2 варианта расчета волатильности

[yaBB]

Добрый день! Подскажите, пожалуйста, встретил мнение, что волатильность ценной бумаги можно рассчитывать либо как стандартное отклонение доходности, либо - как стандартное отклонение натурального логарифма цены. Почему используют натуральный логарифм? Из чего это следует?

Спасибо.

[WLMike]

Добрый день! Подскажите, пожалуйста, встретил мнение, что волатильность ценной бумаги можно рассчитывать либо как стандартное отклонение доходности, либо - как стандартное отклонение натурального логарифма цены. Почему используют натуральный логарифм? Из чего это следует?

Спасибо.

Может все-таки не стандартное отклонение натурального логарифма цены, а стандартное отклонение изменения натурального логарифма цены.

ln(p(i))-ln(p(i-1))=ln(p(i)/p(i-1))~(p(i)-p(i-1))/p(i-1) для небольших изменений цены. А следовательно стандартные отклонения доходностей и изменения натурального логарифма цены будут близки.
Обычные доходности удобнее рассматривать, когда речь идет о смешении активов внутри портфеля, а о приросте логарифма цены удобнее говорить, когда речь идет о пересчете показателей одного временного периода (например, дневных показателей) на другой временной интервал (например, на год).

[yaBB]

Обычные доходности удобнее рассматривать, когда речь идет о смешении активов внутри портфеля, а о приросте логарифма цены удобнее говорить, когда речь идет о пересчете показателей одного временного периода (например, дневных показателей) на другой временной интервал (например, на год).

WLMike, спасибо, а можно что-нибудь в качестве наглядного примера? Что значит "удобнее говорить"?

[WLMike]

WLMike, спасибо, а можно что-нибудь в качестве наглядного примера? Что значит "удобнее говорить"?

Проще в смысле формул.
Можно легко записать формулу для доходности и волатильности портфеля зная волатильности и доходности его компонент (думаю, формулы вы знаете), но сложнее записать годовую доходность и волатильность портфеля через его дневную доходность и волатильность. Если же вы рассмотрите логарифмы доходностей, то формулы будут простыми, так как логарифм произведения равен сумме логарифмов и скейлить логарифмическую доходность можно умножением на n, а волатильность умножением на n^0.5. Для обычных доходностей такой скейлинг, хотя и применяют, но он верен лишь приближенно.
И наоборот, сложно записать логорифмическую доходность и волатильность портфеля и зная соответсвующие показатели для компонент портфеля.

[yaBB]

Проще в смысле формул.
Можно легко записать формулу для доходности и волатильности портфеля зная волатильности и доходности его компонент (думаю, формулы вы знаете), но сложнее записать годовую доходность и волатильность портфеля через его дневную доходность и волатильность.

Я всегда считал, что это просто - умножаем, скажем, дневную волатильность на квадратный корень из 250 и получаем годовую волатильность.. Про сложность слышу в первый раз. Майк, можете поподробней объяснить?

Спасибо.

Для обычных доходностей такой скейлинг, хотя и применяют, но он верен лишь приближенно.

Опять же - почему?

[WLMike]

Я всегда считал, что это просто - умножаем, скажем, дневную волатильность на квадратный корень из 250 и получаем годовую волатильность.. Про сложность слышу в первый раз. Майк, можете поподробней объяснить?

Спасибо.



Опять же - почему?

А вы мне объясните, почему не приближенно.
Если есть две независимые случайные величины r1 и r2 с мат ожиданием m(r1)=m(r2)=1.1 и квадратичным отклонением s(r1)=s(r2)=0.2 (что похоже на характеристики западных рынков в годовом исчислении). То квадратичное отклонение доходности за два года будет s(r1*r2)=(s(r1)^2*m(r2)^2+s(r2)^2*m(r1)^2+s(r1)^2*s(r2)^2)^0 .5=(0.2^2*1.1^2+0.2^2*1.1^2+0.2^4)^0.5=31.36%.
Это легко проверить, предположив, что r1 и r2 имеют всего два исхода 0,9 и 1,3, тогда двух годичная доходность будет иметь четыре исхода 0.9*0.9, 0.9*1.3, 1.3*0.9 и 1.3*1.3. Можете посчитать квадратичное отклонение этих четырех исходов в экселе и получите 31,36%, а ваша якобы точная формула даст 0,2*2^0.5=0.2828.
Выводить верную формулу (s(r1)^2*m(r2)^2+s(r2)^2*m(r1)^2+s(r1)^2*s(r2)^2)^0.5 я здесь не буду, если интересно поищите в книжках по теории вероятности. А если вы будете скейлить на 250 периодов, то точная формула будет совсем не простая.

[yaBB]

WLMike, спасибо. У меня теперь полная каша в голове.. Почему на практике применяют формулу для приблизительного расчета, если есть единственно верная? Исключительно для простоты расчета?

Можете посчитать квадратичное отклонение этих четырех исходов в экселе и получите 31,36%, а ваша якобы точная формула даст 0,2*2^0.5=0.2828.

WLMike, а какой "финансовый закон" стоит за тем, что зависимость между доходностью дневной и 2-х дневной нелинейная? Как это объясняется в теории?

Спасибо.

[WLMike]

WLMike, спасибо. У меня теперь полная каша в голове.. Почему на практике применяют формулу для приблизительного расчета, если есть единственно верная? Исключительно для простоты расчета?

Для простоты. Во многих случаях это не принципиально. Вы ведь сами тут много раз участвовали в спорах, какая должна быть риск премия или ставка дисконтирования, и разброс во мнениях обычно в разы. На этом фоне 10% погрешность в пересчете волатильности не выглядит сколько-нибудь важной в практическом смысле.

К тому же формула, которую я привел, не единственно верная. Она верна лишь при допущении об отсутствии корреляции между доходностями в соседних временных интервалах, что не факт, что верно. Но все эти усложнения реально играют только в достаточно специфических классах задач по портфельному менеджменту.
Я так понимаю, что это не ваш профиль, поэтому не заморачивайтесь сильно по этому поводу

WLMike, а какой "финансовый закон" стоит за тем, что зависимость между доходностью дневной и 2-х дневной нелинейная? Как это объясняется в теории?

Спасибо.

Я даже не понимаю чего тут объяснять: доходность за два дня равна доходности за один день умноженной на доходность за второй день – то есть зависимость мультипликативная, или в случае одинакового распределения каждый день степенная. Если доходности независимы, то мат. ожидание доходностей равно произведению мат. ожиданий, а стандартное отклонение правильно считать по формуле, которую я привел выше. Эти формулы выводятся в учебниках по теории вероятности. Для невысоких доходностей можно использовать и приближенные формулы, о которых вы знаете.

[yaBB]

Майк, спасибо за ответ.

Вы ведь сами тут много раз участвовали в спорах, какая должна быть риск премия или ставка дисконтирования

Неа, я не участвую, я обычно наблюдаю только

К тому же формула, которую я привел, не единственно верная. Она верна лишь при допущении об отсутствии корреляции между доходностями в соседних временных интервалах, что не факт, что верно. Но все эти усложнения реально играют только в достаточно специфических классах задач по портфельному менеджменту.
Я так понимаю, что это не ваш профиль, поэтому не заморачивайтесь сильно по этому поводу

Мне это интересно, правда образование не дотягивает...

Я даже не понимаю чего тут объяснять

Извините, иногда я тороплюсь спросить что-то сам до конца не подумав над вопросом.. Все, уже разобрался. Спасибо.