Библиотека управления

Стоимость, добавленная свободой выбора

А. Грегори Глава из книги «Стратегическая оценка компаний: практическое руководство», пер. с англ. Л.И. Лопатников
ИД «Квинто-Консалтинг»

8.1 Введение

В этой главе предлагается краткий обзор того, как могут быть оценены возможности управленческого выбора инвестиционных решений. В принципе, гибкость таких решений объясняется по меньшей мере тремя причинами:

  • дискреционностью решений относительно увеличения инвестиций;
  • дискреционностью решений относительно прекращения той или иной деятельности;
  • дискреционностью решений относительно распределения инвестиций во времени.

Другие типы опционов могут включать варьирование размеров инвестиций, способность временно прекращать те или иные производственные процессы и так далее. Здесь возникают две общие темы:

  • гибкость решений всегда прибавляет стоимость инвестициям;
  • всегда желательно «держать ваш опцион открытым».

Последний пункт объясняется одним интересным явлением. В ситуации инвестирования фирмы, у которых нет производственных мощностей, а исходящие денежные потоки крайне неопределенны, часто получают ошибочный совет: делать инвестиции. Дело в том, что опцион возможности инвестирования в некоторый момент в будущем (колл-опцион) лучше поддерживать, но не исполнять (более ценно держаться за опцион, т.е. иметь возможность выбора, чем делать его). Однако по тем же основаниям фирмам, которые уже имеют производственные мощности, было бы лучше сохранять эти мощности и не исполнять опцион (пут-опцион), то есть не реализовывать свое право избавиться от них. Так что желательность иметь производственные мощности является функцией того, владеете ли вы уже сейчас мощностями, или нет. В принципе, все типы свободы выбора могут оцениваться с использованием методов назначения цены опционов. Тут требуются три основных метода:

  • модель назначения цен опционов колл;
  • модель назначения цен опционов пут;
  • модель назначения цен опционов на акции с выплатой дивидендов.

Примеры использования всех трех подходов приводятся ниже. Однако прежде чем перейти к анализу условий прменения, надо сделать три важные оговорки:

  • в эффективном рынке оценка любых уже существующих опционов, принадлежащих компании, должна отражаться в стоимости ее акций;
  • оценки временных опционов игнорируют такие вопросы, как, например, «преимущество сделавшего шаг первым»;
  • оценки опционов предполагают, что цены исполнения заранее точно известны.

Первая оговорка также означает, что если в анализе используются компании-аналоги, обладающие такими же опционами, то оценки опционов в неявной форме содержатся в «бетах» и оценках экономической прибыли. Вторая оговорка имеет большое значение. В новейшей литературе наблюдается тенденция оправдывать высокие ставки дисконтирования как рациональный ответ на существование временных опционов. Хотя в некоторых случаях это может быть и справедливо, в других — ссылка на стоимость опционов распределения времени может оказаться несостоятельной, учитывая реальную стоимость, которую фирма может получить, если она первой войдет в рынок того или иного продукта. Третья оговорка тоже может означать, что стоимость опционов бывает завышенной. Для финансовых опционов цены исполнения известны заранее. Для реальных опционов это может быть не так. Например, если отвергается проект из-за плохого ожидаемого спроса на продукт, вполне можно ожидать, что это отразится на предполагаемой стоимости предприятия-изготовителя, если только соответствующие активы не будут быстро переданы отрасли, которая не испытывает трудности со спросом. Опционы открывают особенно многообещающий подход к оценке технологических, биотехнологических или интернет-компаний, поскольку для многих из них характерны существенные возможности роста.

8.2 Основные типы опционов в оценке компании

Реальные опционы подразделяются на колл-опционы и пут-опционы. В главе 4, где оценивались варранты и конвертируемые ценные бумаги (и то, и другое — финансовые опционы), были описаны методы оценки для колл-опционов. Колл-опционы — это такие опционы, когда имеется право (но не обязанность) купить актив по некоторой фиксированной цене (цене исполнения) в определенное время в будущем. Если дата исполнения опциона определена — это опцион европейского типа, если опцион можно исполнить в любой день до некоторого назначенного срока, то это опцион американского типа. Примерами колл-опционов могут быть:

  • опцион о подготовке стройплощадки до некоторого срока в будущем (колл-опцион американского типа);
  • опцион расширения производственной базы (колл-опцион американского типа);
  • опцион, касающийся инвестирования в определенную технологию при благоприятных условиях (колл-опцион американского типа).

