Библиотека управления

Двухкритериальная задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях ограничений на финансовые ресурсы

Мищенко А.В., Попов А.А.

Оглавление журнала


Основную проблему, которую необходимо решать при формировании портфеля ценных бумаг, составляет задача распределения инвестором определенной суммы денег по различным альтернативным вложениям (например, акциям, облигациям, наличным деньгам и др.) так, чтобы наилучшим образом достичь своих целей.

В первую очередь инвестор стремится к получению максимального дохода за счет: выигрыша от благоприятного изменения курса акций, дивидендов, получения твердых процентов и т.д. С другой стороны, любое вложение капитала связано не только с ожиданием получения дохода, но и с постоянной опасностью проигрыша, а значит, в оптимизационных задачах по выбору портфеля ценных бумаг необходимо учитывать риск. В принципе для создания портфеля ценных бумаг достаточно инвестировать деньги в какой-либо один вид финансовых активов. Но современная экономическая практика показывает, что такой однородный по содержанию портфель (или недиверсифицированный) встречается очень редко. Гораздо более распространенной формой является так называемый диверсифицированный портфель, т.е. портфель с самыми разнообразными ценными бумагами. Использование диверсифицированного портфеля устраняет разброс в нормах доходности различных финансовых активов. Иными словами, портфель, состоящий из ценных бумаг разноплановых компаний, обеспечивает стабильность получения положительного результата.

Портфель консервативного роста наименее рискован. Он состоит в основном из акций крупных, хорошо известных компаний, характеризующихся хотя и невысокими, но устойчивыми темпами роста курсовой стоимости. Состав портфеля остается стабильным в течение длительного периода времени. Инвестиции портфеля консервативного роста нацелены на сохранение капитала. Иллюстрацией данного примера может служить портфель, состоящий из акций четырех крупных российских эмитентов, который подробно рассматривается в конце статьи.

Портфель среднего роста представляет собой сочетание инвестиционных свойств портфелей агрессивного и консервативного роста. В данный тип портфеля включаются наряду с надежными ценными бумагами, приобретаемыми на длительный срок, рискованные фондовые инструменты, состав которых периодически обновляется. При этом гарантируются средний прирост капитала и умеренная степень риска вложений. Надежность обеспечивается ценными бумагами консервативного роста, а доходность - ценными бумагами агрессивного роста. Портфель среднего роста как наиболее распространенная модель портфеля пользуется большой популярностью у инвесторов, не склонных к высокому риску.

Портфель дохода ориентирован на получение высокого текущего дохода - процентных и дивидендных выплат. Составляется в основном из акций дохода, т.е. таких акций, которые характеризуются умеренным ростом курсовой стоимости и высокими дивидендами, облигаций и других ценных бумаг, инвестиционным свойством которых являются высокие текущие выплаты. Особенность этого типа портфеля в том, что цель его создания - получение определенного уровня дохода, величина которого соответствовала бы минимальной степени риска, приемлемого консервативным инвестором. Поэтому объектами портфельного инвестирования служат высоконадежные инструменты фондового рынка, у которых отмечается высокое соотношение стабильно выплачиваемого процента и курсовой стоимости.

Портфель регулярного дохода формируется из высоконадежных ценных бумаг и приносит средний доход при минимальном уровне риска.

Портфель доходных бумаг состоит из высокодоходных облигаций корпораций, ценных бумаг, приносящих высокий доход при среднем уровне риска.

Портфель роста и дохода формируется для избежания возможных потерь на фондовом рынке как от падения курсовой стоимости, так и низких дивидендных или процентных выплат. Одна часть финансовых активов, входящих в состав данного портфеля, приносит владельцу рост капитальной стоимости, а другая - доход. Потеря одной части может компенсироваться возрастанием другой.

При моделировании инвестиционных портфелей наряду с известными оптимизационными моделями Марковица, индексной моделью Шарпа, моделью выравненной цены, рыночной моделью может быть использована следующая оптимизационная модель.

