Конструирование игр — это нечто подобное. Вы используете принципы теории игр в точно заданном контексте. И находите точные решения для точно сформулированных задач. Вот что я называю конструированием игр. Это немного отличается от применения теории игр в теории отраслевой организации, где осознание и понимание ситуации тоже важны, но при этом вы не можете создать точную систему, в которую люди или организации должны войти и взаимодействовать. Это некое общее объяснение, и я не уверен, что на таком обобщенном уровне оно понятно. Давайте рассмотрим реальные примеры, которые покажут, как все это работает.

Перед тем как перейти к примерам, я должен заметить, что вся теория игр, точнее, почти вся теория игр построена вокруг стимулов (incentives). Как мотивировать других игроков сделать то, что выгодно вам, — вот чем занимается теория игр. Я сказал «почти вся теория игр», так как есть одно исключение. Оно весьма важно, хотя и не находится в центре теории игр. Это игры двух лиц с нулевой суммой (zero-sum two players games). В таких играх вы не можете мотивировать другую сторону сделать то, что нужно вам, поскольку то, что хорошо для вас, плохо для другой стороны по определению. Это еще один аспект теории игр.

Однако все-таки в большинстве игр целью является мотивирование другого игрока на такие действия, которые выгодны вам. Назовем это прикладной теорией игр. Это то, о чем я уже говорил ранее: вход в отрасль, выход из отрасли, забастовки и т.п. В прикладной теории игр нужно мотивировать другую сторону на действия, которые выгодны вам, и то же самое можно сказать про конструирование игр.

А сейчас давайте рассмотрим несколько примеров конструирования игр.

Первый пример называется арбитраж окончательного предложения (final offer arbitration). Надеюсь, вы знаете, для чего нужен арбитраж¹⁶. Он нужен в ситуации конфликта. Можно сказать, что наиболее типичным примером такого конфликта является трудовой спор. Например, профсоюз требует повышения оплаты. Или это может быть отдельный работник — например, бейсболисты в США договариваются о своей оплате самостоятельно с собственниками клубов. Итак, в трудовом споре участвует профсоюз или отдельный человек (чаще первый) и требует более высокой оплаты. Но работодатель не готов к требуемому профсоюзом уровню оплаты труда, что вызывает забастовку. В некоторых ситуациях стороны решают прибегнуть к арбитражу. В этом случае арбитру необходимо решить, какой должна быть истинная заработная плата. Поэтому он выслушивает соображения работодателя, выслушивает соображения профсоюза и затем принимает определенное решение. Обычно оно представляет собой компромисс между требованиями профсоюза и требованиями работодателя. Заметим, что мы говорим об обязывающем (binding) арбитраже, когда стороны согласны подписать контракт и при этом, что бы ни решил арбитр, его решение является обязательным для обеих сторон. Как я уже упомянул, наиболее распространенным способом арбитража является рассмотрение аргументов обеих сторон и поиск компромисса. Можно согласиться, что в большинстве случаев компромисс является хорошей вещью, не так ли? Разумный арбитр умеет идти на компромисс — он не может полностью принять одни аргументы, он не может полностью принять другие аргументы, и поэтому он будет пытаться, насколько это возможно, сделать счастливыми обе стороны.

Но когда мы проанализируем эту ситуацию, то увидим, что, возможно, ситуация полного арбитража не самая хорошая идея. Дело в том, что при такой организации арбитража обеим сторонам выгодно завышать свои запросы. Работодатель в реальности будет предлагать меньше, чем он был бы готов платить, а профсоюз будет просить больше, чем ему в действительности достаточно, поскольку они знают, что арбитр будет искать компромисс. В результате вопрос сводится к тому, кто сможет больше завысить свои потребности и при этом не выглядеть глупо. Таким образом, проблема перестает быть вопросом реальных потребностей работников и реальных возможностей работодателя и не зависит больше от объективных действий и фактов в этой ситуации. Теперь решение определяется тем, кто сможет лучше представить свою аргументацию. А это — совсем не то, в чем заинтересованы стороны, когда они прибегают к арбитражу, и не то, в чем заинтересовано общество. Общество заинтересовано в справедливом (equitable) решении, основанном на реальных фактах.

И что бы вы думали — была изобретена гениальная система для решения этой проблемы. Эта гениальная система называется «арбитраж окончательного предложения». Она чрезвычайно проста и работает следующим образом. Каждая сторона делает свое предложение. Допустим, профсоюз говорит: «Я хочу 80». А работодатель заявляет: «Я не готов платить больше чем 70». Затем арбитр должен принять решение, но ему не разрешается предлагать компромисс. Он должен выбрать одно из этих двух предложений. Только одно из двух. Ему нельзя предложить 75, он должен выбрать 70 или 80.

Теперь вспомните: я говорил ранее о том, что вся теория игр построена вокруг стимулов, которые создает система. В последнем случае стимулы, которые создаются системой, являются правильными стимулами, так как ни одной стороне больше не выгодно завышать свои требования. Наоборот, стороны будут стараться выглядеть настолько разумными, насколько это возможно. Они захотят сделать такое окончательное предложение, которое будет казаться настолько убедительным для арбитра, насколько это возможно. Следовательно, они будут все время делать разумные предложения, и в результате предложения будут очень близки друг другу. Работодатель будет предлагать так много, как он действительно может, а служащие будут просить настолько мало, насколько, возможно, могут. В результате создаваемые системой стимулы подведут стороны очень близко друг к другу. Теперь, правда, арбитр должен выбрать одно из двух предложений. Но эти два предложения теперь оказываются очень близки! Между 70 и 80 нет большой разницы. При полном арбитраже одна сторона предлагала бы, например, 50 (хотя в реальности могла бы заплатить 70), а другая сторона требовала бы, например, 120 (хотя в реальности была бы согласна и на 80). И арбитр просто не понимал бы, что происходит на самом деле. Он не смог бы разобраться в ситуации.