Опционы пут — те, когда имеется право (но не обязанность) продать актив по фиксированной цене в определенный срок в будущем. Опять-таки они могут быть американского и европейского типа. Вот примеры пут-опционов:

  • опцион о закрытии (выработанной) шахты (американский пут-опцион);
  • опцион о продаже производственного оборудования (американский пут-опцион).

В главе 4 отмечалось, что модель оценки опционов Блэка-Шоулза (Black-Scholes — далее по тексту будет использоваться аббревиатура BS) не может быть просто применена к задаче оценки опциона на акции с выплатой дивидендов. В действительности модель BS оценивает колл-опцион европейского типа. Можно показать, что если рассматривать акции без выплаты дивидендов, то раннее исполнения колл-опциона американского типа никогда не бывает выгодным. Как таковая, модель BS может использоваться для оценки американских колл-опционов на акции без выплаты дивидендов.

Модель BS может также использоваться для оценки пут-опционов европейского типа. Существует широко известное отношение между ценами опционов колл и пут, которое возникает вследствие того, что платеж по истечении срока владения колл-опционом на акцию равен платежу от владения акцией вместе с пут-опционом, имеющим ту же цену исполнения, что и колл-опцион. Оба вместе они позволяют инвестору избежать ущерба от падения цены акции, и оба позволяют инвестору получить прибыль от разницы между ценой акции и ценой исполнения, если стоимость акции растет. Разница состоит в том, что первый требует меньшей суммы инвестиций — цена исполнения не должна выплачиваться до истечения срока опциона. Таким образом, разница в стоимости между двумя альтернативами просто равняется текущей стоимости цены исполнения опциона. Отсюда имеем:

Стоимость колл-опциона + Текущая стоимость цены исполнения = Стоимость пут-опциона + Стоимость акции

Преобразовав уравнение, получаем:

Стоимость пут-опциона = Стоимость колл-опциона – Стоимость акции + Текущая стоимость цены исполнения

Иногда это называют отношением «паритета пут-колл». Хотя оно полезно при поиске стоимости колл-опциона европейского типа (с использованием либо модели BS, либо биномиальной модели), оно дает только приблизительную стоимость колл-опциона американского типа. Дело в том, что при некоторых обстоятельств может оказаться выгодным раннее исполнение такого опциона, если он является опционом «в деньгах».1 На деле стоимость американского пут-опциона по крайней мере не меньше, чем стоимость европейского опциона.

Как указывалось в главе 4, модель BS не справляется с оценкой опциона американского типа на акции с выплатой дивидендов, поскольку может оказаться выгодным преждевременное исполнение опциона «в деньгах», если выплата дивидендов достаточно велика. При таких обстоятельствах может быть использована биномиальная модель, правда, если размеры дивидендов известны заранее. Для многих инвестиционных проектов применяются опционы таких типов, которые аналогичны американскому опциону на акции с выплатой дивидендов. Причины этого следующие:

  • исполнение опционов может происходить в разные моменты времени;
  • проекты создают промежуточный денежный поток (подобно выплатам дивидендов).

Примером может служить опцион на откладывание инвестиции, который подробнее рассматривается ниже.

8.3 Оценка реальных опционов

Оценка реальных опционов разъясняется на пяти примерах:

  • подготовка строительной площадки;
  • отмена инвестирования;
  • опцион на откладывание инвестиции в реализацию проекта;
  • опцион на расширение производственных мощностей;
  • опцион на сокращение производственных мощностей.

Во всех случаях, общим принципом является то, что чем шире возможность выбора, тем выше оценка проекта. Отношение простое, хотя оценка «опционного элемента» может оказатся сложной. Стоимость инвестиционного проекта с приложенным к ней опционом составляет:

Стоимость инвестиции с возможностью выбора (опционом) = Стоимость инвестиции без опциона + стоимость приложенного опциона.

Первый компонент в правой части приведенного выражения (стоимость инвестиции самой по себе, без возможности выбора) рассчитывается с использованием обычных принципов дисконтирования денежных потоков. Второй компонент оценивается с помощью моделей оценки опционов, описываемых ниже.