Пусть хозяйственный субъект обладает финансовыми средствами в объеме F на интервале [0,T]. Известно, что эти финансовые средства он может использовать для приобретения n видов ценных бумаг в объемах V,…, Vn. Исходная стоимость одной единицы ценных бумаг вида i составляет , а прогнозируемая стоимость бумаг вида i к моменту времени T составляет . При этом будем полагать, что (i=1…N). Необходимо выбрать такие виды ценных бумаг, чтобы максимизировать прибыль, полученную после продажи всех видов приобретенных ценных бумаг в момент времени T. Проблема формирования портфеля ценных бумаг может быть сформирована как следующая задача целочисленного линейного программирования с булевыми переменными:

,

при ограничении

,

Если предположить, что значения заданы точно, то можно применить схему метода ветвей и границ, подробно описанную для данной задачи в работе [5]. Другим подходом использования решения задачи в условиях неточного прогноза, также подробно описанным в работе [5], является анализ чувствительности решения к изменению величин . При этом возможны три варианта. В первом случае считается, что известны минимальные значения, и необходимо вычислить, насколько могут быть увеличены значения , чтобы оптимальное решение задачи сохранилось, т. е. необходимо определить такое , чтобы при увеличении всех на любое решение задачи сохранилось. Во втором случае предполагается, что меняются по правилу +. В третьем случае полагаем, что может принимать все значения из интервала [,].

Если же известна функция распределения случайных величин, задающая возможную прибыль по каждому виду ценных бумаг, то выбирается портфель, максимизирующий математическое ожидание выигрыша и/или минимизирующий риск финансовых потерь (среднее квадратичное отклонение). Таким образом задача из детерминированной преобразуется в стохастическую. Рассмотрим возможные подходы для выбора оптимального портфеля в этом случае.

Пусть доход по каждой ценной бумаге оценивается по известному закону распределения вероятностей. Перед лицом, принимающим решение, стоит задача таким образом распределить свои финансовые средства, чтобы ожидаемый доход портфеля ценных бумаг оказался максимальным, и в то же время риск портфеля оказался минимальным. Тогда получим следующую задачу:

пусть - первоначальная цена ценной бумаги вида i, i = 1..N;

R - ожидаемый отдельный возможный доход по ценной бумаге вида i с вероятностью получения P, i, = 1…M, j = 1…N;

P - веса возможных доходов, приписанные вероятностями их получения, где ;

V - кол-во ценных бумаг вида i, шт.;

E = - ожидаемый доход по i-й ценной бумаге;

S = - относительный ожидаемый доход по i-й ценной бумаге за 1 шт.;

- мера риска - среднеквадратичное отклонение значений доходов ценной бумаги вида i от наиболее вероятного значения.

Рассматривая как функцию вероятностей P (j = 1…N), легко видеть, что является неотрицательно определенной функцией (P… P) , имеющей N минимумов в случае, если одна из вероятностей P=1, а остальные P=0 (). Для того, чтобы определить максимум , рассмотрим следующую задачу:

max ,

Исследуя функцию Лагранжа, получим задачу безусловной максимизации вида:

max L( P,…, P) = +

Максимальное значение этой функции получим, разрешив следующую систему уравнений:

(1)

Разрешив эту систему уравнений относительно P, получим значения вероятностей, максимизирующих риск при заданных доходностях ценных бумаг . Решением системы (1) очевидно будет P= P=…= P =.

Таким образом, риск максимален при равновероятном выигрыше для различных исходов.

W=- относительная мера риска по i-ой ценной бумаге за 1 шт.,

F - финансовые средства, выделяемые на формирование портфеля.

Тогда задача может быть сформулирована в следующем виде:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

, (1.4)

, ,

X - пропорции, с которыми ценные бумаги входят в портфель.

Вариант 1 (общий случай) - максимизация дохода.

Для решения задачи (1.1)-(1.4) может быть использована следующая схема.

Вычисление верхней оценки оптимального значения целевой функции происходит следующим образом. Все пакеты акций упорядочиваются по величине S (i = 1…N). Пронумеруем все отношения соответствующим образом и получим S S… S, (k = 1…N). Далее, в первую очередь, финансовые ресурсы выделяются для ценных бумаг первого вида, затем второго и т.д. до того момента, пока остатка денежных средств станет недостаточно для приобретения полностью акций вида g в объеме V, g = 1…N.

