Что такое принцип Парето и как им пользоваться?

[WLMike]

Похоже я нащупал ответ.

[SKatkovsky]

Если дифференцируема, то легко могу доказать, что имеет вид a*x, но без этого не могу

Не, мы же отказались от непрерывности и ограниченности даже, так что запросто может быть и не дифференцируемой.

[SKatkovsky]

Соответсвено континуум или больше.

Логично

[SKatkovsky]

Похоже я нащупал ответ.

И скока?

[Евгений]

Я совершенно точно что-то не понял. Если у нас 20/80 и 1000 самых богатых владеют 80% всех богатств, эти 1000 составляют 20% от всех людей на Земле. Итого, у нас на Земле 5000 человек. Маловато будет.

Вы опять, к сожалению, не поняли о чем я сказал.
Будьте, пожалуйста, внимательны:
Пусть N человек являются обладателями 80% богатств, которые мы обозначим буквой S. Тогда, следуя соотношению 20/80, получаем, что 0.2*N человек из указанной группы обладают состоянием, равным 0.8*S. Применяя рекурсивно приведенную Вами формулу y=x^0.139, уже на 6-м шаге получим, что 0.001*N человек имеет состояние, равное величине 0.26*S.
Пеперь, если собрать воедино 1000 самых состоятельных людей планеты, то (будь эта формула верна) среди них найдется один самый богатый человек, чъе состояние будет оцениваться как 26% от общего совокупного богатства всех членов этого элитного клуба.

Еще раз подчеркиваю, что использовать данный пример для оценки общего населения планеты, мягко скажем, не корректно...

[Евгений]

...Свойства непрерывности, монотонности, ограниченности и прочие отбросим как устаревшие. Коварный вопрос к Евгению Борисовичу: а таких функций сколько?

Не напрягайтесь, друзья!
Множество таких функций (кусочно-непрерывных) имеет мощность выше континуума.

[SKatkovsky]

Вы опять, к сожалению, не поняли о чем я сказал.

Верно, и до сих пор не могу понять.

Будьте, пожалуйста, внимательны:
Пусть N человек являются обладателями 20% богатств, которые мы обозначим буквой S.

20% от чего?

Тогда, следуя соотношению 20/80, получаем, что 0.2*N человек из указанной группы обладают состоянием, равным 0.8*S. Применяя рекурсивно приведенную Вами формулу y=x^0.139, уже на 6-м шаге получим, что 0.001*N человек имеет состояние, равное величине 0.26*S.

Не знаю, зачем рекурсивно, если можно сразу подставить в формулу 0,001 (и получить, кстати, 38%, где-то у вас ошибка), но пускай.

Пеперь, если собрать воедино 1000 самых состоятельных людей планеты, то (будь эта формула верна) среди них найдется один самый богатый человек, чъе состояние будет оцениваться как 26% от общего совокупного богатства всех членов этого элитного клуба.

Ну пускай так. Странно ожидать от формулы, параметры которой подбираются статистикой, точных результатов на единичных случаях. Для еще меньших значений она вообще бессмысленна, ну и что?

[SKatkovsky]

Не напрягайтесь, друзья!
Множество таких функций (кусочно-непрерывных) имеет мощность выше континуума.

1. Речь шла о функциях, обладающих свойством f(x - y) = f(x) - f(y). Среди кусочно-непрерывных есть только одна такая функция (непрерывная всюду) - a*x. Любая кусочно-непрерывная функция с разрывом таким свойством очевидно обладать не может: для близких (x - y = e) точек значения функции вблизи разрыва по одну его сторону близки (стало быть, f(x - y) мало, потому что f(x) - f(y) мало), а значения для находящихся на том же расстоянии e, но по разные стороны разрыва точек - нет. Функций вида a*x - очевидно, континуум.
2. И вообще, кусочно-непрерывных функций - континуум, а не больше.

[Евгений]

Верно, и до сих пор не могу понять.

20% от чего?

Я допустил неточность (исправлена) - не 20%, а 80%. Имеется в виду 80% от S.

Не знаю, зачем рекурсивно, если можно сразу подставить в формулу 0,001 (и получить, кстати, 38%, где-то у вас ошибка), но пускай.

