Средняя доходность

[SKatkovsky]

Как считать среднюю доходность?
Предположим, мы имеем возможность приобрести актив А за 100 сен-лоренцских капралов, который через два года принесет нам либо 200, либо 150 капралов (с одинаковой вероятностью). То есть, в среднем такой актив принесет нам 175 капралов. Доходность такого вложения составит 32,29% годовых.
Теперь рассмотрим альтернативу - вложение 50 капралов в актив В, который черед два года принесет (в среднем) 100 капралов и вложение 50 в актив С, который через два года принесет 75 капралов. Доходность вложения В - 41,42% годовых, вложения С - 22,47% годовых. Средняя доходность портфеля В+С (0,5r(B)+0,5r(C)) - 31,95% процентов годовых.
Но как с точки зрения инвестиций, так и с точки зрения доходов, которые будут получены вложения в А и портфель В+С полностью эквивалентны. Так как же следует считать доходность?

Я вот почему еще об этом подумал. Наткнулся в инете на статью о том, что подход Miles-Ezzell допускает арбитраж: http://ideas.repec.org/p/han/dpaper/dp-248.html. В демонстрационном примере арбитража взяты потоки за два года (видимо, неспроста - на одногодичном вложении арбитраж не построить). Дальше идет теория, видоизменяющая оценку. Но прежде чем продираться через вероятностные пространства, хотелось бы, прежде всего, разобраться с доходностью, поскольку, может быть, и арбитража никакого нет, а есть просто расхождение в том, как доходность считать.

[SKatkovsky]

Я еще дополню. В принципе, такое расхождение будет всякий раз, когда вы осредняете доходности, вычисленные по отношению к разным периодам (% годовых, в месяц, непрерывное начисление и т.д.). Это не было бы проблемой, если бы существовал "естественный период". К сожалению, проблема проявится всякий раз, когда доход есть более чем в одном периоде, и "естественного периода" просто нет.

Да, еще для одного варианта - среднего непрерывного процента (среднего логарифмического или среднего геометрического 1+r, результат один) в предыдущем примере получается 31,61%. Это же значение будет, если средний доход (не доходность!) считать как среднее геометрическое.

[alexbigun]

Как считать среднюю доходность?
Предположим, мы имеем возможность приобрести актив А за 100 сен-лоренцских капралов, который через два года принесет нам либо 200, либо 150 капралов (с одинаковой вероятностью). То есть, в среднем такой актив принесет нам 175 капралов. Доходность такого вложения составит 32,29% годовых.

Вы немножко тут не так посчитали. Ритерн тут 31.95%, такой же, как у Вас ниже.

Теперь рассмотрим альтернативу - вложение 50 капралов в актив В, который черед два года принесет (в среднем) 100 капралов и вложение 50 в актив С, который через два года принесет 75 капралов. Доходность вложения В - 41,42% годовых, вложения С - 22,47% годовых. Средняя доходность портфеля В+С (0,5r(B)+0,5r(C)) - 31,95% процентов годовых.
Но как с точки зрения инвестиций, так и с точки зрения доходов, которые будут получены вложения в А и портфель В+С полностью эквивалентны. Так как же следует считать доходность?

Э-э... Немножко не понятен вопрос... Что Вас смущает?

Я вот почему еще об этом подумал. Наткнулся в инете на статью о том, что подход Miles-Ezzell допускает арбитраж: http://ideas.repec.org/p/han/dpaper/dp-248.html. В демонстрационном примере арбитража взяты потоки за два года (видимо, неспроста - на одногодичном вложении арбитраж не построить).

Ну да, написал Леффлер о том, что Miles-Ezzell допускает арбитраж...
Почему на одногодичном примере не построить арбитраж??? Конечно же, можно. Если я правильно помню аргументацию Леффлера - Miles и Ezzell допустили ошибку при подсчете ожиданий: они смотрели только на 2 года, а итерировать надо было, используя еще пару степов... Надо, конечно, перечитать...

Дальше идет теория, видоизменяющая оценку. Но прежде чем продираться через вероятностные пространства, хотелось бы, прежде всего, разобраться с доходностью, поскольку, может быть, и арбитража никакого нет, а есть просто расхождение в том, как доходность считать.