Это довольно простое открытие. Здесь нет никакого формализма, никакой математики. Очень простая находка в конструировании игр. Разработать такую систему, чтобы игроки были мотивированы делать то, что вы от них хотите, а вы хотите, чтобы они давали правдивую информацию, т.е. открыли информацию, которой они обладают. В случае с компромиссом — игроки мотивированы скрывать информацию. Они заинтересованы предоставить настолько мало информации, насколько это возможно. Запутать арбитра настолько, насколько это возможно. Они будут пытаться обманывать, давать ложную информацию. В этом случае они мотивированы представить свои позиции как можно сильнее. Арбитраж окончательного предложения, напротив, предлагает нечто совершенно противоречащее интуитивному пониманию: нам запрещен компромисс, а компромисс — это такая «правильная» идея. Но именно здесь, именно эта интуитивно непонятная идея делает арбитраж значительно более эффективным.

Теперь давайте поговорим об аукционах. Я расскажу о так называемых закрытых аукционах (closed-bid auctions). Закрытый аукцион происходит следующим образом: на продажу выставляется некий объект, каждый может написать на листке бумаги цену, которую он готов заплатить за этот объект. Организатор собирает листки, и объект достается тому, кто заявил более высокую цену. Победитель уплачивает цену, которую написал, и становится владельцем объекта. Это стандартный закрытый аукцион.

Перейдем к проектированию аукциона. Вообще, у аукциона есть два аспекта, имеющие отношение к теории игр. Первый аспект — это проектирование аукциона (как спроектировать аукцион таким образом, чтобы он принес максимальный доход организатору), а второй — стратегический аспект (каков наилучший способ предложения цены покупателем).

Нужно сказать, что аукционы занимают большое место в бизнесе. В частности, ими активно пользуются для продажи объектов в государственном секторе. Например, в середине 1990-х гг. правительство Соединенных Штатов проводило крупный аукцион по продаже коротких радиочастот для сотовой связи. Они оценивали свою возможную выручку приблизительно в 0,5 млрд долл. Это достаточно большая сумма, но Федеральная комиссия связи (Federal Communications Commission) решила привлечь к проектированию аукциона специалистов в области теории игр. В результате аукцион принес почти в 100 раз больше. За два этапа проведения аукциона они получили 45 млрд долл. Впоследствии многие другие страны выставляли на аукцион радиочастоты. Многие из них также воспользовались услугами экспертов по теории игр и добились неплохих результатов. Были и такие страны, которые захотели сэкономить на вознаграждениях за консалтинговые услуги специалистов по теории игр. Однако они потерпели крах, заработав гораздо меньше, чем мож- но было ожидать, основываясь на опыте других стран.

Итак, проектирование аукциона — вещь очень важная. То, о чем я собираюсь вам сейчас рассказать, — это небольшая, но очень важная идея в проектировании аукционов. Она принадлежит экономисту по имени Уильям Викри (William Vickrey), который получил за свою простую, но гениальную находку Нобелевскую премию. Викри изобрел то, что называется аукционом второй цены (second price auction). Такой аукцион проводится почти так же, как и аукцион первой цены (first price auction), о котором я уже упоминал. Вы пишете цену на листке бумаги, организатор собирает листки, и объект продажи получает тот, кто предложил наивысшую цену, но он уплачивает не ту цену, которую он предложил, а вторую по величине. Это кажется странным. Зачем нужно, чтобы человек платил меньше того, что он предложил? Зачем организаторам такая благотворительность? Все дело в стимулах. Такой аукцион создает стимулы, которые позволяют продавцу получить больше денег. Давайте рассмотрим, как это происходит.

Когда вы предлагаете цену на аукционе первой цены, вы учитываете два соображения.

Во-первых, вы хотите получить объект, который продается на аукционе. Во-вторых, вы не хотите заплатить больше, чем вы могли бы заплатить. Поэтому вы начинаете пытаться угадать, какую цену предложат другие участники. Вы думаете не только о том, сколько вы готовы предложить, но и о том, сколько предложат другие. На некоторых аукционах речь идет о громадных суммах. Например, когда правительство США продает шельф для добычи нефти, за один участок шельфа может быть уплачено 100 млн долл. При этом заплатить 100 млн долл. или только 90 млн долл. — большая разница. 10 млн долл. — это большие деньги. На них можно отстроить целый факультет менеджмента. Поэтому участники будут очень осторожны, предлагая цену. Смысл аукциона второй цены заключается в том, что участникам уже не нужно быть осторожными и поэтому они будут предлагать свои реальные цены.

Предположим, некая компания подает заявку на аукцион по продаже лицензии на добычу нефти на шельфе. Она готова заплатить за лицензию 100 млн долл., но полагает, что остальные участники вряд ли оценивают ее в такую сумму. В результате она предлагает 80 млн долл. Она рискует не получить объект, но экономит деньги. Так думает каждый участник. Те, кто был готов заплатить 90 млн долл., предлагают только 75. Другими словами, каждый стремится занизить свое предложение.

На аукционе второй цены вам не нужно беспокоиться о том, какую цену предложат другие. Вы заранее знаете, что вам не придется платить ту цену, которую вы предложите. Вы знаете, что, выиграв, заплатите цену вашего ближайшего конкурента. Поэтому вы легко можете предложить цену, которая отражает ценность продаваемого объекта именно для вас. Вы не предложите более высокую цену, опасаясь возможной переплаты, но у вас точно не будет причин занижать предлагаемую цену. Если вы хотите получить товар за 100 млн долл., предлагайте 100 млн. Вы не заплатите больше, но весьма вероятно заплатите меньше. Вот в чем секрет аукциона второй цены Викри, за которую он в 1996 г. получил Нобелевскую премию в области экономики. Он разделил ее с Джеймсом Миррлисом (James Mirrlees), который занимается не теорией игр, а налогообложением.¹⁹