Ошибки нет. Лень опять писать программу, но значение 0,001 - это некое округление, по-моему, от значения 0,00096... Если настаиваете, могу вновь посчитать. Ошибки нет, я проверял. Я рекурсия здесь нужна, чтобы строго соблюдать соотношение на нажой итерации N:=0.2*N, иначе результат будет неточным.

Ну пускай так. Странно ожидать от формулы, параметры которой подбираются статистикой, точных результатов на единичных случаях. Для еще меньших значений она вообще бессмысленна, ну и что?

Я обращаю Ваше внимание на то, что и иходное соотношение 20/80 тоже никак не обосновано.

Уж если и вспоминать Парето, то надо говорить о парето-оптимальных решениях (о множестве Парето) для задач многокритериальной оптимизации. Геометрией этого множества занимается специальный раздел математики, именуемый теорией особенностей бифуркационных отображений, известной в "в миру" под названием "Теории катастроф".

А что до обсуждаемых здесь соотношений Дюрана 20/80, - раз нравятся они нашим менеджерам, ну и прекрасно...

[Загидуллин Равиль]

Не, вопрос в том, сколько таких (со свойством f(x - y) = f(x) - f(y)) функций всего.

Дофига будет. Поиграйтесь, ради интереса, с другими соотношениями.
И потом желаемое f(x - y) = f(x) - f(y) - это же не на всем интервале.
Для других аналогичных степенных функций Вы увидите аналогичные пары точек.

[Евгений]

1. Речь шла о функциях, обладающих свойством f(x - y) = f(x) - f(y). Среди кусочно-непрерывных есть только одна такая функция (непрерывная всюду) - a*x. Любая кусочно-непрерывная функция с разрывом таким свойством очевидно обладать не может: для близких (x - y = e) точек значения функции вблизи разрыва по одну его сторону близки (стало быть, f(x - y) мало, потому что f(x) - f(y) мало), а значения для находящихся на том же расстоянии e, но по разные стороны разрыва точек - нет. Функций вида a*x - очевидно, континуум.
2. И вообще, кусочно-непрерывных функций - континуум, а не больше.

Видите, как полезно обсуждать некоторые вещи на форуме (а Евгений_Кс еще дразнится... ).
Запомните:
1. Множество кусочно-непрерывных функций, заданных на отрезке [0,1], имеет мощность выше континуума. - Об этом ниже.

2. Каждую кусочно непрерывную функцию можно с любой наперед заданной точностью аппроксимировать функцией непрерывной (поставить ей в соответствие, например, тригонометрический или степенной ряд), и хотя множество непрерывных функций континуально, но пределы этих фундаментальных (т.е сходящихся) последовательностей множеству непрерывных функций уже не принадлежат. Для более полной информации см. Функциональный анализ, (раздел Банаховы пространства - полные нормированные пространства со скалярным произведением).

3. Множество подмножеств отрезка [0,1] имеет мощность выше континуума (надеюсь, что это Вам известно ). Теперь каждому элементу этого множества (т.е. какому-нибудь подмножеству из указанного отрезка) поставим в соответствие непрерывный кусок какой-нибудь функции из множества кусочно-непрерывных функций, что очевидно можно сделать. Далее, я полагаю, можно не продолжать...

Таким образом, мы вместе с Вами сейчас доказали, что множество кусочно-непрерывных функций имеет мощность не ниже мощности множества всех подмножеств отрезна [0,1], т.е. его мощность выше континуума. Какие мы молодцы!

[Загидуллин Равиль]

указанного отрезка) поставим в соответствие непрерывный кусок какой-нибудь функции из множества кусочно-непрерывных функций, что очевидно можно сделать. Далее, я полагаю, можно не продолжать...

Короче, такие фокусы f(x+/-y)=..... больше для линейных форм.

[Адепт_КАиП]

Э-э, подождите, мне казалось, если разговор о распределениях шел, а не о любых функциях, а оно, распределение либо есть, либо нет, оно одно, но законы может иметь несколько разных (например, на каждый элемент множества свой закон распределения), каков закон распределения (в точке, или на любом подмножестве, то есть один на всех) – такова и искомая функция. Если в каждой точке один закон распределения – то функция f(x - y) = f(x) - f(y) по определению одна (в каждом конкретном случае одна, для каждого конкретного множества и конкретного распределения). Если предположить, что закон распределения един для всего множества, но один (а не несколько разных для всего множества), то ничего не мешает ему быть любым, то есть и вид функции f(x - y) = f(x) - f(y) тогда абсолютно любой (вовсе не обязательно линейной).
Множество функций – это знаковое множество, то есть является перечислимым.
То есть мое заявление еще круче – число этих функций счетно бесконечно.