В этой ситуации снимаются ограничения на приобретение всех акций пакета вида g и приобретаются акции вида g в максимально возможном объеме. Это количество V вычисляется по формуле:

V = ,

где - остаток финансовых средств после приобретения первых (g-1) пакетов акций (1 N). Далее оценка прибыли сформированного портфеля вычисляется по формуле:

E =

Вариант 2 (общий случай) - минимизация риска.

Все пакеты акций упорядочиваются по величине (i = 1…N). Пронумеруем все отношения соответствующим образом и получим , (k = 1…N). Далее в первую очередь финансовые ресурсы выделяются для ценных бумаг первого вида, затем второго и т.д. до того момента, пока остатка денежных средств станет недостаточно для приобретения полностью акций вида g в объеме V , g = 1…N.

В этой ситуации снимаются ограничения на приобретение всех акций пакета вида g и приобретаются акции вида g в максимально возможном объеме. Это количество V вычисляется по формуле:

V= Далее оценка риска сформированного портфеля вычисляется по формуле:

Q =

Как известно, если задача является нетривиальной, то есть множество всех достижимых оценок включает более одной оценки, то в общем случае выбор оптимального решения без информации о предпочтениях лица, принимающего решения, не возможен. Поэтому в следующем варианте рассматривается получение решения по критерию отношения относительного риска к относительному доходу по одной ценной бумаге вида i.

Вариант 3.

3) Лицо, принимающее решение, задает уровень риска, ниже которого ценная бумага вида i не должна опускаться. Тогда введем величину

K = ,

которая будет характеризовать степень риска к относительному доходу по одной ценной бумаге вида i. Далее, согласно описанного в варианте 2 алгоритма, происходит сортировка величин K и распределение денежных средств. После этого решение исходной задачи можно трансформировать в решение однокритериальной задачи вида:

4) Представляется очевидным, что рассматриваемая двухкритериальная задача (1.1)-(1.4) имеет решение, по крайней мере, в частном случае. Так, если для всех i,j,k = 1..N, ik, , то есть значения функции распределения доходов по одной ценной бумаге пропорциональны значениям функций распределения доходов по остальным ценным бумагам, то последовательность выделения средств по критерию максимизации относительного дохода совпадает с последовательностью выделения средств по критерию минимизации относительного риска.

Например:

Вид ЦБ

Исходные цены

Прогнозные цены

ЦБ1

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

ЦБ2

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

ЦБ3

10,0

11,0

12,0

13,0

14,0

ЦБ4

20,0

22,0

24,0

26,0

28,0

Прирост,%

10

20

30

40

В качестве примеров, иллюстрирующих получение субоптимальных решений задачи (1.1) – (1.4) на реальных данных, рассмотрим расчеты по инвестиционному портфелю, состоящему из акций четырех крупных российских эмитентов.

ЛУКОЙЛ - ярчайший представитель предприятий нефтедобывающего и нефтеперерабатывающего комплекса.

Норильский никель - ярчайший представитель предприятий металлургии, в данном случае цветной металлургии.

РОСТЕЛЕКОМ - ярчайший представитель телекоммуникационных предприятий.

Сбербанк России - ярчайший представитель банковской сферы.

Несмотря на значительный рост биржевой стоимости акций всех эмитентов за последний год, автор относит портфель, состоящий из этих акций, скорее к портфелю консервативного роста, нежели к любому другому типу портфеля. Можно было бы предположить, что его можно отнести к портфелю доходных бумаг. Однако данный тип портфеля априори должен состоять из высокодоходных облигаций и акций, а на российском фондовом рынке сказать так заранее о ценных бумагах какого-либо эмитента затруднительно.

В примере 1 приводятся расчеты на данных ММВБ за 1999 год по трем вышеописанным критериям (максимизация относительного дохода, минимизация относительного риска, минимизация риска в расчете на единицу прибыли) в случае, когда средств достаточно для приобретения всех акций, и когда недостаточно, то есть приобретается часть акций (табл. 1 – 7).

