Прогнозирование будущего в той или иной форме является одной из важнейших составляющих труда экономиста. Поэтому один из составляющих данную книгу разделов, а именно настоящий раздел, будет посвящен этому важному делу.

§5.1. Основы общей теории прогнозирования.

В оглавление

Прогнозирование в науке вообще и в экономике в частности является делом часто практикуемым. В связи с этим всякий экономист должен уметь если не предсказывать будущее, то хотя бы делать вид, что он способен его предсказать. Ввиду чего не лишним будет рассмотреть некоторые теоретические основы этого ремесла.

Для начала, произведем необходимую классификацию.

Прежде всего, заметим, что все прогнозы делятся на очень полезные и не очень. Так, например, предсказание грядущего «катастрофического» роста рыночной стоимости ценных бумаг в большинстве случаев можно уже заранее расценивать как приобретение «ключа от квартиры, где деньги лежат». Тогда как предвидение только лишь объемов грядущих биржевых торгов не дает «ясновидцу» практически никакой возможности «заработать» на этой информации.

Полезные прогнозы в свою очередь делятся на два класса по «источнику» приносимой ими выгоды. Выгода эта может возникать (а) за счет причинения ущерба каким-то иным лицам и (б) в результате «изыскания собственных внутренних резервов» без нанесения урона кому бы то ни было. Так, например, точное предсказание будущей стоимости акций позволяет инвестору получить прибыль или избежать убытков всецело за счет навлечения убытков или упущенной выгоды на тех лиц, с которыми он будет этими акциями торговать. Предсказание же погоды дает возможность улучшить результаты экономической деятельности фермерского хозяйства без причинения прямого вреда другим лицам.

От источника приносимой прогнозом пользы весьма и весьма существенно зависит, насколько легко такой прогноз может быть осуществлен. Ведь понятно, что для получения (какими бы то ни было способами) выгоды за счет других лиц необходимо превосходить их по уму или по имеющейся информации. Тогда как успешно «изыскивать» у себя «внутренние резервы» может даже последний аутсайдер. Вследствие этого, сделать прогноз, позволяющий достичь выгод и преимуществ ценой нанесения ущерба другим лицам, обычно бывает нелегко; прогноз же, использование которого ни на кого не навлекает неприятностей, теоретически, может быть осуществлен и без особых трудностей.

Конечно, рассуждения о проблематичности «зарабатывания» денег за чужой счет кому-то наверняка покажутся неубедительными, особенно применительно к российской действительности. Ведь среди большого множества физических и юридических лиц всякий может без особого труда найти себе хотя бы несколько потенциальных «жертв». Чему, как говорится, «в истории мы тьму примеров слышим». Достаточно лишь вспомнить о том, насколько успешно функционировали в России на протяжении нескольких лет скупщики акций у населения.

Действительно на неконкурентном рынке подобные факты вполне возможны. Ибо нетрудно заключить сделку на невыгодных для контрагента условиях, когда рядом нет никого, кто предложил бы ему более привлекательный договор. Но попробуйте сделать то же самое, к примеру, на биржевых торгах, в которых участвуют десятки или даже сотни трейдеров. Несмотря на то, что и среди них найдется достаточно дилетантов и простаков, обмануть кого-либо будет очень трудно. Поскольку среди участников торгов найдется также немало специалистов, занимающихся прогнозированием не менее серьезно, чем вы, и потому предсказывающих будущее не менее точно. Каждый из них «сочтет своим долгом» «облапошить» вашу потенциальную «жертву» первым и вступит с вами в «жестокую» конкурентную борьбу, предлагая всем желающим заключить сделку на условиях более выгодных по сравнению с вашими. В результате подобного соперничества условия эти могут стать даже практически справедливыми, то есть почти полностью соответствующими прогнозам этих, достаточно квалифицированных, трейдеров. Чтобы победить в такой конкуренции, потребуется опередить в искусстве прогнозирования не только дилетантов, но и многих профессионалов (так как только более точное предвидение позволит в подобной ситуации улавливать моменты, когда большинство трейдеров допустит ошибку в оценке грядущих событий).

Из этого следуют два важных вывода:

1. Если в условиях слабой конкуренции для получения выгоды за чужой счет требуется превосходить в интеллектуальном или информационном отношении лишь некоторых участников рынка, то при сильной конкуренции необходимо превосходить большинство из них.

2. На достаточно конкурентном рынке соперничество между квалифицированными трейдерами приводит к тому, что условия лучших⁴² заявок (оферт) на заключение сделок становятся почти справедливыми (с точки зрения этих трейдеров).

Данные заключения находят множественные подтверждения на практике, и на их основании можно дать полезные рекомендации экономисту, собирающемуся заняться прогнозированием рыночной конъюнктуры.

Рекомендация 1. Прежде чем заняться предсказательством предварительно оцените свои шансы на успех в этом деле. Для этого выясните, существует ли хотя бы у некоторых участников рынка возможность практического использования ваших прогнозов, и, в случае обнаружения таковой, определите «источник» возникающей в результате этого использования выгоды. Если прогнозирование приносит пользу не за счет причинения вреда другим лицам, то, теоретически, у вас могут существовать (а могут и не существовать) неограниченно большие шансы на удачу. Если же использование предсказаний предполагает совершение сделок, убыточных для других участников соответствующего рынка, то подумайте, скольких из них вы сможете превзойти в точности прогнозирования, а также оцените, насколько сильна на данном рынке конкуренция между теми, кого, возможно, превзойти не удастся. Сильная конкуренция среди последних будет означать, что подавляющее большинство из них вам все-таки придется «перегнать» в точности предсказаний, для того чтобы ваши прогнозы стали приносить заметный эффект. Сделать это, разумеется, будет нелегко. Но зато и существенные убытки на таком рынке вы вряд ли понесете, даже если в своей деятельности вообще не будете руководствоваться прогнозами, а будете просто заключать сделки в произвольные моменты времени, акцептуя (принимая) лучшие из предлагаемых рынком оферт.

Рекомендация 2. Оценив перспективы своей «пророческой» деятельности определитесь с тем, что от вас требуется.

Если руководитель считает вас всего лишь «молодым специалистом», — он наверняка будет удовлетворен и тем, что вы работаете не хуже других. В этом случае оптимальным вариантом будет прогнозирование, скажем, цен каких-либо предметов торговли, рынок которых характеризуется сильной конкуренцией, например, ценных бумаг. Даже если все предсказания будут взяты «с потолка», результаты ваших фактических или гипотетических спекуляций будут в среднем практически такими же, как и у профессиональных трейдеров. Так что шансы сработать не хуже других здесь весьма велики.

Если же от вас требуют лучших результатов, то желательно либо вообще не «соваться» на конкурентный рынок, либо выдавать такие прогнозы, использование которых или невозможно, или не связано с нанесением ущерба другим экономическим субъектам. (Благо, от экономиста далеко не всегда требуют предсказывать какой-то конкретный показатель; зачастую его просто просят «что-нибудь» спрогнозировать, дабы он доказал, что не зря получает зарплату.)

Приведем пример.

Допустим, что вы работаете экономистом на крупном промышленном предприятии и, собираясь прогнозировать грядущие изменения банковской ставки, хотите оценить свои шансы на успех.

Сразу же выделим два возможных способа осуществления таких предсказаний:

а) расчет ставки исключительно на основе текущих (сегодняшних) значений общеизвестных показателей рыночной конъюнктуры (таких как: доходность фьючерсных кредитных договоров; соотношение между ценами бескупонных облигаций, различающихся по срокам погашения; соотношение между фьючерсными ценами каких-либо ценных бумаг, соответствующими разным срокам исполнения; и т.п.⁴³), осуществляемый исходя из предположения о справедливости этих значений;

б) прогнозирование ставки как на основе вышеупомянутых текущих значений общеизвестных показателей (которые в данном случае рассматриваются лишь как приблизительно справедливые), так и на основе результатов анализа их прошлых значений, а также с помощью какой-либо иной недоступной большинству людей информации.

Понятно, что первый способ заключается всего лишь в расчете значения банковской ставки, которое прогнозируется самим «рынком» (или, грубо говоря, большинством его участников) и в этом смысле является тривиальным. Второй же позволяет получить более точные и интересные результаты, однако предполагает и дополнительные затраты (на сбор и обработку базы исторических данных, оплату услуг агентов-информаторов и т.п.).

Независимо от того, какой из этих способов вы станете практиковать, ваши прогнозы, безусловно, будут полезны для вашего предприятия, так как будут способствовать более оптимальному планированию его дальнейшей финансовой политики. Причем польза эта возникнет не за счет прямого нанесения ущерба другим хозяйствующим субъектам, а за счет, как мы это называли ранее, «изыскания внутренних резервов».

Однако помимо такого варианта утилизации предсказаний, применение второго способа прогнозирования дает еще и возможность их использования для осуществления спекуляций на фондовом рынке.⁴⁴ Спекулятивная же прибыль всегда формируется исключительно за счет чьих-то убытков. Отсюда следует, что если тот сегмент фондового рынка, на котором должны совершаться упомянутые спекуляции, характеризуется сильной конкуренцией (что весьма вероятно), — то вам придется «догнать и перегнать» в своем деле подавляющее большинство трейдеров, многие из которых весьма опытны, тратят огромные деньги на содержание «своих» людей в правительстве и потому о многом узнают первыми. Иначе ваши прогнозы, каким бы из двух способов они ни были получены, не превзойдут по своей точности предсказаний, выдаваемых «рынком».

Таким образом, оптимальным вариантом в подобной ситуации будет выдача тривиальных прогнозов. Тем более что в данном случае их польза очевидна, а тривиальность не так уж и заметна.

Конечно, найти такой характеризующий состояние рынка показатель, прогнозирование которого, с одной стороны, было бы полезным, а с другой, могло бы быть осуществлено далеко не всяким, кто пожелал бы это сделать, зачастую бывает очень нелегко. И только что рассмотренный пример, в данном смысле, может служить скорее образцом, на который следует «равняться», чем типичным случаем.

В случае же отсутствия возможности выбора показателя обычно приходится прибегать к более тонким ухищрениям. В частности, имеет смысл обратиться к условным прогнозам.

Например, если начальник поручил вам предсказать дальнейшие изменения рыночной цены интересующего его товара, а, по вашим оценкам, сделать это не так-то просто, — вы можете сообщить ему, как изменится цена в случае того или иного события, политического или какого-либо еще. Трудностей здесь обычно не возникает. Пользы — разумеется, тоже.

Ценность данного «метода» обусловлена в основном тем, что, на первый взгляд, даже такой, условный, прогноз кажется полезным, тогда как на самом деле в большинстве случаев особого проку в нем нет.

§5.2. Прогнозирование цен акций.

В оглавление

Фондовый рынок в последнее время представляет все больший и больший интерес для очень многих экономистов. Особенно это касается рынка акций крупнейших предприятий, к рассмотрению которого мы сейчас и перейдем.

Ввиду высокой ликвидности этих акций, правильное предсказание их будущей стоимости позволяет очень легко и быстро зарабатывать деньги путем спекуляций. Поэтому проблема прогнозирования цен, как долгосрочного, так и краткосрочного, приобретает в подобных условиях особую актуальность.

Однако вместе с актуальностью она приобретает и ряд специфических черт, неожиданных для многих людей, даже имеющих экономическое образование. Вследствие чего, от аналитика фондового рынка его руководство часто требует того, что он сделать не в состоянии, или же, наоборот, поощряет его за то, в чем нет большой его заслуги. В связи с этим, при прогнозировании цен акций проблема оптимизации отношений с начальством на базе эффективного использования отдельных его недостатков становится для многих экономистов особенно насущной и животрепещущей. Так что, остаток данного раздела будет всецело посвящен описанию методов ее решения.

Начнем мы, как обычно, с теории. Проанализируем основные принципы формирования рыночной цены акций.⁴⁵

Будем считать банковскую ставку равной 2% в месяц.

Допустим, что на данный момент рыночная цена акций составляет 100 руб./шт. При этом только что полученная трейдерами информация дает основания с полной уверенностью прогнозировать увеличение рыночной цены акций через один месяц до уровня 103 руб./шт., что соответствует доходности 103/100–1=3%.

Сделав такой прогноз, всякий, кто намеревался продать акции сегодня, наверняка предпочтет отсрочить их продажу на один месяц, а всякий, кто хотел купить их через месяц, предпочтет сделать это прямо сейчас. Конечно, тут необходимо учитывать тот факт, что «продавец», возможно, собирался продать акции потому, что ему срочно понадобились деньги, а «покупатель», быть может, потому и намеревался приобрести акции через тридцать дней, что на сегодняшний день деньгами не располагает. И тем не менее, даже подобные соображения ничуть не опровергают только что сделанный нами вывод, так как и «продавец», и «покупатель» вполне могут взять в банке месячный кредит и с его помощью решить свои финансовые проблемы⁴⁶. Поскольку прогнозируемая доходность акций (3% в месяц) превышает банковскую ставку, этот кредит окупится.

Вследствие вышесказанного, при текущей цене в 100 руб./шт. многие захотят купить акции, но мало кто захочет их продать. В результате подобного дисбаланса спроса и предложения, цены заявок моментально поднимутся до уровня в 100,98 руб./шт., при котором предсказываемая доходность акций будет равна величине банковской ставки (103/100,98–1=2%).

Предположим теперь, что при все той же текущей рыночной цене акций в 100 руб./шт. к участникам торгов поступила информация, на основании которой они с полной уверенностью стали прогнозировать увеличение рыночной цены акций через один месяц до 101 руб./шт.

При таком прогнозе предсказываемая доходность акций на текущий момент составит всего 101/100–1=1% в месяц, что меньше банковской ставки. Поэтому каждый, кто собирался купить акции сегодня, предпочтет сделать это через месяц, а свободные деньги положит на тридцать дней под проценты в банк. Тот же, кто хотел продать акции через месяц, попытается сделать это сегодня, с тем чтобы инвестировать свой капитал на ближайшие тридцать дней в банковский депозит.

В результате этого, при цене в 100 руб./шт. число желающих продать акции превысит число согласных их купить. Поэтому цена сразу же упадет до значения 99,02 руб./шт., при котором предсказываемая доходность акций сравняется с банковской ставкой (101/99,02–1=2%).

Обратите внимание, что все приведенные выше выводы остаются в силе, даже при учете таких зачастую отравляющих жизнь теоретику обстоятельств, как транзакционные издержки (заключающиеся, например, в необходимости уплаты биржевого сбора с каждой сделки) и низкая ликвидность рынка (определяемая, прежде всего, величиной маржи (разницы) между ценами заявок на покупку и продажу), поскольку изменение момента совершения сделки не навлекает на трейдера никаких дополнительных проблем.

Таким образом, на конкурентном рынке, в ситуациях, подобных вышеописанным, цена акций всегда будет устанавливаться на справедливом уровне, таком, что их прогнозируемая доходность будет равна банковской ставке.

Однако подчеркнем, что это заключение будет верным лишь в случаях, когда будущая цена акций (или же их доходность) может быть предсказана абсолютно или, по крайней мере, достаточно точно. Чего на практике почти никогда не случается. Обычно прогнозисты, даже самые квалифицированные, выдают лишь ориентировочную величину будущей цены, или, другими словами, ее математическое ожидание, вполне допуская при этом довольно значительное отклонение фактического значения от предсказанного; из чего следует, что вложение капитала в акции всегда сопряжено с определенным, обычно довольно большим, риском. А на риск инвесторы идут неохотно. Так что вкладывать деньги в акции, имея возможность вложить их в банк, они согласятся только в том случае, если математическое ожидание доходности акций (ожидаемая доходность) будет существенно превышать банковскую ставку. Величину этого превышения называют риск-премией. (Так, при банковской ставке 20% годовых ожидаемая доходность акций может равняться, к примеру, 27% годовых, из которых 7% будут составлять риск-премию этих акций.)

Разумеется, определить величину риск-премии не легче, чем найти математическое ожидание доходности акций. Единственное, что можно о ней сказать с высокой степенью уверенности, это то, что она всегда положительна. Обосновывается подобное утверждение довольно легко: «избавиться» от риска значительно сложнее, чем «приобрести» его. Ибо страхование связано со многими проблемами, не все из которых полностью разрешимы; тогда как устроить себе, к примеру, «поход» в казино и «инвестировать» деньги «в рулетку» совсем нетрудно.

Таким образом, сделанный нами выше вывод в обобщенном виде будет выглядеть так:

На конкурентном рынке цена акций устанавливается на таком уровне, при котором математическое ожидание их будущей доходности превышает банковскую ставку.

Так что, увидев в телевизоре биржевого аналитика, предсказывающего грядущее падение цен, вы можете смело сказать: «Вижу бороду, но не вижу философа».

Полученный нами результат, тем не менее, еще не позволяет составить достаточно определенную вероятностную модель изменения цен акций. Поэтому наше теоретическое исследование на этом не заканчивается.

Как показывает практика, банковская ставка меняется во времени незначительно по сравнению с величиной возможных колебаний доходности акций. К примеру, месячная ставка обычно всегда находится в пределах от 0,5% до 3%. Цена же акций за месяц вполне может вырасти или уменьшиться на 10, а то и на 20 процентов. При этом известно, что, как уже было сказано выше, сложившаяся на рынке на какой-то момент времени банковская ставка (соответствующая некоторому будущему временному интервалу) определяется величиной разности между математическим ожиданием доходности акций (соответствующей тому же периоду времени) и их риск-премией. Но если разность постоянна, то следует признать, что либо уменьшаемое и вычитаемое также являются величинами неизменными, либо они меняются синхронно на одну и ту же величину.

Конечно, отвергать возможность синхронного изменения ожидаемой доходности акций и их риск-премии с полной уверенностью нельзя. Однако же их постоянство представляется гораздо более правдоподобным объяснением стабильности банковской ставки. Из чего следует, что математическое ожидание доходности акций на любом временном отрезке из будущего, скорее всего, является величиной приблизительно постоянной, а стало быть, и практически независимой от их фактических доходностей на других временных интервалах, не пересекающихся с данным отрезком.

Многочисленные наблюдения за историей изменений биржевых цен подтверждают это вывод. Более того, они говорят об отсутствии какой-либо достаточно заметно выраженной зависимости также и между фактическими значениями вышеуказанных доходностей, что позволяет считать их практически независимыми случайными величинами.⁴⁷

Учитывая же тот факт, что и ожидаемую доходность, и риск-премию можно считать константами, логично будет предположить, что доходности акций на равных по длительности, непересекающихся временных интервалах из будущего (являясь независимыми случайными величинами) имеют за редкими исключениями⁴⁸ почти одинаковый закон распределения вероятностей, так как риск-премия определяется именно этим распределением.

На основе статистического анализа исторических данных мы можем довольно точно определить математическое ожидание и стандартное отклонение этих доходностей. Но вот закон распределения их вероятностей лучше установить логическим путем. Сделать это не так уж трудно.

Обозначим через R_K коэффициент роста стоимости акций за предстоящий квартал, то есть отношение их будущей стоимости к сегодняшней цене. Разобьем этот временной интервал на тринадцать составляющих его недель и обозначим через R_Hi коэффициент роста i-й недели. Понятно, что R_K является случайной величиной, равной произведению тринадцати недельных коэффициентов: R_K = R_H1 · R_H2 · R_H3 · ... · R_H13.

Эти недельные коэффициенты можно считать независимыми случайными величинами, поскольку таковыми (на основании вышеизложенных соображений) можно считать доходности акций, соответствующие тринадцати рассматриваемым неделям. Стало быть, независимо от того, каким распределениям вероятностей подчиняются R_H1, R_H2, … R_H13, закон распределения вероятностей их произведения будет близок к логнормальному (см. приложение 2). Из чего можно заключить, что коэффициент роста цены акций (то есть доходность акций с прибавленной к ней единицей) на любом промежутке времени является приблизительно логнормально распределенной случайной величиной, поскольку этот коэффициент можно представить в виде произведения большого числа независимых случайных величин, разбив этот временной интервал на большое число составляющих его подинтервалов. То же самое можно сказать и о распределении будущей цены акций, которая является произведением их сегодняшней стоимости на коэффициент ее роста за соответствующий период времени.

Полученный вывод, по сути, определяет математическую модель колебаний рыночной стоимости акций. Теперь, зная их среднюю доходность и стандартное отклонение этой доходности, мы можем моделировать (имитировать) процесс изменения их будущих цен при помощи генератора случайных чисел. В приложении 3 указано, каким образом мы будем это делать во всех последующих расчетных примерах.

§5.3. Тренды. «Подтверждение» и опровержение возможности прогнозирования.

В оглавление

Не секрет, что многие даже весьма квалифицированные трейдеры часто делают прогнозы будущих цен акций, совершенно не согласующиеся с выводами, к которым мы пришли в предыдущем параграфе. Иногда даже дело доходит до полного абсурда: некоторые аналитики начинают относиться к рыночной цене как к какому-то абсолютно объективному показателю, формирующемуся совершенно независимо от поведения участников рынка, как каждого в отдельности, так и всех в совокупности; в результате чего возникают «пророки», позволяющие себе выражать не только собственное мнение относительно грядущих изменений цен, но и мнение подавляющего большинства трейдеров.

Происходит это во многом благодаря следующему крайне распространенному заблуждению.

Дело в том, что, представив историю изменения цен каких-либо акций в виде графика, не слишком опытный аналитик обычно сразу же обнаруживает «доказательства» нестационарности характера этих изменений. Поскольку на таком графике почти всегда имеются временные отрезки, на которых, казалось бы, достаточно явно просматриваются относительно устойчивые тенденции к росту или падению цены, — так называемые тренды. Их наличие, если бы таковое имело место в действительности, по сути, означало бы существование принципиальной возможности предсказания будущей доходности акций с более высокой точностью (по сравнению с обеспечиваемой созданной нами в предыдущем параграфе моделью) за счет учета сложившейся на текущий момент тенденции. И мысль о такой возможности сразу же приходит на ум рассматривающему график.

На самом же деле все эти псевдотренды возникают чисто случайно. И хотя поверить в это иногда бывает очень трудно, возможность и даже весьма высокую вероятность случайного возникновения ложных тенденций можно очень легко доказать.

Достаточно лишь несколько раз сымитировать процесс изменения цен, используя модель, полученную в §5.2. На рис.5.3.1 приведены графики трех таких имитаций (во избежание путаницы один из них изображен жирной линией) для случая, когда математическое ожидание и стандартное отклонение доходности акций равны, соответственно, 0,1% и 2% в день, а начальная стоимость акций составляет 1 руб./шт.

Как видите, одна из кривых отображает довольно стабильный рост цены, другая — не менее стабильное падение, третья же (жирная) включает в себя как участки устойчивого подъема цены, так и участки ее устойчивого снижения. Кажется, что эти три графика представляют реализации трех случайных процессов с совершенно разными вероятностными характеристиками, причем жирная кривая соответствует процессу нестационарному (по ожидаемой доходности), характеристики которого менялись на протяжении рассматриваемого интервала времени как минимум дважды. На самом же деле, как уже было сказано, все три реализации принадлежат одному и тому же процессу с неменяющимися параметрами, значения которых приведены выше.

Данный факт наглядно показывает, насколько осторожно следует делать выводы о математическом ожидании доходности акций (да и о других ее характеристиках тоже) на основе имеющейся истории цен, даже если эта история охватывает достаточно большой период времени.

Можно рассчитать ориентировочную величину вероятности того, что на протяжении заданного временного интервала найдется хотя бы один участок, на котором изменения цены акций сформируют псевдотренд.