Цитата:
Сообщение от SKatkovsky
Ну пускай так. Странно ожидать от формулы, параметры которой подбираются статистикой, точных результатов на единичных случаях. Для еще меньших значений она вообще бессмысленна, ну и что?

Я обращаю Ваше внимание на то, что и иходное соотношение 20/80 тоже никак не обосновано.

Какая к черту статистика – матлогика голимая.

А 80/20 и не может быть «обосновано» в принципе («доказано» в смысле не может быть, только «показано»). Если один на все множество закон распределения, то доказать это можно только предъявив само распределение (можно без одного элемента). Короче, экономия одной логической операции получается, и все. Ну или экономия единицы, или одной функцией меньше, одним знаком меньше.

[Загидуллин Равиль]

Э-э, подождите, мне казалось, если разговор о распределениях шел, а не о любых функциях, а оно, распределение либо есть, либо нет, оно одно, но законы может иметь несколько разных (например, на каждый элемент множества свой закон распределения), каков закон распределения (в точке, или на любом подмножестве, то есть один на всех) – такова и искомая функция. Если в каждой точке один закон распределения – то функция f(x - y) = f(x) - f(y) по определению одна (в каждом конкретном случае одна, для каждого конкретного множества и конкретного распределения). Если предположить, что закон распределения един для всего множества, но один (а не несколько разных для всего множества), то ничего не мешает ему быть любым, то есть и вид функции f(x - y) = f(x) - f(y) тогда абсолютно любой (вовсе не обязательно линейной).

Ну и что? Закон распределения описывается функцией, которую мы рассматривали. Любая точка описывается данной ф-ей, но это совершенно не означает, что для любой точки справедливо f(x - y) = f(x) - f(y). Можете сами убедиться, посмотрев на примеры. Это же не линейная вектор-функция, где все это справедливо на всем интервале.

[SKatkovsky]

Запомните:
1. Множество кусочно-непрерывных функций, заданных на отрезке [0,1], имеет мощность выше континуума. - Об этом ниже.

Нет, столько же

2. Каждую кусочно непрерывную функцию можно с любой наперед заданной точностью аппроксимировать функцией непрерывной (поставить ей в соответствие, например, тригонометрический или степенной ряд), и хотя множество непрерывных функций континуально, но пределы этих фундаментальных (т.е сходящихся) последовательностей множеству непрерывных функций уже не принадлежат. Для более полной информации см. Функциональный анализ, (раздел Банаховы пространства - полные нормированные пространства со скалярным произведением).

Это верно, но мало что нам дает. Из того, что множество пределов последовательностей не принадлежит множеству непрерывных функций, еще не следует, что их множество имеет большую мощность.

3. Множество подмножеств отрезка [0,1] имеет мощность выше континуума

Совершенно верно, но ...

Теперь каждому элементу этого множества (т.е. какому-нибудь подмножеству из указанного отрезка) поставим в соответствие непрерывный кусок какой-нибудь функции из множества кусочно-непрерывных функций, что очевидно можно сделать. Далее, я полагаю, можно не продолжать...

А вот надо бы продолжить. Потому что по-моему это совсем не очевидно и даже невозможно. Зато можно сделать другое. Любая кусочно-непрерывная функция по определению имеет не более чем счетное множество разрывов (а стало быть, состоит не более чем из счетного числа непрерывных кусков). Таким образом, каждой кусочно-непрерывной функции соответствует какое-нибудь счетное подмножество множества непрерывных фунций. Множество же всех счетных подмножеств континуума имеет мощность континуума (в отличие от множества вообще всех подмножеств континуума).

Таким образом, мы вместе с Вами сейчас доказали, что множество кусочно-непрерывных функций имеет мощность не ниже мощности множества всех подмножеств отрезна [0,1], т.е. его мощность выше континуума. Какие мы молодцы!