В примере 2 приводятся расчеты на данных РТС за 2000 год с теми же параметрами (табл. 8- 14 из примера 2).

Контрольные примеры авторского расчетного модуля, реализующего решение задачи (1.1)-(1.4).

Пример 1.

Исходные данные. Курсы акций российских эмитентов на ММВБ (на 18ч.15мин.)-1999 г.

Таблица 1

№ п/п

Эмитент

Дата

Исходные цены

21.09

Прогнозные цены

Кол-во в пакете

01.10

11.10

21.10

01.11

1

ЛУКОЙЛ

6,3566

6,7581

7,5325

7,9502

7,9317

100

2

Норильский никель

1,8584

2,3412

3,1062

2,9939

3,0359

150

3

РОСТЕЛЕКОМ

0,7832

0,7869

0,8872

0,8648

0,8917

200

4

Сбербанк России

19,9655

21,3841

25,0435

22,4933

22,3043

250

Принимаемое распределение вероятностей: равновероятное.

Критерий: максимизация относительной прибыли (табл.2, табл.3)

Вариант 1: финансовые средства в объеме 6500

Таблица 2

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наиболее выгодного к наименее выгодному)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

2

Норильский никель

278,76

1

ЛУКОЙЛ

635,66

4

Сбербанк России

4991,37

3

РОСТЕЛЕКОМ

156,64

Всего

6062,43

995,38

16,42%

0

437,56

Вариант 2: финансовые средства в объеме 5000

Таблица 3

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наиболее выгодного к наименее выгодному)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

2

Норильский никель

278,76

1

ЛУКОЙЛ

635,66

4

Сбербанк России

4991,37

905,79

3

РОСТЕЛЕКОМ

156,64

156,64

Всего

6062,43

270,29

29,56%

1062,43

4085,59

Из табл. 3 видно, если средств было бы больше на 905,79, то инвестор мог приобрести полностью

пакеты 2, 1, 4.

Критерий: минимизация относительного риска (табл.4, табл.5)

Вариант 1: финансовые средства в объеме 6500

Таблица 4

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наименее рискового к наиболее рисковому)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

3

РОСТЕЛЕКОМ

156,64

4

Сбербанк России

4991,37

1

ЛУКОЙЛ

635,66

2

Норильский никель

278,76

Всего

6062,43

995,38

16,42%

0

437,56

Вариант 2: финансовые средства в объеме 5000.

Таблица 5

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наименее рискового к наиболее рисковому)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает cредств

Остаток средств

3

РОСТЕЛЕКОМ

156,64

4

Сбербанк России

4991,37

148,02

1

ЛУКОЙЛ

635,66

635,66

2

Норильский никель

278,76

278,76

Всего

6062,43

14,89

9,51%

1062,44

4843,35

Критерий: минимизация риска в расчете на единицу прибыли (табл.6, табл.7)

Вариант 1: финансовые средства в объеме 6500

Таблица 6

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наименее рискового к наиболее рисковому)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

3

РОСТЕЛЕКОМ

156,64

4

Сбербанк России

4991,37

1

ЛУКОЙЛ

635,66

2

Норильский никель

278,76

Всего

6062,43

995,38

16,42%

0

437,56

Вариант 2: финансовые средства в объеме 5000.

Таблица 7

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наименее рискового к наиболее рисковому)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

3

РОСТЕЛЕКОМ

156,64

4

Сбербанк России

4991,37

148,02

1

ЛУКОЙЛ

635,66

635,66

2

Норильский никель

278,76

278,76

Всего

6062,43

14,89

9,51%

1062,44

4843,35

Пример 2

Таблица 8

Исходные данные. Курсы акций российских эмитентов на РТС (на 18ч.00мин.) - 2000 год

№ п/п

Эмитент

Дата

Исходные цены 11.07

Прогнозные цены

Кол-во в пакете

18.07

03.08

09.08

22.08

1

ЛУКОЙЛ

13,0000

13,1700

14,3200

15,2500

15,7500

100

2

Норильский никель

7,2000

7,3000

9,4800

10,0700

9,9900

150

3

РОСТЕЛЕКОМ

2,3700

2,5000

2,3850

2,6250

2,5250

200

4

Сбербанк России

47,0000

48,2500

47,0000

49,5000

49,5000

250

Принимаемое распределение вероятностей: равновероятное.