Сейчас многие люди пользуются системой GPS, которая работает через спутник и позволяет определить ваши точные координаты. Она способна рассчитать наиболее короткий маршрут из одного пункта в другой. Многие современные машины оснащены такой системой. Однако у нее есть один недостаток, она не учитывает ситуацию на дорогах. Если вы выбираете самый короткий путь, вы, скорее всего, попадаете в пробку, потому что все автомобилисты стремятся выбрать кратчайший путь. Можно попытаться разработать систему, которая учитывала бы ситуацию на дорогах. Но то, что из этого выйдет, полностью повторяет «Ауманнский синдром Всемирного торгового центра». Система будет предупреждать о пробке на каком-то участке дороги, все будут стремиться избежать этот участок, и в результате он окажется самым свободным. Но эта система не будет находиться в равновесии. Со временем все поймут, что лучший путь — это тот, который советуют избегать, и будут стараться использовать именно его, и в итоге мы снова получим пробки. Поэтому необходимо разработать равновесную систему, а значит — советовать разным людям разное. Система должна предлагать людям решение, которое будет для них оптимальным. Иначе они не купят эту систему или не будут слушать ее советов. Итак, нужна система, которая советует людям, что делать, и это оказывается лучшим, что они могли бы сделать в данный момент. Это как раз то, что называется равновесием по Нэшу. Джон Нэш (John Nash) тоже получил за это Нобелевскую премию. Не конкретно за решение проблемы с дорожным движением, а за идею вообще. Возможно, некоторые из вас видели фильм «Игры разума» («Beuatiful mind»), снятый об этом человеке.

Итак, рассмотрим идею равновесия по Нэшу, но на примере проблемы дорожного движения. Президент Еврейского университета, где я работаю, тоже является выходцем с кафедры математики. Он и сейчас занимается математическими исследованиями в области логики и фундаментальной математики. Однажды мы ехали с ним в машине — он был за рулем, а я сидел рядом — и проезжали одно место в Иерусалиме, где только что открыли новую дорогу. И я сказал: «Знаешь, Менахем, строительство новой дороги не всегда положительно сказывается на дорожном движении». Он сказал: «Да, думаю, я знаю, о чем ты говоришь. Строительство новых дорог, развитие инфраструктуры может побудить людей покупать больше машин, и таким образом ситуация ухудшится». Он был прав, это действительно создает неправильные стимулы у людей. Люди покупают все больше машин и все чаще ими пользуются. Вы сами видите, как это происходит в Санкт-Петербурге. В результате — снова пробки. Президент университета был прав, назвав это причиной, по которой строительство новых дорог может оказаться неконструктивным, но я говорил о другом. Я говорил о феномене, когда строительство новой дороги, даже без изменения количества и интенсивности использования машин, само по себе ухудшает ситуацию с дорожным движением. Он сказал: «Не верю. Это невозможно». Я попросил его остановить машину, чтобы мы взяли лист бумаги, и я объяснил, что имею в виду. Он не стал останавливаться. Мы приехали в университет, и там мне потребовалось всего пять минут, чтобы убедить его в своей правоте. Думаю, у нас сейчас как раз есть эти пять минут, чтобы я повторил то, что рассказал тогда Менахему.

Предположим, у нас есть два города: А и В.

Между этими городами находится горная гряда, и существуют только две возможности добраться из города А в город В (рис. 1). Вы либо едете на запад по высокоскоростной автомагистрали в течение трех часов, а затем в течение пяти часов перебираетесь через горы по извилистой горной дороге, либо, наоборот, сначала пять часов перебираетесь через горы на юг, а затем три часа едете по автомагистрали до города B. В обоих случаях вся дорога занимает восемь часов.

Рис. 1. Маршруты движения из города A в город B до строительства туннеля

В описанной ситуации существует равновесие, при котором поток автомобилей автоматически делится пополам. Одна половина водителей пользуется одним путем, а другая — другим. Почему так происходит? Потому что если больше людей пользуются южной дорогой, то там затрудняется движение, и люди стараются выбрать другую дорогу. Так движение естественным образом делится пополам.

Теперь допустим, что правительственному чиновнику, ответственному за дорожное строительство, приходит в голову гениальная идея: «Давайте потратим 100 млн долл. и пророем туннель прямо под хребтом. Чтобы проехать по нему, потребуется не больше получаса. Тогда люди будут тратить три часа по южной магистрали, потом полчаса на туннель, а затем три часа по северной магистрали. Вместе получится шесть с половиной часов. Да, мы потратим 100 млн на туннель, но он окупит себя за пару лет, а мы будем продолжать экономить!»

Отличная идея. Он получает поддержку и начинает строительство. Проходит какое-то время, и наступает торжественное открытие. Люди, флаги, речи, перерезание ленточки, и туннель открыт. Туннель открыт, но в результате проехать из одного города в другой теперь невозможно быстрее чем за восемь с половиной часов. На полчаса дольше! Что же произошло? А вот что. Туннель действительно работает, и по нему действительно можно проехать за полчаса (рис. 2). Однако теперь, чтобы проехать по магистрали, требуется не три, а четыре часа. Почему? Потому, что весь транспорт использует обе магистрали. Все машины едут по каждой магистрали, а не половина, как это было раньше. Движение затрудняется. В результате мы получаем восемь с половиной часов, чтобы добраться от одного города до другого.

Рис. 2. Маршруты движения из города A в город B после строительства туннеля

Получается, что строительство туннеля ухудшило ситуацию на дорогах! Поэтому следует очень хорошо подумать, прежде чем строить новую дорогу. Нужно понять, какие стимулы вы создаете, и следить за этим.

Сегодня я хотел бы поговорить о том, что, возможно, тоже не является центральным элементом теории игр, но представляет собой один из ее краеугольных камней. Эта тема тесно связана с теорией полезности и даже больше связана с менеджментом, чем с теорией игр. Но теория игр и здесь находит применение. Это управление риском (management of risk).