Для простоты будем считать, что цена каждого следующего дня с равными вероятностями может оказаться как больше, так и меньше цены предыдущего. Всякий день, цена которого превышает котировку предыдущего дня торгов, назовем «днем роста», а всякий день, цена которого оказалась меньше цены предыдущего дня, — «днем падения». Будем расценивать как псевдотренд пять идущих подряд «дней роста» или пять идущих подряд «дней падения».

Теперь будем искать вероятность того, что на протяжении T следующих друг за другом дней торгов мы сможем обнаружить по крайней мере один псевдотренд. На рис.5.3.2 приведен график зависимости этой вероятности от величины T. Как видите, при T=23 дням, что примерно соответствует количеству рабочих дней одного месяца, вероятность чисто случайного возникновения хотя бы одного ложного тренда уже превышает 50%!

Вот почему история изменений цен акций почти всегда дает аналитику-дилетанту повод для деловых рассуждений о смене тенденций на фондовом рынке.

Вообще же, эти псевдотренды можно использовать в двух целях. Когда требуется убедить руководство в том, что предсказание будущих цен акций возможно, надо представить их прошлые цены в графическом виде и просто показать этот график начальнику. Он «парень» толковый и «надлежащие» выводы сделает сам. Когда же необходимо доказать непредсказуемость ценовых колебаний, следует продемонстрировать их «поразительное» сходство с колебаниями, искусственно сгенерированными, которые, разумеется, являются заведомо непредсказуемыми.

§5.4. Оценка степени «сбываемости» прогнозов событий.

В оглавление

Немаловажным фактором в деле предсказания будущих событий является выбор критерия оценки достоверности прогнозов. Покажем это на следующем примере.

Пример 5.4.1. Оценка достоверности прогнозов.

Аналитик инвестиционной компании получил указание выдавать предостережения о грядущем падении цен акций каждый раз, когда по его прогнозам цена следующего дня должна снизиться по отношению к цене текущего. Закрывшись в своем кабинете, путем десятикратного подбрасывания монеты аналитик «установил», в какие из десяти последующих дней следует, «по его мнению», ожидать падения цен, и выдал соответствующие прогнозы. Они представлены в строке «Прогнозы» табл.5.4.1.: единицами отмечены дни, в которые, по предсказаниям аналитика, должны были произойти падения цен. В действительности же, эти падения произошли, как выяснилось в последствии, в дни, обозначенные единицами в строке «События».

*Таблица 5.4.1. События и их прогнозы.*
Дни	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й	8-й	9-й	10-й
Прогнозы	1	0	1	0	1	1	0	1	1	0
События	0	1	1	0	1	0	0	0	1	0

Требуется оценить степень соответствия между прогнозами и реальными событиями.

В данном случае охарактеризовать эту степень можно как минимум четырьмя следующими утверждениями:

1. 75% от общего числа произошедших падений цен аналитику удалось предсказать;

2. 50% от общего числа выданных аналитиком предостережений⁴⁹ оправдались;

3. Прогнозы аналитика сбылись в 60% случаев (в том смысле, что соответствие между прогнозами и реальными событиями наблюдается в 6-ти днях из 10-ти);

4. Число совершенных аналитиком ошибок превосходит число оправдавшихся предостережений в 4/3=1,333… раза (аналитик трижды выдал правильные предостережения и четыре раза ошибся в своих прогнозах).

Несмотря на то, что все четыре высказывания абсолютно истинны, первое и третье из них способны подвигнуть руководителя этого аналитика к совершенно иным заключениям по сравнению с теми выводами, которые он сделал бы, ознакомившись со вторым или с четвертым утверждением. Так что, выбирая надлежащий способ оценки достоверности прогнозов, можно представить в выгодном свете результаты собственной пророческой деятельности и «очернить» итоги деятельности конкурента.

Не лишним будет также обратить внимание на следующее обстоятельство.

В случае, когда аналитик берется предсказывать какое-то нечасто происходящее событие, весьма велика вероятность того, что начальство само подсознательно начнет применять четвертый (из числа вышеперечисленных) способ оценки достоверности прогнозов. Поскольку аналитик будет обращать на себя внимание руководства, в основном, в те дни, когда данное событие будет происходить, а также в те дни, в которые, по его прогнозам, оно должно будет произойти. (Ибо, когда происходит событие, у начальника всегда возникает желание проверить, было ли оно предсказано, а когда имеется прогноз, — возникает стремление проверить, сбудется ли он.) При этом число дней, в которые аналитик получит «кнута», наверняка превзойдет число дней, в которые он получит «пряник». Причем превзойдет в гораздо большее количество раз, чем можно предположить, не будучи знатоком теории вероятностей. Поэтому после достаточно длинной серии «кнутов» и «пряников» начальник наверняка сочтет своего аналитика неспособным осуществлять предсказания. Подобную ситуацию следует предвидеть и по возможности избегать ее.

§5.5. Прогнозы с неопределенным временем.

В оглавление

Один из самых легких способов достижения высокой «сбываемости» прогнозов заключается в недостаточно определенном их формулировании. В основном это касается предсказания времени осуществления прогнозируемого события, так как неопределенность самой сути этого события обычно существенно портит «товарный вид» прогноза.

Приведем пример.

Допустим, что, по прогнозам аналитика фондового рынка, в ближайшие дни ожидается рост цены акций. Рассчитаем вероятность того, что это предсказание сбудется.

Понятно, что «ближайшими» вполне можно считать по крайней мере три последующих дня: завтра, послезавтра и послепослезавтра. Если хотя бы в один из этих дней стоимость акций вырастет, необходимо будет признать, что прогноз оправдался. Если же все три дня цена будет падать, придется считать предсказание несбывшимся.

Вероятность роста стоимости акций (также как и вероятность ее падения) в любой заранее определенный день составляет приблизительно 50%⁵⁰ и не зависит ни от прошлых, ни от будущих изменений ее цены. Стало быть, вероятность того, что все три последующих дня цена будет снижаться, равна (1/2)³=12,5%, а вероятность того, что хотя бы в один из этих дней произойдет ее рост, составляет 1–0,125=87,5%.

Таким образом, за счет снижения точности предсказания даты прогнозируемого роста вероятность осуществления данного прогноза увеличивается с 50% до 87,5%. В результате чего его полезность значительно снижается, хотя, на первый взгляд, это не очень заметно.

§5.6. «Полуоптимальная» стратегия торговли.

В оглавление

Существенно повысить «кажущуюся» достоверность ваших прогнозов позволяет грамотный учет практикуемого вашим руководством способа оценки этой достоверности.

Один из основанных на таком учете приемов мы сейчас изложим.

Зачастую прогнозы будущей цены акций используются на практике для осуществления спекуляций этими акциями, а точнее, в целях оптимального выбора дней их покупки и продажи. При этом степень оптимальности этого выбора оценивается обычно не только по конечному результату — полученной прибыли, но и путем визуального исследования графика изменений прошлых цен с отмеченными на нем моментами осуществления сделок купли-продажи. И по тому, насколько удачно выбранными оказались эти моменты, судят об эффективности (а также достоверности) прогнозирования.

Понятно, что, в идеале, покупку акций желательно осуществлять в дни соответствующие локальным минимумам на графике изменений цены, а продажу — в дни локальных максимумов. Именно такая стратегия обеспечивает наибольшую прибыль. Поэтому неспециалист в области торговли, оценивая при помощи графика цен удачность той или иной сделки, обычно начинает осознанно или подсознательно анализировать, в какую сторону, в лучшую или в худшую, изменилась бы цена данной покупки или продажи, если бы она была совершена чуть раньше или чуть позже. При этом он, конечно же, считает (при прочих равных условиях) одинаково неудачными сделки, заключенные «поспешно» (в вышеуказанном смысле), и сделки, совершенные с «опозданием».⁵¹

Такой подход выглядит более или менее разумным при оценке относительной эффективности произведенных спекуляций. Но для оценки способности трейдера предвидеть будущие цены акций (безотносительно к тому, какую прибыль удалось получить с помощью этой способности фактически) он пригоден отнюдь не всегда. Что сейчас и будет доказано.

Представим, что трейдер торгует акциями, придерживаясь следующей стратегии.

Их покупку (при наличии свободных денег) он производит всякий раз, как только в течение трех подряд идущих дней на рынке происходит монотонное снижение стоимости акций. Продажу же он осуществляет (при наличии акций) после каждого монотонного трехдневного роста цены.

Поскольку изменения стоимости акций непредсказуемы, подобная стратегия, конечно же, ничего не дает в плане увеличения или уменьшения ожидаемой прибыли спекулянта. Но она существенно увеличивает вероятность получения трейдером высокой оценки его действий, если оценка эта будет производиться вышеописанным методом. Ибо, хотя в будущем и может выясниться, что трейдер, работающий по указанной схеме, слегка поторопился с заключением некоторых сделок, — никто не сможет впоследствии утверждать, что какую-либо из его покупок или продаж стоило бы совершить одним, двумя или тремя днями раньше. В этом смысле подобную стратегию можно считать «полуоптимальной».

Руководствуясь данным принципом принятия решений, трейдер создает все необходимые условия, какие только может создать, для «попадания» моментов совершения его покупок и продаж, соответственно, «в точки» локальных минимумов и максимумов графика цен, по которому в будущем будет производиться «разбор полетов». При этом полностью исключается возможность покупки акций «на локальном максимуме» и продажи их «на локальном минимуме», что было бы наихудшим вариантом.

Кроме того, такой принцип торговли существенно повышает вероятность «улавливания» моментов смены рыночных «тенденций», а вернее, того, что обычно визуально воспринимается как тенденция. Так, в трехдневном монотонном изменении цены в каком-то одном направлении всякий дилетант, скорее всего, усмотрит наличие тренда. Дальнейшее же развитие событий может привести либо к дальнейшему изменению цены в том же направлении, либо к ее «остановке» (стагнации) приблизительно на достигнутом уровне, либо к смене направления ее «движения». Все три варианта, грубо говоря, равновероятны. При этом только первый из них приведет к сохранению сложившейся «тенденции». Следовательно, в подобные дни вероятность смены «тенденции», опять же грубо говоря, составляет 2/3.

На рис.5.6.1 приведен график изменения цены обыкновенных акций НК ЛУКойл в период с 05.01.2000 по 05.01.2001. На нем показано, в какие моменты трейдер, работающий по нашей «полуоптимальной» стратегии, совершал бы сделки. Как и следовало ожидать, примерно половина его покупок и продаж приходится, соответственно, на локальные минимумы и максимумы цены. А продажа акций, совершенная 3 марта, точно «обозначает» день прекращения ростовой «тенденции» и начала кратковременной стагнации цены. Но из всего этого, конечно, никак не следует, что торгующий обладает определенным даром ясновидения. Что подтверждается и конечным результатом спекуляций, который выглядит отнюдь не впечатляюще: если считать, что при покупках трейдер вкладывал в акции весь свой капитал, а при продажах реализовывал все имеющиеся акции, то итоговая прибыль получается отрицательной — -10,7%.⁵²

Однако величина конечной прибыли является лишь косвенным показателем пророческих способностей спекулянта. Ибо она в существенной степени определяется фактором случайности, который присутствует всегда, поскольку предвидеть будущее абсолютно точно невозможно.

График цен с отмеченными на нем сделками в этом смысле более информативен. Глядя на рис.5.6.1, нетрудно заметить, что хотя ни одну из заключенных сделок нельзя признать слегка «запоздалой», примерно половину из них можно считать «поспешными», так как их было бы выгоднее заключить днем позже. Из этого следует, что никаких оснований для признания трейдера опытным «ясновидцем» у нас нет, поскольку отсутствие «запоздалых» сделок ни в коей мере не является доказательством наличия у него дара предвидения.⁵³

Если же имела бы место обратная ситуация, то есть отсутствовали бы не «запоздалые», а «поспешные» сделки, — можно было бы говорить о возможном присутствии у трейдера таланта прогнозиста (при достаточно большом количестве заключенных им сделок). Представим, к примеру, что при построении графика, представленного на рис. 5.6.1, допущена ошибка: временной ряд цен и сделок приведен в обратной последовательности. Соответственно, для ее исправления необходимо либо рассматривать график, глядя на его отражение в зеркале, либо считать, что время на рис. 5.6.1 «течет» в обратном направлении. При этом можно будет обнаружить, что после каждой покупки акций их рыночная цена растет, а после каждой продажи падает в течение трех последующих дней. Данный факт свидетельствует о возникновении у трейдера, по крайней мере, в те моменты, в которые он заключал свои сделки, «приступов ясновидения». Хотя фактический результат его спекуляций будет теперь уже менее высоким по сравнению с результатом, который можно было бы получить при пассивном вложении денег в акции на тот же срок; что говорит о весьма вероятном отсутствии у трейдера способностей к прогнозированию в прочие моменты времени.

Наряду с вышеописанной, существуют и другие «полуоптимальные» стратегии торговли. Можно, к примеру, совершать покупки (продажи) в дни, когда текущая цена акций окажется ниже (выше) котировок каждого из нескольких предшествующих дней, или же когда она существенно отклонится вниз (вверх) от текущего значения скользящего среднего⁵⁴, рассчитываемого по нескольким предыдущим дням, и т.д.

§5.7. Случайное блуждание и его результат.

В оглавление

Несмотря на то, что с процессами случайных блужданий, к коим, как нам известно, относится и процесс изменения цен акций, человеку приходится сталкиваться достаточно часто, многим людям результаты этих блужданий зачастую кажутся весьма неожиданными. Типичным примером может служить задача о случайном блуждании с одним поглощающим барьером, приведенная, в частности, в [7].

В указанном сборнике рассмотрены похождения пьяницы на краю утеса, который каждый свой шаг делает в одном из двух случайно выбранных направлений: в сторону края, либо в противоположную сторону. При заданных вероятностях выбора направления и заданном начальном количестве шагов, отделяющих блуждающего от края обрыва, требуется найти вероятность социально-благоприятного исхода — падения пьяницы с утеса.

Достаточно часто также аналогичная задача рассматривается на примере изменения количества денег «в кармане» у играющего в азартные игры, которое в результате каждой игры либо увеличивается на один рубль, либо уменьшается на эту же сумму. В подобной интерпретации она известна как задача «о разорении игрока».

Для нас же, разумеется, больший интерес представляет случайное «блуждание» цены акций и прогнозирование его результатов.

Представим, что в настоящий момент времени эта цена составляет 101 руб./шт. Согласно же полученным прогнозам в будущем она рано или поздно снизится по крайней мере до 100 руб./шт. Попробуем найти вероятность осуществления этого предсказания.

Рассмотрим предельно упрощенную модель ценовых колебаний.

Будем считать, что стоимость акций ежедневно меняется ровно на 1 рубль либо в сторону роста, либо в сторону падения. При этом вероятность ее увеличения равна p, а вероятность уменьшения, соответственно, — 1-p.

Найдем вероятность того, что в течение бесконечного количества последующих дней (то есть хотя бы в один из этих дней) цена достигнет уровня 100 руб./шт. Обозначим ее (вероятность) через P₁.

Нам известно, что сегодняшняя стоимость акций равна 101 руб./шт. Следовательно, ее завтрашняя цена составит либо 100, либо 102 руб./шт. В первом случае прогноз сбудется, во втором — перед нами откроются два варианта дальнейшего развития событий: либо цена никогда больше не опустится до уровня 100 руб./шт., либо когда-нибудь все-таки достигнет этого значения.

Но в рамках нашей упрощенной модели перейти с уровня в 102 руб./шт. на уровень в 100 руб./шт. цена может только «пройдя» (но никак не «перескочив») через промежуточное значение — 101 руб./шт. Следовательно, такой «переход» можно представить как последовательное осуществление двух событий: возвращения цены (за произвольное количество дней) к величине в 101 руб./шт. и последующего ее «перехода» (также за произвольное количество дней) на уровень 100 руб./шт. Вероятность каждого из этих двух событий равна P₁. А вероятность последовательного осуществления их обоих составляет P₁².

Таким образом, для того чтобы наш прогноз сбылся, должно произойти одно из двух следующих несовместных (т.е. взаимоисключающих) событий:

1. цена акций уже завтра опускается до 100 руб./шт.;

2. завтра цена акций поднимается до 102 руб./шт., после чего (в течение произвольного количества дней) «переходит» сначала на уровень 101 руб./шт., а затем на уровень 100 руб./шт.

Вероятности этих двух событий, соответственно, равны 1-p и p · P₁². Выразив через них искомую вероятность P₁, получим следующее уравнение:

P₁ = 1 − p + p · P₁².

Относительно P₁ полученное уравнение является квадратным. Оно имеет два решения:

Учитывая, что, во-первых, вероятность не может превышать единицу, во-вторых, P₁при p = 1, и, в-третьих, зависимость P₁ от p, по идее, должна быть непрерывной, — вид функции P₁(p) мы найдем путем композиции двух вышеприведенных решений квадратного уравнения:

График этой зависимости представлен на рис.5.7.1.

Как видите, при p=0,5, то есть в случае, когда вероятность роста цены в каждый последующий день по отношению к дню предыдущему равна вероятности ее падения, вероятность осуществления нашего прогноза составляет 100%! Хотя на первый взгляд кажется, что она должна составлять что-то около 50%.

Это мнимое противоречие объясняется тем, что мы зачастую не чувствуем разницы между событием, заключающимся в достижении ценой акций заданного уровня в момент окончания какого либо срока, и событием, состоящим в достижении данного уровня в какой-либо из моментов, составляющих этот срок.

Нетрудно заметить, что в условиях нашей модели величина P₁ является вероятностью не только снижения цены акций со 101 до 100 руб./шт., но и вероятностью ее снижения на 1 руб./шт. с любого начального уровня (в частности, со 102 до 101 руб./шт., со 100 до 99 руб./шт. и т.д.). Поэтому, собственно, она и обозначена нами как P₁.

Мы легко можем найти и вероятность P_n снижения цены на n руб./шт., приняв во внимание тот факт, что указанное событие можно представить как последовательное n-кратное снижение цены на 1 руб./шт.: P_n = P₁ⁿ.

Понятно, что, подставляя 1-p вместо p, можно также рассчитывать и вероятности роста цены.

Из полученной формулы следует, что при p=0,5 вероятность P_n равна единице при любом n. То есть в этом случае предсказание о том, что рано или поздно цена акций достигнет любого конечного значения, сбывается всегда!⁵⁵

К сожалению, наша упрощенная модель не позволяет получить результаты, достаточно точно характеризующие реальный рынок. Поэтому на практике расчет вероятностей осуществления прогнозов лучше производить путем имитационного моделирования. Что позволяет (а) использовать более адекватную модель исследуемого процесса, (б) избежать громоздких вычислений, а также (в) избежать связанных с этими вычислениями ошибок.

На рис.5.7.2 представлены значения найденной посредством имитационного моделирования вероятности того, что в течение определенного (указанного на графике) количества дней цена акций хотя бы однажды отклонится от своей первоначальной величины как минимум на X процентов, при условии что математическое ожидание и стандартное отклонение дневной доходности акций равны, соответственно, 0,1% и 2%. Приведенный график отражает зависимость этой вероятности от заданной величины отклонения X. Объем выборки (для каждого рассчитанного значения) составляет 50 000 экспериментов. (Сроки в 5, 22 и 65 дней приблизительно соответствуют количествам рабочих дней в неделе, месяце и квартале.)

С помощью графика легко можно найти вероятность осуществления того или иного прогноза. Если, к примеру, мы предсказали, что акции, сегодняшняя стоимость которых составляет 100 руб./шт., хотя бы в один из 65 последующих дней будут стоить менее 97 руб./шт., то такой прогноз, как следует из рис.5.7.2, сбудется с вероятностью 72,5%. Если же мы утверждаем, что в течение 22 последующих дней цена этих же акций хоть раз поднимется до 101 руб./шт. и выше, то это предсказание оправдается с вероятностью 85%.

Как видите, приведенные графики асимметричны — одинаковым по абсолютной величине отклонениям цены соответствуют (при прочих равных условиях) различные вероятности. Данный факт является следствием в основном того, что средняя доходность акций не равна нулю. И хотя она кажется пренебрежимо малой по сравнению с величиной стандартного отклонения этой доходности (0,1%<<2%), в течение достаточно длинной последовательности дней это на первый взгляд незначительное отклонение от нуля проявляется весьма существенно.⁵⁶

Большой интерес представляет график, приведенный на рис.5.7.3. Из двух имеющихся на нем кривых, верхняя показывает, чему равна вероятность того, что хотя бы в один из n последующих дней цена акций превысит их сегодняшнюю стоимость, а нижняя — вероятность того, что по крайней мере в один из n последующих дней цена акций окажется ниже их сегодняшней цены. Обе вероятности, как видите, существенно превышают 50% даже при относительно небольшом n. Что открывает большие возможности в плане продвижения нужных инвестиционных решений.

Допустим, что вам очень хочется склонить свое руководство к срочной покупке акций. В этом случае полезно будет заявить, к примеру, что в ближайшие 5 дней с вероятностью приблизительно 77,5% (см. график) цена акций вырастет (по отношению к их сегодняшней цене). При этом также имеет смысл предложить всем сомневающимся пари, ставя 77,5 рубля против 22,5 на то, что ваш прогноз оправдается.⁵⁷

Когда же требуется заставить начальство отказаться от намерения купить акции или склонить к срочной их продаже, следует объявить, что в ближайшие 5 дней эти акции с вероятностью примерно 73% можно будет купить по более низкой цене, а всем недоверчивым предложить пари со ставками, соответственно, 73 рубля против 27.

§5.8. Создание и апробация прогнозных алгоритмов.

В оглавление

Как показывает практика, занимаясь прогнозированием цен, экономисты с аналитическим складом ума обычно рано или поздно приходят к попытке создания, так сказать, «формулы успеха» в этом нелегком деле на все случаи жизни, а точнее, некоторого достаточно конкретно сформулированного правила обработки исходной информации, позволяющего получать прогнозы в «автоматическом» режиме. Особенно распространена эта затея в среде так называемых технических аналитиков фондового рынка, уже долгие годы занимающихся переносом применяемых в технике методов анализа случайных процессов на экономическую почву.

Как правило, в качестве основы для получения предсказаний будущих цен акций используются их прошлые биржевые котировки. Ибо с точки зрения относительно цивилизованных людей зависимость грядущих цен от прошлых представляется более вероятной, нежели их зависимость от результатов гаданий на кофейной гуще, картах или потрохах клерка, принесенного в жертву интересам фирмы. Можно, к примеру, установить следующий прогнозный алгоритм: когда текущая цена акций превышает максимальную из котировок пяти предшествующих дней, следует ожидать роста их стоимости в последующий день, в противном случае существенного подъема цены не предвидится.

Подобные алгоритмы являются, по сути, разновидностью условных прогнозов, в которых событие, заданное в качестве условия, должно произойти раньше, чем событие прогнозируемое. Благодаря чему такие предсказания в общем случае не являются тривиальными высказываниями.

Важным свойством прогнозных алгоритмов является их тестируемость «на прошлом» или, другими словами, наличие возможности проверки их эффективности при помощи имеющейся базы исторических данных. Такая проверка обычно не вызывает каких-либо сомнений и подозрений у окружающих, так как «сигналы» о грядущих событиях выдаются этими алгоритмами автоматически, без вмешательства человека, в чем легко можно убедить любого сомневающегося.

И все же правомерность такого тестирования на прошлом — вопрос сложный и неоднозначный.