8.3.1 Опцион на благоприятные возможности будущего роста

Предположим, компания Supertours plc имеет портфель международных операций в области гостиничного бизнеса и туризма. Она рассматривает вопрос о приобретении Дальневосточной группы отелей, которая является частной компанией. Группа была оценена на базе принципов дисконтированного денежного потока, с использованием модели свободного денежного потока и оценка составила 95 млн долл. К сожалению, собственники группы требуют за нее 100 млн долл. Часть проблемы состоит в том, что рынки, где действует группа, имеют весьма неопределенные перспективы. Дальневосточная группа отелей располагает несколькими потенциально ценными площадками, которые можно было бы эксплуатировать, если условия окажутся благоприятными. Необходимое развитие могло бы начаться через пять лет, а затраты на него составили бы 120 млн долл. На основе ожидаемых денежных потоков, текущая стоимость притока денежных средств (дисконтированная с конца 5 года к нашему времени) составит только 100 млн долл., что свидетельствует от том, что инвестиция окажется невыгодной (и поэтому ни один из сопутствующих денежных потоков не будет включен в оценку текущей стоимости). Однако из-за неопределенности перспектив рынка стандартное отклонение стоимости этих проектируемых денежных потоков очень велико, примерно 60% в год.2 И это так, возможно, потому, что покупка Дальневосточной группы отелей может завершиться доступом на растущий рынок. Проблема состоит, естественно, в том, как оценить опцион, представленный покупкой этой группы.

Требуется дополнительная информация: стоимость капитала соединенной компании самой по себе (предположим, она составит 23% в год) свободная от риска ставка процента — допустим, она составит 10% в год к объединенному капиталу. Поскольку этот пример предполагает, что любое решение о движении вперед не может быть сделано ранее, чем через пять лет, подлежащий оценке опцион есть колл-опцион европейского типа. Обозначим входные переменные опциона:

  • цена исполнения опциона равна 120 млн долл.;
  • сегодняшняя стоимость активов, на которые мы имеем опцион, составляет 100 млн долл., дисконтированные на пять лет по 23%, это дает текущую стоимость, равную 35,52 млн долл.3

В главе 4 стоимость опциона, рассчитанная на основе модели BS, представлена так:

C = S.N(d1) – X.e–Rf.t N(d2)

В первоначальной модели S — текущий курс акций, Х — цена исполнения и e–Rf.t представляет собой непрерывный объединенный множитель дисконтирования для t лет по свободной от риска ставке, где t это число лет до завершения опциона. В приложении к главе 4 есть формулы табличной модели, позволяющей рассчитывать стоимость опциона на компьютере. В этом случае все члены уравнения имеют тот же смысл, за исключением того, что S теперь представляет текущую стоимость приобретенного актива. Величины d1 и d2 равны следующему:

В этом случае ln(S/X) есть натуральный логарифм отношения текущей (современной) стоимости актива к цене исполнения опциона и σ есть стандартное отклонение порождаемого активом денежного потока.

Первым шагом к оценке на пути к оценке стоимости опциона является расчет величин d1 и d2:

Как из таблиц нормального распределения, так и из электронной табличной модели, приведенной в конце главы 4, получается что, величина N(d1) = 0,5541, величина N(d2) = 0,1140. Подставляя эти значения в формулу оценки опциона, получаем:

С = (35,52 × 0,5541) – (120 × 0,6065 × 0,1140) = 11,39 млн долл.

Таким образом мы обнаруживаем, что решая вопрос о покупке, компания Supertours plc как бы покупает опцион приблизительной стоимоcтью в 11,39 млн долл. Прибавив эту сумму к текущей стоимости денежных потоков от существующего бизнеса, получим стоимость Дальневосточной группы отелей в 106,21 млн долл. Исходя из этого можно считать, что покупка группы за 100 млн руб. выглядит как выгодная сделка.

Разумеется, в действительности существуют дополнительные осложнения. Например, принятие проекта расширения может в свою очередь создать опционы дальнейшей экспансии, например, постройки новых отелей.

8.3.2 Опцион на отказ от инвестиций

Возвращаясь к приведенному выше примеру с приобретением Дальневосточной группы отелей, расширим его, предположив, что компания имеет как часть своих активов почти достроенный отель в Таиланде. Современное состояние таиландской экономики и уровень таиландского бата порождают некоторые сомнения относительно ценности этого отеля и длительности его будущей эксплуатации. Оцененная текущая стоимость ожидаемого денежного потока отеля составляет 5 млн долл., но семья, продающая группу отелей, предложила гарантию обратного выкупа отеля за 4 млн долл. через год, если новые владельцы группы этого пожелают.

Компания Supertours определила, что стандартное отклонение чистой текущей стоимости отеля в следующем году составит 30%. Свободная от риска ставка процента принимается в размере 10% в год.