Таким образом, мы доказали иное. Тем не менее, я согласен, что мы - молодцы

Вернемся к вопросу о то, сколько же функций (определенных на действительной прямой без прочих ограничений), обладающих свойством f(x - y) = f(x) - f(y)?

[SKatkovsky]

Короче, такие фокусы f(x+/-y)=..... больше для линейных форм.

Верной дорогой идете, товарищи (это я подсказку даю).

[Евгений]

...то есть и вид функции f(x - y) = f(x) - f(y) тогда абсолютно любой (вовсе не обязательно линейной).
Множество функций – это знаковое множество, то есть является перечислимым.
То есть мое заявление еще круче – число этих функций счетно бесконечно.

Нет, Юлия, с такими заявлениями следует быть очень осторожным. Я уже сказал, что в общем случае множество кусочно-непрерывных функций имеет мощность выше континуума. Как Вам известно, свойство f(x - y) = f(x) - f(y), выполняемое для множества отображений f, говорит о том, что мы имеем дело с гомоморфизмами. Гомоморфизмы обладают, в свою очередь, групповыми свойствами. Но судить о мощности множества элементов группы G, увы, на этом основании нельзя.
[В абстрактной алгебре (см. Курош, "Абстрактная алгебра") имеется классический результат - теорема о гомоморфизмах , - из которой вытекает, что, если f - есть гомоморфизм одной группы в другую, то более "сложная" конструкция - факторгруппа группы G по ядру гомоморфизма f - имеет то жу структуру (а стало быть и мощность), что и образ этого гомоморфизма] (этот факт, я думаю, заинтересует нашего коллегу Евгения_Кс ).

С Вашего позволения, я это заявление (о счетности множества функций) дезавуирую... (если речь, конечно, не идет о полиномах, т.е. аналитических функциях).

Какая к черту статистика – матлогика голимая.

А 80/20 и не может быть «обосновано» в принципе («доказано» в смысле не может быть, только «показано»).

Юлия, если Вы помните, мы как-то говорили, что существует "закономерность" отработки директивных документов исполнительными организациями, описываемая обычной параболой (решением диф. уравнения 2-го порядка)

[Загидуллин Равиль]

Вернемся к вопросу о то, сколько же функций (определенных на действительной прямой без прочих ограничений), обладающих свойством f(x - y) = f(x) - f(y)?

Все, что лежит в гиперплоскости - Ваше
+ пара-тройка чисел для рассматриваемых функций (дарю 70-30 = 50-10 при a=0.296), полином Лагранжа и пр. и пр., но - все это не на всем интервале

ЗЫ: До доказательства того, что Парето любил ежиков - один шаг!

[SKatkovsky]

Э-э, подождите, мне казалось, если разговор о распределениях шел, а не о любых функциях, а оно, распределение либо есть, либо нет,

Боюсь, что мы уже успели немного отклониться от первоначальной темы разговора

оно одно, но законы может иметь несколько разных (например, на каждый элемент множества свой закон распределения),

Вы имеете в виду: "x^m - распределение, а x^0.5 - частный закон, выражающих это распределения"?

каков закон распределения (в точке, или на любом подмножестве, то есть один на всех) – такова и искомая функция.

А что значит "закон распределения в точке"?

Если в каждой точке один закон распределения – то функция f(x - y) = f(x) - f(y)

Это не функция, это свойство функции.

То есть мое заявление еще круче – число этих функций счетно бесконечно.)

По-моему, счетная бесконечночность - это довольно мало по сравнению с континуумом и тем более 2^c.

Какая к черту статистика – матлогика голимая.

Ну, параметр-то мы статистикой подбираем вроде, чтобы распределение соответствовало наблюдаемому?

[Евгений]

...А вот надо бы продолжить. Потому что по-моему это совсем не очевидно и даже невозможно.

Рассмотрите множество Х, состоящее из подмножеств отрезка [0,1].
1. Мощность множества Х выше континуума.
2. Каждому элементу х из Х можно поставить в соответствие кусочно-непрерывную функцию, имеющую значение 1 в области значений х (подмножества из [0,1]), и обращающуюся в 0, в других точках этого интервала. Ясно, что таких функций будет ровно столько, сколько элементов содержится в множестве Х.
3. Подмножество функций, описанных в п.2. имеет мощность выше континуума, следовательно, и множество его содержащие (т.е. множество кусочно-непрерывных функций на интервале [1,0]) не может быть просто континуальным, - его мощность также выше континуума.