«Предсказывающий» алгоритм обычно изначально определяется аналитиком лишь качественно, в общем виде, то есть без указания конкретных значений некоторых его параметров, которые впоследствии подбираются путем «подгона» под существующую базу исторических данных. Так, например, заявляя, что роста цен следует ждать в тех случаях, когда график скользящего среднего, рассчитанного по котировкам n предыдущих дней, пересекает в направлении «снизу вверх» либо «сверху вниз» график скользящего среднего, вычисленного по ценам m предыдущих дней, прогнозист обычно не говорит сразу, чему равны эти n и m и в каком именно направлении один график должен пересечь другой. Эти параметры, первые два из которых являются количественными, а последний двоичным (бинарным), он сначала оставляет неопределенными и только затем уже подбирает их значения таким образом, чтобы проверка его предсказывающего алгоритма на каком-то временном отрезке из прошлого давала максимально хорошие результаты.

В принципе, такой подход при поиске скрытых закономерностей является корректным и даже, можно сказать, наиболее эффективным. Однако людей, «не дружащих» с математической статистикой, он очень часто приводит к серьезным ошибкам.

Дело в том, что наличие вышеупомянутых свободных параметров, значения которых надлежит установить экспериментально, позволяет варьировать результаты тестирования прогнозного алгоритма в довольно широких пределах даже при проверке его на одном и том же «отрезке» истории. И пределы эти обычно бывают гораздо более широкими, чем можно предположить, полагаясь на интуицию. Ввиду чего добиться хороших, а то и выдающихся результатов посредством тщательной настройки параметров можно почти всегда.

Продемонстрируем это на примере.

Протестируем на прошлом для различных значений параметра n следующий предсказывающий алгоритм: если перед закрытием торговой сессии цена акций превышает среднюю цену закрытия торгов n предыдущих дней, то на следующий день можно с высокой степенью уверенности прогнозировать рост цены; если же указанное условие не выполняется, то в последующий день с высокой вероятностью ожидается снижение цены.

Посмотрим, какую доходность мы могли бы получить, если бы в период с 5 января 1999 года по 5 января 2001 вкладывали свой капитал в обыкновенные акции НК ЛУКойл в те дни, когда согласно указанному правилу следовало ожидать увеличения стоимости этих акций, и держали бы его «в деньгах», когда роста цены не предвиделось. На рис.5.8.1.а отображены цены последних сделок Российской торговой системы (РТС) для каждого торгового дня с 1 декабря 1998 по 5 января 2001, которые мы и будем использовать в своих расчетах, предполагая, что все сделки купли-продажи акций производятся нами по цене последней сделки соответствующего дня. Вертикальной пунктирной линией отмечена дата начала нашего проверочного интервала, 5 января 1999. (Цены предшествующих дней нужны для расчета скользящего среднего.) Посчитаем, во сколько раз мы увеличили бы свой капитал, если бы в течение указанного двухлетнего периода осуществляли спекуляции, руководствуясь вышеозначенным принципом принятия решений. Параметру n при этом будем последовательно присваивать целочисленные значения от 1 до 22 дней.

График зависимости коэффициента роста нашего капитала от величины n приведен на рис.5.8.2.а. Для сравнения горизонтальной пунктирной линией показано, во сколько раз за тот же период выросла цена акций. Нетрудно заметить, что подбор параметра n позволяет добиться как существенного отрицательного, так и существенного положительного эффекта. Так, в случае n=15 дням капитал увеличивается в 3,49 раза, а в случае n=8 дням — всего в 1,22 раза; притом, что стоимость акций за рассматриваемый период выросла в 2,34 раза.

Таким образом, несмотря на то, что выбранный нами проверочный интервал весьма велик (он включает в себя 504 рабочих дня), а тестируемый прогнозный алгоритм содержит всего один свободный параметр и, следовательно, обладает не слишком высокой адаптивной способностью, выбор надлежащего значения этого параметра приносит, казалось бы, удивительные результаты. Многие наверняка воспримут это как доказательство присутствия в процессе изменения цен каких-то скрытых закономерностей, которые наш предсказывающий алгоритм сумел распознать и выявить. А между тем, данному факту можно найти и более простое объяснение.

На рис.5.8.1.б изображен график цен, искусственно сгенерированных при помощи случайных чисел. По своим основным вероятностным характеристикам (среднему значению и стандартному отклонению дневных доходностей) этот случайный процесс приблизительно идентичен колебаниям стоимости акций НК ЛУКойл на заданном временном интервале (см. рис.5.8.1.а). Однако никаких закономерностей, которые в случае их выявления позволяли бы выдавать нетривиальные прогнозы, эта имитация заведомо не содержит. И тем не менее, представленный на рис.5.8.2.б график, показывающий, во сколько раз при соответствующем значении параметра n спекулянт, придерживающийся рассматриваемой нами стратегии, увеличил бы свой капитал, если бы цены акций изменялись так, как показано на рис.5.8.1.б, свидетельствует том, что и в этом случае подбор n позволяет настроить наш прогнозный алгоритм на эффективную работу. Это обстоятельство наводит на мысль о том, что и приносимые им «выдающиеся» результаты при тестировании на реальных ценах вполне могут быть обусловлены исключительно чистой случайностью, а не какими-то скрытыми закономерностями. Кстати, к такому же выводу можно прийти, если, разделив наш двухлетний проверочный интервал, скажем, на две части, построить для каждой их них график, аналогичный представленным на рис.5.8.2, а затем сравнить полученные диаграммы между собой. Обе они будут отражать совершенно различные по своему виду зависимости.

Что же касается прогнозных алгоритмов с большим числом подстраиваемых параметров, то они, разумеется, обладают еще более высокой способностью к адаптации. С одной стороны, это хорошо: вы всегда можете создать видимость плодотворной аналитической работы, удивляя руководство огромными гипотетическими прибылями. Но, с другой стороны, вам может стать очень плохо, если вы рискнете попытаться превратить эти гипотетические результаты в фактические доходы путем практического использования своего «ноу-хау».⁵⁸ Поэтому подобные попытки лучше вообще не предпринимать, ссылаясь в случае необходимости на наличие каких-либо объективных трудностей.

Раздел 6. Как добиться выполнения плана и как выиграть соревнование с сослуживцем, конкурентом или среднерыночным показателем (индексом).

Обычно организация и управление экономической деятельностью осуществляются таким образом, чтобы максимизировать среднее ожидаемое значение (математическое ожидание) какого-то количественного критерия ее эффективности: прибыли, доходности и т.п. Но иногда, и даже, можно сказать, довольно часто, экономисту приходится выступать в роли «соревнующегося», сталкиваясь с ситуациями, когда его личные интересы требуют максимизации не математического ожидания какого-либо показателя результативности его действий, а вероятности того, что по данному показателю он сумеет выполнить установленный план или превзойти своего коллегу-сослуживца, конкурирующую фирму, соответствующий среднерыночный индекс и т.д. Другими словами, результаты труда экономиста иногда оцениваются не количественно, а качественно, по принципу «зачет-незачет». Подобное положение вещей зачастую является следствием примитивизма системы материальной и иной заинтересованности работника, действующей в данной организации. Хотя возможны и другие причины, не связанные с конфликтом интересов фирмы и ее сотрудника. Последний может, наконец, сам организовать состязание, предложив своим коллегам или клиентам заключить с ним пари или сыграть в какую-либо экономическую игру, дабы показать свое профессиональное мастерство.

В данном разделе мы рассмотрим вышеозначенные «соревновательные» ситуации и приведем оптимальные стратегии ведения подобных «состязаний».

§6.1. Управление инвестициями, направленное на достижение запланированного результата.

В оглавление

Главным результатом любой экономической деятельности является прибыль, которую она приносит. Поэтому часто главной целью экономиста является выполнение плана по прибыли или же опережение по данному показателю соперников и конкурентов. Соответственно, действия его в подобной ситуации бывают направлены на максимизацию вероятности достижения указанной цели.

Понятно, что прибыль является в общем случае величиной случайной. Однако на вероятностные характеристики этой величины менеджер, как правило, может воздействовать, изменяя организацию деятельности, которой он управляет, или же сам ее вид. Так, например, многие фирмы имеют возможность управлять величиной принимаемого ими на себя риска посредством выбора между осуществлением своей основной деятельности (относительно рискованный вариант) и приостановкой своей работы со сдачей «производственных» помещений в аренду и вложением всех свободных денег в банк (относительно надежный вариант). Как правило, подобное управление позволяет повысить среднее значение ожидаемой прибыли (или доходности) ценой увеличения риска или же наоборот, повысить надежность ценой снижения средней прибыли. Особенно легко такой менеджмент может осуществляться в том случае, когда фирма имеет доступ к фондовому рынку и эффективно пользуется открываемыми им возможностями, вкладывая свободные денежные средства в ценные бумаги и другие финансовые инструменты. Поэтому в данном параграфе и в §6.2 мы будем обращаться исключительно к примерам, связанным с управлением портфелем ценных бумаг. Тем не менее, следует иметь в виду, что почти все нижеприведенные рекомендации, в принципе, могут быть успешно использованы при осуществлении любой экономической деятельности, в которой присутствует возможность воздействия на степень неопределенности размера приносимой ею прибыли.

а) Ликвидные инвестиции.

В оглавление

Разберем сначала относительно простой случай.

Пример 6.1.1. План по конечной стоимости. Стратегии «акции-деньги» и «акции-облигации».

Инвестиционный менеджер путем вложения в акции и облигации капитала, первоначальная стоимость которого составляет 100 тыс. рублей, должен за 65 рабочих дней (то есть за 1 квартал) увеличить его величину как минимум до 110 тыс. рублей. Математическое ожидание и стандартное отклонение доходности акций составляют, соответственно, 0,1% и 2% в день. Доходность облигаций является фиксированной величиной, равной 0,07% в день.⁵⁹ Требуется максимизировать вероятность выполнения плана (достижения стоимостью капитала уровня в 110 тыс. рублей) посредством оптимального управления портфелем инвестиций.

Примечание: Подобные ситуации могут возникать, в основном, в двух случаях: (а) когда инвестор, вверяя свой капитал менеджеру, желает создать определенную систему материальной заинтересованности своего поверенного в достижении высоких результатов, для чего устанавливает план и обещает в случае его выполнения как-нибудь поощрить своего управляющего; (б) когда у инвестора возникает потребность не просто получить максимально возможную прибыль, а накопить к заданному моменту времени определенную денежную сумму (для покупки какой-то вещи, открытия нового бизнеса и т.п.), исходя из размера которой, он и устанавливает плановый уровень стоимости капитала.

Сразу же можно заметить, что поскольку за 65 дней облигации принесут лишь 1.0007⁶⁵ − 1 =4.65% прибыли, без использования акций достичь планового уровня конечной стоимости капитала невозможно. Конечно, средняя ожидаемая доходность акций ненамного превышает доходность облигаций. Однако вложение денег в акции связано с существенным риском и фактически может принести как очень большую прибыль, так и очень большой убыток. Таким образом, в случае успеха стоимость инвестированного в акции капитала вполне может достигнуть 110 тыс. рублей.

Но если мы посчитаем вероятность того, что к концу 65-дневного периода цена акций увеличится не менее чем в 1,1 раза (по отношению к своему значению на начало этого периода), мы увидим, что эта вероятность относительно невелика: она составляет всего 39,4%. Что вполне естественно, поскольку за указанный срок акции должны подорожать в среднем всего лишь в 1.001⁶⁵ − 1 = 1.0671 раза. Стало быть, пассивное «держание» капитала в акциях в течение всего этого срока — вариант не слишком многообещающий.

Однако же, вероятность того, что цена акций превысит свое первоначальное значение по меньшей мере в 1,1 раза хотя бы в один (необязательно в последний) из этих 65 дней, равна 61,3%,⁶⁰ что значительно выше 39,4%. Следовательно, если, вложив капитал в акции, менеджер будет ежедневно следить за их биржевыми котировками, с тем чтобы в случае досрочного «подъема» стоимости его портфеля до планового уровня в 110 тыс. рублей сразу же зафиксировать достигнутый результат посредством продажи акций (то есть путем переложения капитала из акций «в деньги»), то вероятность выполнения плана составит 61,3%. Назовем такую линию поведения стратегией «акции-деньги». Она, как видите, существенно повышает шансы на успех.

И тем не менее, стратегия, суть которой мы сейчас изложим и которой дадим условное название «акции-облигации», обеспечивает еще более высокую вероятность выполнения плана.

Вспомним, что по условиям задачи менеджер может инвестировать деньги в облигации. Мы уже отмечали, что их доходность недостаточно велика, чтобы с их помощью можно было превратить 100 тыс. рублей в 110 тыс. за 1 квартал. Однако, если бы в какой-то из дней этого квартала стоимость портфеля акций, пусть даже не достигнув при этом планового уровня, поднялась бы несколько выше 100 тыс. рублей, то, возможно, дальнейшее вложение капитала в облигации и позволило бы достичь поставленной цели. На рис.6.1.1 для каждого из 65 дней наклонной пунктирной линией показано, какой должна быть величина этого капитала, чтобы за оставшийся срок можно было его увеличить до желанного размера исключительно при помощи облигаций. Понятно, что достаточно текущей стоимости портфеля акций «перепрыгнуть» через этот «барьер», и дальнейшее «держание» капитала в этих ценных бумагах теряет смысл; поскольку, переложив деньги в облигации, менеджер уже может считать свою цель достигнутой, тогда как, продолжая «сидеть в акциях», он рискует дождаться падения их цены со всеми вытекающими последствиями. Управление инвестиционным портфелем с учетом данного замечания и составляет суть вышеозначенной стратегии «акции-облигации». Сплошной линией на рис.6.1.1 показано, как в частности может изменяться стоимость портфеля инвестиций при ее реализации. Из графика видно, что переложение капитала из одних бумаг в другие в данном случае происходит на 33 день.

На рис.6.1.2 представлены графики зависимости вероятности выполнения плана от величины плановой стоимости портфеля, соответствующие применениям стратегий «акции-деньги» (пунктирная линия) и «акции-облигации» (сплошная линия). В нашем случае (при плане в 110 тыс. рублей) вероятность успеха составляет, как видите, примерно 71,5%. Что, на первый взгляд, кажется невероятным, учитывая столь заметное превосходство плановой доходности портфеля (10%) над средней квартальной доходностью акций (6,71%) и облигаций (4,65%).

Кому-то, быть может, подобное положение вещей кажется подозрительно благоприятным для инвестора. Более того, у многих читателей наверняка возникает иллюзия того, что осуществление вышеизложенных стратегий повышает среднюю доходность инвестиций по отношению к средней доходности используемых при этом финансовых инструментов. Таким образом, непонятно откуда, вроде бы, возникает сверхприбыль.

На самом же деле ничего подобного, конечно, не происходит.

Рассмотрим последнюю из описанных стратегий. При ее реализации капитал все время находится либо в акциях, либо в облигациях за исключением дня его переложения из первых бумаг во вторые. Следовательно, и средняя ожидаемая доходность инвестиций в целом, с точки зрения здравого смысла, должна лежать где-то в пределах между 4,65% и 6,71% в квартал. Но если в случае выполнения плана конечная стоимость портфеля составит немногим более 110 тыс. рублей или в среднем что-то около 111 тыс., а вероятность выполнения плана равна 71,5%, то в случае неудачи среднее значение конечной стоимости портфеля должно лежать где-то между 88,73 и 95,96 тыс. рублей, поскольку именно эти два числа являются решениями уравнений:

111 · 71.5% + x · (100% − 71.5%) = 104.65,

111 · 71.5% + x · (100% − 71.5%) = 106.71.

То есть согласно приведенным соображениям математическое ожидание конечной стоимости капитала в случае невыполнения плана должно быть существенно меньше его первоначальной стоимости. Вывод этот полностью подтверждается представленной на рис. 6.1.3 гистограммой, построенной на основе результатов имитационного моделирования, насчитывающего 500 тыс. экспериментов. Она отражает распределение вероятностей конечной стоимости портфеля менеджера, работающего по стратегии «акции-облигации», при условии недостижения ею (конечной стоимостью) планового уровня в 110 тыс. рублей. Математическое ожидание этого распределения составляет приблизительно 91,3 тыс. рублей, что вполне согласуется со сделанным выше выводом.

Таким образом, высокая вероятность успеха менеджера в данной ситуации достигается не только ценой того, что доходность инвестиций ни при каких обстоятельствах (даже в случае значительного роста стоимости акций) не превысит уровень в 10% квартальных более чем на три-четыре процента, но также и ценой несколько более плачевного, чем можно ожидать, итога, грозящего инвестору в случае невыполнения менеджером установленного плана.

Кстати, этот неожиданно плачевный итог с точки зрения управляющего портфелем вполне может рассматриваться и как положительное обстоятельство. Ведь, если невыполнение плана будет, как правило, сопровождаться достаточно незаурядным по своим масштабам падением цен акций, то, значит, толковый менеджер почти всегда сумеет оправдаться в случае неудачи, сославшись на это относительно редкое событие как на причину своего «конфуза».

Так что, в целом, положение менеджера в данном примере представляется весьма завидным. С несколько большим числом проблем он может столкнуться, оказавшись в следующей ситуации.

Пример 6.1.2. План по конечной стоимости с ограничением на величину текущего убытка. Стратегия «облигации-акции-облигации».

В ситуации, идентичной описанной в предыдущем примере, требуется найти оптимальный способ управления инвестиционным портфелем, максимизирующий вероятность выполнения плана при условии, что в течение всего срока управления инвестор будет осуществлять ежедневный контроль за текущей стоимостью портфеля и в случае ее снижения ниже 97 тыс. рублей досрочно прекратит полномочия менеджера (план при этом, разумеется, будет считаться невыполненным).

Примечание: Поставленная проблема приобретает актуальность, опять же, в двух случаях: (а) когда инвестор желает создать более изощренную систему материальной заинтересованности своего управляющего; а также (б) когда у инвестора возникает, например, необходимость приобрести определенную вещь и при этом он, во-первых, имеет возможность купить относительно дешевый товар, но не имеет особого желания, а во-вторых, имеет желание купить более дорогое аналогичное изделие, но не имеет возможности. Соответственно, в подобном случае цена дешевой вещи устанавливается как предел допустимого снижения стоимости портфеля, а цена дорогой служит в качестве планового уровня его стоимости.

В данном примере, таким образом, нам придется решать задачу о случайном блуждании уже не с одним, а с двумя поглощающими барьерами: верхним, который на рис.6.1.1 и рис.6.1.4 обозначен наклонной пунктирной линией, и нижним, отмеченным на рис.6.1.4 горизонтальной линией на уровне 97 тыс. рублей. Как только стоимость портфеля «пересечет» какой-нибудь из этих двух барьеров, исход всей «операции» становится предрешенным: либо менеджера отстраняют от дел, либо, вложив капитал в облигации, он уже может считать себя «передовиком производства» и готовиться к повешенью на доску почета.

Однако, как показывают результаты имитационного моделирования, вероятность выполнения плана в подобных условиях даже при использовании стратегии «акции-облигации» довольно низка: она равна приблизительно 43,8% (при отсутствии контроля за текущей стоимостью портфеля она составила бы 71,5%). Посмотрим, можно ли ее увеличить.

Глядя на рис.6.1.4, нетрудно заметить, что уровень в 100 тыс. рублей, соответствующий начальной стоимости капитала, «отстоит» от нижнего барьера на меньшее «расстояние», чем от верхнего. Следовательно, вложившись в акции, менеджер рискует превысить лимит текущего убытка раньше, чем текущая стоимость его портфеля поднимется до желаемой величины.

А что если перед тем, как вкладываться в акции, слегка увеличить размер капитала при помощи облигаций, дабы подальше «отодвинуться» от нижнего барьера и избежать тем самым нависшей «угрозы»? В этом случае график изменения стоимости портфеля может, в частности, выглядеть примерно так, как показано на рис.6.1.4 сплошной линией. Представленная кривая соответствует тридцатидневному подготовительному «облигационному» этапу, в ходе которого стоимость портфеля, как видите, увеличивается настолько, что к тридцатому дню от нижнего барьера ее отделяет приблизительно такое же «расстояние», как и от верхнего. Поэтому дальнейшее переложение капитала в акции с большей вероятностью приводит к выполнению плана, чем к превышению величины допустимого убытка. Хотя, конечно, введение подготовительного периода существенно увеличивает вероятность того, что к окончанию квартала стоимость капитала так и не достигнет ни одного из двух поглощающих барьеров, что, естественно, будет считаться неудачей.

Остается только проверить «экспериментально» (путем компьютерного моделирования), будет ли подобный принцип управления инвестициями — назовем его стратегией «облигации-акции-облигации» — приносить какой-либо эффект. Полученные в результате этой проверки графики зависимости вероятности выполнения плана от продолжительности этапа предварительного вложения в облигации для различных значений лимита текущего убытка представлены на рис.6.1.5. Этот лимит выражен в процентах от первоначальной стоимости капитала. В нашем примере его значение равно 3%.

Как видите, при надлежащим образом подобранной длительности периода первичного вложения в облигации исследуемая стратегия приносит достаточно ощутимый эффект. Особенно заметен он при малых значениях лимита текущего убытка, чего, собственно, и следовало ожидать. В нашем случае оптимальная продолжительность предварительного этапа равна примерно 32 дням, а соответствующая ей вероятность выполнения плана составляет что-то около 52,5%. Таким образом, «перейдя» от стратегии «акции-облигации» к стратегии «облигации-акции-облигации», наш менеджер может увеличить вероятность успешного исхода дела на 52.5% − 43.8 = 8.7%. В случае же нулевого лимита этот прирост мог бы составить целых 41.5% − 21.2% = 20.3% (см. рис.6.1.5), что соответствовало бы почти двукратному увеличению шансов на удачу!

Учитывая столь высокую эффективность вышеизложенных «технологий» управления инвестициями, полезно будет обратить внимание читателя на некоторые способы их практического использования.

Допустим, что инвестор из рассмотренных нами примеров не установил для менеджера никаких планов и лимитов, а просто назначил ему вознаграждение, пропорциональное величине конечной стоимости портфеля. В этом случае управляющий может сам выступить инициатором перехода на «планово-лимитную» систему контроля, рассчитав и предложив при этом размер премии, которую инвестор должен будет ему выплатить в случае выполнения плана, а также размер штрафа, который инвестору позволено будет взыскать с него в случае неудачи. Переход на такую систему материальной заинтересованности можно рассматривать как заключение пари, соотношение ставок в котором определяется соотношением величин премии и штрафа. Пользуясь тем, что оптимальная стратегия управления портфелем в большинстве случаев обеспечивает неожиданно высокую вероятность выполнения плана, менеджер наверняка сумеет выторговать у инвестора достаточно выгодное для себя соотношение этих ставок.

А теперь представим, что некий работник инвестиционной конторы желает показать своему шефу свое высокое мастерство в деле управления инвестициями и заодно «утереть нос» своему коллеге-сопернику, который книг не читает и с вышеизложенной стратегией «облигации-акции-облигации» наверняка незнаком. Оказавшись «в шкуре» менеджера из примера 6.1.2, такой коллега вряд ли сумеет обеспечить своими действиями вероятность выполнения плана более высокую по сравнению с той, которая достигается посредством реализации стратегии «акции-облигации». А значит, при надлежащем подборе значений соответствующих параметров (планового уровня, лимита текущего убытка, продолжительности периода управления портфелем) вероятность его успешного «выступления» в роли менеджера в подобной ситуации может оказаться весьма низкой, тогда как аналогичный показатель для человека, «вооруженного» стратегией «облигации-акции-облигации», составит гораздо большую величину. А раз так, то этот сведущий человек может смело вызвать в присутствии шефа своего некомпетентного коллегу на «соревнование», предложив ему весьма невыгодные для него условия, от которых, тем не менее, вызываемому не удастся отказаться без ущерба для своей профессиональной репутации. (Так, в частности, если квалифицированный работник и его неквалифицированный коллега выполняют план с вероятностями, скажем, 50% и 20%, соответственно, то первый может, например, предложить второму на выбор заключить одно из двух следующих соглашений-пари: либо за управление портфелем берется сам предлагающий, «ставя» при этом, скажем, 4 тыс. рублей против 6 тыс. на то, что ему удастся выполнить план; либо управлять портфелем берется тот, кому предлагается это пари, «ставя» на собственную «победу» всего лишь 3 тыс. рублей против 7 тыс. Понятно, что отказаться от такого соглашения значит признать себя менее квалифицированным работником по сравнению со своим сослуживцем, а заключить его в любой из предложенных форм для некомпетентного менеджера значит пуститься в невыгодную для себя игру.