Единственное расхождение в подсчете ритернов, это какое среднее брать - арифметическое или геометрическое. В Вашем примере Вы забываете про риск! Простые ритерны мало о чем говорят. Какое у этих портфелей Sharpe ratio/Treynor ratio? Ведь для того, чтобы построить tracking portfolio, Вам надо, чтобы бэта-факторы tracking портфеля были такие же, как бэта-факторы tracked портфеля. Если expected returns отличаются, тогда есть возможность арбитража. В конце-концов, арбитраж - это возможность riskless дохода без начальных вложений.

P.S. Еще сегодня как-то напишу в ветку о хэджировании

[alexbigun]

Я еще дополню. В принципе, такое расхождение будет всякий раз, когда вы осредняете доходности, вычисленные по отношению к разным периодам (% годовых, в месяц, непрерывное начисление и т.д.). Это не было бы проблемой, если бы существовал "естественный период". К сожалению, проблема проявится всякий раз, когда доход есть более чем в одном периоде, и "естественного периода" просто нет.

Не совсем понимаю, что Вы имеете ввиду под "естественным периодом", но Ваша аргументация смахивает на ту, в которой, что лучше применять - арифметическое среднее или геометрическое. Последние говорят, что если у инвестора holding period [0,x], то ему важно, что произойдет с его инвестициями в х. Колебания в промежутке не важны.

[SKatkovsky]

Вы немножко тут не так посчитали. Ритерн тут 31.95%, такой же, как у Вас ниже.

Я считал следующим образом - средний доход 175. Доходность вычисляем как (1+r)^2 = 175/100, откуда r = sqrt(1,75) = 32,29%. Что я делаю не так? Ровно по той же формуле я вычислял доходности активов B и C: (1+r(B))^2 = 200/100, r(B) = 41,42%; (1+r(C))^2 = 150/100, r(C) = 22,47%. Доходность портфеля есть средневзвешенное доходностей составляющих, т.е. 0,5r(B)+0,5r(C) = 31,95%.

Э-э... Немножко не понятен вопрос... Что Вас смущает?

Ну, вот и смущает, что доходность, посчитанная двумя способами, разная.

Ну да, написал Леффлер о том, что Miles-Ezzell допускает арбитраж...
Почему на одногодичном примере не построить арбитраж??? Конечно же, можно.

Не, я не утверждаю, что нельзя, я подозревал, что нельзя (я написал "видимо"). Иначе почему он не привел одногодичный пример, а привел двухгодичный, более сложный и невнятный? А у вас есть одногодичный пример арбитража?

Если я правильно помню аргументацию Леффлера - Miles и Ezzell допустили ошибку при подсчете ожиданий: они смотрели только на 2 года, а итерировать надо было, используя еще пару степов... Надо, конечно, перечитать...

А мне - просто прочитать

Единственное расхождение в подсчете ритернов, это какое среднее брать - арифметическое или геометрическое.

Это в некотором роде частный случай вопроса "доходность за какой период усреднять". Среднее геометрическое номинальных годовых доходностей равно среднему арифметическому непрерывных доходностей (после перехода обратно к номинальным, конечно).

В Вашем примере Вы забываете про риск! Простые ритерны мало о чем говорят.

Не забываю, а не рассматриваю Да, конечно, у этих инвестиций может быть разный риск, но к вопросу это отношения не имеет. Доходность портфеля рассчитывается независимо от риска составляющих, она есть функция только доходностей последних. Сравнивают доходности различных портфелей тоже независимо от риска (в том смысле, что чтобы сказать, что доходность портфеля А выше/ниже/равна доходности портфеля В, вам не нужно ничего знать про риски). Риск вам понадобится, когда вы будете выбирать портфели, тогда вы будете сопоставлять доходности и риски. Но сначала надо рассчитать доходности.

Какое у этих портфелей Sharpe ratio/Treynor ratio? Ведь для того, чтобы построить tracking portfolio, Вам надо, чтобы бэта-факторы tracking портфеля были такие же, как бэта-факторы tracked портфеля. Если expected returns отличаются, тогда есть возможность арбитража. В конце-концов, арбитраж - это возможность riskless дохода без начальных вложений.