Начнем с того, что, прежде чем управлять риском, его нужно оценить. Насколько рискованной окажется азартная игра (gamble)? Если вы инвестируете в какой то проект, то можете заработать деньги, а можете их потерять. Сколько вы можете заработать и сколько потерять? Часто можно услышать, что рискованные инвестиции хороши для тех, у кого есть «мягкая подушка», которая подстрахует в случае провала. Это не для пенсионеров, которые не в состоянии перенести потери. То, что рискованно для одних людей, другим кажется вполне оправданными инвестициями. Но что значит «более рискованно» или «менее рискованно»?

В экономике, в теории полезности, изучается несклонность к риску (risk aversion). Измерение риска сводится к измерению несклонности рисковать, а как измерить сам риск, не было известно или, по крайней мере, не было широко известно. Представьте себе ситуацию, когда человек говорит, насколько ему не нравится, когда слишком холодно, но при этом не может измерить саму температуру. Это абсурд. В экономике сложилась именно такая ситуация. Ученые могли сказать, насколько людям не нравится риск, но не могли указать, насколько что-то рискованно.

Одним из отцов-основателей теории несклонности к риску был Кеннет Эрроу⁴, с которым меня связывает уже почти 30- или даже 40-летняя дружба. У этой теории было два отца — К. Эрроу и Ш. Пратт, но с Шенноном Праттом мне не довелось быть знакомым. Итак, однажды в Университете Брауна мы сидели вместе с Роберто Серрано и раздумывали над этой проблемой. Я сказал: «Может, позвоним Эрроу и спросим у него, как измерять риск. Он ведь создал теорию несклонности к риску, он-то должен знать!» Мы позвонили Эрроу, и он ответил: «Нельзя измерить риск. Это невозможно. Можно измерить несклонность к риску, а риск измерить нельзя. Не существует показателя для измерения риска». Мы ответили: «Ладно, придется нам его изобрести». Тогда-то мы и назвали предмет нашего исследования «индекс рискованности». Потом мы обнаружили, что К. Эрроу, похоже, не следил за литературой и, на самом деле, различные показатели рискованности уже были предложены, хотя и не были широко известны. Многие из них нас не устраивали по тем или иным причинам, о которых я расскажу позже. В результате мы решили переименовать наш показатель в экономический индекс рискованности, так как он отвечал определенным экономическим требованиям.

Например, существует такой показатель рискованности, как коэффициент Шарпа (Sharp ratio). Он рассчитывается как отношение стандартного отклонения выигрыша в конкретной игре к его математическому ожиданию. Если математическое ожидание больше, то риск снижается. Чем больше вы ожидаете, тем менее рискованная игра. В свою очередь, если стандартное отклонение больше, то рискованность возрастает. Вполне логично утверждать, что это и есть показатель рискованности. На самом деле финансовые аналитики пользуются им достаточно часто. Но иногда он дает странные результаты.⁵

Возьмем две азартные игры или две инвестиции. Пусть первая будет с вероятностью единица приносить больший доход, чем вторая. Таким образом, первая обязательно принесет больше денег, что бы ни случилось. Несмотря на это, коэффициент Шарпа может показать, что первая игра, которая наверняка принесет больше денег, является более рискованной, чем вторая. Только безумец согласится с тем, что что-то наверняка приносящее больше денег более рискованно, чем то, что наверняка принесет меньше денег. Все дело в том, что делимое коэффициента Шарпа (стандартное отклонение) измеряет разброс параметров. А разброс может оказаться огромным, несмотря на то что ты наверняка получишь деньги.

Для подтверждения сказанного рассмотрим очень простой пример. Возьмем две игры. Одна игра наверняка принесет нам доход в размере сто долларов (или рублей). Другая игра равновероятно принесет доход либо в сто, либо в двести долларов. Какую игру следует выбрать? Какая игра будет менее рискованной? Очевидно, что вторая будет менее рискованной, потому что вы получите наверняка больший доход. Однако ее стандартное отклонение будет больше, значительно больше. Таким образом, разброс — не лучшая мера оценки риска, даже деленный на математическое ожидание. Такой показатель зачастую не работает, поэтому данный показатель рискованности нельзя считать экономическим показателем.

Как я уже сказал, наша идея заключалась в том, чтобы определить объективную меру риска, которая не будет зависеть от индивидуальной оценки риска. В теории несклонности к риску все зависело от индивидуума. Мы хотели получить нечто от него не зависящее. Мы хотели получить точную температуру. Это должно было быть нечто, что можно было бы использовать для того, для чего используют коэффициент Шарпа, в частности для оценки риска инвестиций. Мы хотели понять, что означает фраза: «Это слишком рискованно для тебя».

Теперь перейдем к техническим вопросам. Определимся, что мы понимаем под термином «азартная игра» (gamble). Азартная игра — это случайная величина g (измеряемая в долларах, рублях или других денежных единицах), которая принимает как положительные, так и отрицательные значения и имеет положительное математическое ожидание. Почему обязательно должны быть как положительные, так и отрицательные значения?

Если нет отрицательных значений, то рискованность равна нулю. Вы вообще ничем не рискуете. Почему обязательно положительное ожидание? Это связано с классическим определением Эрроу и Пратта: индивид является несклонным к риску, если его функция полезности является вогнутой. Вогнутая функция полезности предполагает, что игра, имеющая отрицательное ожидание, не будет принята индивидуумом.⁶ Для экономики, теории полезности, традиционно допущение о том, что люди несклонны к риску. Некоторые несклонны в большей, некоторые — в меньшей степени, однако несклонны к риску все. Не думаю, что в реальности это обязательно так, но большинство людей все-таки несклонны к риску и не будут играть в игру с отрицательным ожиданием.

Есть другая концепция — концепция постоянной относительной несклонности к риску (constant relative risk aversion). Она заключается в том, что индивид имеет постоянную относительную несклонность к риску, если его индекс Эрроу-Пратта обратно пропорционален его благосостоянию, т.е. чем больше его благосостояние, тем меньше он несклонен к риску.