Это означает, что новые покупатели имеют пут-опцион на следующий год с текущей стоимостью 5 млн долл. и ценой исполнения 4 млн долл. Поскольку здесь установлен единственный срок исполнения, этот опцион — пут-опцион европейского типа и может быть оценен с помощью модели BS, а также с учетом паритета пут-колл, описанного выше. Требуются следующие шаги:

  • оцените колл-опцион с той же ценой исполнения и с той же датой, как и пут-опцион;
  • рассчитайте текущую стоимость цены исполнения;
  • рассчитайте стоимость по формуле: Стоимость колл – Стоимость доли собственности + Текущая стоимость цены исполнения.

Расчет стоимости колл-опциона проводится аналогично шагам, описанным выше. Используя табличную модель из главы 4, получим стоимость колл в 1,472 млн долл.

Текущая стоимость цены исполнения (используя сложные проценты) составляет:

4 млн долл./ е0,1 = 4 млн долл. / 1,1052 = 3,619 млн долл.

Использование паритета пут-колл дает стоимость опциона пут:

1,472 млн долл. + 3,619 млн долл. – 5 мпн долл. = 0,091 млн долл.

Это стоимость опциона отказа от приобретения таиландского отеля и она может быть прибавлена к рассчитанной стоимости Дальневосточной группы отелей.

Проблема с оценкой стоимости отказов состоит в том, что модели оценки опционов предполагают цену исполнения заранее точно известной. В приведенном примере, стоимость отказа от актива скорее зависит от рыночных условий во время принятия решения, что более реалистично.

8.3.3 Опцион на откладывание инвестиций

Предположим, что фирма рассматривает проект стоимостью 4 млн ф.ст. и что конечный результат зависит от спроса на продукт в году 1. Спрос на производимый продукт в настоящее время совершенно непредсказуем, поскольку он зависит о того, будет ли производиться конкурирующий продукт (что зависит от успешности еще не испытанной технологии). Однако вся эта неопределенность будет разрешена к концу года 1. Если в году 1 спрос будет высоким, он составит (в реальном выражении) 600 000 ф.ст. и можно ожидать, что со второго года до бесконечности спрос составит 600 000 ф.ст. в год (опять-таки в реальном выражении). Далее, предположим, что подходящая ставка дисконтирования — 10% в год, так что стоимость этой совокупности денежных потоков на бесконечную перспективу составит 6 млн ф.ст. Если спрос года 1 будет низким (400 000 ф.ст.), то, по-видимому, низкий спрос будет и в дальнейшей перспективе, что даст текущую стоимость в 4 млн ф.ст. Таким образом, в конце года 1 платежи будут следующие:

  • При высоком спросе: 600 000 ф.ст. + 6 млн ф.ст. = 6,6 млн ф.ст.; или
  • При низком спросе: 300 000 ф.ст. + 3 млн ф.ст. = 3,3 млн ф.ст.

Предположим, что вероятности этих двух событий составляют 0,5 и что неопределенность спроса (которую мы предполагаем зависящей от успехов технологии) по своей природе не носит систематического характера. Отсюда следует, что требуемая ставка дисконтирования по-прежнему остается 10% и что текущая стоимость проекта в году 0 составит: [(0,5 × 6,6 млн) + (0,5 × 3,3 млн)] = 4,5 млн ф.ст. Использовав общепринятый подход к оценке, основанный на чистой текущей стоимости, получим чистую текущую стоимость 4,5 млн – 4 млн = 0,5 млн ф.ст. Обычно предполагается, что в дальнейшем эта сумма будет использоваться в проекте.

Однако если мы откладываем принятие решения об инвестициях до конца года 1, то мы продолжаем ситуацию нашего опциона колл, оставляя вопрос о проекте открытым. Стоимость этого опциона составит:

  • 6 млн ф.ст. – 4 млн ф.ст. = 2 млн ф.ст.
    если спрос высок; или
  • 0 ф.ст. (в пределе)
    если спрос низок.

Лежащий в основе опциона актив (то есть проект) стоит либо 6,6 млн ф.ст., либо 3,3 млн ф.ст. в году 1 (включая прогнозный денежный поток, эквивалентный сумме дивидендов на долю собственности) в зависимости от спроса. Применив биномиальную модель оценки опционов, находим «дельту»:

2 /(6,6 – 3,3) = 0,6061

Предположим, что свободная от риска норма составляет 5% в год. Хеджированный портфель получится из «подписания» 1/0,6061 = 1,65 опционов колл на проект. Поскольку теперь платеж составит верные 3,3 млн ф.ст., стоимость опциона колл (С) может быть найдена из уравнения:

(4,5 млн – 1,65С) × 1,05 = 3,3 млн.