Не, я не утверждаю, что есть возможность арбитража. Я так далеко не заходил Я рассматриваю очень узкую проблему - как рассчитывать доходность.

P.S. Еще сегодня как-то напишу в ветку о хэджировании

Я тоже пытался кое-что дописать, насчет выбора компании, по которой оценивать форвард, но запутался и решил отложить

[SKatkovsky]

Не совсем понимаю, что Вы имеете ввиду под "естественным периодом", но Ваша аргументация смахивает на ту, в которой, что лучше применять - арифметическое среднее или геометрическое. Последние говорят, что если у инвестора holding period [0,x], то ему важно, что произойдет с его инвестициями в х. Колебания в промежутке не важны.

"Естественный период" - период между вложением и возвратом. Соответственно, если возврат через год, "естественная ставка" - годовая, через месяц - месячная, непрерывное начисление - непрерываная. В этих случаех все равно, что усреднять - доход ли, а потом рассчитывать по нему доходность, или сначала рассчитывать доходность вариантов, а потом усреднять ее. А вот когда у вас два дохода, один через год, другой через два, нет ее, "естественной ставки" нет. В моем примере для простоты дохода через год нет, так что, конечно, можно было бы использовать "двухгодичную ставку", но это только из-за упрощения так.

Относительно аргументации за среднее арифметическое/геометрическое скажу вот что. Среднее арифметическое, какими бы недостатками оно не обладало, имеет одно замечательное свойство - это то среднее, к которому наблюдается сходимость по вероятности. Попросту говоря, это математическое ожидание. То есть, если у вас много разных активов, каждый из которых приносит (равновероятно) доход либо 200, либо 150, то общий доход, который вы получите от этих активов, будет равен 175 (среднее арифметическое 200 и 150), умноженное на количество активов. А не 173 (среднее геометрическое).

[alexbigun]

Я считал следующим образом - средний доход 175. Доходность вычисляем как (1+r)^2 = 175/100, откуда r = sqrt(1,75) = 32,29%. Что я делаю не так? Ровно по той же формуле я вычислял доходности активов B и C: (1+r(B))^2 = 200/100, r(B) = 41,42%; (1+r(C))^2 = 150/100, r(C) = 22,47%. Доходность портфеля есть средневзвешенное доходностей составляющих, т.е. 0,5r(B)+0,5r(C) = 31,95%.

Ну, вот и смущает, что доходность, посчитанная двумя способами, разная.

Я считал так:
E(R) = p1*Geo_Ret_1 + p2*Geo_Ret_2 = 0.5*([200/100]^0.5-1) + 0.5*([150/100]^0.5-1) = 31.95%

Не, я не утверждаю, что нельзя, я подозревал, что нельзя (я написал "видимо"). Иначе почему он не привел одногодичный пример, а привел двухгодичный, более сложный и невнятный? А у вас есть одногодичный пример арбитража?

Так Вы говорили о случае М-Е! Извините, не правильно понял... Там как раз выходят за рамки одного года из-за того, что все упирается в риски interest tax shield (в первом году известен, в следующем нет).

Это в некотором роде частный случай вопроса "доходность за какой период усреднять". Среднее геометрическое номинальных годовых доходностей равно среднему арифметическому непрерывных доходностей (после перехода обратно к номинальным, конечно).

Не забываю, а не рассматриваю Да, конечно, у этих инвестиций может быть разный риск, но к вопросу это отношения не имеет. Доходность портфеля рассчитывается независимо от риска составляющих, она есть функция только доходностей последних. Сравнивают доходности различных портфелей тоже независимо от риска (в том смысле, что чтобы сказать, что доходность портфеля А выше/ниже/равна доходности портфеля В, вам не нужно ничего знать про риски). Риск вам понадобится, когда вы будете выбирать портфели, тогда вы будете сопоставлять доходности и риски. Но сначала надо рассчитать доходности.

Не, я не утверждаю, что есть возможность арбитража. Я так далеко не заходил Я рассматриваю очень узкую проблему - как рассчитывать доходность.