Единственная полезность постоянной относительной несклонности к риску с коэффициентом пропорциональности, равным единице, существует тогда, когда она в точности равна единице, деленной на достаток индивида. Это и есть функция полезности Бернулли, которая является логарифмической. Бернулли утверждал, что люди оценивают деньги не одинаково в зависимости от уровня своего благосостояния — более состоятельный человек меньше ценит каждый добавочный доллар, — и он измерял это с помощью логарифмической функции. Таким образом, идею Бернулли можно использовать для определения постоянной относительной несклонности к риску. Индивид с этой полезностью, выраженной функцией полезности Бернулли, и первоначальным благосостоянием ю принимает игру, если ее выигрыш наверняка превышает рискованность, и отказывается от нее, если выигрыш наверняка будет меньше, чем рискованность. Таким образом, рискованность — это пограничная точка между тем, когда человек собирается принять игру, и тем, когда он собирается ее отклонить. И эта точка рассчитывается на основе логарифмической полезности Бернулли.

Мы взяли понятие несклонности к риску, которое так близко экономистам, и попытались перевернуть его таким образом, чтобы объективно определить риск. Это похоже на попытку определить, какая вещь холоднее, по тому, скольким людям она не нравится, ведь по мере снижения температуры все большее число людей испытывает дискомфорт. Базовая проблема, которую мы стремились разрешить, состояла в следующем. Согласно существовавшей теории, менее несклонный к риску человек заведомо принимал менее рискованную игру. Однако логично было бы ожидать обратное — менее несклонный к риску человек, т.е. человек, который с большей готовностью идет на риск, должен принимать более рискованную игру. Это базовое требование, которому должны были удовлетворять результаты нашего исследования. Мы хотели определить, что значит «рискованный». Мы хотели понять, что делает одну игру более рискованной, чем другая. По сути, мы искали количественное выражение или хотя бы порядковое, которое точно скажет, что является более, а что — менее рискованным. Вот в чем мы видели свою задачу. Мы назвали это аксиомой двойственности. В нашем исследовании рискованность определяется через несклонность к риску и, таким образом, является двойственной по отношению к несклонности к риску. Это основная идея.

Теперь важно отметить, что более рискованный — не значит менее желанный. Риск часто рассматривают как нечто нежелательное, но если одно опаснее, чем другое, это вовсе не означает, что оно менее желанно. Все зависит от человека. Некоторые в большей степени готовы идти на риск, некоторые — в меньшей. Некоторые люди любят, когда холодно. Например, для лыжников холодная погода лучше, чем теплая. Когда холодно, снег менее липкий, а когда тепло — снег подтаивает и кататься не так приятно. Если вы любите кататься на лыжах, то вам нравится погода похолоднее. Если не любите — то вы предпочитаете, чтобы было теплее. Все зависит от вас. Тот, кто относительно склонен к риску (я говорю относительно, потому что мы предполагаем, что все несклонны к риску), вероятно, выберет из двух игр более рискованную.

К. Эрроу и Ш. Пратт определили коэффициент несклонности к риску как отношение второй производной функции полезности к ее первой производной, взятое с противоположным знаком.⁷ Чтобы вычислить показатель несклонности к риску, вы выбираете конкретный уровень благосостояния, который обозначим ω, т.е. некоторое количество денег, которое у вас есть, выбираете функцию полезности u(ω) для этих денег, вычисляете вторую производную u'', делите ее на первую производную u' и меняете знак. Знак необходимо поменять потому, что отношение производных u''/u' окажется отрицательным числом. Речь идет о монотонной вогнутой функции; значит, вторая производная u должна быть отрицательной, первая u' — положительной, а частное — отрицательным. Мы добавляем минус, чтобы получить положительное число.

Итак, назовем полученное выражение показателем несклонности к риску. Это хорошее определение. Его содержание интуитивно понятно, но мы не будем на этом останавливаться. Обратим внимание лишь на то, что это локальное понятие. Оно зависит от достатка человека, а поэтому не является тем, что можно было бы применить непосредственно к игре. Вообще, оно не применимо к игре в двух смыслах. Прежде всего, если вы принимаете игру, то она изменит ваше благосостояние. Получается, что этот показатель применим к играм, которые бесконечно малы.⁸ Если вы примете не бесконечно малые игры, то значительно отклонитесь от своего первоначального благосостояния. Таким образом, индекс Эрроу-Пратта может измерять несклонность только к бесконечно малым играм. Но большинство игр не так уж мало. Они имеют «конечный размер», но в то же время зависят от вашего текущего благосостояния, не только от функции полезности, но и от того, какое у вас сейчас финансовое положение. Таким образом, это частная концепция в обоих смыслах. Мы же ищем нечто общее. Мы хотим определить несклонность к риску в смысле Эрроу-Пратта, но так, чтобы это определение оказалось применимо к играм с конечным размером и чтобы оно не являлось функцией благосостояния. Это два базовых требования, которым должны отвечать наши результаты.

Есть такой словарь «Новый словарь экономики Палгрейва» (New Palgrave Dictionary of Economics). Его издали 20 лет назад, в 1987 г. Это даже не словарь, а энциклопедия экономики. В нем можно найти статью по любому экономическому вопросу. Сейчас готовится новое издание, которое выйдет через год или два. В нем будет статья Марка Мачина (Mark Machin) и Майкла Ротшильда (Michael Rothschild), посвященная риску. Она называется не «рискованность», а просто «риск».

В этой статье утверждается, что рискованность — это то, что ненавидят несклонные к риску. Таким образом, Мачин и Ротшильд сделали то же, что и мы, — перевернули определение. Взяли известное определение несклонности к риску и перевернули его, чтобы определить рискованность. Мы пытаемся сделать то же, но для ответа на поставленный вопрос необходимо сначала определить несклонность к риску в глобальном, а не в локальном виде, т.е. сделать так, чтобы его можно было применить к играм конечного размера и чтобы оно не зависело от уровня благосостояния, с которым вы вступаете в игру. Тогда это будет искомое определение несклонности к риску. В таком случае мы сможем считать индивидуума i по меньшей мере настолько же несклонным к риску, насколько j, если j принимает каждую из игр, которые принимает i. И не важно, каковы уровни их благосостояния. Если j принимает каждую игру, которую принимает i, то он менее (или также) несклонен к риску, как и i. В свою очередь, i более несклонен к риску, чем j, если он, по меньшей мере, так же несклонен к риску, как j, но не наоборот.⁹ Это стандартное определение перехода от нестрогого частичного порядка к строгому частичному порядку.