Решив это уравнение относительно С, получим стоимость опциона колл, равной 0,8225 млн ф.ст. Таким образом, опцион будет стоить 0,8225 млн ф.ст. если будет отложен, или только 0,5 млн ф.ст. (чистая текущая стоимость), если будет исполнен сегодня же. Другими словами, если мы отложим выполнение инвестиционного проекта, то получим большую стоимость, чем если бы мы сделали инвестицию сегодня. Так что стоимость фирмы в целом вырастет на (0,8225 млн – 0,5 млн) или 0,3225 млн ф.ст. как результат опциона на откладывание инвестиционного решения.

Этот опцион можно было бы также оценить с помощью метода «нейтрального к риску», описанного в главе 4. Синтетическая вероятность повышения стоимости составляет 0,4318 (в отличие от действительной вероятности 0,5). Эту синтетическую вероятность можно было бы использовать для расчета ожидаемого платежа на опцион и этот платеж, если его дисконтировать по свободной от риска ставке, даст ту же стоимость опциона — 0,8225 млн ф.ст.

В заключение наших рассуждений о стоимости опционов на отложенные инвестиционные решения, заметим, что особо важным предположением здесь является то, что стоимость любого потенциального денежного потока, входящего в рассматриваемую совокупность, не зависит от продолжения эксплуатации проекта. В некоторых случаях это действительно так. Пример объектов, к которым можно применить такую методику оценки опционов — это шахты или нефтяные скважины. Поскольку цены лежащих в основе таких опционов продукции отличаются неустойчивостью, в подобных случаях может оказаться выгодным откладывать очередные капиталовложения.

Напротив, фирмы, которые разработали продукцию нового привлекательного дизайна, вряд ли могут воспользоваться роскошью откладывания инвестиционных решений — если они так поступят, конкуренты быстро догонят их. В целом, при любой попытке оценивать стоимость опциона на откладывание решений надо иметь в виду потерю конкурентных преимуществ в результате топтания на месте (отказа от немедленной реализации инвестиционного проекта).

8.3.4 Опцион на расширение производственных мощностей

Предположим, что фирма Milk Wood plc имеет проект, который требует инвестировать сегодня 20 млн ф.ст. в машины и оборудование. Прогнозные денежные потоки в расчете на бесконечный период от этого проекта составят 1 млн ф.ст. Стоимость капитала (процентная ставка) составляет 10% и безрисковая ставка — 5 %. Поэтому проект включает инвестицию с нулевой чистой текущей стоимостью. Однако компания производит аппаратуру, спрос на которую весьма неустойчив. Колебания спроса таковы, что стандартное отклонение величины годового дохода составляет 50%. Фирма стоит перед дилеммой: делать инвестиции сегодня или никогда (то есть здесь не имеет места опцион на откладывание инвестиций). Однако фирма может выбрать удвоение производственных мощностей, если намеченный проект будет выполнен. Этот опцион может исполняться либо в конце года 1, либо в конце года 2, сразу после того, как будут получены денежные потоки этого года. Если инвестиции будут произведены, денежные потоки все последующие годы будут удваиваться. В силу эффекта масштаба в данной отрасли, возросшие производственные мощности стоят 9 млн долл.

Формально, это не совсем эквивалентно опциону колл американского типа, поскольку его исполнение ограничено двумя точками во времени. Однако его можно оценить, используя общий подход к оценке опционов колл американского типа. Начать надо с того, что он помогает проследить суммарные продолжающиеся оценки и денежные потоки в условиях, если фирма расширяться не будет. Нам нужно конвертировать стандартное отклонение величин доходов, измеряемое в непрерывном времени, в данные о повышении и снижении цен в тот же период.

Единица плюс повышение, U, представлено выражением , где t есть часть года, в которой наблюдается изменение цены, и 1 минус движение вниз, D, представлено выражением 1/U. Таким образом, U = 1,6487 и D = 0,6065. Понятие нейтральной к риску вероятности уже вводилось. Однако эквивалентная действительная вероятность может быть определена (Кокс, Росс и Рубинштейн (Cox, Ross and Rubenstein, 1979)) так:

Таблица 8.1. Последовательные стоимости проекта, без текущих денежных потоков

Заметьте, что это единственная вероятность, применимая к «повышениям» и «понижениям» денежного потока, одновременно подходящая к ожидаемому притоку денег в 1 млн ф.ст. и текущей стоимости всей совокупности, составляющей 10 млн ф.ст. Теперь мы можем проследить за изменением соответствующих стоимостей проекта без гибкости решений, как показано в Таблице 8.1.