Я тоже пытался кое-что дописать, насчет выбора компании, по которой оценивать форвард, но запутался и решил отложить

Ок. Тогда начнем отсюда. Доходности одинаковые. Теперь надо на риски смотреть

[alexbigun]

"Естественный период" - период между вложением и возвратом. Соответственно, если возврат через год, "естественная ставка" - годовая, через месяц - месячная, непрерывное начисление - непрерываная. В этих случаех все равно, что усреднять - доход ли, а потом рассчитывать по нему доходность, или сначала рассчитывать доходность вариантов, а потом усреднять ее. А вот когда у вас два дохода, один через год, другой через два, нет ее, "естественной ставки" нет. В моем примере для простоты дохода через год нет, так что, конечно, можно было бы использовать "двухгодичную ставку", но это только из-за упрощения так.

То, что я называю "holding period" Но когда у Вас разные периоды вложений (1 год и 2) их не совсем корректно сравнивать. Это из той-же оперы, которая тут была, по поводу NPV с риплейсментом.

Относительно аргументации за среднее арифметическое/геометрическое скажу вот что. Среднее арифметическое, какими бы недостатками оно не обладало, имеет одно замечательное свойство - это то среднее, к которому наблюдается сходимость по вероятности. Попросту говоря, это математическое ожидание. То есть, если у вас много разных активов, каждый из которых приносит (равновероятно) доход либо 200, либо 150, то общий доход, который вы получите от этих активов, будет равен 175 (среднее арифметическое 200 и 150), умноженное на количество активов. А не 173 (среднее геометрическое).

Я с Вами совершенно согласен по поводу среднеарифметичного. Но рассмотрим пример, когда Вы вложили в какой-то хедж фанд (без намека на предыдущую дискуссию ). Как известно, там существует период, в течении которого Вы не можете забрать свою денежку. Предположим, это 6 единиц времени. С Вашим вложением за этот период происходит следующее:

Период
0 1 2 3 4 5 6
Инвестиции
50 18 38 92 45 48 50
Ритернз
-64% 111% 142% -51% 7% 4%

Среднее арифметическое - 25%
Среднее геометрическое - 0%

Через 6 периодов Вы придете забирать денежку. При этом фанд менеджер Вам скажет: "Ваши деньги здорово поработали! Принесли аж 25%!" Думаю, Вас это мало утешит

[SKatkovsky]

Я считал так:
E(R) = p1*Geo_Ret_1 + p2*Geo_Ret_2 = 0.5*([200/100]^0.5-1) + 0.5*([150/100]^0.5-1) = 31.95%

Но можно-то считать и иначе - сначала определить средний доход по активу (175), а потом считать доходность, и она будет выше. На самом деле, так всегда и делают, потому что только у нас известно, что средний доход А складывается из 200 и 150, обычно известно лишь, что среднее 175. По среднему и считают. Да и в любом случае, есть актив и его средний доход. Если по какой-то причине нельзя считать доходность, исходя из среднего дохода, это в любом случае надо обосновать.

[alexbigun]

Но можно-то считать и иначе - сначала определить средний доход по активу (175), а потом считать доходность, и она будет выше. На самом деле, так всегда и делают, потому что только у нас известно, что средний доход А складывается из 200 и 150, обычно известно лишь, что среднее 175. По среднему и считают. Да и в любом случае, есть актив и его средний доход. Если по какой-то причине нельзя считать доходность, исходя из среднего дохода, это в любом случае надо обосновать.

Э не, не согласен! Вы мне дали 2 ветки с двумя сценариями и с вероятностями! По другому я посчитать не могу!

[SKatkovsky]

То, что я называю "holding period" Но когда у Вас разные периоды вложений (1 год и 2) их не совсем корректно сравнивать. Это из той-же оперы, которая тут была, по поводу NPV с риплейсментом.

Не, у меня периоды вложений могут быть не размными. У меня активы (каждый) просто приносят доход и в первый год, и во второй. Я могу свой пример видоизменить следующим образом:
A -100 80 80
B -50 50 50
C -50 30 30
Доходность А - 37,98%, B - 61,80%, C - 13,07%, портфеля B+C (средневзвешенная) - 37,43%. Но портфель А в точности равен сумме В+С по доходам!