Прежде чем продолжить, я хочу, чтобы вы поняли, что данное определение является очень сильным предположением. Такой частичный порядок почти никогда не реализуется. Согласно определению, человек принимает любую из игр, которую принимает другой, независимо от их уровней благосостояния. Другими словами, даже если один из них богат, а другой — очень беден. Этого почти никогда не происходит, потому что несклонность к риску действительно зависит от уровня благосостояния. Вот почему это очень-очень сильное предположение. Однако, как мы увидим позже, оно подходит для наших целей.

Теперь перейдем к определению понятия индекса, который должен измерять рискованность в виде числовой функции на множестве азартных игр. Мы определим его с помощью двух аксиом: аксиомы двойственности и аксиомы однородности.

Аксиома двойственности гласит, что если индивидуум i более несклонен к риску, чем j (в соответствии с нашей очень сильной гипотезой), и если i принимает игру h, которая, согласно индексу, будет рискованнее, чем другая игра g, тогда обязательно j должен принять игру h. Вам это ничего не напоминает? Это как раз то самое базовое требование, которое мы задали себе в начале: менее несклонный к риску человек должен заведомо принимать менее рискованную игру. «Но насколько эта аксиома оправдана?» — спросите вы. Ответ в том, что эта аксиома вполне оправдана, так как в ее основе лежит очень сильная гипотеза. Когда в качестве условия аксиомы используется сильная гипотеза, сама аксиома становится слабой. Таким образом, именно сила гипотезы, определяющей более несклонного к риску человека, делает эту аксиому вполне приемлемой. Можно сказать, это — минимально необходимое условие для идеи рискованности.¹⁰

Аксиома однородности, в свою очередь, гласит, что если вы принимаете игру и удваиваете ставку, тогда и риск будет в два раза выше. Она задает определенную числовую шкалу. В то время как первая аксиома устанавливает порядок, т.е. указывает на то, что более рискованно, чем другое (но не говорит насколько), вторая аксиома, по сути, закрепляет числовые значения индекса.¹¹

Вообще, практически все азартные игры имеют отрицательное ожидание. Помните «Игрока» Достоевского? Я, кстати, очень люблю его короткие повести, которые не так широко известны в мире, как его романы. Почти все азартные игры имеют отрицательное ожидание, за исключением «Блэк-Джека» или, как еще называют эту игру, «21». Эта игра имеет положительное ожидание, если играть правильно, для чего необходима очень хорошая память. Но даже если она у вас есть, вы все равно не сможете выиграть много денег. Как только вы начнете выигрывать, вас тут же попросят покинуть заведение. У меня есть студент по имени Авраам Нейман, который ездит кататься на лыжах на озеро Тахо и покрывает свои расходы за счет игры в «Блэк-Джек». В штате Невада разрешены азартные игры, но он выигрывает ровно столько, чтобы хватило на один день катания.

Итак, мы наконец подошли к основной теореме.

Теорема. Для каждой игры g существует единственное положительное число R(g), которое называется индексом рискованности игры g, для которого E[e^-g/R(g)] = 1.

Таким образом определенный индекс рискованности R(g) удовлетворяет аксиомам двойственности и однородности, при этом любой индекс рискованности, удовлетворяющий этим двум аксиомам, получается умножением R(g) на некоторый положительный множитель.

Заметим, что математически выражение e^−g/R(g) является случайной величиной, поскольку сама игра g является случайной величиной. Таким образом, мы ищем числовую функцию R(g), которая делает математическое ожидание случайной величины e^−g/R(g) равным единице. Эту функцию мы и называем индексом рискованности игры g. Две аксиомы, о которых мы говорили ранее, определяют эту числовую функцию единственным образом с точностью до положительного сомножителя.

Теперь поговорим о том, откуда взялась эта странная формула. Чтобы это понять, мы должны вернуться к Эрроу и Пратту и к тому, что называется CARA (constant absolute risk aversion — постоянная абсолютная несклонность к риску). Итак, мы можем сказать, что некто абсолютно несклонен к риску, если его индекс Эрроу-Пратта р(ω, u) = −u''/u' не зависит от его благосостояния ю. Помните, я говорил, что индекс Эрроу и Пратта — это локальный индекс или локальный коэффициент в двух смыслах: во-первых, он применим только к бесконечно малым играм, а во-вторых, он зависит от уровня благосостояния. Это значит, мы должны наблюдать индивидуумов, для которых этот индекс не зависит от благосостояния, т.е. тех, у кого при любом благосостоянии, локальный индекс несклонности к риску всегда будет одинаков. Такое допущение, как оказывается, позволяет решить не только первую проблему локальности, но и вторую. Индивидуум имеет постоянную абсолютную несклонность к риску тогда и только тогда, когда для любой игры и любых двух уровней благосостояний индивидуум либо принимает игру на обоих уровнях, либо отказывается от нее на обоих уровнях. Другими словами, его решение уже не зависит от размеров игры.

Можно показать, что при абсолютной несклонности к риску полезность индивида имеет вид u(ω) = −e^−αω (полезность, естественно, может быть умножена на положительную константу или увеличена на положительную константу). Теперь становится понятно, откуда берется показательная функция с отрицательным показателем в теореме. Рискованность R(g) игры g равна величине, обратной параметру α.¹² Этот параметр характеризует конкретного индивидуума. Чем больше α, тем более человек несклонен к риску. Оказывается, что индекс рискованности равен обратному значению параметра α, который представляет собой абсолютную несклонность к риску индивида, которому все равно — принять игру или отказаться от нее.