Действительные денежные потоки, порождаемые проектом, если нет возможности изменять по ходу дела его размеры, показаны в Таблице 8.2.

Таблица 8.2. Денежные потоки на каждый период плюс последовательные стоимости проекта до конца года 2

Это образует базовый сценарий ситуации для инвестиции, которая имеет нулевую чистую текущую стоимость без свободы принятия решений. Теперь рассмотрим стоимость, которая добавляется при возможности расширить проект в моменты 0, 1 или 2. Это требует от нас оценивать имеющиеся возможности в каждой точке принятия решений. Если возможно раннее исполнение, получаем ситуацию сходную с рассмотренной в главе 4 на примере варранта компании Giggs plc. Подход аналогичен — начать с конечного состояния, получить оценки за год 1 в двух случаях: если исполнение опциона состоится в конце года 1 и если оно не состоится в конце года 1. Итак, в конце года 2 менеджмент фирмы встречается со следующим решением: исполнить опцион на расширение, если денежные потоки от расширения (в частности, терминальная стоимость, помноженная на единицу плюс увеличение производственной мощности, плюс дивиденд года 2) превышает денежные потоки, возникающие в случае отсутствия гибкости решений (терминальная стоимость плюс дивиденд года 2) плюс стоимость исполнения опциона (9 млн ф.ст. — стоимость добавленных мощностей).

Оценки изложенных альтернатив, а также связанные с ними характеристики стоимости опциона, могут быть суммированы, как это показано в таблице 8.3.

Таким образом, если опцион не будет исполнен в конце года 1, то в конце года 2 он должен быть исполнен, если траектория состояний была UU, UD или DU, и останется не исполненным при состоянии DD. Стоимость опциона при истечении срока, приведенная в третьем столбце, представляет собой стоимость по свободе выбора решений (из столбца 2) минус стоимость без гибкости решения из таблицы 8.2.

Таблица 8.3. Оценки стоимости проекта и опциона, конец года 2

Состояние

Год 2, стоимость проекта

Год 2, стоимость опциона

UU

48,08

18,18

UD, DU

12,00

1,00

DD

4,05

0,00

Теперь нам нужно определить оптимальные действия менеджмента в году 1. Для получения оптимального результата от менеджмента требуется либо исполнить опцион рано и расширить фирму в году 1, либо оставить опцион без исполнения вплоть до конца года 2. Если опцион остается без исполнения, стоимости опциона, после состояния U и состояния D в году 1, могут быть оценены точно так, как было описано в примере фирмы Giggs plc в главе 4. Например, приняв состояние U в конце года 1, это потребует взвешивания стоимости опциона в году 2, как указано выше: при состоянии UU — по синтетической или нейтральной к риску вероятности повышения объемов во втором году, и стоимости опциона в состоянии UD по (1 минус синтетическая вероятность). Эта ожидаемая стоимость затем дисконтируется по свободной от риска ставке для получения ожидаемой стоимости на конец года 1. Результат этого расчета представлен во втором столбце таблицы 8.4. Текущую (современную) стоимость проекта на конец года 1, если исполнение опциона не состоится, можно получить прибавлением суммы дивидендов за год 1 к последовательной стоимости из Таблицы 8.1. Результат приведен в столбце 3 Таблицы 8.4. Если опцион не исполнен досрочно, стоимость проекта с гибкостью решения является просто суммой стоимости «без гибкости» из столбца 3, и стоимости опциона из столбца 2.

Последние данные, которые нам нужны, это стоимости проекта в случае, если опцион исполнен досрочно. Это будут последовательная стоимость из Таблицы 8.1 плюс «дивиденд» года 1 с дополнительным ростом (результат раннего исполнения состоит в том, что рост потока дивидендов достигается на год раньше). Если взять положение U в год 1, ее можно оценить по состояниям UU и UD в году 2. Нам нужны теперь соответствующие ожидаемые оценки стоимости, за минусом затрат на исполнение опциона в конце года 1. Чтобы получить это, мы должны рассчитать ожидаемую стоимость денежных потоков года 2, используя объективные вероятности, и эти денежные потоки должны быть затем дисконтированы по WACC. Отсюда можно вывести стоимость исполнения опциона (9 млн ф.ст.) В заключение надо прибавить сюда стоимость «дивиденда» года 1.4 Результат этих расчетов представлен в столбце 5 Таблицы 8.4. Наконец, максимум столбцов 4 и 5 представлен в столбце 6. Отсюда ясно, что раннее исполнение опциона никогда не является оптимальным решением.