б) Переменно-ликвидные инвестиции. Модифицированная стратегия Даламбера.

В оглавление

Анализируя рассмотренные нами способы управления портфелем инвестиций, можно обнаружить, что они отнюдь не полностью исчерпывают существующие потенциальные возможности увеличения вероятности достижения запланированного уровня конечной стоимости портфеля или его доходности. Ибо, хотя, по большому счету, все три вышеописанные стратегии («акции-деньги», «акции-облигации» и «облигации-акции-облигации») исключают возможность существенного перевыполнения плана (ценой чего, собственно, и достигается высокое значение вероятности его выполнения), ни одна из них, тем не менее, не устраняет этой возможности до конца. Ведь вложив капитал в акции, мы всегда «рискуем» «нарваться» на резкий скачок их цен, который поднимет стоимость нашего портфеля гораздо выше запланированного уровня еще до того, как нам удастся зафиксировать полученную прибыль путем продажи акции.⁶¹ Конечно, масштабы возможного перевыполнения плана в подобных ситуациях не так уж велики, и в примерах 6.1.1 и 6.1.2 мы вполне резонно пренебрегали ими. Однако на практике довольно часто встречаются случаи, в которых такое пренебрежение не оправдано.

Дело в том, что, так же как ценные бумаги можно считать ликвидными лишь в часы биржевой торговой сессии, многие инвестиции являются ликвидными не постоянно, а лишь в определенные моменты времени. Например, деньги, вложенные в какую-либо производственную деятельность, как правило, можно вернуть назад не ранее как после совершения ими одного полного оборота в круге «деньги-товар-деньги», поскольку продажа предметов незавершенного производства по справедливой цене обычно представляется делом проблематичным. А возврат капитала, вложенного в интервальный паевой фонд, возможен лишь в дни, специально отведенные для выкупа проданных ранее паев, который производится обычно раз в квартал.

Подобные инвестиции мы будем называть переменно-ликвидными. Включая их в свой инвестиционный портфель, менеджер практически лишает себя возможности управлять его составом произвольным образом и в любой момент времени (если, конечно, он не считает для себя позволительным ликвидировать инвестиции по демпинговым ценам); так как всякий раз, пожелав избавиться от переменно-ликвидных активов, он должен будет ждать, когда их можно будет продать по реальной цене. Разумеется, такое ограничение свободы действий менеджера не способствует росту вероятности выполнения им установленного плана. Что, в частности, хорошо демонстрируется примером, к рассмотрению которого мы сейчас обратимся.

Пример 6.1.3. Инвестирование в паевой фонд.

Инвестиционный менеджер имеет право вкладывать вверенный ему капитал размером 100 тыс. рублей только в интервальный паевой фонд и в банковский депозит. Фонд продает свои паи и выкупает их обратно в начале каждого календарного квартала (в другое время сделок с паями не производится). Доходность инвестиций в эти паи имеет математическое ожидание 6,78% в квартал (что соответствует 1.0678⁴ − 1 = 30% годовых) и стандартное отклонение 20% в квартал. На банковский же депозит ежеквартально начисляются 4,663% (что соответствует 1.04663⁴ − 1 = 20% годовых). Согласно установленному плану менеджер должен «довести» стоимость капитала до уровня, хотя бы немного превышающего 120 тыс. рублей. Требуется максимизировать вероятность выполнения этого плана путем оптимального управления инвестиционным портфелем.

Понятно, что вложение денег исключительно в банк позволит увеличить капитал за год ровно в 1,2 раза и не более того. Следовательно, без инвестиций в паевой фонд никак не обойтись. Но, вложившись в паи, менеджер не сможет от них «избавиться» раньше чем через один квартал. Соответственно, если вдруг в середине этого квартала рыночная стоимость активов фонда, «стоящих» за приобретенными паями, «подскочит» до уровня, уже гарантирующего менеджеру выполнение плана, он не сможет зафиксировать достигнутый результат сразу (путем продажи паев), а будет вынужден ждать конца квартала, рискуя при этом «дождаться» также и падения рыночных цен. Вследствие этого вероятность выполнения плана в данном примере при осуществлении управления портфелем по стратегии «фонд-банк» (являющейся аналогом стратегии «акции–облигации») относительно невелика и составляет всего 73,5%.

Между тем, потенциальные возможности ее увеличения, по крайней мере теоретически, существуют. О чем наглядно свидетельствует гистограмма, приведенная на рис.6.1.6. Левая половина рисунка содержит график распределения вероятностей стоимости портфеля на конец года при использовании вышеуказанной стратегии. Как видите, в случае превышения этой стоимостью планового уровня в 120 тыс. рублей величина этого превышения (как и следовало ожидать, учитывая переменную ликвидность инвестиций) может оказаться довольно значительной: вполне вероятно увеличение капитала даже до 180 тыс. рублей, что является «непростительно» большим по своему масштабу перевыполнением плана. Ценой снижения средней величины этого «перебора» вероятность выполнения плана, теоретически, может быть существенно увеличена. Остается только найти практически осуществимый способ высвобождения этого потенциала.

Для этого полезно будет обратиться к одному интересному приему ведения игры в казино, известному как стратегия Даламбера.

Допустим, что, располагая капиталом в 15 рублей, мы желаем любой ценой довести его размер до 16 рублей, для чего прибегаем к игре, скажем, в рулетку. В каждом гейме (розыгрыше) мы делаем ставку либо на «красное», либо на «черное». Поэтому каждое раскручивание колеса приносит нам выигрыш с вероятностью 50%⁶².

Разумеется, продолжать игру имеет смысл только до тех пор, пока наша цель не достигнута. После же увеличения капитала до 16 рублей ее следует прекратить, дабы не подвергать себя лишнему риску. При этом стратегия Даламбера предписывает нам в каждом гейме ставить на кон ровно столько, сколько нам не достает для достижения нашей цели. То есть, в первый раз следует ставить 1 рубль, во второй раз 2 рубля, в третий — 4, а в четвертый — 8 рублей. Таким образом, в случае проигрыша 1 рубля в первом гейме наш капитал уменьшится до 14 рублей, однако выигрыш 2 рублей во втором гейме, полностью компенсирует эту потерю и, сверх того, принесет столь необходимый нам 1 рубль прибыли. В случае же неудачи в первых двух геймах у нас останется 12 рублей денег, которые превратятся в 16, если в третьем розыгрыше нас ждет удача. Если же и третий гейм будет проигран, то в четвертом на кон будет поставлено все, что у нас останется. Однако в случае выигрыша мы все-таки достигнем своей цели.

Понятно, что продолжительность такой игры может составлять от одного до четырех геймов (и не более того), и в ее результате мы либо выиграем 1 рубль, либо проиграем все 15 рублей. Но поскольку эта игра справедлива, математическое ожидание приносимого ею выигрыша должно равняться нулю. Что возможно только в том случае, если вероятность благоприятного исхода будет относиться к вероятности неудачи как 15 к 1.

Этот вывод полностью подтверждается расчетами. Поскольку неблагоприятный результат заключается в последовательном проигрыше четырех геймов подряд, его вероятность составляет 1/2⁴ = 1/16 = 6,25%. Следовательно, вероятность удачи будет равна 100% − 6,25% = 93,75%. При этом 93,75%/6,25% = 15.

В общем, стратегия Даламбера обеспечивает высокую вероятность успешного исхода игры ценой того, что величина возможного выигрыша оказывается несоизмеримо малой по сравнению с величиной возможного проигрыша.

Разумеется, менеджера, управляющего чужим капиталом (то есть играющего чужими деньгами), такая цена в качестве платы за повышение вероятности выполнения плана вполне устроит. Возможно даже, она устроит и самого инвестора, если его целью является не столько получение как можно большей прибыли, сколько накопление определенной суммы денег. Поэтому попытаемся адаптировать рассмотренную стратегию к использованию ее в управлении инвестиционным портфелем.

В нашем примере менеджер имеет возможность изменять состав портфеля в начале каждого из четырех кварталов года. Этот портфель может содержать вложения в паевой фонд и в банковский депозит в произвольных долях. Предположим, что в начале первого квартала менеджер инвестировал все 100% вверенного ему капитала в банк. Тогда через три месяца стоимость его портфеля вырастет до 104,663 тыс. рублей. Будь этот рост хотя бы чуть-чуть побольше, и выполнение плана было бы фактически гарантировано, так как дальнейшее инвестирование капитала в банковский депозит уже обеспечило бы к концу года превышение стоимостью капитала уровня в 120 тыс. рублей (поскольку 104.663 · 1.04663³ = 120). При указанных же условиях банковский депозит, как уже отмечалось ранее, обеспечивает лишь «стояние на грани» выполнения плана.

А теперь допустим, что в начале первого квартала какую-то часть капитала, скажем X тыс. руб., менеджер вложил в паевой фонд, а оставшиеся (100-X) тыс. руб. — в банк. Тогда через три месяца (100-X) тыс. руб. увеличатся в 1,04663 раза, а X тыс. руб. — в некоторое случайное количество раз R. Если R окажется больше 1,04663, то и стоимость всего портфеля вырастет более чем в 1,04663 раза и, стало быть, выполнение плана будет гарантировано. В противном случае «игра» будет продолжена, хотя шансы на «победу», безусловно, снизятся. Однако обратите внимание на то, что вероятность превышения величиной R значения 1,04663 определяется лишь ее вероятностными характеристиками и не зависит от X. Тогда как степень возможного снижения шансов на «победу» зависит от того, какая часть капитала будет вложена в паевой фонд, причем довольно существенно.

Отсюда следует, что менеджер из рассматриваемого нами примера в начале года должен инвестировать в паевой фонд как можно меньшую долю капитала (которая, тем не менее, не должна равняться нулю). Этим он сократит масштаб возможного ухудшения ситуации к концу первого квартала, посредством чего повысит вероятность того, что в оставшиеся девять месяцев ему все-таки удастся выполнить план.

Нетрудно также определить, что управляющий портфелем должен делать в начале последнего, четвертого квартала. Если стоимость капитала к тому моменту окажется больше 120/1,04663=114,654 тыс. руб., то все деньги нужно инвестировать в банк. Если же она составит меньшую величину, весь капитал надо вкладывать в паевой фонд, поскольку в случае неудачи в этом последнем «гейме» управляющему будет уже все равно, сколько тыс. рублей «отделяют» его от выполнения установленного плана: шансов на дальнейшее исправление положения у него уже не останется.

Посмотрим теперь, как следует перераспределять доли вложений в банк и в паевой фонд в начале второго и третьего кварталов. Понятно, что если к этим моментам стоимость портфеля превысит, соответственно, 104.663 и 120/1.04663² = 109.546 тыс. руб., то правильнее всего будет поместить весь капитал в банк на весь оставшийся до конца года срок — выполнение плана при этом будет обеспечено. Но что делать, если этого не произойдет и стоимость портфеля составит, скажем, 102 тыс. рублей? В этом случае сокращение доли паевого фонда, с одной стороны, опять же уменьшит степень возможного ухудшения положения менеджера в течение ближайших трех месяцев. Но с другой стороны, оно уменьшит и вероятность достижения стоимостью портфеля к началу последующего квартала уровня, при котором выполнение плана стало бы фактически «неизбежным», то есть уровня, превышающего 109.546 и 114.654 тыс. рублей, соответственно.

Посредством имитационного моделирования можно найти оптимальное соотношение долей, приходящихся на инвестиции в банк и паевой фонд, для каждого возможного значения стоимости портфеля в начале второго и третьего кварталов, не превышающего указанные критические отметки в 104,663 и 109,546 тыс. рублей. На рис.6.1.7 приведены графики четырех функций, полностью определяющих одну из возможных стратегий управления портфелем. Стратегия эта достаточно близка к оптимальной. Приведенные кривые для каждого из четырех кварталов года отражают зависимость доли капитала, которую менеджер будет вкладывать в паевой фонд в начале соответствующего периода времени, от общей стоимости портфеля на момент принятия данного решения.⁶³ Хотя условиями рассматриваемого нами примера начальная величина капитала определена (она равна 100 тыс. рублей), при построении крайней слева кривой, тем не менее, предполагалось, что данная величина может иметь и иное значение. Для ряда этих значений (опять же путем моделирования) была рассчитана вероятность того, что к концу года стоимость портфеля менеджера, реализующего указанную стратегию, превысит 120 тыс. рублей. График этой зависимости представлен на рис.6.1.8 сплошной линией. Для сравнения пунктиром показан график аналогичной зависимости для случая реализации стратегии «фонд-банк».

Как видите, эффективность сформулированной нами «технологии» управления инвестициями, которую можно назвать модифицированной стратегией Даламбера, достаточно высока. Так, при стотысячном начальном капитале она позволяет повысить вероятность выполнения плана с 73,5% до 89,5%. Вероятность неудачи при этом сокращается более чем в два раза.

С уменьшением же размера стартового капитала эффективность эта довольно быстро снижается, поскольку в рассматриваемом нами примере менеджера, располагающего вместо 100 тыс. рублей значительно меньшей первоначальной суммой, уже нельзя назвать «стоящим на грани» выполнения плана.⁶⁴

Вернемся теперь к рис.6.1.6., правая половина которого содержит гистограмму распределения вероятностей конечной стоимости портфеля нашего менеджера при условии реализации им модифицированной стратегии Даламбера. Сразу видно, что данная техника управления заметно снижает величину возможного перевыполнения плана по сравнению с аналогичным показателем стратегии «фонд-банк». Если при использовании последней величина конечной стоимости капитала в случае превышения ею планового уровня (120 тыс. руб.) составляет в среднем что-то около 138,5 тыс. рублей, то использование стратегии Даламбера уменьшает эту цифру приблизительно до 124,5 тыс. рублей.

§6.2. Управление инвестициями, направленное на «опережение» соперника или рыночного индекса.

В оглавление

Мы рассмотрели основные принципы управления инвестициями, направленного на достижение фиксированного (то есть заранее предопределенного) значения конечной стоимости капитала (или итоговой прибыли). Однако в некоторых случаях уровень эффективности управления инвестиционным портфелем, которого требуется достичь, может быть «плавающим», то есть заранее неопределенным. Данное явление имеет место, в частности, когда качество труда менеджера, работающего, скажем, на рынке акций, контролируют не по абсолютным результатам его деятельности, а по тому, например, насколько индекс стоимости его портфеля превысил рыночный индекс цен акций или же индекс стоимости портфеля какого-то другого менеджера. В принципе, подобный подход является наиболее корректным, вследствие чего применяется он достаточно часто. Однако и при такой системе контроля не исключено использование методов, аналогичных описанным в §6.1.

Пример 6.2.1. Превышение рыночного индекса. Стратегия «облигации–индекс».

Менеджер, располагающий капиталом в 100 тыс. рублей, имеет возможность вкладывать деньги в акции и в облигации. Доходность последних составляет 0,07% в день. Математическое ожидание и стандартное отклонение доходности рыночного индекса акций равны, соответственно, 0,1% и 2% в день. В соответствии с принятыми обязательствами менеджер должен управлять своим инвестиционным портфелем таким образом, чтобы к концу ближайшего квартала (через 65 рабочих дней) стоимость вверенного ему капитала оказалась как минимум на 10% больше той стоимости, которую этот капитал имел бы к тому же моменту времени в случае вложения первоначальных 100 тыс. рублей на весь ближайший квартал «в рынок» или «в рыночный индекс» (а точнее сказать, в рыночный портфель акций, показателем стоимости которого служит этот индекс). Требуется найти стратегию управления инвестициями обеспечивающую максимальную вероятность выполнения менеджером своих обязательств.

Данная задача во многом подобна той, что была описана в примере 6.1.1. Только теперь цель управления, можно сказать, стала почти полностью противоположной. Стало быть, соответствующим образом должны измениться и методы решения проблемы.

Хотя обычно в качестве индекса фондового рынка принимают суммарную капитализацию обращающихся на нем акций, в нашем примере удобнее будет использовать в этом качестве стоимость менеджерского портфеля, соответствующую пассивному вложению первоначального капитала в рыночный портфель акций на весь рассматриваемый период времени. При этом цель управляющего портфелем можно сформулировать как достижение к концу этого периода десятипроцентного превышения стоимостью его портфеля значения рыночного индекса.

Совершенно очевидно, что если в один из ближайших 65 дней менеджер инвестирует имеющийся у него на тот момент капитал «в рынок», то в дальнейшем стоимость его портфеля будет изменяться строго пропорционально изменениям значения рыночного индекса. С учетом возможности такого инвестирования вышеуказанную цель можно считать фактически достигнутой уже в том случае, если в один (любой) из этих 65 дней стоимость портфеля превысит показания индекса рынка в 1,1 раза (поскольку после этого достаточно будет переложить капитал «в рыночный индекс», и выполнение принятых менеджером обязательств будет гарантировано).

Но с другой стороны, поставленная цель никогда не будет достигнута, если «держать» капитал «в рынке» при меньшей величине отношения текущей стоимости портфеля к текущему значению рыночного индекса. Для получения же шанса увеличить это отношение необходимо инвестировать капитал как-то иначе. В частности, возможны следующие варианты действий: (а) инвестирование в облигации и (б) инвестирование в акции с распределением вкладываемого капитала между акциями различных эмитентов, отличающимся от распределения их долей в рыночном портфеле (в частности, инвестирование в акции не всех, а лишь некоторых эмитентов). По какому же принципу следует осуществлять выбор?

Представляя ситуацию в несколько огрубленном виде, можно заметить, что в данном случае самым весомым фактором, определяющим вероятность успешного выполнения установленного «плана», является степень нестабильности разности между стоимостью портфеля и индексом рынка. Чем выше эта степень, тем больше вероятность того, что величина этой разности, начав свои изменения с нулевого значения, хотя бы в один из ближайших 65 дней достигнет уровня, при котором стоимость портфеля менеджера как минимум в 1,1 раза превысит рыночный индекс. Мерой указанной нестабильности может служить стандартное отклонение разности (r_p − r_i) между дневной доходностью портфеля r_p и соответствующей доходностью индекса r_i. Оно равно:

где σ(x) — стандартное отклонение x, cov(x,y) — ковариация между x и y, ρ(x,y) — коэффициент корреляции между x и y.

В трех следующих частных случаях результат получается более простым:

при ρ(r_p, r_i) = 1, σ(r_p − r_i) = |σ(r_p) − σ(r_i)|;

при

при ρ(r_p, r_i) = −1, σ(r_p − r_i) = σ(r_p) + σ(r_i).

Инвестируя капитал в облигации, менеджер добивается равенства σ(r_p) = 0, при котором σ(r_p − r_i) = σ(r_i). Учитывая это, можно доказать, что отказываться от вложения в облигации в пользу какого-либо иного варианта инвестирования имеет смысл лишь тогда, когда выполняется неравенство . (То есть когда отношение стандартного отклонения доходности альтернативного варианта инвестирования к аналогичному показателю рыночного индекса превышает удвоенную величину коэффициента корреляции между их доходностями). Ибо только в этом случае инвестирование в акции приводит к увеличению σ(r_p − r_i).

Полученные результаты находят «экспериментальное» подтверждение. Имитационное моделирование показывает, что в рассматриваемом нами примере реализация стратегии «облигации–индекс», заключающейся в покупке облигаций с последующим «переложением» капитала в рыночный портфель акций (в момент достижения стоимостью капитала требуемого уровня превышения индекса), обеспечивает вероятность выполнения менеджером принятых обязательств равную приблизительно 49%. На рис.6.2.1 отражен частный случай успешного применения этой стратегии, искусственно сгенерированный при помощи компьютера (пунктирной линией отмечен день переложения капитала).

Заметим для сравнения, что пассивное инвестирование денег в облигации на весь грядущий квартал приносит удачу с вероятностью всего лишь 26,4%.

Однако, если менеджер, «покопавшись» в рыночном портфеле, сумеет обнаружить акции, доходность которых имеет, скажем, математическое ожидание 0,12% в день, стандартное отклонение 4% в день и коэффициент корреляции с доходностью рыночного индекса 80%, то, реализуя стратегию «акции–индекс», заключающуюся в покупке этих акций вместо облигаций со все тем же последующим переложением капитала «в индекс», он может повысить вероятность своего успеха примерно до 57%. Что не является неожиданностью, поскольку в данной ситуации имеет место неравенство: .

На рис.6.2.2 показан результат использования этой стратегии в случае, представленном ранее на рис.6.2.1. Как видите, отказ от вложения денег в облигации в пользу акций, доходность которых весьма нестабильна и имеет положительный коэффициент корреляции с доходностью рыночного индекса, приводит к тому, что стоящая перед менеджером цель достигается уже не на «спаде рынка», а на его «подъеме», причем на «подъеме» менее значительном по своим масштабам.

Не лишним будет отметить, что вложение в облигации можно считать безрисковой инвестицией лишь в том случае, когда дата погашения этих облигаций достаточно близка. В противном случае колебания банковской ставки могут приводить к достаточно заметным скачкам и падениям их рыночных цен, иногда даже более значительным, чем колебания цен акций. Причем в отличие от акций, доходность облигаций обычно достаточно слабо коррелирует с доходностью рыночного индекса (что в рассматриваемых обстоятельствах является положительным моментом). Поэтому использование долгосрочных облигаций вместо краткосрочных в ситуациях, подобных описанной в нашем примере, может существенно повысить вероятность успешного выполнения «плана». Хотя рассчитать эту вероятность довольно точно в данном случае несколько затруднительно, поскольку современная теория финансов пока еще не может предложить достаточно простую, достоверную и притом адекватную действительности модель процесса изменений банковской ставки.

Заметим также, что при управлении инвестициями, направленном на опережение рыночного индекса или индекса портфеля соперника, при соответствующих обстоятельствах могут использоваться (после надлежащей «переработки») практически все методики, применявшиеся нами ранее в параграфе 6.1 при решении задач, связанных с управлением, направленным на достижение заранее запланированного результата. Например, в случае, когда целью менеджера является превышение стоимостью его портфеля индекса рынка не на 10%, а, скажем, всего на 1%, весьма хороший результат может дать применение модифицированной соответствующим образом стратегии Даламбера.

§6.3. Соревнование прогнозных алгоритмов.

В оглавление

В пятом разделе мы уже касались вопросов создания и практической апробации прогнозных алгоритмов. Эффективность последних мы определяли путем сравнения приносимой ими доходности с доходностью рыночного индекса или же с «доходностью» вложения капитала «в деньги». Еще одним возможным и достаточно часто практикуемым методом оценки качества предсказывающего алгоритма является сравнение его с каким-нибудь другим аналогичным правилом выдачи прогнозов. Простейшим способом проведения такого сравнения является организация «соревнования» между сопоставляемыми альтернативными вариантами предсказания будущего в ходе их совместной фактической или гипотетической апробации на практике. О том, каким образом аналитик может обеспечить своему прогнозному алгоритму победу в подобном соревновании, мы сейчас и поговорим.