Критерий: максимизация относительной прибыли (табл.9, табл.10)

Вариант 1: финансовые средства в объеме 14700

Таблица 9

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наиболее выгодного к наименее выгодному)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

2

Норильский никель

1080,00

1

ЛУКОЙЛ

1300,00

3

РОСТЕЛЕКОМ

474,00

4

Сбербанк России

11750,00

Всего

14604,00

882,13

6,04%

0

96,00

Вариант 2: финансовые средства в объеме 12000

Таблица 10

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наиболее выгодного к наименее выгодному)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

2

Норильский никель

1080,00

1

ЛУКОЙЛ

1300,00

3

РОСТЕЛЕКОМ

474,00

4

Сбербанк России

11750,00

2604,00

Всего

14604,00

491,50

17,22%

2604,00

9146,00

Из табл.10 видно, если средств было бы больше на 2604,00, то инвестор мог приобрести полностью все пакеты.

Критерий: минимизация относительного риска (табл.11, табл.12)

Вариант 1: финансовые средства в объеме 14700

Таблица 11

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наименее рискового к наиболее рисковому)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

4

Сбербанк России

11750,00

3

РОСТЕЛЕКОМ

474,00

1

ЛУКОЙЛ

1300,00

2

Норильский никель

1080,00

Всего

14604,00

882,13

6,04%

0

96,00

Вариант 2: финансовые средства в объеме 12000

Таблица 12

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наименее рискового к наиболее рисковому)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает

Средств

Остаток

Средств

4

Сбербанк России

11750,00

3

РОСТЕЛЕКОМ

474,00

224,00

1

ЛУКОЙЛ

1300,00

1300,00

2

Норильский никель

1080,00

1080,00

Всего

14604,00

390,63

3,32%

2604,00

250,00

Критерий: минимизация риска в расчете на единицу прибыли (табл.13, табл.14)

Вариант 1: финансовые средства в объеме 14700

Таблица 13

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наименее рискового к наиболее рисковому)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

4

Сбербанк России

11750,00

3

РОСТЕЛЕКОМ

474,00

1

ЛУКОЙЛ

1300,00

2

Норильский никель

1080,00

Всего

14604,00

882,13

6,04%

0

96,00

Вариант 2: финансовые средства в объеме 12000

Таблица 14

Порядок приобретения и стоимости пакетов (от наименее рискового к наиболее рисковому)

№ п/п

Эмитент

Стоимость пакетов

Чистая прибыль

Чистая прибыль, %

Не хватает средств

Остаток средств

4

Сбербанк России

11750,00

3

РОСТЕЛЕКОМ

474,00

224,00

1

ЛУКОЙЛ

1300,00

1300,00

2

Норильский никель

1080,00

1080,00

Всего

14604,00

390,63

3,32%

2604,00

250,00

ЛИТЕРАТУРА

  1. Агасандян Г.А. Элементы многопериодной портфельной модели. - М.: Вычислительный центр РАН, 1997.
  2. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента. - М.: Финансы и статистика, 1997.
  3. Минаев Ю.Н. Стабильность экономико-математических моделей оптимизации. - М.: Статистика, 1980.
  4. Мищенко А.В. Модели распределения ограниченных ресурсов. - М.: Рос. экон. акад., 1992.
  5. Мищенко А.В., Попов А.А. Модели управления портфелем ценных бумаг. - М.: Рос. экон. акад., 1999.
  6. Ромакин М.И. Математический аппарат оптимизационных задач. - М.: Статистика, 1975.
  7. Рынок ценных бумаг./Под ред. акад. А.И.Басова, В.А. Галанова. - М.: Финансы и статистика, 1996.
  8. Тренев Н.Н. Управление финансами. Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999.
  9. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. - М.: Мир, 1975.
  10. Шарп У.Ф., Александер Г.Д., Бэйли Д.В. Инвестиции. - М.: Инфра-М, 1997.