Заключительный шаг — расчет стоимости проекта со свободой выбора решений. Это сумма оцененных величин из столбца 3, помноженных на объективные вероятности каждого состояния, дисконтированные по WACC, плюс стоимости опционов помноженные на синтетические вероятности каждого состояния. дисконтированные по свободной от риска ставке. Это дает текущую стоимость в 13,43 млн ф.ст. и сравнение со стоимостью в 10 млн ф.ст. показывает, что проект следует принять.

Таблица 8.4. Стоимость проекта на конец года 1 и без раннего исполнения
Состояние (2)
Стоимость опциона
(3)
Текущая стоимость проекта без гибкости
(4)
Текущая стоимость комбинации (2)+(3)
(5)
Стоимость предприятия в конце года 1 при раннем исполнении
(6)
Максимум из (4) и (5)
U 7,92 18,14 26,05 25,62 26,05
D 0,41 6,67 7,08 3,74 7,08

Упрощенный подход

При условии, что если нет взаимодействия между опционами (см. ниже), существует более простой способ достижения нужного результата. Он состоит в том, чтобы рассматривать опцион на удвоение производственной мощности как колл-опцион американского типа на акции с выплатой дивидендов и оценить его непосредственно. Цена исполнения, как и выше, составит 9 млн ф.ст. и текущая (или спотовая) цена актива есть процентное увеличение мощности, помноженное на текущую стоимость приходящих денежных потоков от существующей мощности, или 100% × 10 млн ф.ст.

Дальнейший анализ производится точно так же как, в случае Giggs plc с одним лишь отличием. Здесь «дивиденд», будучи получен, является дополнительным денежным потоком в году 2, если опцион был исполнен в году 1. Так что нам нужно рассчитать ожидаемую стоимость дополнительного денежного потока в году 2, используя объективные вероятности при том, что исполнение опциона уже состоялось. Если состояние в год 1 определено как U, получим: (0,3775 × 1 млн ф.ст. × 1,64872) + (0,6225 × 1 млн ф.ст. × 1,6487 × 0,6065) = 1,65 мнл ф.ст. Аналогичный расчет для ситуации D дает ожидаемую сумму дивидендов 0,61 млн ф.ст. Следуя расчетам, описанным на примере компании Giggs plc, имеем:

Год 1

 

Год 2

     
Состояние Проект (XD) Состояние Проект (XD) Опцион Проект (CD) если без года 1
U 16,49 UU 27,18 18,18 28,83
D 6,07 UD 10,00 1,00 11,65
    DU 10,00 1,00 10,61
    DD 3,68 0,00 4,29

Использование ожидаемых текущих стоимостей при соответствующих ставках и вероятностях (безрисковая ставка и нейтральные к риску вероятности для неисполненного опциона и WACC и объективные вероятности для проекта) дает следующие стоимости опциона первого года — исполненного и неисполненного:

  Не исполненный опцион Исполненный, давший увеличенный денежный поток Максимум
U 7,92 7,49 7,92
D 0,41 –2,93 0,41

Это подтверждает: раннее исполнение опциона не является оптимальным курсом действий. Стоимость опциона рассчитывается на основе стоимостей опциона года 1, помноженных на синтетическую вероятность каждого состояния, стоимости дисконтированной по безрисковой ставке. Стоимость опциона равна 3,43 млн ф.ст. и поэтому стоимость проекта с гибкостью решений — нулевая чистая текущая стоимость проекта «без гибкости решений» плюс стоимость опциона, т.е. 3,43 млн ф.ст., что дает положительную общую стоимость в 3,43 млн ф.ст.