Поскольку прогнозы в сфере экономики выдаются в целях их использования в какой-либо хозяйственной деятельности, любое влияние на ход которой, теоретически, можно рассматривать как управление ею, а оценка эффективности прогнозирования производится в основном по результатам указанной деятельности, — проблема выдачи предсказаний представляется во многом аналогичной проблеме оптимального управления инвестициями, рассмотренной в двух предыдущих параграфах. В этом свете понятие «прогнозный алгоритм» становится отчасти эквивалентным понятию «стратегия управления инвестиционным портфелем». Хотя существуют и некоторые отличия, из которых самое важное для нас заключается в том, что прогнозный алгоритм по сути является, скажем так, открытым для всеобщего ознакомления описанием и обоснованием стратегии управления портфелем. С этим обоснованием иногда возникают серьезные проблемы. В случае же, соответствующем заголовку настоящего параграфа, проблемы эти могут сильно «спутать карты» аналитика, пытающегося превзойти своего соперника в деле создания предсказывающих алгоритмов.

Представим, к примеру, что вы работаете в одной из фирм специалистом по ценным бумагам, и что ваш коллега «по цеху» представил на рассмотрение руководства одну стратегию торговли акциями, которая по его словам хорошо показала себя при тестировании на прошлом. Согласно ей вложение капитала в акции (если оно на текущий момент еще не произведено) следует осуществлять тогда, когда на рынке уже как минимум три последних дня (к которым относятся текущий день и два предшествующих) наблюдается снижение цены этих акций по отношению к цене предыдущих торгов. Продавать же акции рекомендуется в дни, когда имеет место обратная ситуация, то есть наблюдается монотонный рост их цены в течение трех последних дней. Эту стратегию можно также назвать прогнозным алгоритмом, поскольку необходимость совершения покупок и продаж акций именно в указанные моменты времени в данном случае, несомненно, обосновывается ожиданием грядущих повышений или падений цены, а не какими-то иными причинами, не связанными с прогнозированием.

Весьма вероятно, что в подобных обстоятельствах вам очень захочется «переплюнуть» соперника, придумав более привлекательную технику ведения торговли. Насколько осуществимо это желание, зависит от того, каким образом будут сравниваться эффективности созданных вами и вашим соперником стратегий. Если между ними просто устроят «соревнование», с тем чтобы впоследствии отдать предпочтение той из них, которая принесет более высокую доходность, то ваши шансы на успех довольно велики. Поскольку, как уже было показано в предыдущих параграфах, любому заранее определенному способу управления инвестициями можно найти альтернативу, дающую лучшие результаты с вероятностью значительно превышающей 50%. В нашей ситуации для получения с очень высокой вероятностью большей доходности по сравнению с той, которую принесет стратегия вашего коллеги, было бы достаточно при проведении синхронных «состязаний» сначала хотя бы незначительно «обогнать» его путем инвестирования капитала в активы, доходность которых не коррелирует с доходностью его портфеля, а затем зафиксировать достигнутый результат путем простого «копирования» состава портфеля соперника вплоть до самого окончания «соревнования».⁶⁵ Ранее мы уже неоднократно применяли этот принцип при построении оптимальных стратегий управления.

Но как представить подобную линию поведения в формальном виде (то есть перевести на алгоритмический язык), не раскрыв при этом секрет приносимого ею успеха? Ведь если вы заявите, что оптимальные с вашей точки зрения моменты покупки и продажи акций определяются не столько рыночной конъюнктурой, сколько текущим соотношением стоимостей вашего портфеля и портфеля соперника, то в лучшем случае вас назовут большим оригиналом, а в худшем — жуликом.

Вы, конечно, можете заявить, что никакого четко сформулированного принципа принятия решений о покупке или продаже акций у вас нет, и что вы всегда руководствуетесь интуицией. Но в этом случае устроить соревнование между вами и вашим соперником можно будет только в режиме реального времени, на что потребуется «убить» по крайней мере месяц. Провести же гипотетические состязания на каком-то временном интервале из прошлого на базе имеющейся истории рыночных цен будет невозможно, поскольку никто не поверит в то, что ваша «интуиция» не будет основываться на знании этой самой истории.

Подобная проблема зачастую оказывается практически неразрешимой в том плане, что стратегии, обеспечивающие высокое отношение вероятности победы в соревновании к вероятности поражения, обычно бывает трудно формализовать, не раскрывая секрета «трюка», а стратегиям, лишенным данного недостатка, обычно соответствует низкое значение указанного отношения вероятностей, лишь ненамного превышающее единицу. Однако в ряде случаев, к числу которых относится и рассматриваемая нами ситуация, достаточно приемлемое решение существует. Что сейчас и будет доказано.

Допустим, к примеру, что в ответ на инициативу вашего коллеги вы заявили, что, в принципе, не отрицаете высокой эффективности разработанной им стратегии торговли, но, тем не менее, считаете, что она стала бы еще более эффективной, если бы покупку акций она предписывала осуществлять не после трехдневного падения их рыночной цены, а после четырехдневного ее падения.

На первый взгляд никакого подвоха во внесении подобной поправки не содержится. Ее суть заключается всего лишь в незначительном изменении одного из количественных параметров предложенного прогнозного алгоритма. Однако же результаты имитационного моделирования говорят о том, что в случае проведения синхронного соревнования между стратегией вашего коллеги и ее модификацией, предложенной вами, последняя с большей вероятностью выйдет по своей доходности в «лидеры», чем в «аутсайдеры». Так, при математическом ожидании и стандартном отклонении доходности акций составляющих 0,1% и 3% в день, испытательном периоде в один месяц (22 рабочих дня) и нахождении капитала на момент начала соревнований «в деньгах» (а не в акциях) вероятность «победы» вашей стратегии будет равна примерно 50%, а вероятность ее «проигрыша» 29%. При этом 100%-50%- -29%=21% составит вероятность «ничейного» исхода. Таким образом, шансы на успех превышают шансы на неудачу в 50%/29%=1,72 раза!

Поглубже вникнув в суть дела, нетрудно понять причину подобного дисбаланса. Представим, что в ходе соревнования впервые произошло трехкратное падение цены акций и ваш соперник, руководствуясь своим прогнозным алгоритмом, произвел их первую покупку.

Если на следующий день вновь произойдет падение цены, вы также вложите свой капитал в акции, но приобретете при этом большее их количество, поскольку совершите покупку по более низкой цене.⁶⁶ В дальнейшем вплоть до следующей покупки акций стоимость вашего портфеля будет изменяться пропорционально стоимости портфеля соперника, все время превышая ее. Но до следующей покупки акций дело, скорее всего, не дойдет, поскольку прежде необходимо дождаться сначала трехкратного роста их цены (дабы произвести их продажу), а затем — повторного трехкратного падения. Срок же проведения соревнования не так уж велик: он насчитывает всего 22 дня. Да, собственно, и в случае вторичной покупки еще неизвестно, измениться ли ситуация в пользу вашего противника, или же ваше лидирующее положение только укрепится. Таким образом, можно считать, что первое трехкратное падение цены уже приносит вам успех с вероятностью равной почти 50%.

Посмотрим теперь, чего можно ожидать, в случае если вам не повезет и на следующий день после первичной покупки акций вашим соперником их рыночная стоимость вырастет. Понятно, что вам придется продолжать держать свой капитал в деньгах. При этом размер вашего капитала будет оставаться постоянным, тогда как стоимость капитала соперника будет колебаться вместе с ценой акций, а значит, вполне может упасть сколь угодно низко. Стало быть, и в этом случае ваши шансы на успех существуют.

Следовательно, из тех 100%-21%=79%, что составляют вероятность победы в соревновании одного из его участников (т. е. вероятность отсутствия ничейного результата), более половины должно приходиться на вероятность вашей победы. Что и подтверждается результатами имитационного моделирования.

Необходимо, однако, заметить, что если соревнование будет проводиться путем тестирования стратегий на том же временном интервале из прошлого, на котором ваш коллега производил настройку параметров своего прогнозного алгоритма, то вероятность вашей победы, скорее всего, уменьшится, причем довольно существенно. Поэтому подобного варианта организации состязаний допускать не следует.

Заметим также, что в рассмотренном нами примере вероятности различных исходов соревнования определяются, прежде всего, продолжительностью испытательного периода. Так, в случае увеличения его продолжительности до 65 дней вероятности вашей победы и вашего проигрыша увеличились бы до 58% и 41%, соответственно (вероятность ничейного результата сократилась бы до 1%). От математического же ожидания доходности акций, а также от ее стандартного отклонения итог соревнования практически не зависит, поскольку в любом случае и для любого дня вероятность роста цены акций по отношению к дню предыдущему приблизительно равна вероятности ее падения.

§6.4. Игра «в нетранзитивные отношения».

В оглавление

В параграфе 1.5 нами был рассмотрен феномен нетранзитивных отношений и дан общий обзор случаев, в которых это явление может возникать самопроизвольно. Сейчас же мы опишем некоторые пути искусственного создания условий, обеспечивающих возникновение подобного явления, и укажем способы его практического использования. Наше внимание будет направлено исключительно на фондовый рынок, поскольку ценные бумаги, будучи одними из самых ликвидных активов, дают инвестору возможность синтезировать чрезвычайно разнообразные ситуации, причем позволяют это делать особенно легко и с минимальными затратами. Хотя опять же не следует забывать о том, что при желании все нижесказанное, в принципе, можно применить и в других сферах экономической деятельности.

Дабы сделать наше повествование более понятным, мы, для начала, еще раз воспользуемся упрощенной моделью процесса изменения цены акций, к которой мы уже обращались в §5.7.

Допустим, что сегодняшняя рыночная стоимость акций составляет 100 руб./шт. В будущем же эта цена ежедневно будет либо увеличиваться ровно на 1 руб./шт., либо уменьшаться на ту же величину по отношению к дню предыдущему. При этом вероятность ее роста равна вероятности падения.

Установим для этой цены две контрольные отметки, верхнюю на уровне 102 руб./шт., а нижнюю на уровне 99 руб./шт. Понятно, что если мы будем ждать неограниченно долго, то рано или поздно стоимость акций в процессе своих изменений достигнет по крайней мере одной из этих отметок, ибо вероятность ее бесконечных колебаний внутри интервала с границами 99 и 102 руб./шт. равна нулю.

Допустим теперь, что на сегодняшний день мы располагаем денежной суммой в 100 тыс. руб., которую собираемся сегодня же инвестировать в акции. Допустим также, что мы вознамерились продать все эти акции сразу же, как только их рыночная цена «дойдет» до одной (любой) из двух установленных нами контрольных отметок, и в дальнейшем держать свой капитал «в деньгах».

При указанных обстоятельствах, стоимость нашего инвестиционного портфеля рано или поздно составит либо 99 тыс. руб., либо 102 тыс. руб. Вероятности обоих этих исходов можно легко найти, если принять во внимание тот факт, что вложение денег в подобные акции каждый день будет приносить прибыль, средняя ожидаемая величина которой равна нулю, а значит, математическое ожидание стоимости, которую наш капитал будет иметь в любой будущий момент времени, должно равняться его исходной величине, а именно 100 тыс. руб. Данное требование будет выполняться лишь в том случае, если вероятность P₁ продажи акций с убытком будет относиться к вероятности P₂ их продажи с прибылью как (102 – 100) к (100 – 99) или как два к одному. Поскольку только при выполнении этого условия имеет место равенство P₁ · 99 + P₂ · 102 = 100. Таким образом, мы имеем P₁=1/3 = 33.33% и P₂ = 2/3 = 66.66%.

На основе приведенных соображений можно сделать и более общий вывод: вероятность того, что в течение бесконечно длинного периода времени цена рассматриваемых нами акций впервые уменьшится (по отношению к своему первоначальному значению) на Δ₁ руб./шт. прежде, чем она впервые увеличится на Δ₂ руб./шт., относится к вероятности противоположного события как Δ₂/Δ₁.

Назовем вышеописанный план управления нашим инвестиционным портфелем стратегией S₁. В качестве альтернативы ей будем рассматривать стратегию S₂, отличающуюся от S₁ только тем, что уровни контрольных отметок в ней будут составлять не 99 и 102 руб./шт., а 98 и 101 руб./шт. Кроме того, не будем забывать о существовании тривиального варианта инвестирования, заключающегося в простом держании капитала «в деньгах» в течение всего рассматриваемого периода времени; его мы назовем стратегией S₀.

Представим теперь, что три инвестора, каждый из которых располагает капиталом в 100 тыс. руб., собираются реализовывать стратегии S₀, S₁ и S₂, соответственно. Стоимость, которую их капиталы будут иметь по прошествии достаточно длительного временного интервала (настолько длительного, что к его окончанию все три капитала с практически стопроцентной вероятностью будут находиться «в деньгах»), мы обозначим через C₀, C₁ и C₂.

Распределение вероятностей C₀, C₁ и C₂ отражено в следующей таблице:

*Таблица 6.4.1. Распределения вероятностей конечной стоимости капитала.*
	98 тыс. р.	99 тыс. р.	100 тыс. р.	101 тыс. р.	102 тыс. р.
C₀			1
C₁		2/3			1/3
C₂	1/3			2/3

Рассчитаем теперь вероятности того, что C₀ окажется больше чем C₁, C₁ — больше чем C₂, а C₂ — больше C₀.

Первую и последнюю из них мы найдем легко: обе они равны 2/3 или 66,66…%. Вторую же вероятность необходимо рассчитывать с учетом зависимости случайных величин C₁ и C₂, что несколько усложняет задачу.

Обратите внимание на то, что из четырех фигурирующих в нашем примере контрольных отметок ближайшими к первоначальной цене акций сверху и снизу являются те, что установлены на уровнях 99 и 101 руб./шт. В процессе своего изменения цена акций должна достичь одной из них раньше, чем она достигнет более удаленных отметок. Следовательно, прежде чем оба инвестора, реализующие нетривиальные стратегии S₁ и S₂, осуществят продажу своих акций согласно намеченным планам (в результате чего обе случайные величины C₁ и C₂ примут по одному из своих возможных значений), непременно произойдет одно из двух следующих взаимоисключающих событий:

а) цена акций снизится до 99 руб./шт. прежде, чем она впервые поднимется до 101 руб./шт. (в результате чего C₁ примет значение 99 тыс. руб.);

б) цена акций поднимется до 101 руб./шт. прежде, чем она впервые снизится до 99 руб./шт. (в результате чего C₂ примет значение 101 тыс. руб.).

Первое из них мы будем называть событием А, а второе — событием Б. Оба они равновероятны, поскольку уровень в 99 руб./шт. отстоит от первоначальной цены акций на то же расстояние, что и уровень в 101 руб./шт.

Вероятности принятия переменной C₂ значений 98 и 101 тыс. руб. при условии реализации события А составляют, соответственно, 2/3 и 1/3; так как в момент осуществления А текущая цена акций будет равна 99 руб./шт., а контрольная отметка в 98 руб./шт. находиться в два раза ближе к этому уровню, чем отметка в 101 руб./шт.

Рассуждая аналогичным образом, можно утверждать, что вероятности принятия переменной C₁ значений 99 и 102 тыс. руб. при условии осуществления события Б составляют, соответственно, 1/3 и 2/3.

Величина C₁ окажется больше C₂ в двух случаях:

а) если произойдет событие А и после этого C₂ примет значение 98 тыс. руб.;

б) если произойдет событие Б и после этого C₁ примет значение 102 тыс. руб.

Следовательно, вероятность того, что стратегия S₁ принесет большую доходность, чем S₂, равна .

Таким образом, мы нашли все три интересующие нас вероятности:

P(C₀ > C₁) = 2/3 = 66.66...%,

P(C₁ > C₂) = 2/3 = 66.66...%,

P(C₂ > C₀) = 2/3 = 66.66...%.

Будем говорить, что стратегия S_i доминирует над стратегией S_j, если S_i с вероятностью превышающей 50% позволяет инвестору получить более высокую доходность по сравнению с S_j. Отношение доминирования обозначим символом «», причем «имя» доминирующей стратегии будем ставить слева от этого знака, а «имя» доминируемой — справа. (Таким образом, запись S_iS_j будет означать, что P(C_i > C_j) > 50%.)

На основе вышерассчитанных вероятностей можно записать:

S₀S₁, S₁S₂, S₂S₀.

Из чего следует нетранзитивность заданного нами отношения доминирования.

Каким образом эта нетранзитивность может использоваться на практике?

Одно из возможных ее приложений — организация состязаний в умении управлять портфелем инвестиций, в которых сам их организатор будет побеждать гораздо чаще, чем проигрывать. Например, располагая тремя вышерассмотренными стратегиями S₀, S₁ и S₂, вы можете заявить общественности о том, что разработали три схемы управления инвестициями, каждая из которых является оптимальной при соответствующих обстоятельствах. После этого вы можете предложить одному из своих сослуживцев посоревноваться с вами в умении правильно выбрать «наилучшую» из этих трех стратегий на следующих условиях.

Сначала оба участника соревнований делают свои взносы в призовой фонд. Причем размер вашего взноса относится к размеру взноса соперника, ну скажем, как 55 к 45 (то есть вы сразу же предоставляете своему противнику солидную фору). Далее ваш соперник первым! выбирает из S₀, S₁ и S₂ наилучшую с его точки зрения стратегию, после чего уже из числа оставшихся двух! стратегий выбор делаете вы. Затем каждый из соревнующихся начинает фактически или гипотетически управлять своим инвестиционным портфелем в соответствии с избранным вариантом действий. Тот, кто в конечном итоге сумеет достичь более высокой доходности, объявляется победителем и забирает призовой фонд.

Казалось бы, подобные условия предоставляют вашему сопернику слишком много преимуществ. В действительности же, преимущество он получает только одно: «искривленное» в его пользу соотношение ставок. Право же выбрать себе стратегию первым не только не дает ему никаких выгод, но, наоборот, обеспечивает ему поражение с вероятностью 66,6…%, в случае если он этим правом воспользуется. Ведь, благодаря нетранзитивности вышеописанных отношений доминирования, в числе двух невыбранных им стратегий вы всегда сможете отыскать ту, что принесет вам победу с вероятностью 66,6…%. Стало быть, для того чтобы такая игра стала справедливой, отношение ставок в ней должно составлять не 55 к 45, а 66,6… к 33,3… или два к одному в пользу вашего соперника. При условиях же сформулированных выше средняя ожидаемая величина вашего выигрыша будет равна 45% · 2/3 − 55% · 1/3 = 11.66% от суммы призового фонда.

Вполне возможно, что человеку несклонному к риску предложенный вариант организации игры «в нетранзитивные отношения» покажется делом чересчур рискованным, ведь все-таки вероятность проигрыша существует, и довольно большая. Таким людям можно порекомендовать производить диверсификацию своих «капиталовложений» в организацию подобных мероприятий. Для этого достаточно будет устроить соревнования не с одним, а сразу с несколькими соперниками, причем желательно на одном и том же временном интервале и с использованием одних и тех же акций. Допустим, например, что вы организовали такой «сеанс одновременной игры» с тремя противниками, и один из них выбрал себе стратегию S₀, другой — S₁, а третий — S₂. В этом (идеальном) случае, независимо от того, как будет изменяться цена акций, вас будут ждать ровно две победы и ровно одно поражение. Так что, при равенстве размеров призовых фондов во всех трех «партиях», риск будет полностью устранен.

Короче говоря, высокая практическая значимость искусственного синтеза «нетранзитивных ситуаций» налицо. Однако необходимо признать, что поскольку примененная нами модель колебаний цен акций является весьма примитивной и явно неадекватной реальности, возможность создания на практике того, что нам удалось создать в рамках нашей упрощенной модели пока еще находится под вопросом.

Действительно, процесс изменений реальных цен гораздо более сложен. Но, тем не менее, эти сложности, как сейчас будет показано, не меняют положение дел принципиально, хотя определенные проблемы, конечно, создают.

Во всех примерах, которые сейчас будут рассмотрены, мы будем предполагать, что, во-первых, дневная доходность акций имеет математическое ожидание и стандартное отклонение 0,1% и 3%, соответственно, а во-вторых, эта доходность с прибавленной к ней единицей (коэффициент роста стоимости) имеет логнормальное распределение вероятностей.

Для начала, докажем возможность воссоздания в условиях этой, более адекватной модели действительности ситуации, аналогичной только что описанной.

Проанализируем три следующие стратегии управления портфелем инвестиций в течение инвестиционного периода, продолжительность которого равна 3 месяцам (или 65 рабочим дням).

Первая из них тривиальна и заключается, собственно говоря, в неосуществлении каких бы то ни было инвестиций в течение указанного периода времени или, другими словами, — во «вложении» капитала «в деньги» сроком на все три месяца.

Вторая стратегия состоит в том, чтобы (а) вложить капитал в акции в самом начале инвестиционного периода, (б) продать все эти акции сразу же, как только их цена снизится ниже 95% или поднимется выше 115% от своего значения на начало периода, и (в) далее всю оставшуюся часть инвестиционного периода держать капитал «в деньгах».

И наконец, третья стратегия в качественном отношении аналогична второй, и отличается лишь тем, что соответствующие контрольные отметки в ней установлены на уровнях в 88% и 107% от первоначальной стоимости акций.

Обозначим доходности, приносимые этими тремя стратегиями, соответственно, через r₁, r₂ и r₃. (Последние две из этих переменных являются случайными величинами, первая же при любых обстоятельствах равна нулю.) При помощи имитационного моделирования найдем вероятности того, что на одном и том же трехмесячном интервале времени (и при работе с одними и теми же акциями) первая стратегия принесет более высокую доходность, чем вторая, вторая — более высокую, чем третья, а третья — более высокую, чем первая. После проведения одного миллиона экспериментов были получены следующие цифры:

P(r₁ > r₂) = 66.6%,

P(r₂ > r₃) = 66.4%,

P(r₃ > r₁) = 66.1%.

Таким образом, в практически реальных условиях мы сумели создать ситуацию, в которой явление нетранзитивности проявляется почти в той же степени, что и в условиях упрощенной модели действительности. Незначительное же снижение эффекта (заключающееся в том, что все три вышеприведенные вероятности немного «не дотягивают» до 66,66…%) объясняется двумя следующими причинами.

Во-первых, в процессе своего изменения цена акций может за один день «перескочить» не через одну, а сразу через две контрольные отметки, относящиеся к двум разным стратегиям, в результате чего обе эти стратегии дают одинаковую доходность. Взгляните на рис.6.4.1. На нем отражено распределение вероятностей случайных величин r₂ (белые столбцы) и r₃ (заштрихованные столбцы). По виду графиков можно сделать вывод о том, что при доходностях меньших чем -12% и больших чем 15% эти графики, пусть в незаметной для глаза степени, «наезжают» друг на друга.

Во-вторых, цена акций может вообще не «перейти» ни через одну из четырех контрольных отметок, принадлежащих двум нетривиальным стратегиям, что также приводит к ничейному результату. Правда, обнаружить наличие такой возможности по рис.6.4.1 визуально невозможно.

Таковы основные издержки практической реализации данного метода, основным средством борьбы с которыми являются «раздвижение» уровней контрольных отметок и увеличение длительности инвестиционного периода.