Я с Вами совершенно согласен по поводу среднеарифметичного. Но рассмотрим пример, когда Вы вложили в какой-то хедж фанд (без намека на предыдущую дискуссию ). Как известно, там существует период, в течении которого Вы не можете забрать свою денежку. Предположим, это 6 единиц времени. С Вашим вложением за этот период происходит следующее:

Период
0 1 2 3 4 5 6
Инвестиции
50 18 38 92 45 48 50
Ритернз
-64% 111% 142% -51% 7% 4%

Среднее арифметическое - 25%
Среднее геометрическое - 0%

Через 6 периодов Вы придете забирать денежку. При этом фанд менеджер Вам скажет: "Ваши деньги здорово поработали! Принесли аж 25%!" Думаю, Вас это мало утешит

Тут - да Но тут среднее по времени, а это не то же самое, что среднее по портфелю. (Смысл среднеарифметической доходности по времени вообще какой-либо трудно приписать - это математическое ожидание чего?) Среднее по портфелю-то все считают средним арифметическим.

[SKatkovsky]

Э не, не согласен! Вы мне дали 2 ветки с двумя сценариями и с вероятностями! По другому я посчитать не могу!

А для активов В и С я просто привел средние значения. Хотя и эти средние - тоже продукт какого-то распределения, просто я его не дал. Наоборот, я мог не дать распределение для А. Что же получается, как только нам становится известен явный вид распределения, у нас меняется доходность актива? Какой-то солипсизм прямо

[alexbigun]

А для активов В и С я просто привел средние значения. Хотя и эти средние - тоже продукт какого-то распределения, просто я его не дал. Наоборот, я мог не дать распределение для А. Что же получается, как только нам становится известен явный вид распределения, у нас меняется доходность актива?

Согласитесь, что Е(Х) = р1*200 + р2*150 будет меняться от 200 до 150 в зависимости от вероятностей.

Какой-то солипсизм прямо

[WLMike]

Не, у меня периоды вложений могут быть не размными. У меня активы (каждый) просто приносят доход и в первый год, и во второй. Я могу свой пример видоизменить следующим образом:
A -100 80 80
B -50 50 50
C -50 30 30
Доходность А - 37,98%, B - 61,80%, C - 13,07%, портфеля B+C (средневзвешенная) - 37,43%. Но портфель А в точности равен сумме В+С по доходам!

Тут - да Но тут среднее по времени, а это не то же самое, что среднее по портфелю. (Смысл среднеарифметической доходности по времени вообще какой-либо трудно приписать - это математическое ожидание чего?) Среднее по портфелю-то все считают средним арифметическим.

Мне кажется alexbigun прав, так как средняя доходность предпологает именно усреднение доходностей.
Во втором вашем примере портфели не полность реплецируют друг друга, так как в середине стоимость a<>b+c, из-за этого и проистекает разница доходностей.

[alexbigun]

Не, у меня периоды вложений могут быть не размными. У меня активы (каждый) просто приносят доход и в первый год, и во второй. Я могу свой пример видоизменить следующим образом:
A -100 80 80
B -50 50 50
C -50 30 30
Доходность А - 37,98%, B - 61,80%, C - 13,07%, портфеля B+C (средневзвешенная) - 37,43%. Но портфель А в точности равен сумме В+С по доходам!

Так Вы же посчитали IRR. Почему средневзвешенные позитивные корни 2-х полиномов дожны равняться корню 3-го полинома?
Мы же говорим, что доходность считаем, как среднюю по периодам. Вот у Вас и получается, что

А: -10%
В: 0%
С: -20%

Средняя доходность портфеля В+С = 0.5*(0% + (-20%)) = -10%, тоесть такая же, как и у А.

Если IRR посчитать, так надо сложить cash flow. В этом случае IRR(А) и IRR(В+С) одинаковые.