Более несклонный к риску индивид не примет игру, менее несклонный — примет ее, но для любой игры существует только одна точка, один уровень постоянной абсолютной несклонности к риску, который лежит на границе принятия и отказа от игры. Мы находим обратное число, поскольку большее значение α соответствует большей несклонности к риску.

Теперь давайте перейдем непосредственно к свойствам индекса рискованности и коротко охарактеризуем некоторые из них.

Во-первых, индекс рискованности зависит только от распределения случайной величины g. Он зависит не от самой случайной величины, а только от ее распределения.

Во-вторых, он измеряется в денежных единицах. Коэффициент абсолютной несклонности к риску имеет размерность единицы, деленной на доллар. Мы берем обратное значение и получаем доллары.

В-третьих, он удовлетворяет свойствам стохастического доминирования первого и второго порядков. Стохастическое доминирование первого порядка одного риска над другим имеет место, когда выигрыш по первому риску, по крайней мере, наверняка равен выигрышу по второму и превышает выигрыш по второму с положительной вероятностью.¹³ Большинство ранее определенных индексов не удовлетворяло этому условию. Величина риска, индекс Шарпа, который мы упоминали, и многие другие индексы не удовлетворяют условию стохастического доминирования даже первого порядка. Концепция стохастического доминирования второго порядка впервые была сформулирована Дж. Ханоком и Х. Леви, а затем М. Ротшильдом и Дж. Стиглицом и другими, которые обнаружили ее независимо друг от друга. Стохастическое доминирование второго порядка означает, что большая рискованность соответствует большей дисперсии. Допустим, у нас есть две игры g и h, где g получена из h путем замены одного из значений h игрой с таким же математическим ожиданием, т.е. путем увеличения дисперсии. Например, возьмем игру, выигрыш которой составляет равновероятно -100 или +200 с вероятностями 0,5/0,5. Теперь заменим значение +200 на игру с выигрышами +150 и +250, которые случаются равновероятно. В результате получим новую игру, в которой выигрыш -100 получается с вероятностью 0,5, выигрыш +150 с вероятностью 0,25 и выигрыш +250 с вероятностью 0,25. Полученная игра будет иметь большую дисперсию и считается более рискованной, чем первоначальная игра. Это и есть стохастическое доминирование второго порядка. И монотонность нашего индекса рискованности отвечает требованию стохастического доминирования второго порядка.¹⁴

В-четвертых, он обладает свойством непрерывности. Непрерывность означает, что если у нас есть последовательность игр {g_n} и g_n равномерно стремится к g, при стремлении n к бесконечности, тогда рискованность игры Q(g_n) стремится к рискованности игры Q(g). Это вполне очевидное требование, но есть индексы, которые не удовлетворяют этой аксиоме. У них есть свои преимущества, но они не удовлетворяют этому требованию.¹⁵

Теперь перейдем к играм с нормальным распределением. Рискованность игры с нормальным распределением равна:

R(g) = Var[g]/ 2E[g]

где Var[g] — дисперсия случайной величины g. Таким образом, здесь мы получаем достаточно красивую формулу.

Сумма двух независимых и одинаково распределенных игр имеет ту же рискованность, что и каждая из игр в отдельности. В более общем случае, если мы берем две независимые игры, не обязательно одинаково распределенные, их сумма будет иметь рискованность большую, чем меньшая из рискованностей, но меньшую, чем большая из них. Отсюда следует интересное наблюдение. Если вы хотите управлять своим портфелем, делая огромное количество независимых инвестиций, то вам не нужно беспокоиться о рискованности всего портфеля, достаточно следить лишь за тем, чтобы каждая инвестиция, которую вы осуществляете, не превышала уровень рискованности, который вы считаете допустимым.

Напоследок отметим, что при желании мы можем уйти от аксиомы об однородности и определить порядковый эквивалент индекса рискованности Q. Индекс Q будет порядково эквивалентен R тогда и только тогда, когда он удовлетворяет требованиям аксиом двойственности, стохастического доминирования первого порядка и непрерывности.

Помните, как мы определили азартную игру? Это случайная величина со значениями, выраженными в денежных единицах. Значит, мы точно знаем, каково распределение: c какой вероятностью вы выиграете 100 тыс. рублей, а с какой — что-нибудь еще. В большинстве инвестиций вероятность вам неизвестна, у вас есть только смутные предположения по поводу того, каковы эти вероятности. Поэтому, для того чтобы применять этот индекс и трансформировать его во что-то, что можно реально использовать на рынке, необходимо подумать о том, как учесть некоторые неизмеримые вещи. В физике происходит то же самое: можно дать определение температуры, но ее измерение — это совсем другое. Для этого нужен термометр. При определении чего-либо еще далеко до его измерения, но прежде чем измерить, необходимо определить.

В этом польза определения. Да, до практического применения индекса рискованности в управлении рисками необходимо предпринять дополнительные усилия, исследования и разработки, но, по крайней мере, у нас уже есть определение.

Профессор Роберт Ауманн — выдающийся ученый в области теории игр и ее приложений. Он автор более 80 широко известных академических публикаций и 6 монографий, член редколлегии двух ведущих мировых журналов по теории игр, входил в состав редколлегий журналов по экономической теории, математической экономике, эконометрике, исследованию операций. Р. Ауманн — один из организаторов и научных руководителей первого в мировой практике Центра теории игр в экономике, созданного в Нью-Йоркском университете (Стони Брук, США) в 1989 г (Center for Game Theory in Economics, Stony Brook). В 1990 г. он был одним из основателей научного центра по исследованию рационального поведения в Еврейском университете г. Иерусалима как междисциплинарного научного центра, проводящего исследования на основе теории игр с привлечением специалистов других направлений, включая менеджмент и бизнес, экономику и финансы, психологию, информатику, право, математику, экологию, философию и другие науки. Он работал приглашенным профессором в университетах Принстона, Йеля, Стэнфорда, Лувена, Беркли, Стони Брук и Нью-Йорка. Является членом Американской академии Искусств и Наук, Национальной академии наук (США), Британской академии, Израильской академии наук, Почетным доктором университетов Чикаго, Бонна, Лувена, лауреатом многочисленных международных научных премий, включая Нобелевскую премию в области экономики за 2005 г.