Обратите внимание на то, что после перехода от упрощенной модели ценовых изменений к более совершенной ранее сформулированный нами «закон» о взаимосвязи уровней контрольных отметок и вероятностей их достижения позволяет производить расчеты лишь с весьма и весьма высокой погрешностью. Так, например, для второй стратегии отношение (115% − 100%) к (100% − 95%) равно 3, тогда как отношение вероятности получения убытков к вероятности получения прибыли приблизительно равно 2. Причина этого заключается, прежде всего, в том, что, во-первых, упрощенная модель гораздо точнее воспроизводит процесс изменения логарифма цены акций, чем процесс изменения самой цены, а во-вторых, она не учитывает того, что цена акций всегда имеет тенденцию к росту.

В связи с этим малоприятным обстоятельством установку уровней контрольных отметок в реальных условиях приходится производить не с помощью расчетов, а путем их подбора на имитационной модели рынка.

Кому-то, быть может, рассмотренные нами стратегии управления покажутся недостаточно сложными и запутанными для того, чтобы с ними можно было пускаться в долговременную игру (заключающуюся в многократной организации соревнований с коллегами), не рискуя при этом «нарваться» на достаточно скорое разоблачение. В этой связи полезно будет заметить, что всякая задача на нахождение нескольких (как минимум трех) стратегий управления инвестициями, циклически связанных вышеопределенным нетранзитивным отношением доминирования, (т. е. задача аналогичная только что рассмотренной нами) имеет по крайней мере два решения. А точнее сказать, для каждого множества «нетранзитивных» стратегий всегда можно указать равное ему по объему множество таких же «нетранзитивных» антистратегий, образующихся посредством, скажем так, инверсии каждого из элементов первого множества. Инверсия эта заключается в том, что в те отрезки времени, когда основная стратегия предписывает держать капитал «в деньгах», соответствующая ей антистратегия предписывает держать капитал в акциях, и наоборот.

В нашем примере мы можем составить следующую группу антистратегий.

Первая из них, опять же тривиальная (в том смысле, что, фактически, она опять же не предполагает совершения каких-либо действий по управлению составом портфеля), будет заключаться в пассивном держании капитала в акциях в течение всего трехмесячного инвестиционного периода.

Вторая будет состоять в том, чтобы (а) в самом начале инвестиционного периода держать капитал в деньгах, (б) вложить все эти деньги в акции сразу же, как только цена последних снизится ниже 95% или поднимется выше 115% от своего значения на начало периода, и (в) далее всю оставшуюся часть инвестиционного периода держать капитал в акциях.

Третья же антистратегия будет отличаться от второй лишь уровнями контрольных отметок: 95% сменятся на 88%, а 115% — на 107%.

Нетрудно заметить, что если один из менеджеров реализует одну из основных стратегий, а другой — соответствующую ей антистратегию, то при равенстве размеров их стартовых капиталов все действия этих менеджеров по управлению составами своих портфелей в течение инвестиционного периода можно представить как простой обмен этими портфелями (один из которых будет состоять из одних только денег, а другой — из одних только акций).

Учитывая это и используя вышеприведенные результаты имитационного моделирования, легко догадаться, что в нашем примере первая антистратегия с вероятностью 66,6% будет приносить менее высокую доходность, чем вторая, вторая с вероятностью 66,4% — менее высокую доходность, чем третья, а третья с вероятностью 66,1% — менее высокую доходность, чем первая. Таким образом, если i-я основная стратегия доминирует над j-й, то j-я антистратегия будет (в точно такой же степени) доминировать над i-й антистратегией.

В принципе, разобраться в отношениях между антистратегиями несложно, если от абсолютной «системы координат» перейти к относительной, в которой нулевая точка шкалы отсчета стоимостей всех инвестиционных портфелей будет «привязана» к текущей стоимости портфеля, управление которым осуществляется согласно тривиальной антистратегии (т. е. если рассматривать не сами стоимости портфелей, а величины разностей между ними и текущей стоимостью капитала, пассивно «лежащего» в акциях). Но поскольку не всякий экономист силен в теории относительности, использование антистратегий при проведении вышеописанных соревнований, безусловно, следует считать более предпочтительной альтернативой в тех случаях, когда требуется скрыть секрет своего «поразительного» успеха.

Кстати, масштабы этого успеха могут быть существенно увеличены посредством перехода от использования системы трех «нетранзитивных» стратегий к четырехэлементной системе.

Будем считать продолжительность инвестиционного периода по-прежнему равной трем месяцам. Рассмотрим следующие четыре стратегии управления портфелем инвестиций.

Первая из них, тривиальная, будет, как и прежде, заключаться в держании капитала в деньгах в течение всех трех месяцев.

Вторая же, третья и четвертая будут заключаться в держании капитала в акциях в начале инвестиционного периода, последующем его переложении «в деньги» (путем продажи акций) сразу же, как только цена акций «перейдет» одну из двух контрольных отметок, и дальнейшем держании капитала в деньгах вплоть до конца инвестиционного периода. Отметки эти (в процентах от первоначальной стоимости акций) установим на уровнях в 95% и 123% для второй стратегии, 88% и 116% — для третьей, 82% и 108% — для четвертой.

При таком раскладе вероятности того, что первая стратегия принесет большую доходность, чем вторая, вторая — большую, чем третья, третья — большую, чем четвертая, а четвертая — большую, чем первая, составят примерно 72%, 71%, 73% и 72%, соответственно. Теоретически же достижимый предел для этих вероятностей равен 75%,⁶⁷ так что увеличение продолжительности инвестиционного периода и более тщательный подбор значений контрольных отметок могли бы дать еще более впечатляющие результаты.

Наряду с примененным нами в вышерассмотренных примерах принципом построения «нетранзитивных» стратегий управления (основанном на установке поглощающих барьеров для стоимости портфеля) существуют и иные, более сложные для понимания технологии создания аналогичной «продукции». Одну из них мы сейчас изложим.

Будем считать, что продолжительность инвестиционного периода равна одному месяцу (22-м рабочим дням). Допустим, что наряду с возможностью инвестирования капитала в акции с математическим ожиданием и стандартным отклонением доходности 0,1% и 3% в день, существует также возможность его вложения в облигации, доходность которых стабильна и составляет 0,07% в день.

Исследуем три следующие стратегии управления инвестициями.

Первая, тривиальная, состоит в том, чтобы на весь инвестиционный период вложить капитал в облигации.

Вторая заключается в формировании состава портфеля согласно следующему правилу: когда текущая стоимость портфеля, выраженная в процентах от своего значения на начало периода, находится в интервале от 95% до 99% или же превышает 107%, следует вкладывать 10% капитала в акции, а остальные 90% — в облигации; когда же указанное условие не выполняется, все 100% капитала следует инвестировать в акции.

Третья стратегия аналогична второй, только условием вложения 90% капитала в облигации является нахождение текущей стоимости портфеля (выраженной в процентах от ее первоначального значения) в интервале от 103% до 107% или ее снижение ниже 95%.

Понятно, что доходность пассивного вложения денег в облигации сроком на 22 дня при любых обстоятельствах составит 1.0007²² − 1 = 1.55%. Доходности же, приносимые двумя нетривиальными стратегиями управления портфелем, являются случайными величинами. Графики распределения их вероятностей приведены на рис.6.4.2. (Прозрачные столбцы соответствуют второй стратегии, затемненные — третьей.)

Обратите внимание на то, что, согласно диаграмме, величина стоимости портфеля на конец инвестиционного периода, выраженная в процентах от своего первоначального значения, при реализации второй стратегии почти никогда не будет попадать в интервалы от 0% до 95% и от 99,5% до 107%. При этом мы знаем, что данная стратегия предписывает держать весь капитал в акциях при нахождении текущей стоимости портфеля, выраженной в тех же процентах, примерно в этих же самых интервалах.

Аналогичный факт обнаруживается и при анализе третьей стратегии.

Разумеется, подобное совпадение не случайно. При достаточно большой продолжительности инвестиционного периода оно будет иметь место всегда. Вообще говоря, умело используя данное явление, можно синтезировать стратегии управления инвестициями с произвольным распределением вероятностей конечной стоимости капитала. В нашем же примере мы создали распределения сходные с отображенными на рис.6.4.1, в результате чего должен возникать эффект нетранзитивности.

Согласно результатам имитационного моделирования, вероятности того, что на одном и том же временном интервале первая из наших стратегий принесет большую доходность, чем вторая, вторая — большую, чем третья, а третья — большую, чем первая, равны, соответственно, 62,7%, 62,7% и 61,9%. То есть первая из них доминирует над второй, вторая — над третьей, а третья — над первой.

В заключение параграфа напомним о том, что один вариант дальнейших действий может доминировать над другим не только в том смысле, что с его помощью можно с вероятностью, превосходящей 50%, достичь более высокой доходности или стоимости капитала. Место доходности и стоимости в определении отношения доминирования может занять, в частности, такой показатель, как срок достижения какой-либо цели, например время роста капитала до какого-то заданного уровня. При этом подобное отношение доминирования также может оказаться нетранзитивным, а значит, также может использоваться экономистом в целях обеспечения собственной победы в соревнованиях с коллегами по работе. Кстати, рассмотренные нами методы при соответствующей их доработке вполне позволяют создавать системы стратегий, нетранзитивно доминирующих одна над другой по времени достижения капиталом заданного уровня.

§6.5. Игра «в парадокс Блая».

В оглавление

Еще одним средством повышения вероятности своей победы в соревновании с сослуживцами является использование парадокса Блая, «презентация» которого состоялась в параграфе 1.6.

Для искусственного создания ситуаций, в которых он проявляется, вполне годится методика, уже применявшаяся нами ранее при синтезе систем «нетранзитивных» стратегий.

Рассмотрим простейший пример.

Проанализируем три следующих стратегии управления портфелем инвестиций.

Первая заключается в том, чтобы держать капитал в акциях, до тех пор пока их рыночная цена находится в интервале между 97% и 102% от своего значения на начало инвестиционного периода, а затем продать эти акции и до конца периода держать капитал в деньгах (не глядя на дальнейшие изменения цены).

Вторая стратегия тривиальна, она не предполагает никаких инвестиций и предписывает держать капитал исключительно «в деньгах».

Третья заключается в том, чтобы держать капитал в акциях, до тех пор пока их рыночная цена находится в интервале между 95% и 108% от ее первоначального значения, а затем хранить капитал до конца инвестиционного периода в деньгах.

Обозначим доходности, приносимые этими тремя стратегиями, через r₁, r₂ и r₃ соответственно.

Воспользуемся еще раз упрощенной моделью изменений цены акций, то есть предположим, что цена эта ежедневно с равными вероятностями либо увеличивается, либо уменьшается на один процент от своего значения на начало инвестиционного периода. Будем также считать, что продолжительность этого периода достаточно велика, и к его окончанию инвестор, какую бы из трех стратегий он ни использовал, будет держать свой капитал в деньгах.

При таких допущениях вероятности того, что первая стратегия принесет большую доходность, чем вторая, вторая — большую, чем третья, а третья — меньшую, чем первая, составят:

А вероятности того, что на одном и том же временном интервале (и при работе с одними и теми же акциями) первая стратегия даст большую доходность, чем вторая и третья, вторая — большую, чем первая и третья, а третья — большую, чем первая и вторая, будут равны:

Как видите, парадокс Блая в данном случае проявляется в гораздо большей степени, чем в примерах, приведенных в §1.6. Что является следствием зависимости между случайными величинами r₁ и r₃.

Попробуем теперь воссоздать данную ситуацию в условиях приближенных к реальности.

Будем считать, что коэффициент дневного роста стоимости акций имеет логнормальное распределение вероятностей, дневная доходность акций имеет математическое ожидание 0,1% и стандартное отклонение 3%, а продолжительность инвестиционного периода составляет три месяца (или 65 рабочих дней).

Произведем перенастройку количественных параметров наших стратегий. Контрольные отметки в 95%, 97% и 102% перенесем на уровни в 89%, 94% и 104%, соответственно, а отметку в 108% вообще ликвидируем, или точнее, перенесем на бесконечно высокий уровень.

Посредством имитационного моделирования произведем пересчет всех вероятностей:

Эффект, как видите, несколько снизился, чего, собственно, следовало ожидать.

Укажем теперь один из возможных путей практического использования парадокса Блая. Он опять же будет заключаться в организации соревнований с коллегами по работе.

Допустим, что, имея «на руках» три рассмотренные нами «парадоксальные» стратегии, вы предложили одному своему сослуживцу посоревноваться с вами в умении выбрать из них «наилучшую» на следующих условиях.

Сначала каждый вступающий «в игру» вносит по 100 рублей в призовой фонд. Вы же, помимо этого «вступительного» взноса, (в порядке предоставления форы своему «молодому» коллеге) добавляете в призовой фонд еще 10 рублей собственных денег. Затем ваш соперник выбирает себе одну (наилучшую с его точки зрения) из трех предложенных вами стратегий, после чего вы (по своему желанию) выбираете себе либо какую-то одну из двух оставшихся стратегий, либо сразу обе. В последнем случае вы вносите в призовой фонд еще 100 руб. (поскольку, «делая ставку» сразу на две стратегии, вы увеличиваете свои шансы на победу, что, разумеется, должно быть скомпенсировано увеличением размеров возможного проигрыша). Далее, на каком-то (одном и том же) трехмесячном временном интервале производится тестирование тех (двух или трех) стратегий, которые были избраны соревнующимися, с целью нахождения той из них, которая принесет (на данном интервале) наибольшую доходность. После чего победителем признается тот из «игроков», кто выбрал себе наиболее доходную стратегию. Он и забирает себе призовой фонд.⁶⁸

Предположим, что ваш коллега согласился посоревноваться с вами и выбор его пал на вторую или на третью стратегию. Тогда, избрав для себя первую стратегию, вы обеспечите себе победу с вероятностью чуть более 60% (будем считать ее равной 60%). При этом математическое ожидание вашего выигрыша составит:

100 · 60% − 110 · (1 − 60%) = 16 рублей.

А теперь предположим, что соперник избрал первую стратегию. В этом случае для вас лучше всего будет «сделать ставку» сразу на обе оставшиеся стратегии. Тогда вероятность поражения противника составит 30%, и, следовательно, математическое ожидание вашего выигрыша будет равно:

100 · (1 − 30%) − 210 · 30% = 7 рублей.

Поскольку средний ожидаемый размер выигрыша при любых действиях противника положителен, такая игра будет выгодна для вас.

Кстати, выгодность ее, теоретически, могла бы быть заметно выше, если бы нам удалось найти такие три стратегии управления инвестициями, доходности которых r₁, r₂ и r₃ с нижеуказанными вероятностями удовлетворяли бы какому-то одному из трех следующих неравенств:

r₃ < r₁ < r₂ с вероятностью 40%,

r₁ < r₂ < r₃ с вероятностью 40%,

r₃ < r₂ < r₁ с вероятностью 20%.

Легко рассчитать, что при таком раскладе имело бы место следующее:

В этом случае математическое ожидание вашего выигрыша в вышеописанной игре при выборе соперником первой стратегии составило бы уже не 7 рублей, а целых:

100 · (1 − 20%) − 210 · 20% = 38 рублей.

Так что, поиск оптимальных (в данном отношении) практически реализуемых стратегий, с точки зрения теории, имеет смысл продолжать.

И не следует забывать о том, что для каждой «парадоксальной» системы стратегий существует не менее «парадоксальная» система антистратегий (см. §6.4), использование которой иногда может оказаться более приемлемым вариантом.

Раздел 7. Использование несостоятельности традиционных мер риска.

Подавляющее большинство экономистов рассматривают экономический риск как фактор неблагоприятный. Причиной тому служат в основном два следующих обстоятельства.

Во-первых, риск снижает средние ожидаемые значения показателей эффективности экономической деятельности по отношению к их номинальным (расчетным, запланированным и т.д.) значениям. Во-вторых, даже в том случае если означенного снижения не происходит, риск увеличивает степень неопределенности будущего, что уже само по себе воспринимается большинством инвесторов как негативный момент, поскольку охотников рисковать необходимым в надежде приобрести излишнее обычно находится не много.

Так как первое из указанных обстоятельств, как правило, находит достаточно полное отражение в существующих показателях экономической эффективности, не имеет особого смысла создавать критерий оценки риска, учитывающий данный фактор. Поэтому применяемые современными учеными критерии собственно риска служат, в основном, мерой неопределенности количественных результатов экономической деятельности. О таких критериях, об их недостатках, а также о способах использования этих недостатков мы сейчас и поговорим.

§7.1. Сигма.

В оглавление

Из всех критериев, отражающих степень неопределенности случайной величины, важнейшим для нас, разумеется, является ее стандартное отклонение. Поэтому в качестве меры риска инвестиции, доходность которой заранее не известна, наиболее часто используют стандартное отклонение этой доходности. При этом обычно предполагают, что в случае равенства средних ожидаемых доходностей наиболее предпочтительным для рационального инвестора всегда является тот инвестиционный проект, доходность которого имеет наименьшее стандартное отклонение, а в случае равенства стандартных отклонений — тот, что имеет наибольшую среднюю доходность.

На первый взгляд, такое предположение кажется вполне логичным, естественным и бесспорным. И тем не менее, мы сейчас легко докажем, что инвестор, имеющий подобные предпочтения, отнюдь не рационален.

Для начала же мы обратим внимание на некоторые возможности, предоставляемые инвестору достаточно развитым фондовым рынком, а также на то, каким образом эти возможности формируют цели данного инвестора.

Прежде всего, необходимо заметить, что на фондовом рынке, как правило, существует возможность безрискового инвестирования денег, то есть вложения их в такие активы, доходность которых r_f заранее известна абсолютно точно. Кроме того, субъекты этого рынка обычно могут в любой момент не только вложить деньги в указанные активы, но также и заимствовать необходимую им сумму приблизительно по той же ставке r_f, что можно рассматривать как «антивложение» денег или как вложение «со знаком минус». И наконец, не следует забывать о том, что всякий инвестор, как правило, бывает в состоянии диверсифицировать свой инвестиционный портфель, распределяя свои вложения между несколькими видами активов. Причем доля безрисковых активов в этом портфеле (с учетом сделанного выше замечания) может быть не только положительной, но и отрицательной.

Допустим, что инвестор имеет возможность вложить деньги в рискованные активы, скажем, в акции, математическое ожидание и стандартное отклонение доходности которых составляют, соответственно, r и σ годовых единиц. Кроме того, он может вложить свой капитал в банк или же взять в банке кредит на любую интересующую его сумму. При этом депозитная и кредитная банковские ставки составят r_f годовых единиц. Если такой инвестор вложит одну долю своего капитала в акции, а оставшуюся его долю — в банк, то, используя размеры этих долей в качестве весовых коэффициентов, можно вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение общей доходности его портфеля как средневзвешенные значения соответствующих показателей доходностей акций и банковского вклада. Так, например, при инвестировании 40% своего капитала в акции, а оставшихся 60% в банковский депозит, среднее значение и стандартное отклонение общей доходности портфеля будут равны, соответственно, 0.4 · r + 0.6 · r_f и 0.4 · σ + 0.6 · 0 = 0.4 · σ годовым единицам. Если же инвестор возьмет в банке кредит на сумму, по величине равную, скажем, 30% от его собственных средств, а затем вложит все имеющиеся на руках деньги (которые составят 130% от собственного капитала) в акции, то соответствующие параметры его инвестиционного портфеля будут равны 1.3 · r − 0.3 · r_f и 0.4 · σ − 0.3 · 0 = 1.3 · σ годовым единицам.

Если каждому входящему в портфель активу поставить в соответствие точку на плоскости с координатами, соответствующими его средней доходности и риску (см. рис.7.1.1), то точка, отражающая параметры портфеля в целом (точка портфеля), будет располагаться где-то на луче, выходящем из точки банковского депозита-кредита и проходящем через точку акций. Ее конкретное местоположение будет зависеть от распределения долей капитала между этими двумя активами. На рис.7.1.1 этот луч, который мы будем называть лучом или областью достижимых точек портфеля, отмечен линией.

Допустим теперь, что инвестор может управлять значениями параметров r и σ своих рискованных инвестиций, например, путем выбора эмитента, в акции которого он вкладывает деньги. По какому принципу ему следует осуществлять этот выбор? Совершенно очевидно, что оптимальными значениями показателей r и σ будут такие, при которых достигает своего максимума величина отношения «риск-премия/риск» ; ибо, чем больше это отношение, тем больше угол α, под которым луч достижимых точек портфеля выходит из точки безрисковых активов.

Теперь мы можем перейти к рассмотрению следующего примера.

Пример 7.1.1. Улучшение показателей инвестиционного портфеля.

Инвестор держит весь свой капитал в акциях, доходность которых имеет математическое ожидание 60% годовых и стандартное отклонение 70% годовых. Хотя, он имеет возможность вкладывать деньги в банк или же брать в этом банке ссуды. Банковская ставка (как депозитная, так и кредитная) равна 20% годовых. Требуется изыскать пути улучшения параметров портфеля инвестора, а точнее, найти возможность повысить его среднюю доходность, не увеличив при этом стандартного отклонения этой доходности (т.е. не увеличив риска), или же уменьшить указанное отклонение (риск), не снизив при этом среднего значения доходности.

Как обычно, будем предполагать, что доходность акций с прибавленной к ней единицей (коэффициент роста стоимости) имеет логнормальное распределение вероятностей.

На первый взгляд, поставленная задача кажется неразрешимой, поскольку путем простого изменения долей капитала, вкладываемых в акции и в банк, добиться повышения средней доходности можно только ценой увеличения риска и наоборот. Других же заслуживающих внимания вариантов действий вроде бы не обнаруживается.

Однако же, попробуем рассмотреть следующий, вполне осуществимый инвестиционный проект, который далее будем называть проектом «филантроп». Суть его состоит в том, чтобы держать капитал в акциях, но при этом каждый год, в случае если принесенная этими акциями доходность превысит некоторую фиксированную величину a, жертвовать на благотворительные цели сумму, равную выраженной в рублях величине этого превышения. (То есть добровольно урезать получаемую по акциям доходность до величины a, в случае если доходность эта превысит a.)

Разумеется, с точки зрения не страдающего альтруизмом предпринимателя, подобный проект во всех отношениях менее выгоден, чем простое (без запланированной благотворительности) вложение денег в акции. Это совершенно очевидно. И тем не менее, именно проект «филантроп» позволит нам решить поставленную задачу.

В нашем примере отношение риск-премии акций к их риску (стандартному отклонению доходности) составляет (60%-20%)/70%=0,5714. Следовательно, если нам удастся найти хотя бы одно значение величины a, при котором отношение «риск-премия/риск» проекта «филантроп» превысит 0,5714, можно будет считать нашу цель практически достигнутой. Рассчитать же математическое ожидание m(a) и стандартное отклонение σ(a) доходности этого проекта для заданного значения a можно по формулам:

где f(x) — плотность вероятности логнормального распределения с математическим ожиданием 1,6 и стандартным отклонением 0,7 годовых единиц.

На рис.7.1.2 показана траектория движения точки с координатами (σ(a); m(a)) (точки проекта «филантроп») при изменении a от бесконечности до 50%. По графику видно, что с уменьшением значения a отношение «риск-премия/риск» проекта «филантроп» сначала возрастает, а затем снижается. При этом оно (отношение) достигает своего максимального значения (которое равно 0,6171) приблизительно при a=140% и возвращается к исходному уровню 0,5714 приблизительно при a=87%. Оба этих значения a представляют для нас интерес.