Предлагаю этот факт принять за данность.
Если у Вас все еще остались сомнения, то обратитесь, пожалуйста, к литературе по функциональному анализу, например, см. книгу Колмогов, Фомин, "Основы теории функций и функциональный анализ".

[SKatkovsky]

... для любой точки справедливо f(x - y) = f(x) - f(y). ... линейная вектор-функция, где все это справедливо на всем интервале.

Скажу по секрету, Равиль, подсознание тянет вас в сторону правильного ответа, а вы ему, похоже, мешаете

[Загидуллин Равиль]

Скажу по секрету, Равиль, подсознание тянет вас в сторону правильного ответа, а вы ему, похоже, мешаете

Это не я, а переполненный желудок - он меня спать тянет

[SKatkovsky]

Рассмотрите множество Х, состоящее из подмножеств отрезка [0,1].
1. Мощность множества Х выше континуума.

Согласен, и не собирался спорить.

2. Каждому элементу х из Х можно поставить в соответствие кусочно-непрерывную функцию, имеющую значение 1 в области значений х (подмножества из [0,1]), и обращающуюся в 0, в других точках этого интервала. Ясно, что таких функций будет ровно столько, сколько элементов содержится в множестве Х.

А тут не согласен. Функций таких (индикаторов множества) будет действительно ровно столько, сколько всех подмножеств (прямо по построению), то есть, их будет 2^c, но далеко не все они будут кусочно-непрерывными. Например, функция Дирихле - индикатор множества иррациональных чисел, подходит под ваше построение, но она, конечно же, ни в коем случае не является кусочно-непрерывной, ибо разрывна в каждой точке.

3. Подмножество функций, описанных в п.2. имеет мощность выше континуума, следовательно, и множество его содержащие (т.е. множество кусочно-непрерывных функций на интервале [1,0]) не может быть просто континуальным, - его мощность также выше континуума.

Каким же образом множество кусочно-непрерывных функций может содержать всюду разрывные функции?

[SKatkovsky]

[В абстрактной алгебре (см. Курош, "Абстрактная алгебра") имеется классический результат - теорема о гомоморфизмах , - из которой вытекает, что, если f - есть гомоморфизм одной группы в другую, то более "сложная" конструкция - факторгруппа группы G по ядру гомоморфизма f - имеет то жу структуру (а стало быть и мощность), что и образ этого гомоморфизма] (этот факт, я думаю, заинтересует нашего коллегу Евгения_Кс

Формулировка этой теоремы звучит так:
Гомоморфный образ группы,
Путь к победе коммунизма,
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма.

[SKatkovsky]

Все, что лежит в гиперплоскости - Ваше
+ пара-тройка чисел для рассматриваемых функций (дарю 70-30 = 50-10 при a=0.296), полином Лагранжа и пр. и пр., но - все это не на всем интервале

Не, мне надо, чтобы на всей действительной прямой

[Адепт_КАиП]

Нет, Юлия, с такими заявлениями следует быть очень осторожным. Я уже сказал, что в общем случае множество кусочно-непрерывных функций имеет мощность выше континуума. Как Вам известно, свойство f(x - y) = f(x) - f(y), выполняемое для множества отображений f, говорит о том, что мы имеем дело с гомоморфизмами. Гомоморфизмы обладают, в свою очередь, групповыми свойствами. Но судить о мощности множества элементов группы G, увы, на этом основании нельзя.

Уважаемые господа, я по-русски читаю – распределение, а не любая «функция» то есть имеются дополнительные аксиомы – одно множество полностью распределяется по другому, то есть всюду имеющее значение однозначное. Да еще и один на всех закон распределения имеется. Или сначала надо договориться об ограничениях, так бесполезно разговаривать, каждый свою постановку имеет в виду.
Я, кстати, предельно осторожна, потому с не счетными множествами не работаю. А если континуальное множество по континуальному распределять, так можно – еще раз – абсолютно любую мощность получить – от просто континуума, как утверждает Сергей, если множества аналитически «дружат» между собой (это допусловия на множества), до континуума в континууме, как утверждаю я, если о черт знает каких «неаналитических функциях» говорить (это вообще – кто такие?).