Тут - да Но тут среднее по времени, а это не то же самое, что среднее по портфелю. (Смысл среднеарифметической доходности по времени вообще какой-либо трудно приписать - это математическое ожидание чего?) Среднее по портфелю-то все считают средним арифметическим.

Просто пример того, что колебания между периодом а) и б) могут быть и не важны, как в случае среднего арифметического.

[SKatkovsky]

Согласитесь, что Е(Х) = р1*200 + р2*150 будет меняться от 200 до 150 в зависимости от вероятностей.

Но я-то зафиксировал среднее! 175. А вот получаться оно может и как просто 175, и как 0,5*200 + 0,5*150 и еще кучей способов.

[SKatkovsky]

Мне кажется alexbigun прав, так как средняя доходность предпологает именно усреднение доходностей.

Предположим даже что и так. Но какую доходность? Доходность, выраженную в процентах годовых или доходность в непрерывном исчислении. А может, помесячную. Ответы (конечно, после приведение конечного результата к одному виду) будут разными. Я же писал уже - усреднение годовых доходностей в лоб дает (в исходной задаче) 31,95%, усреднение непрерывных - 31,61%, усреднение доходности за два года - 32,29% (то же, что усреднение дохода с последующим расчетом доходности). Выбор года в качестве периода произволен. Почему бы не месяц? Будут другие числа (в пересчете обратно в годовую).

Во втором вашем примере портфели не полность реплецируют друг друга, так как в середине стоимость a<>b+c, из-за этого и проистекает разница доходностей.

Я не понял, что значит "в середине стоимость a<>b+c"? Денежные потоки совпадают, а стоимость (value) актива оценивать мы вообще не можем - мы же не знаем требуемую доходность.

[SKatkovsky]

Так Вы же посчитали IRR.

Так а что такое доходность актива, который я купил за 100 и который принес мне в первый год 80 и во второй еще 80? Предположим, что это облигация такая хитрая, а 80 в первый и 80 во второй год - ее ожидаемый доход.

Почему средневзвешенные позитивные корни 2-х полиномов дожны равняться корню 3-го полинома?

Да в том-то и дело, что не должны. С одной стороны. А с другой - эти корни - доходности, которые мы складываем с весами. И с этой стороны, наоборот, должны. В этом и противоречие.

Мы же говорим, что доходность считаем, как среднюю по периодам. Вот у Вас и получается, что

А: -10%
В: 0%
С: -20%

Средняя доходность портфеля В+С = 0.5*(0% + (-20%)) = -10%, тоесть такая же, как и у А.

Нет, у меня там не цена актива, а денежный поток по активу. В нулевой период отток, в следующие два - приток.

Если IRR посчитать, так надо сложить cash flow. В этом случае IRR(А) и IRR(В+С) одинаковые.

Правильно. Но IRR - это доходность такого актива. А, с другой стороны, доходность портфеля - средневзвешенное доходности входящих в него активов. Т.е. 0.5*IRR(B) + 0.5* IRR(C). Но, как мы знаем, это не равно IRR(В+С) (в общем случае).

[alexbigun]

Сергей, мы сейчас о чем говорим? О expected returns или yields? Это ведь разные вещи!

Так а что такое доходность актива, который я купил за 100 и который принес мне в первый год 80 и во второй еще 80? Предположим, что это облигация такая хитрая, а 80 в первый и 80 во второй год - ее ожидаемый доход.

Вы сейчас говорите о yield, до это речь шла о expected returns. Expected returns для бондов - не так просто. Нужно подумать о default and recovery rates.

Да в том-то и дело, что не должны. С одной стороны. А с другой - эти корни - доходности, которые мы складываем с весами. И с этой стороны, наоборот, должны. В этом и противоречие.

Правильно. Но IRR - это доходность такого актива. А, с другой стороны, доходность портфеля - средневзвешенное доходности входящих в него активов. Т.е. 0.5*IRR(B) + 0.5* IRR(C). Но, как мы знаем, это не равно IRR(В+С) (в общем случае).

Так я об этом и говорю. Мы взвешиваем по вероятностям expected returns, а не yields! По expected returns у Вас проблем нет - они одинаковые, а чтобы на yields посмотреть, надо просуммировать кэш флоуз. По другому просто смысла особого нет...