¹ Полный текст представленного научного результата см.: в Aumann R.J., Serrano R. 2007. An Economic Index of Riskiness. Discussion Paper No. 446, Center for the Study of Rationality, The Hebrew University of Jerusalem. http://www.ratk.huji.ac.il/dp_files/dp446.pdf — Прим. ред.

² Л. А. Петросян, д. ф.-м. н., декан, заведующий кафедрой математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ, известный специалист в области динамических игр, сопредседатель конференции Game Theory and Management-2007. — Прим. ред.

³ Ллойд С. Шепли (Lloyd Stowell Shapley, р. 1923) — известный американский математик и экономист. В 1940-х гг. работал вместе с фон Нейманом и Моргенштерном. Известный специалист в области теории игр. В 1952 г. ввел понятие «значения игры», которое впоследствии стали называть вектором Шепли (Shapley value). — Прим. ред.

⁴ Кеннет Эрроу (Kenneth Arrow, р. 1921) — американский экономист, удостоенный в 1972 г. (совместно с Дж. Хиксом) Нобелевской премии по экономике. — Прим. ред.

⁵ Обычно коэффициент Шарпа рассчитывается так:
Sharpe ratio = E [R − R_f]/ σ,
где R — доходность актива, являющаяся случайной величиной, R_f — безрисковая ставка, σ — стандартное отклонение доходности, E — оператор математического ожидания. В таком контексте коэффициент Шарпа оценивает не рискованность актива, а эффективность стратегии с нулевыми инвестициями (покупается актив с доходностью R и продается актив с доходностью R_f). На самом деле, говоря о показателе рискованности Шарпа, автор имеет в виду величину, обратную коэффициенту Шарпа при R_f = 0, т.е. показатель рискованности Шарпа равен σ/μ, где μ = E[R]. — Прим. ред.

⁶ В этой работе Р. Ауманн рассматривает функцию полезности агента u(ω), где ω — уровень его благосостояния, в предположении строгой монотонности, вогнутости и дважды непрерывной дифференцируемости. Простейшим примером такой функции является u(ω) = ω. При этом он предполагает, что агент примет игру g при заданном уровне благосостояния ω, если E[u(ω + g)] > u(ω). Понятно, что если E[g] < 0, то агент не примет игру g ни при каком уровне благосостояния ω. — Прим. ред.

⁷ В введенных обозначениях функции полезности коэффициент несклонности к риску Эрроу-Пратта можно просто записать в виде: ρ(ω, u) = — u''(ω)/u'(ω). — Прим. ред.

⁸ Если агент принимает игру g при уровне его благосостояния ω, то уровень его благосостояния становится ω + g. Тогда коэффициент несклонности к риску следует считать так: ρ(ω + g, u) = −u''(ω + g)/u'(ω + g). В силу предположения о дважды непрерывной дифференцируемости и строгой монотонности функции полезности имеем: ρ(ω + g, u'') ≈ ρ(ω, u), когда g — бесконечно малая величина. — Прим. ред.

⁹ Тот факт, что агент i более несклонен к риску, чем агент j, будем обозначать так: i > j. — Прим. ред.

¹⁰ Обозначим через Q(g) индекс рискованности игры g. Тогда коротко аксиому двойственности можно записать так: если i > j, i принимает игру g и при этом Q(g) > Q(h), то j обязательно принимает h. — Прим. ред.

¹¹ Аксиома однородности может быть записана так: Q(tg) = tQ(g) для всех положительных чисел t. — Прим. ред.

¹² Другими словами R(g) = 1/α. — Прим. ред.

¹³ Говорят, что игра g стохастически доминирует по первому порядку игру g_*, если g ≥ g_* с вероятностью 1 и g > g_* с положительной вероятностью. Записывается отношение стохастического доминирования первого порядка так: g(FOD)g_*. — Прим. ред.

¹⁴ Говорят, что игра g стохастически доминирует по второму порядку игру g_*, если g_* может быть получена из g заменой некоторых его значений на случайные величины с тем же математическим ожиданием. Записывается отношение стохастического доминирования первого порядка так: g(FOD)g_*. Говорят также, что индекс рискованности Q является монотонным первого (второго) порядка, если Q(g) < Q(g_*), когда g(FOD)g_*. Соответственно g(SOD)g_*). Таким образом, индекс рискованности R(g) является монотонным в обоих смыслах. — Прим. ред.

¹⁵ Можно дать эквивалентное определение непрерывности: индекс Q(g) непрерывен в g_*, если для любой игры g и любого числа ε > 0 найдется такое δ > 0, что Q(g_*) − Q(g) < ε| как только g_* − g| < δ для каждого своего значения. — Прим. ред.

¹⁶ Здесь, говоря об арбитраже (arbitration), автор понимает его как передачу права окончательного решения конфликта третьей стороне, арбитру. — Прим. ред.

¹⁷ Стивен Брамс, специалист по приложениям теории игр, профессор факультета политики Нью-Йоркского университета. Наиболее известные работы автора в контексте статьи: The Win-Win Solution: Guaranteeing Fair Shares to Everybody, 1999 (в соавт. с A.D. Taylor); Fair Division: From Cake-Cutting to Dispute Resolution, 1996 (в соавт. с A.D. Taylor). — Прим. ред.

¹⁸ Pound cake — английский или американский бисквит, в приготовлении которого используется по одному фунту всех ингредиентов (муки, масла, яиц, сахара и иногда фруктов). Традиционно имеет форму бруска. — Прим. пер.

¹⁹ Уильям Викри и Джеймс Миррлис — известные экономисты, лауреаты Нобелевской премии в области экономики 1996 г. за фундаментальный вклад в экономическую теорию мотивации в условиях асимметричной информации. — Прим. ред.

Версия для печати