Так, при a=140% мы имеем возможность максимально улучшить параметры портфеля инвестора, то есть предложить наиболее эффективное решение нашей задачи. Если мы хотим максимально снизить риск портфеля, не снижая его средней доходности, следует предложить инвестору взять в банке кредит в размере 21,8%⁶⁹ от его собственных средств и вложить все (и собственные, и заемные) деньги в проект «филантроп». Стандартное отклонение доходности, которую инвестор в итоге получит на свой собственный капитал, в этом случае снизится с 70% до 64,8% годовых. Если же мы захотим максимально повысить среднюю доходность портфеля, не увеличивая при этом его риска, нам достаточно будет порекомендовать инвестору взять в банке кредит на сумму равную 31,5% от его собственных денег, после чего опять же инвестировать все имеющиеся в распоряжении средства в проект «филантроп». Математическое ожидание доходности, которую инвестор получит на свой собственный капитал, при этом повысится с 60% до 63,2%. Положение точки портфеля инвестора для обоих этих случаев отмечены на рис.7.1.2 крестами, располагающимися на пунктирной линии. Кроме того, на рис.7.1.3 приведен график плотности вероятности указанной доходности для последнего из двух означенных вариантов действий. Для сравнения, на том же графике пунктирной линией показан график плотности вероятности доходности акций. (Разумеется, можно выбрать и какое-нибудь другое значение размера ссуды из интервала от 21,8% до 31,5%, что приведет к улучшению сразу обоих параметров портфеля, правда, уже в меньших масштабах.)

Однако же значение величины a, равное 140%, не будет являться для нас оптимальным, в случае если наша главная цель состоит не столько в том, чтобы улучшить параметры портфеля инвестора, сколько в том, чтобы максимизировать средний размер денежной суммы, которая по концу года будет перечислена на благотворительные цели. Ведь размер этот будет тем больше, чем меньше окажется избранное нами значение a. Причем не только потому, что доходность акций придется «урезать» чаще и в большей степени, но и потому что при меньшем значении a будет больше величина ссуды, которую потребуется взять в банке и вложить в проект «филантроп» для того, чтобы поднять среднюю доходность портфеля по крайней мере до исходного уровня (60% годовых). Найти отношение среднего размера «благотворительности» к размеру собственного капитала инвестора можно путем расчета значения следующего выражения:

где L — отношение величины займа к величине собственного капитала.

Согласно приведенной формуле, при a=140% и L=31,5% математическое ожидание переданной на благотворительные цели суммы составит от собственного капитала инвестора. Нельзя сказать, что это слишком мало. Но можно добиться и лучших результатов.

Попробуем предложить инвестору взять в кредит 75,6% от его собственных денег и вложиться в проект «филантроп» при a=87%. В этом случае точка его портфеля совпадет с точкой акций (см. рис.7.1.2). (То есть параметры этого портфеля останутся такими же, какими были изначально: математическое ожидание и стандартное отклонение доходности по-прежнему будут равняться 60% и 70% годовых.) Средняя же величина благотворительных пожертвований при этом составит уже целых:

от собственного капитала!

Конечно, к улучшению показателей портфеля подобные действия не приведут, но определенный интерес для инвестора они представлять могут, поскольку получатель пожертвований способен, например, сделать рекламу своему «благодетелю». В крайнем случае, значение величины a можно чуть-чуть увеличить, что даст возможность чуть-чуть улучшить параметры портфеля (при незначительной перенастройке размера кредита).

Таким образом, рассмотренный нами пример показывает, что инвестора, стремящегося повысить математическое ожидание доходности своих инвестиций, не снижая при этом ее стандартного отклонения, или же снизить это отклонение, не уменьшая этим средней доходности, рациональным человеком назвать, в общем-то, нельзя. Поскольку его легко можно «надуть», заключив с ним договор, скажем, на оказание консалтинговых услуг по «оптимизации его инвестиционной политики» и предложив ему впоследствии что-нибудь подобное вышеописанному проекту «филантроп», в котором роль получателя благотворительных пожертвований будет играть, например, сам консультант. Конечно, инвестор при этом поймет, что его несколько «облапошили», но при грамотно составленном договоре сделать уже ничего не сможет, так как, формально, услуги будут оказаны и оплачивать их все равно придется.

Следует, правда, заметить, что результативность вышеописанной методики улучшения основных показателей инвестиционной деятельности существенно зависит от величины отношения «риск-премия/риск» базового инвестиционного проекта (коим в примере 7.1.1 являлось вложение денег в акции). С увеличением этого отношения эффективность метода резко возрастает, а с уменьшением — также резко снижается. Так что, успех гарантирован отнюдь не всегда.

Однако же следует иметь в виду, что применять данную технологию можно не только при планировании будущих действий, но и при анализе результатов прошлой деятельности. Так как среднее значение доходностей, фактически полученных на нескольких прошедших временных отрезках, почти всегда существенно отклоняется в ту или иную сторону от банковской ставки, а разброс их значений может быть как большим, так и незначительным, — отношение разности между средней прошлой доходностью и банковской ставкой к стандартному отклонению прошлой доходности вполне может чисто случайно оказаться достаточно большим. И значит, «урезав» прошлые прибыли под каким-нибудь благовидным предлогом (например, заявив, что чересчур высокие результаты получены чисто случайно и считать их заслугой того, кто осуществлял деятельность, нельзя), можно увеличить отношение «риск-премия/риск» оцениваемой деятельности. Особый интерес такая возможность представляет, в частности, для экономиста, анализирующего доходность и риск прошлых инвестиций в паевой фонд, поскольку величина указанного отношения является главным показателем эффективности работы управляющего фондом.

Покажем теперь, в чем заключается причина представленного в примере 7.1.1 парадокса.

Известно, что нерасположенность среднего инвестора к рискованным вложениям капитала объясняется тем, что степень благополучия, которого он достигнет в случае получения высокой прибыли, как правило, не в полной мере компенсирует степень его относительного неблагополучия, грозящего ему в случае убытков или недополучения прибыли. Именно поэтому, выбирая между безрисковым инвестиционным проектом и рискованным с такой же средней ожидаемой доходностью, инвестор обычно предпочитает вкладывать деньги в безрисковый проект. Предложив такому субъекту для попарного сравнения достаточно большое количество рискованных вариантов вложения средств и выявив его предпочтения, можно построить так называемую функцию полезности данного индивидуума. Функция эта каждому из возможных значений доходности r ставит в соответствие определенное число U (полезность), отражающее степень благополучия инвестора в случае получения им данной доходности в результате инвестирования. Причем соответствие это устанавливается таким образом, что из любых нескольких вариантов вложения денег, распределения вероятностей доходностей которых известны, данный индивидуум всегда предпочтет тот вариант, для которого среднее ожидаемое значение полезности M(U(r)) максимально.

Примечание. Необходимо заметить, что функцию полезности инвестора можно построить лишь в том случае, если его предпочтения удовлетворяют определенным, достаточно тривиальным аксиомам, описание которых можно найти, например, в [9]. Тем не менее, здесь и далее мы предполагаем, что этим аксиомам соответствуют предпочтения любого инвестора, поскольку предпринимателя с иной «системой ценностей» всякий здравомыслящий человек назвал бы абсолютным идиотом.

Понятно, что согласно «физическому» смыслу функции U(r), она должна быть монотонно возрастающей (так как, по идее, большей доходности всегда должна соответствовать большая полезность). Примерный вид этой зависимости показан на рис.7.1.4 сплошной линией. Выпуклость графика вверх говорит о нерасположенности инвестора к риску.

Предполагая, что U(r) — гладкая функция, разложим ее в степенной ряд и найдем математическое ожидание суммы этого ряда:

a₀, a₁, a₂, a₃ … — некоторые коэффициенты.

Как видите, математическое ожидание квадрата доходности M(r²) нам удалось представить в виде функции только лишь математического ожидания доходности и ее стандартного отклонения (M(r²) = M²(r) + σ²(r)). Но сделать то же самое для математических ожиданий более высоких степеней r нам не удастся: они зависят также и от других вероятностных характеристик случайной переменной r. Следовательно, для того чтобы M(U(r)) зависело только от M(r) и σ(r), необходимо, чтобы все коэффициенты разложения функции U(r) в степенной ряд, кроме a₀, a₁ и a₂, равнялись нулю. Другими словами, зависимость U(r) должна представлять собой полином второй степени, а ее график, стало быть, должен представлять собой параболу. Только инвестору, имеющему такую (параболическую) функцию полезности, для сравнения любых двух инвестиционных проектов с точки зрения их предпочтительности будет достаточно знать лишь математические ожидания и стандартные отклонения их доходностей. Всякому же субъекту, чьи предпочтения описываются зависимостью U(r) какого-либо иного вида, знания только лишь этих двух характеристик оцениваемых вариантов вложения денег будет недостаточно для определения наиболее выгодного из них.

С другой стороны, можно прийти и к такому выводу: если инвестор при осуществлении сравнительной оценки любых двух инвестиционных проектов руководствуется лишь математическими ожиданиями и стандартными отклонениями их доходностей, то его предпочтения описываются функцией полезности параболического вида.

Однако, как мы уже замечали выше, функция U(r) любого здравомыслящего индивидуума должна быть монотонно возрастающей, ибо получить более высокую прибыль всегда лучше, чем менее высокую. Полиномиальная же зависимость второй степени U(r) = a₀ + a₁ · r + a₂ · r² является возрастающей при любых значениях r лишь в том случае, если a₁ > 0, а a₂ = 0. Но равенство a₂ = 0 означает нейтральное отношение инвестора к риску вследствие превращения (вырождения) параболической зависимости U(r) в линейную зависимость. Функция же полезности инвестора, не склонного к риску, непременно должна быть выпуклой вверх (по крайней мере, при некоторых значениях аргумента), что при U(r) = a₀ + a₁ · r + a₂ · r² имеет место лишь тогда, когда a₂ < 0. Однако, это требование противоречит сформулированному нами чуть выше необходимому условию монотонного роста U(r).

Примерный вид параболы для случая a₂ < 0 показан на рис.7.1.4 пунктирной линией. Понятно, что выпуклость параболической функции полезности вверх всегда будет сопряжена с ее убыванием при достаточно больших значениях аргумента, а это совершенно недопустимо.

Таким образом доказывается нерациональность предпочтений инвестора, судящего о выгодности инвестиций только лишь по математическому ожиданию и стандартному отклонению их доходностей и при этом не нейтрально относящегося к риску. Отсюда же, вообще говоря, следует вывод о несостоятельности стандартного отклонения доходности как меры риска инвестиций.

Кстати, показать эту несостоятельность можно и более простым путем.

Предположим, к примеру, что некоторый инвестиционный проект обещает принести либо доходность r₁, равную банковской ставке r_f, либо доходность более высокую, составляющую r₂ годовых единиц. При этом математическое ожидание доходности этого проекта равно r годовым единицам.

Обозначив через p вероятность неудачного исхода дела (то есть исхода, при котором доходность инвестиций будет равна банковской ставке), мы можем записать: r = p · r₁ + (1 − p) · r₂.

Из этого равенства следует: .

Стандартное отклонение доходности рассматриваемого проекта равно:

При достаточно большой величине r₂ это отклонение может быть сколь угодно большим, так как:

А значит, при использовании стандартного отклонения доходности в качестве меры риска, степень рискованности нашего проекта может оказаться сколь угодно высокой, несмотря на то, что он в любом случае приносит доходность либо равную банковской ставке, либо превышающую ее (и, стало быть, безусловно является более предпочтительным вариантом вложения капитала, чем банковский депозит).

Разумеется, подобный результат плохо согласуется с нашими интуитивными представлениями о степени риска.

§7.2. Бета.

В оглавление

Известно, что диверсификация инвестиционного портфеля (то есть распределение вкладываемого капитала между различными инвестиционными альтернативами), какой бы «качественной» она ни была, все-таки не позволяет устранить инвестиционный риск полностью. Объясняется это тем, что доходности большинства существующих вариантов вложения капитала обычно в значительной степени коррелируют между собой, и потому с ростом числа рискованных инвестиционных проектов, между которыми инвестор распределяет свой капитал, минимально достижимое стандартное отклонение доходности его портфеля, хотя и уменьшается, но к нулю отнюдь не стремиться. В связи с данным обстоятельством финансисты часто делят «содержащийся» в каждом таком инвестиционном проекте риск на две «составляющие»: диверсифицируемый (уникальный, несистематический) риск и недиверсифицируемый (рыночный, систематический). И если стандартное отклонение доходности обычно служит мерой риска «в целом», то в качестве меры «объема» его недиверсифицируемой «части» используется другой показатель — так называемый бета-коэффициент (или просто бета) инвестиции. Показатель этот рассчитывается по формуле:

где β — бета оцениваемого инвестиционного проекта; r и r_m — доходности оцениваемого проекта и рыночного портфеля инвестиций (рыночного индекса); cov(r, r_m) — ковариация между этими доходностями; σ_m — стандартное отклонение доходности рыночного портфеля.

Примечание. Экономический смысл этого коэффициента заключается в следующем. Если для всех активов (инвестиций), входящих в рыночный инвестиционный портфель, величины отношений «риск-премия/бета» равны между собой, — то путем перераспределения долей капитала между присутствующими в нем активами, нельзя увеличить среднюю доходность портфеля, не снижая при этом ее стандартного отклонения, и наоборот. Когда же указанное условие не выполняется, существует возможность улучшить какой-нибудь из параметров портфеля, не ухудшая другой, путем увеличения доли капитала приходящейся на активы с неадекватно высокой риск-премией. (Подробнее об этом можно узнать, к примеру, из [2].)

При распределении капитала между различными инвестиционными проектами (как рискованными, так и безрисковыми) бета-коэффициент всего инвестиционного портфеля в целом определяется как средневзвешенное значение бета-коэффициентов всех входящих в него активов (с весовыми коэффициентами пропорциональными доле капитала, приходящегося на данный актив). При этом заимствование денег по-прежнему можно рассматривать как безрисковое вложение капитала со знаком минус. Таким образом, распределяя средства между безрисковыми активами с доходностью r_f и рискованными со средней доходностью r и бетой β, можно сформировать портфель, средняя доходность которого будет равна (1 − w) · r_f + w ·r, а бета — w · β, где w — произвольное неотрицательное число.

В отличие от стандартного отклонения доходности инвестиции, ее бета может быть как положительной, так и отрицательной.

Фирме, достаточно хорошо диверсифицирующей свой инвестиционный портфель, а также фирме, акционерами которой являются инвесторы способные достаточно «качественно» и без особых затрат производить диверсификацию своих вложений (типичными представителями коих являются, прежде всего, паевые фонды), — не имеет смысла рассматривать уникальный риск как негативный фактор, поскольку в результате диверсификации он устраняется практически полностью. Поэтому инвестиционная политика подобных фирм отличается (или, во всяком случае, должна, по идее, отличаться) от тактики прочих инвесторов (типичными представителями которых являются физические лица): первые в отличие от последних, вместо поиска вариантов вложения капитала с как можно большим отношением «риск-премия/риск», ищут варианты с максимально высоким отношением «риск-премия/бета», в случае если бета положительна, и максимально низкой величиной этого отношения в случае отрицательной беты. Однако и такую систему предпочтений с полным основанием можно назвать нерациональной, что сейчас и будет доказано.

Пример 7.2.1. Улучшение показателей инвестиционного портфеля.

При банковской ставке r_f равной 20% годовых математическое ожидание r_m и стандартное отклонение σ_m доходности рыночного портфеля акций (рыночного индекса) равны, соответственно, 60% и 70% годовых. (Доходность эта с прибавленной к ней единицей имеет логнормальное распределение вероятностей.) Весь капитал первого инвестора вложен в рыночный индекс, а весь капитал второго — в банковский депозит. Требуется улучшить показатели портфелей обоих инвесторов, то есть повысить их среднюю доходность, не увеличивая бету, или снизить бету, не уменьшая средней доходности.

Решение задачи для первого инвестора.

Обратимся еще раз к уже рассматривавшемуся нами ранее, в примере 7.1.1, проекту «филантроп», только под вложением денег в акции будем подразумевать вложение их в рыночный индекс.

Формула, отражающая зависимость средней доходности m(a) этого проекта от параметра a, уже приводилась выше, при разборе примера 7.1.1. Ее можно применить и сейчас без каких бы то ни было изменений, так как вероятностные характеристики доходности нашего рыночного индекса полностью соответствуют аналогичным характеристикам доходности акций из примера 7.1.1. Зависимость же беты β(a) проекта «филантроп» от величины a в данном случае выражается следующей формулой:

Постепенно уменьшая значение a от бесконечности до 40%, построим на графике (см. рис.7.2.1) траекторию движения точки с координатами (β(a); m(a)) (точки проекта «филантроп»). Мы видим, что с уменьшением a отношение «риск-премия/бета» проекта «филантроп» сначала увеличивается, а затем уменьшается. Максимума оно достигает приблизительно при a=101%.

Если мы возьмем в банке кредит в размере 83,6% от величины собственного капитала и вложим все деньги в проект «филантроп» при a=101%, то бета нашего портфеля, как и бета рыночного индекса, будет равна единице. Однако средняя доходность нашего портфеля при этом составит 68,1%, то есть более чем на 8% превысит среднюю доходность индекса рынка.

Если же мы сделаем то же самое при меньшей величине кредита, равной 51,9% от собственных средств, то средняя доходность нашего портфеля будет равна аналогичному показателю рыночного индекса, но бета этого портфеля будет гораздо меньше единицы: она составит всего 0,832.

Местоположения точки нашего портфеля для обоих этих случаев отмечены на рис.7.2.1 крестами.

Таким образом, мы можем порекомендовать первому инвестору взять в банке ссуду в размере не менее 51,9% и не более 83,6% от его собственных средств, а затем вложить все деньги в проект «филантроп» при a=101%.

Решение задачи для второго инвестора.

Введем в рассмотрение еще один инвестиционный проект, который назовем проектом «филантроп-2». Суть его будет заключаться в том, чтобы вложить весь капитал в банк сроком на один год (под 20% годовых), а по окончании этого срока, в случае если доходность рыночного индекса за тот же двенадцатимесячный период превысит некоторый, заранее установленный уровень a, пожертвовать на благотворительные цели всю сумму этого депозита вместе с набежавшими на нее процентами. (Таким образом, доходность данного проекта может принимать лишь два значения: 20% и -100% годовых. Соответствующие этим исходам вероятности определяются значением параметра a.)

Средняя доходность m(a) и бета-коэффициент β(a) проекта «филантроп-2» как функции параметра a определяются следующими формулами:

На рис.7.2.2 показана траектория движения точки с координатами (β(a); m(a)) при изменении значения a от бесконечности до 150%. Наибольший интерес для нас представляет случай a=190%, поскольку именно при этом значении параметра a достигает своего минимума угол между горизонталью и прямой, соединяющей точку рассматриваемого проекта с точкой рыночного индекса (на рис.7.2.2 эта прямая показана пунктиром).

Если инвестор вложит 80,6% своего капитала в проект «филантроп-2» при a=190%, а оставшиеся 19,4% — в рыночный индекс, то бета его портфеля будет равна нулю, однако средняя доходность этого портфеля составит 22,8% (см. точку пересечения пунктирной линии с вертикальной осью на рис.7.2.2), то есть превысит банковскую ставку. Таким образом, мы имеем вариант вложения денег, «содержащий в себе» только лишь диверсифицируемый риск, но, несмотря на это, обеспечивающий в среднем большую доходность, чем банковский депозит.

Однако самое интересное заключается в том, что, взяв в банке достаточно большую ссуду и инвестировав ее вместе с собственными деньгами согласно только что изложенной схеме, инвестор может поднять уровень средней доходности своего портфеля (в пересчете на размер собственного капитала) сколь угодно высоко, сохраняя, тем не менее, нулевое значение беты этого портфеля! В связи с данным обстоятельством проект «филантроп-2», вообще говоря, представляет определенный интерес не только для второго, но и для первого инвестора, особенно в случае возникновения у него желания уменьшить рыночный риск своих инвестиций.

Литература:

В оглавление

1. Токарев С.С. Занимательная теория финансов. — Пермь: Издатель Богатырев П. Г., 2000, — 68 с. ISBN 5–93214–010–0.

2. Р. Брейли, С. Майерс. Принципы корпоративных финансов: Пер. с англ. –М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 1997. ISBN 5–901028–01–5.

3. Токарев С.С. Шесть основных правил аналитика фондового рынка.// Рынок ценных бумаг. № 7 (166), 2000.

4. Токарев С.С. Об одном математическом парадоксе и его использовании в «народном хозяйстве».// Рынок ценных бумаг. № 17 (176), 2000.

5. Гарднер М. Путешествие во времени: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 341 с., ил. ISBN 5–03–001166–8.

6. Гарднер М. Крестики-нолики: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 352 с., ил. ISBN 5–03–001234–6.

7. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями: Пер. с англ./Под ред. Ю.В. Линника. — М.: Наука, 1985. — 88 с.

8. Байиф Ж.-К. Логические задачи: Пер. с франц. — М.: Мир, 1983. — 172 с.

9. Оуэн Г. Теория игр: Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 232 с.

Приложение 1: Основы теории вероятностей.

Случайные события.

Событие А называется противоположным (или дополнительным) по отношению к событию Б, если А происходит тогда и только тогда, когда не происходит Б.

Если события А и Б противоположны, то P(А)=1-P(Б).

Два события называются несовместными или взаимоисключающими, если осуществление одного из них исключает осуществление другого (то есть если совместное осуществление этих событий невозможно).

Если события A₁, A₂, … A_n попарно несовместные, то вероятность того, что какое-то одно из них осуществится, равна сумме вероятностей каждого из этих событий:

P(A₁ или A₂ или … A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... +P(A_n).

Если события А и Б совместные, то вероятность осуществления хотя бы одного из них равна сумме их вероятностей, уменьшенной на величину вероятности их совместного осуществления:

P(А или Б)=P(А) + P(Б) − P(А и Б).

Два события называются независимыми, если осуществление одного из них не влияет на вероятность осуществления другого.

Если события А и Б независимые, то вероятность их совместного осуществления равна произведению их вероятностей:

P(А и Б)=P(А) · P(Б).

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два их них независимы.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если каждое из них и любая комбинация остальных событий являются событиями независимыми.

Из независимости нескольких событий (в совокупности) следует их попарная независимость, но не наоборот.

Если события A₁, A₂, … A_n независимы (в совокупности), то вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей этих событий:

P(A₁ и A₂ и … A_n) = P(A₁) · P(A₂) · ... · P(A_n).

Если события А и Б зависимые, то вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную на основе предположения о том, что первое событие осуществилось:

P(А и Б)=P(А) · P(Б\А)=P(Б) · P(А\Б).

(P(X\Y) есть вероятность события X при условии осуществления события Y.)

Случайные величины.

Случайной величиной (или случайной переменной) называют величину, которая в результате дальнейшего развития событий примет одно из своих возможных значений, неизвестное заранее.

Случайную величину называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Случайную величину называют непрерывной, если она может принять любое значение, принадлежащее некоторому числовому интервалу.

Любое правило, позволяющее находить вероятность попадания значения случайной величины в любой заданный числовой интервал, называется законом распределения (вероятностей) данной случайной величины.

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения вероятностей одной из них не зависит от того, какое значение приняла или примет другая величина.

Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция F(x), определяющая вероятность того, что значение случайной величины X не превысит значение аргумента этой функции. То есть F(x)=P(X<x).

Плотностью вероятности (или дифференциальной функцией распределения) случайной величины X называют такую функцию f(x), для которой имеет место равенство:

или в случае дифференцируемости функции F(x) при любом значении x:

F(x) = f(x).