Нет, у меня там не цена актива, а денежный поток по активу. В нулевой период отток, в следующие два - приток.

Чем отток в нулевой период отличается от цены?

[alexbigun]

В догонку: Irr портфеля не возможно получить из Irr составляющих его активов!

[WLMike]

Предположим даже что и так. Но какую доходность? Доходность, выраженную в процентах годовых или доходность в непрерывном исчислении. А может, помесячную. Ответы (конечно, после приведение конечного результата к одному виду) будут разными. Я же писал уже - усреднение годовых доходностей в лоб дает (в исходной задаче) 31,95%, усреднение непрерывных - 31,61%, усреднение доходности за два года - 32,29% (то же, что усреднение дохода с последующим расчетом доходности). Выбор года в качестве периода произволен. Почему бы не месяц? Будут другие числа (в пересчете обратно в годовую).

Я не понял, что значит "в середине стоимость a<>b+c"? Денежные потоки совпадают, а стоимость (value) актива оценивать мы вообще не можем - мы же не знаем требуемую доходность.

Чтобы ответить на вопрос про доходность не достаточно ваших вводных - должны быть дополнительные данные. Рассмотрим ваш второй пример. Будем исходить из следующего дополнительного допущения: доходности каждого из трех активов постоянны во времени. Тогда правомерно расчитать доходность актива как IRR потоков. После этого вы пытаетесь сопоставить доходности актива а и автива b+c. При расчете доходности актива b+с вы берете доходности актива b и с и придаете им веса 0,5 и 0,5. Но это не верно, так как в момент времени 1 у вас не такое соотношение стоймостей активов b и с. В результате актив b+c имеет разную доходность в разные периоды. В период от 0 до 1 у него доходность 37,43%, а от 1 до 2 39,29%.

[jumper]

Скажите пожалуйста,WLmike, а как на Ваш взгляд, должна определяться доходность портфеля в самом изначальном примере SKatkovsky с капралами, где 100 разбито на два актива по 50 без выплат в середине? Там где автор взвесил, как вы считаете ошибочно, по 50% на актив.

[WLMike]

Скажите пожалуйста,WLmike, а как на Ваш взгляд, должна определяться доходность портфеля в самом изначальном примере SKatkovsky с капралами, где 100 разбито на два актива по 50 без выплат в середине? Там где автор взвесил, как вы считаете ошибочно, по 50% на актив.

Ответить на этот вопрос опять нельзя без дополнительных вводных. Нужно два дополнительных данных: момент времени, когда происходит расхождение на две ветки и допущение об одинаковой доходности каждого актива во времени (или описание структуры изменения доходности во времени для каждого актива).

[jumper]

Может не очень догоняю чего-то, но есть два актива которые вы покупаете по 50. Через два года гасите один по 100, другой по 75 (причем для простоты не вероятностно, а детерминированно, если правильно выразился:-)). Вопрос какая доходность вашего портфеля который вы сформировали два года назад из двух активов. Испрвьте если опять не понял чегонибудь. Ведь вопрос изначально SKatkovsy был как мне кажется именно в этом, как считать доходность в таких случаях. Или же получается что в такой формулировке задачи доходность портфеля вообще не определить?

[WLMike]

Может не очень догоняю чего-то, но есть два актива которые вы покупаете по 50. Через два года гасите один по 100, другой по 75 (причем для простоты не вероятностно, а детерминированно, если правильно выразился:-)). Вопрос какая доходность вашего портфеля который вы сформировали два года назад из двух активов. Испрвьте если опять не понял чегонибудь. Ведь вопрос изначально SKatkovsy был как мне кажется именно в этом, как считать доходность в таких случаях. Или же получается что в такой формулировке задачи доходность портфеля вообще не определить?

У портфеля b+c годовая доходность в первом и втором периодах разная, так как соотношение стоймостей активов в и с меняется от периода к периоду.

[jumper]

Спасибо. По сути понятно, надо указать еще период "капитализации", ведь там не обязательно два периода, а скоко хочешь в принципе. А потом попериодные доходности как-то усренять.