8.3.5 Опцион на сокращение производства

Эта задача, как и в приведенном примере, может быть приближенно решена двумя способами: либо путем построения «дерева» «или матричной схемы» денежных потоков, либо прямым расчетом цены опциона. Здесь будет принят последний из этих подходов. Предположим, что фирма Llareggub plc является интернет-компанией с крайне неопределенным будущим. Она оценивает свои будущие денежные потоки на бесконечную перспективу в 20 млн ф.ст. в год. Как и прежде, предположим, что WACC составляет 10%, а безрисковая ставка — 5%. Это дает обоснованную цену фирмы в 200 млн ф.ст. Однако волатильность отрасли чрезвычайно велика, и доходы фирм имеют стандартное отклонение 100% в год.5 Теперь предположим, что фирма имеет возможность сократить объемы производства к концу года 1 или года 2 на 50% (иными словами, свободный денежный поток будет уменьшаться в этой пропорции каждый год) и что излишнаяя мощность может быть продана за 60 млн ф.ст. Это эквивалентно пут-опциону американского типа на акционерный капитал с выплатой дивидендов и ценой исполнения 60 млн ф.ст. и спотовой ценой 50% × 200 млн ф.ст. или 100 млн ф.ст.

Приняв подход, эквивалентный использованному выше в колл-опционе, получаем следующее (заметьте, что теперь денежный поток или «сумма дивидендов» представляет денежный поток после исполнения пут-опциона):

Год 1   Год 2      
Состояние Фирма (XD) Состояние Фирма (XD) Опцион Фирма (CD), если без года 1
U 271,83 UU 738,91 0,00 793,27
D 36,79 UD 100,00 0,00 154,37
    DU 100,00 0,00 107,36
    DD 13,53 46,47 20,89

Как было представлено и выше, приняв ожидаемые текущие стоимости при соответствующих ставках и вероятностях (безрисковая ставка и нейтральные к риску вероятности для исполненного опциона, а также WACC и объективные вероятности для фирмы), мы получаем следующие опционы года 1 — исполненного и не исполненного:

  Не исполненный опцион Исполненный, давший увеличенный денежный поток Максимум
U 0,00 –236,54 0,00
D 31,41 19,87 31,41

Оптимальным способом действий здесь было бы не производить ранний опцион, хотя если цена исполнения окажется достаточно высокой, то оптимальной стратегией было бы, наоборот, исполнить его в ранний срок. Например, при цене исполнения 100 млн ф.ст. оптимальным действием было бы исполнение опциона при том, что состояние года 1 характеризуется как D (т.е. сокращение денежного потока). При том, что стоимости опциона года 1 умножаются на синтетическую вероятность каждого состояния, дисконтируя затем стоимость по безрисковой ставке, получаем стоимость 21,23 млн ф.ст. Обоснованная стоимость фирмы Llareggub plc составляет, таким образом, 221,23 млн ф.ст.

8.3.6 Множественные опционы

Представим себе, что Llareggub plc имеет опцион на расширение к концу года 2 наряду с опционом на сокращение. Это усложняет задачу, так как теперь стоимость фирмы — это не просто стоимость с гибкостью решений плюс стоимость двух опционов. Это происходит потому, что между такими опционами имеется сложное взаимодействие, которое означает, что стоимость всего пакета больше или равна сумме стоимостей его составляющих частей. К сожалению, единственный подходящий способ решения этой проблемы состоит в построении и анализе полной матричной схемы или графа «дерево» денежных потоков, которые уже были описаны. Учитывая, что данный подход уже был описан, мы не повторяем еще раз пример, но только отмечаем, что принципы идентичны. Всегда начинают с последнего года и возвращаются назад, проверяя оптимальность каждого предшествующего решения. Заметьте, однако, что теперь перед нами три альтернативы, из которых приходится выбирать (если не состоялось более раннее исполнение опциона), а именно: не реализовать опцион, расширять или сокращать (бизнес, производство или иную деятельность). Расчеты достаточно занудны, но не сложны.


1 Чтобы убедиться в этом, возьмем крайний пример фирмы, которой грозит банкротство. Поскольку цена акции не может упасть ниже нулевой отметки, нет смысла ждать срока исполнения опциона.

2 Заметьте, что это стандартное отклонение относится к текущей (современной)стоимости,прогнозируемой более чем на пять следующих лет.

3 Заметьте, что оценивается опцион на долю собственности, рыночная цена уже дисконтировала оцениваемый денежный поток компании по требуемой ставке окупаемости, так что цена уже представляет текущую (современную) стоимость.

4 Дивиденд года 1 одинаков при обеих альтернативах и поэтому нет необходимости включать его в расчет оптимального курса действий в году 1.

5 Издание Службы измерения рисков Лондонской школы бизнеса в выпуске за октябрь-ноябрь 2000 г. показывает, что это не является неразумной оценкой стандартного отклонения для многих подобных компаний.