Математическим ожиданием или средним (ожидаемым) значением M(X) случайной величины X, имеющей плотность вероятности f(x), называют значение следующего интеграла:

Математическое ожидание дискретной случайной величины можно также представить в виде суммы:

, где x_i — возможные значения случайной величины X, а p_i — соответствующие этим значениям вероятности.

Если случайная величина X, имеющая плотность вероятности f(x), служит аргументом некоторой функции g(X), то математическое ожидание M(g(X)) значения этой функции будет равно:

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) M(C)=C , где C — произвольная константа.

2) M(C · X) = C · M(X), где C — произвольная константа.

3) M(X + Y) = M(X) + M(Y).

4) M(X · Y) = M(X) · M(Y), где X и Y — независимые случайные величины.

Дисперсией D(X) случайной величины X, имеющей плотность вероятности f(x), называют значение следующего интеграла:

Дисперсию дискретной случайной величины можно также представить в виде суммы:

Нетрудно доказать, что дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

D(X) = M(X²) − M²(X).

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1) D(С)=0 , где C — произвольная константа.

2) D(C · X) = C² · D(X), где C — произвольная константа.

3) D(X + C) D(X), где C — произвольная константа.

4) D(X +Y) = D(X) + D(Y) + 2 · cov(X,Y) , где cov(X,Y) — ковариация X и Y (Определение ковариации см. ниже). В случае независимости X и Y их ковариация равна нулю и выражение упрощается: D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Среднеквадратическим (или стандартным) отклонением σ(X) случайной величины X называют квадратный корень из ее дисперсии:

Ковариацией (или корреляционным моментом) cov(X,Y) двух случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения разностей между этими величинами и их математическими ожиданиями:

cov(X,Y) = M((X − M(X)) · (Y − M(Y))).

Нетрудно доказать, что ковариация случайных величин X и Y равна математическому ожиданию произведения этих случайных величин, уменьшенному на величину произведения их математических ожиданий:

cov(X,Y) = M(X · Y) − M(X) · M(Y).

Коэффициентом корреляции ρ(X,Y) двух случайных величин X и Y называют отношение ковариации этих величин к произведению их среднеквадратических отклонений:

Значение коэффициента корреляции всегда лежит в интервале от -1 до 1.

Две случайные величины называются некоррелированными, если коэффициент корреляции между ними равен нулю.

Из независимости случайных величин следует равенство нулю их коэффициента корреляции. Однако нулевое значение этого коэффициента еще не означает независимости соответствующих случайных величин.

Модой случайной величины называют такое ее значение x, при котором плотность вероятности f(x) данной случайной величины имеет локальный максимум.

Медианой случайной величины называют такое ее значение, которое данная случайная величина превосходит с вероятностью 1/2.

Приложение 2: Справочные данные по некоторым распределениям вероятностей.

Равномерное (прямоугольное) распределение.

Параметры: a, b.

1) Функция распределения: F(x)=(x-a)/b.

2) Плотность вероятности:

3) Математическое ожидание: .

4) Дисперсия: .

5) Стандартное отклонение: .

6) Мода: отсутствует.

7) Медиана: .

Нормальное (гауссово) распределение.

Параметры: μ, σ.

1) Функция распределения: в элементарных функциях не выражается.

2) Плотность вероятности: .

3) Математическое ожидание: μ.

4) Дисперсия: σ².

5) Стандартное отклонение: σ.

6) Мода: μ.

7) Медиана: μ.

Комментарии:

Сумма нескольких независимых нормально распределенных случайных величин также имеет нормальное распределение с параметрами μ = μ₁ + μ₂ + ... и , где μ_i, σ_i — параметры i-го слагаемого. Кроме того, как правило, распределение вероятностей близкое к нормальному имеет случайная величина, представляющая собой сумму достаточно большого количества независимых случайных величин с произвольными законами распределения.

Примечание: Функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) всех нижеприведенных распределений равны нулю при отрицательном значении аргумента x.

Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение.

Параметры: μ, σ.

1) Функция распределения: в элементарных функциях не выражается.

2) Плотность вероятности: .

3) Математическое ожидание: .

4) Дисперсия: exp(2 · μ + σ²) · (exp(σ²) − 1).

5) Стандартное отклонение: .

6) Мода: exp(μ − σ²).

7) Медиана: exp(μ).

Комментарии:

Если случайная величина имеет логнормальное распределение с параметрами μ и σ, то ее логарифм имеет нормальное распределение с такими же значениями соответствующих параметров.

Произведение нескольких независимых логнормально распределенных случайных величин также имеет логнормальное распределение с параметрами μ = μ₁ + μ₂ + ... и , где μ_i, σ_i – параметры i-го сомножителя. Кроме того, как правило, распределение вероятностей близкое к логнормальному имеет случайная величина, представляющая собой произведение достаточно большого количества независимых положительных случайных величин с произвольными законами распределения.

Если две случайные величины x₁ и x₂ имеют логнормальные распределения с параметрами μ₁, σ₁ и μ₂, σ₂, соответственно, то их отношение x₁/x₂ также имеет логнормальное распределение с параметрами μ = μ₁ − μ₂ и .

Если случайная величина X имеет логнормальное распределение с параметрами μ_x и σ_x, то случайная величина Y = a · X^b (где a и b — постоянные, причем a>0) также имеет логнормальное распределение с параметрами μ_Y = ln(a) + b · μ_x и σ_Y = |b| · σ_x.

Зная математическое ожидание m и стандартное отклонение s логнормально распределенной случайной величины, ее параметры можно рассчитать по следующим формулам:

, .

Экспоненциальное (показательное) распределение.

Параметр: λ.

1) Функция распределения: F(x) = 1 − exp(−λ · x).

2) Плотность вероятности: f(x) = λ · exp(−λ · x).

3) Математическое ожидание: .

4) Дисперсия: .

5) Стандартное отклонение: .

6) Мода: 0.

7) Медиана: .

Комментарии:

Если, начиная с некоторого прошедшего момента времени, мы ждем осуществления некоторого события, и при этом в каждый текущий момент времени продолжительность предстоящего ожидания является для нас случайной величиной, не зависящей от времени, уже прошедшего с момента начала ожидания, то указанная случайная величина имеет экспоненциальное распределение вероятностей. В частности, распределение достаточно близкое к экспоненциальному обычно имеют: время «ожидания» ближайшего страхового события, время ожидания обращения в фирму очередного клиента (например, время ожидания продажи очередной единицы товара в магазине), время работы какого-либо устройства (например, станка) до очередной поломки, и т.п.

Распределение Эрланга.

Параметры: λ, n.

1) Функция распределения:

2) Плотность вероятности:

3) Математическое ожидание: .

4) Дисперсия: .

5) Стандартное отклонение: .

6) Мода: .

7) Медиана: в элементарных функциях не выражается.

Комментарии:

Экспоненциальное распределение есть частный случай распределения Эрланга, соответствующий случаю n=1.

Сумма n независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром λ, имеет распределение Эрланга с параметрами λ и n. В частности, распределение весьма близкое к распределению Эрланга обычно имеют: время реализации партии товара в розницу, время выхода из строя нескольких имеющихся в наличии однородных деталей или инструментов при их последовательной эксплуатации, время ожидания осуществления нескольких однородных не связанных друг с другом событий, и т.п.

Приложение 3: Имитационное моделирование изменений цены акций.

Во всех разобранных в книге примерах расчеты вероятностей, осуществленные методом имитационного моделирования, произведены на основе следующих предположений:

1. Торговля акциями может осуществляться только в рабочие дни в течение биржевой торговой сессии.

2. Изменения цены происходят исключительно в промежутках между биржевыми торговыми сессиями. В течение же самой сессии цена остается постоянной.

3. Цена, по которой можно купить акции, равна цене, по которой их можно продать.

4. Отношение цены одного рабочего дня (торговой сессии) к цене предыдущего (коэффициент дневного роста цены) имеет логнормальное распределение вероятностей с параметрами:

и ,

где r и s — математическое ожидание и стандартное отклонение дневной доходности акций. При этом тот факт, что между двумя рабочими днями могут следовать два выходных (что может некоторым образом сказаться на вероятностных характеристиках соотношения их цен), никак не учитывается.

5. Коэффициенты дневного роста цены, соответствующие различным дням, являются независимыми случайными величинами.

Надо признать, что второе предположение в довольно значительной степени не соответствует действительности. Однако, если мы также предположим, к примеру, что на биржу мы всегда приходим, скажем, за одну минуту до закрытия торгов, то продолжительность торговой сессии для нас сократится до одной минуты, за которую цена, конечно же, не может измениться существенно. Делать подобное допущение особенно полезно, когда речь идет о моделировании гипотетической торговли акциями. Поскольку оно позволяет использовать в качестве «цены дня» цену закрытия торгов и избавляет от необходимости следить за ценами в течение всей торговой сессии.

Можно, конечно, создать и более адекватную действительности модель рынка, если располагать достаточно большой базой данных, содержащей не только цены закрытия торгов, но и цены соответствующие прочим моментам времени. При использовании такой модели результаты решения многих разобранных в книге задач стали бы еще более впечатляющими.

Приложение 4: Уголовный кодекс РФ. Избранное.

Статья 159. Мошенничество

Мошенничество, то есть хищение чужого имущества или приобретение права на чужое имущество путем обмана или злоупотребления доверием, — …

Статья 165. Причинение имущественного ущерба путем обмана или злоупотребления доверием

Причинение имущественного ущерба собственнику или иному владельцу имущества путем обмана или злоупотребления доверием при отсутствии признаков хищения — …

Статья 182. Заведомо ложная реклама

Использование в рекламе заведомо ложной информации относительно товаров, работ или услуг, а также их изготовителей (исполнителей, продавцов), совершенное из корыстной заинтересованности и причинившее значительный ущерб, — …

Статья 201. Злоупотребление полномочиями

Использование лицом, выполняющим управленческие функции в коммерческой или иной организации, своих полномочий вопреки законным интересам этой организации и в целях извлечения выгод и преимуществ для себя или других лиц либо нанесения вреда другим лицам, если это деяние повлекло причинение существенного вреда правам и законным интересам граждан или организаций либо охраняемым законом интересам общества или государства, — …

Примечание.

1. Выполняющим управленческие функции в коммерческой или иной организации в статьях настоящей главы признается лицо, постоянно, временно либо по специальному полномочию выполняющее организационно-распорядительные или административно-хозяйственные обязанности в коммерческой организации независимо от формы собственности, а также в некоммерческой организации, не являющейся государственным органом, органом местного самоуправления, государственным или муниципальным учреждением.

2. Если деяние, предусмотренное настоящей статьей либо иными статьями настоящей главы, причинило вред интересам исключительно коммерческой организации, не являющейся государственным или муниципальным предприятием, уголовное преследование осуществляется по заявлению этой организации или с ее согласия.

3. Если деяние, предусмотренное настоящей статьей либо иными статьями настоящей главы, причинило вред интересам других организаций, а также интересам граждан, общества или государства, уголовное преследование осуществляется на общих основаниях.

Часть 1

¹ Кстати говоря, изобретать собственные показатели экономисту, как правило, рано или поздно приходится, поскольку в экономике пока еще предостаточно областей, из которых до сих пор доносится тщетный «скрип мозгов» видных деятелей науки. К примеру, по сей день продолжаются работы по созданию более или менее приемлемой меры ликвидности. И даже традиционные меры риска не лишены серьезных недостатков, что будет показано в 7 разделе.

² Под деятельностью понимается также и совершение отдельных сделок, в частности, пассивное вложение денег в ценные бумаги или иное имущество.

³ В зарубежной литературе математическое ожидание принято также называть ожидаемым значением. Мы тоже иногда будем использовать это выражение в том же смысле.

⁴ Продавать ценные бумаги с убытком обычно бывает нецелесообразно из налоговых соображений. Ибо до тех пор, пока котировка бумаг не вырастет до цены, по которой они были куплены, доход, получаемый в виде роста их стоимости, будет «поглощаться» ранее полученным убытком. Следовательно, налог с этого дохода уплачиваться не будет. Хотя, все зависит от применяемой в каждом конкретном случае системы налогообложения.

⁵ Функция min(x₁;x₂;…x_n) равна минимальному из n чисел, перечисленных в скобках.

⁶ Именно такую цену дает нам среднее геометрическое.

⁷ Такой принцип принятия решений называется принципом Парето.

⁸Не столько по причине перехода некоторых людей из одной категории в другую, сколько вследствие более естественных демографических процессов.

⁹ Имеется в виду асимметричность графика плотности вероятности относительно математического ожидания.

¹⁰ Тогда как математическое ожидание любой случайной величины является среднеарифметическим бесконечного ряда ее значений.

¹¹ Их также можно рассматривать как ряд последовательных реализаций одной и той же случайной величины R с логнормальным распределением.

¹² Данный факт устанавливается центральной предельной теоремой Ляпунова.

¹³ Значение этой функции равно вероятности того, что случайная величина окажется меньше значения аргумента этой функции.

¹⁴ Названы они могут быть, к примеру, планом минимум и планом максимум, оптимистическим и пессимистическим прогнозами, уровнями существенного убытка и существенной прибыли и т.д.

¹⁵ Страховым событием может являться, например, наводнение, ограбление, пожар и т.д.

¹⁶ Интегральная функция распределения которого равна .

¹⁷ Эту стоимость не следует путать с чистой современной стоимостью всего договора страхования в целом, которая нас в данном случае не интересует, поскольку вопрос заключается не в том, страховаться или не страховаться, а в том, увеличить страховую сумму или уменьшить.

¹⁸ Строго говоря, в указанном смысле все способы оценки экономической эффективности могут быть представлены как относительные. Поскольку в явной или неявной форме они всегда основываются на сравнении исследуемого варианта действий с каким-то базовым вариантом. К примеру, рассчитывая NPV инвестиционного проекта, мы, по сути, оцениваем, насколько эта инвестиция выгоднее вложения денег в банк или заимствования их у банка.

¹⁹ Соответственно, ее математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение будут равны 1,3 и 0,32 годовых единиц.

²⁰ В данном случае эффективность инвестиции не следует путать с ее предпочтительностью или выгодностью. Поскольку предпочтения инвестора, как правило, определяются не только уровнем эффективности, но и степенью риска, ликвидности и т.п.

²¹ Обязательства эти могут быть оформлены и как кредиторско-дебиторская задолженность, и как ценные бумаги.

²² Речь идет о ремонте двух различных аппаратов, потому что в этом случае продолжительность ремонта одного из них не будет зависеть от продолжительности ремонта другого.

²³ Одним из подобных примеров может служить сравнительная оценка трех таких инвестиционных проектов, как вложение денег в банк, покупка кол-опциона и покупка пут-опциона. Другим примером — оценка времени достижения капиталом заданной величины при его вложении в банк, в акции и, скажем, частично в банк, частично в страховой полис.

²⁴ Тот факт, что доходность акций предприятия Б при ненулевом стандартном отклонении имеет математическое ожидание равное банковской ставке, представляет собой вполне нормальное явление, если доходность эта не коррелирует с доходностью рыночного портфеля акций (рыночного индекса).

²⁵ Фьючерсный контракт (фьючерс) — есть договор купли-продажи товара, заключаемый на условиях отсрочки его оплаты и поставки. День предстоящей оплаты и поставки, называемый днем исполнения фьючерса, а также цена оплаты товара, называемая фьючерсной ценой, оговариваются при заключении контракта.

²⁶ Эквивалентна в том смысле, что доходность этой операции является величиной детерминированной (то есть известной заранее), также, как и доходность банковского вклада.

²⁷ Что является следствием недостаточно сильно выраженной нелинейности зависимости NPV от T .

²⁸ Тем не менее, чтобы оценить выгодность инвестиционного проекта в полной мере, в любом случае необходимо сравнить его доходность с банковской ставкой. Сама по себе доходность позволяет судить о его выгодности лишь в сравнении с вложением денег «под подушку».

²⁹ Справедливым также будет являться утверждение о том, что из четырех кварталов года в среднем два окажутся прибыльными, и два — убыточными.

³⁰ Такое предположение вполне резонно, например, в случае если мы арендуем помещение и нанимаем рабочих сразу на целый год.

³¹ Например, автосигнализация является приложением к автомобилю, доступ в интернет — приложением к компьютеру и т.п.

³² При этом мы не учитываем изменений стоимости фьючерсного контракта.

³³ Расчет стандартного отклонения по имеющимся в задаче исходным данным достаточно сложен. Необходимо вычислить сначала параметры логнормального распределения стоимости акций на начало второго квартала, затем найти аналогичные параметры распределения их стоимости на начало четвертого квартала. После чего можно будет рассчитать и искомое стандартное отклонение (см. приложение 2).

³⁴ Высокое среднее значение доходности четвертого квартала является следствием относительно большой величины ее стандартного отклонения (24,484%).

³⁵ Обратите внимание, что данная экспертами характеристика инвестиций вполне согласуется с их доходностями, приведенными в табл. 3.4.2. Поскольку большей доходности, как правило, соответствует меньшая надежность и ликвидность.

³⁶ Другими словами, временная структура процентных ставок является «неровной» (неравномерной).

³⁷ Эти затраты равны 128,788 тыс. руб. и включают 100 тыс. руб., необходимых для организации коммерческой деятельности, и 28,788 тыс. руб., составляющих NPV данного инвестиционного проекта (ее расчет приведен ниже). Тем, кому непонятно, почему NPV включена в затраты, рекомендуем обратится к [1].

³⁸ То есть, если бы арендная плата равнялась нулю, то капитал, вложенный в производство, увеличился бы за один оборот (за один месяц) либо в 3 раза (на 200%), либо в 2 раза (на 100%).

³⁹ Обратите внимание на то, что хотя доходность и первого, и второго производственного цикла (с учетом арендной платы) становится известной предпринимателю уже к концу первого месяца и может оказаться отрицательной, отказываться в случае неудачи от продолжения производства товара во втором месяце предпринимателю невыгодно, поскольку договор аренды он заключает сроком на два месяца и арендную плату ему все равно придется платить.

⁴⁰ Формально такой опцион существует, однако он заведомо не будет исполнен, поскольку, как уже было сказано выше, предпринимателю это не выгодно.

⁴¹ Аналогичный результат можно получить, усредняя максимальное и минимальное из возможных значений дисконт-фактора и используя полученное среднее при расчете NPV.

⁴² «Лучший» в данном случае означает «наивыгоднейший из всех предложенных с точки зрения того, кому предлагают».

⁴³ Каждый из трех перечисленных показателей, даже взятый в отдельности, позволяет рассчитать прогнозное значение будущей банковской ставки.

⁴⁴ Прогнозы, полученные первым способом, для спекулянта бесполезны, поскольку основаны на предположении о справедливости значений рыночных показателей. Спекуляция же (в обобщенной интерпретации) заключается в использовании несоответствий рыночной конъюнктуры прогнозам спекулянта.

⁴⁵ Здесь и далее при отсутствии особых оговорок мы будем предполагать, что на рассматриваемом нами промежутке времени дивиденды по акциям не выплачиваются.

⁴⁶ А акции, кстати, можно использовать в качестве залога по кредиту.

⁴⁷ Отсутствие зависимости между значением одной случайной величины и мат. ожиданием другой (или, другими словами, отсутствие регрессионной зависимости между случайными величинами) еще не означает, что эти величины независимы. Поскольку при этом, если не мат. ожидание, то, например, дисперсия одной из них может зависеть от значения другой. Хотя на практике довольно часто любые две переменные, имеющие нулевой коэффициент корреляции (что при отсутствии регрессионной зависимости имеет место всегда), уже считают независимыми.

⁴⁸ Исключения иногда могут составлять случаи, когда на рассматриваемый временной интервал «попадает» какое-то значительное событие, исход которого повлияет на цену акций намного существеннее, чем исходы всех остальных «попадающих» на тот же интервал событий.

⁴⁹ Понятие «предостережение» не следует путать с понятием «прогноз». В нашем случае выдача предостережения является предсказанием (прогнозом) падения цены. Отсутствие же предостережения можно расценивать как прогнозирование ее роста.

⁵⁰ Потому что стандартное отклонение дневной доходности акций существенно превышает ее математическое ожидание.

⁵¹ То есть такому «оценщику» не важно знать, в каком направлении на графике «движется» время. Даже если изменить без его ведома направление временной оси графика на противоположное — степень удачности оцениваемых им сделок, с его точки зрения, не изменится.

⁵² Признаться, при пассивном вложении денег в акции инвестор получил бы еще больший убыток. Но это чистая случайность.

⁵³ Оно являлось бы таким доказательством только в том случае, если бы заявки на совершение всех своих сделок (или уведомления о намерении их совершить) трейдер выдавал хотя бы за один день до их исполнения.

⁵⁴ В данном случае желательно использовать экспоненциальное скользящее среднее.

⁵⁵ Правда, среднее время, которое для этого требуется, равно бесконечности.

⁵⁶ Аналогичная ситуация имеет место при игре в рулетку. Хотя вероятность выпадения нуля (zero) кажется пренебрежимо малой, шансы остаться в выигрыше в результате длительной серии игр у игрока довольно невелики.

⁵⁷ Желательно, конечно, выторговать для себя более выгодное соотношение ставок.

⁵⁸ Поэтому опытные аналитики предпочитают продавать свои знания посредством организации разнообразных учебных курсов и семинаров, а не применять их на практике.

⁵⁹ Покупка облигаций рассматривается в данном примере просто как вариант безрискового вложения денег, «место» которого вполне могли бы занять другие аналогичные инвестиционные проекты с фиксированной доходностью, например, банковский вклад.

⁶⁰ Эту вероятность можно определить по графику, приведенному на рис.5.7.2 соответствующего параграфа.

⁶¹ В основном это касается случаев, когда в промежутке между биржевыми торговыми сессиями двух соседних дней на рынок поступает важная информация, в результате чего цены грядущих торгов с самого момента их открытия уже устанавливаются на гораздо более высоком уровне по сравнению с ценами закрытия предыдущего дня.

⁶² Вероятностью выпадения нуля, при котором все ставки уходят в доход казино, мы пренебрегаем.

⁶³ Поскольку оптимальность действий менеджера на каждом «шаге» (в начале каждого квартала) зависит от того, что он собирается делать на последующих «шагах», поиск оптимальной доли вложений в паевой фонд для более ранних периодов времени следует производить только после того, как будут найдены оптимальные доли для более поздних периодов. (Данный случай представляет собой типичную задачу динамического программирования.)

⁶⁴ Надо сказать, что вероятность выполнения плана зависит не только от степени близости к этой «грани», но и от степени рискованности инвестиций в паевой фонд. А потому при достаточно большом стандартном отклонении доходности этих инвестиций даже значительное уменьшение размера стартового капитала не вызывает существенного снижения вероятности успеха.

⁶⁵ В подобных случаях имеет смысл также воспользоваться стратегией Даламбера, поскольку, учитывая равенство стартовых условий, каждого участника соревнования перед его началом можно считать стоящим, как мы это называли ранее, «на грани» успеха (см. §6.1.б).

⁶⁶ Мы предполагаем при этом, что размеры первоначальных капиталов соревнующихся равны.

⁶⁷ Имеется в виду предел, до которого можно увеличить эти вероятности, при условии что все они будут при этом равны друг другу.

⁶⁸ Если играть в эту «игру» в паре со своим «помощником», то ее правила можно несколько изменить: право на выбор сразу двух стратегий можно за собой уже не резервировать, поскольку ваш «помощник» всегда может вступить в «игру» в нужный для вас момент в качестве третьего участника (внеся свой вступительный взнос в призовой фонд) или же не вступать в нее.

⁶⁹ Расчет размеров кредита несложен, и мы его опускаем. [an error occurred while processing this directive]

Версия для печати