Но судить о мощности множества элементов группы G, увы, на этом основании нельзя.

Так и я о том же, можно сказать. Нельзя ничего сказать о мощности в данном случае, не сделав изначально предположений о мощности исходных множеств и отношении на них.

Предлагаю вернуться к «физическому смыслу». Почему вообще этот вопрос так взволновал Сергея?
Я домой пошла, развлекайтесь без меня :-(.

[Евгений]

Согласен, и не собирался спорить.

А тут не согласен. Функций таких (индикаторов множества) будет действительно ровно столько, сколько всех подмножеств (прямо по построению), то есть, их будет 2^c, но далеко не все они будут кусочно-непрерывными. Например, функция Дирихле - индикатор множества иррациональных чисел, подходит под ваше построение, но она, конечно же, ни в коем случае не является кусочно-непрерывной, ибо разрывна в каждой точке.

Каким же образом множество кусочно-непрерывных функций может содержать всюду разрывные функции?

Всюду разрывная функция - частный случай кусочно-непрерывной функции. Речь идет о пространстве Лебега (как вариант Соболевское пространство) с соответствующей интегральной нормой и скалярным произведением. В нем функция Дирихле, как известно, интегрируема.

И все же, загляните-ка, пожалуйста, в учебник по функциональному анализу.

[SKatkovsky]

Всюду разрывная функция - частный случай кусочно-непрерывной функции.

И все же, загляните-ка, пожалуйста, в учебник по функциональному анализу.

Я загляну в учебник по функану (хоть я это делал в своей жизни не раз), но только в тот учебник, где дается определение кусочно-непрерывной функции, такое, что всюду разрывная оказывается ее частным случаем. Нигде, к сожалению, доселе я не сталкивался с таким определением. Будьте так любезны, приведите ссылку с названием, автором, годом издания и страницей.

Вот для сравнения определение кусочно-непрерывной функции, которое знаю я. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках отрезка, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет односторонние предельные значения в точках a и b. Функция называется кусочно-непрерывной на действительной прямо, если она кусочно-непрерывна на любом принадлежащем ей отрезке. То есть, кусочно-непрерывная функция имеет не более чем конечное число разрывов на любом отрезке, и, стало быть, не более чем счетное - на всей прямой.

Речь идет о пространстве Лебега (как вариант Соболевское пространство) с соответствующей интегральной нормой и скалярным произведением.

Я посмотрел предыдущие сообщения, и, к сожалению, не увидел и намека на это.

В нем функция Дирихле, как известно, интегрируема.

Функция Дирихле интегрируема по Лебегу, но мы не говорили об интегрируемых по Лебегу функциях. Интегрируемость нас до этого момента не интересовала.

На всякий случай напомню еще, что мы говорили о функциях, отображающих R в R.

И все-таки, вопрос о функциях со свойством f(x - y) = f(x) - f(y) - мне давать решение или еще подождать?

[SKatkovsky]

если о черт знает каких «неаналитических функциях» говорить (это вообще – кто такие?).

Неаналитические функции действительной переменной - функции, не представимые сходящимся рядом Тейлора. Среди них много всяких разных - от всюду разрывных до бесконечно дифференцируемых.

Предлагаю вернуться к «физическому смыслу». Почему вообще этот вопрос так взволновал Сергея?

Потому что речь идет о древнем священном хтоническом животном - Йоже. Какая связь - как раз и выяснится, когда мы решим, сколько же на прямой функций, обладающих свойством f(x - y) = f(x) - f(y). Ш-шпанчиков трогать не будем.

[Евгений]

Я загляну в учебник по функану (хоть я это делал в своей жизни не раз), но только в тот учебник, где дается определение кусочно-непрерывной функции, такое, что всюду разрывная оказывается ее частным случаем. Нигде, к сожалению, доселе я не сталкивался с таким определением. Будьте так любезны, приведите ссылку с названием, автором, годом издания и страницей.

Ответьте мне, пожалуйста, на вопрос: какова мощность множества подмножеств ненулевой меры отрезка [0,1]?
Имеется в виду мера Лебега-Стильтьеса, - вот речь и зашла об интергируемости...

PS. Надеюсь, Вы помните, что отображение называется непрерывным, если соответствующий образ любого открытого множества в области его определения является открытым множеством в области его значений.