P/s/ Хотя чудно получается. Засунули в черный ящик 100 рублей, вытянули через 2 года 175. А доходность получается разная в зависимости от того, кто в этом ящике сидит :-) и кого мы не видим. Солипсизьм:-)

[SKatkovsky]

Сергей, мы сейчас о чем говорим? О expected returns или yields? Это ведь разные вещи!

Об ожидаемых, конечно. Везде средние значения.

Впрочем, мы могли бы говорить и об обещанных, то же противоречие имело бы место.

Вы сейчас говорите о yield, до это речь шла о expected returns. Expected returns для бондов - не так просто. Нужно подумать о default and recovery rates.

Нет, я подразумеваю именно ожидаемые. Считайте просто, что вам известно, что ожидаемый доход по облигации А 80 в первый год и 80 во второй. Откуда-то это, например, известно. Скажем, все рейтинговые агенства сошлись на некоторой единой оценке дефолта и из обещанного доход пересчитали в ожидаемый.

Но, впрочем, если облигации чем-то не устраивают, можно и к акциям перейти (чтобы вообще обещанного не было). Видоизмененный пример:
A -100 80 30
B -50 50 20
C -50 30 10
В последнем столбце теперь не ожидаемый доход за второй год, а ожидамый доход в периодах со второго и до бесконечности (постоянный доход). Первый, как обычно, цена, второй - ожидаемый доход в первый год. Как и прежде, по доходам А = В + С.
Имеем все то же самое:
Доходность (IRR) A - 45,68%
Доходность (IRR) B - 63,25%
Доходность (IRR) C - 28,99%
Средневзвешенная доходность портфеля B+C (0,5*IRR(B) + 0,5*IRR(C)) - 46,12% - не равно IRR(A).

Так я об этом и говорю. Мы взвешиваем по вероятностям expected returns, а не yields! По expected returns у Вас проблем нет - они одинаковые, а чтобы на yields посмотреть, надо просуммировать кэш флоуз. По другому просто смысла особого нет...

По-моему, что по ожидаемым, что по обещанным доходам одна и та же проблема. В случае обещанных доходов не сходятся обещанные доходности, в случае ожидаемых - ожидаемые.

Чем отток в нулевой период отличается от цены?

Ничем Это я неудачно выразился, отток в нулевой конечно, цена, это приток в первый не цена.

[SKatkovsky]

В догонку: Irr портфеля не возможно получить из Irr составляющих его активов!

Именно!
Но

1. Мы имеем портфель активов.
2. Доходность актива - это его IRR, если мы принимаем как постулат, что цена (сраведливая, рыночная) актива - это приведенная стоимость ожидаемых денежных потоков на него (продисконтировав потоки по IRR, мы должны получить цену актива).
3. Доходность портфеля активов по всем обычно приводимым в учебниках утверждениям - средневзвешенная доходность входящих в портфель активов.
4. Но это не так

[SKatkovsky]

Чтобы ответить на вопрос про доходность не достаточно ваших вводных - должны быть дополнительные данные. Рассмотрим ваш второй пример. Будем исходить из следующего дополнительного допущения: доходности каждого из трех активов постоянны во времени. Тогда правомерно расчитать доходность актива как IRR потоков. После этого вы пытаетесь сопоставить доходности актива а и автива b+c. При расчете доходности актива b+с вы берете доходности актива b и с и придаете им веса 0,5 и 0,5. Но это не верно, так как в момент времени 1 у вас не такое соотношение стоймостей активов b и с.

Почему? Почему стоимости активов b и с не равны? Предположим, что IRR каждого актива (А, В и С) точно равная требуемой доходности (каждого актива соответственно). Тогда цена в начальный момент - это справедливая рыночная цена. И веса должны быть 0,5.

[SKatkovsky]

У портфеля b+c годовая доходность в первом и втором периодах разная, так как соотношение стоймостей активов в и с меняется от периода к периоду.

Мне кажется, что если рассуждать так, как вы, получается, что значение доходности в текущий момент не определяется текущей ценой и совокупностью (ожидаемых) будущих доходов. Но по-моему, это неправильно. Должна определяться. Именно как IRR.