Прогнозирование величины показателя удельного веса просроченной судной задолженности кредитной организации

Оглавление журнала

• Часть 1
• Часть 2

Такая экономическая ситуация возможна и при кризисном обострении в кредитной организации, связанном с некачественным управлением ее ликвидностью, и выражается в недостатке денежных средств для текущих расчетов по счетам юридических лиц и по вкладам населения. При этом банк вынужден отказаться от увеличения и направлять денежные средства на поддержание надлежащего уровня ликвидности. Реальных же результатов по уменьшению в рассматриваемый период не достигается.

Ситуация 4

при .

Отсюда и .

Данный вариант реализуется при следующих обстоятельствах: кредитная организация занимает крайне агрессивную позицию в сфере кредитования, с целью захвата рынка (в отрасли, в регионе), оставляя вопросы снижения абсолютного уровня на более позднее время.

Напомним, что в данной ситуации возможно снижение до того момента, пока изменение аргумента функции не выйдет на ограничение =, то есть все кредитные ресурсы будут исчерпаны.

Ситуация 5

при .

Отсюда и .

В деятельности банка такая ситуация возможна, когда выдача новых кредитов не производится, даты планового погашения ранее размещенной ссудной задолженности не наступили (), а величина просроченной задолженности уменьшается (например, за счет погашения долга должником, либо его списания).

Используя для решения поставленной задачи методы дифференциального исчисления [6,11], можно найти полный дифференциал функции (приращение функции):

. (21)

или в приращениях:

(22)

Выражение (22) позволяет найти величину изменения значения исследуемой функции (16), при относительно малых () изменениях аргументов и , то есть, в изначально принятых обозначениях определить, насколько изменится величина при изменении величин и вблизи окрестностей начальной точки.

Для вычисления текущего (или прогнозируемого) значения может быть использована формула полного дифференциала (22), трансформированная при принятых обозначениях переменных в выражение вида:

.

Заметим, что решение обратной задачи – определения оптимальных изменений и при заданных желаемых величинах (с учетом знака) – может вызвать значительные трудности, в то время как именно эта задача нас и интересует.

Рассмотрим альтернативный способ решения обратной задачи, реализуемый на основе использования метода обобщенных множеств достижимости (ОМД). Для этого определим соответствие приведенных выше типовых ситуаций тем или иным вариантам сечений (проекций) исследуемой функции на плоскость {, }.

Типовые ситуации 1 и 2 могут быть интерпретированы проекцией функции (16), трансформирующейся в линейную функцию вида:

, (23)

где: , при .

График проекции исследуемой функции , при нормировании величины (= 1), изображен на рис.3. В данном случае процедура нормирования вызвана требованием практики, когда планирование осуществляется от единицы или 100 процентов.

Типовые ситуации 3 и 4 интерпретируются проекциями вырожденной функции (16), трансформирующейся в функцию одного аргумента z, вида:

, (24)

где: - параметр.

Динамика изменения уровня просроченной задолженности в рассматриваемом случае будет определяться как изменением аргумента , так и абсолютной величиной параметра .

Рис.3. Проекция функции при условии реализации типовых ситуаций 1 и 2 (в нормированной системе координат)

Проведем формальный математический анализ [12] функции (24). Данная функция является частным случаем дробно-линейной функции, описываемой уравнением:

,

и графически представляет две равносторонние гиперболы.

Так как в нашем случае = 0, = 1, = = , то определитель , характеризующий положение графика функции на координатной плоскости, будет иметь значение:

.

Отсюда, величина полуоси будет равна:

.

Центры гипербол будут определяться точкой А с координатами:

.

Вершины гипербол:

и

.

Общий вид графика функции (24) (проекции функции (16) для ситуаций 3 и 4) приведен на рис.4.

Рис.4. Проекция функции при условии реализации типовых ситуаций 3 и 4 (в нормированной системе координат)

Из экономического смысла задачи, с учетом ограничений, следует, что интересующая нас область изменения функции соответствует области допустимых значений, которая на рисунке выделена толстой штриховой линией.

Обратим внимание на то, что рассматриваемая функция нелинейна и вогнута вниз, то есть скорость изменения функции непостоянна на всем протяжении области допустимых значений и уменьшается при движении по оси аргумента вправо.

Параметр изменяется в пределах [0, ], и в этой ситуации область исследования определяется условно бесконечным семейством проекций функции (16). Поскольку в типовых ситуациях 3 и 4 имеем ==, то изменение величины будет определяться исключительно изменением величины , что позволяет осуществить замену переменных =–. В связи с этим семейство указанных проекций исследуемой функции в пределах (0; 0.15), изменяющейся с шагом =0.01, изображено на рис. 5 в нормированных координатах {, }.

На рис. 5 наиболее интересующими нас элементами будут являться:

• выделенная прямоугольником рабочая область, соответствующая области определяемой гипотезами 4) и 5);
• ограничения по показателям и , изображенные в виде двух прямых – АВ (для ) и СD (для ), перпендикулярных оси

Рис.5. Влияние изменения на
(в нормированной системе координат):
диапазон [0;1,75], шаг 0.05;
диапазон [0;0,15], шаг 0.01

Типовая ситуация 5, с точки зрения трансформации функции , также представляет интерес. В данном случае ее проекция на плоскость {,} представляет собой дробно-линейную (гиперболического типа) функцию одного аргумента , вида:

, (25)

где – параметр.

С математической точки зрения выражение (25) аналогично выражению (24).

На рис.6 график нелинейной, выпуклой вверх функции (25) (проекция функции (16)) показан в нормированных координатах {,}. В данном случае динамика изменения уровня просроченной задолженности также определяется как изменением аргумента , так и абсолютной величиной параметра . Область допустимых значений выделена толстой штриховой линией.

Таким образом, решение рассматриваемой задачи возможно путем разделения ее на совокупность частных задач нескольких стандартных типов. Для конкретного банка изменение состояния кредитного портфеля может быть представлено различными последовательностями данных частных задач.

Автором предлагается метод решения общей задачи прогнозирования величины удельного веса просроченной ссудной задолженности , реализуемый путем построения графических решений последовательности частных задач и выражающийся в использовании нормированной номограммы (см. рис.7).

Номограмма построена путем совмещения оси для трех возможных семейств проекций исследуемой функции. В правой части номограммы используется ось-шкала , рабочей является ось при =1.

Рис.6. Проекция функции при условии реализации типовой ситуации 5
(в нормированной системе координат)

При этом справа от оси-шкалы тонкими штриховыми линиями изображены траектории изменения функции при уменьшении (с шагом, равным 0.05), и фиксированных значениях (в диапазоне [0;1]). Наклонная толстая прямая линия соответствует траектории роста при увеличении и неизменной величине .

Семейство кривых, изображенных тонкими сплошными линиями, соответствует набору траекторий изменения при фиксированном значении (в диапазоне [0;1] с шагом 0.05). Диапазон изменения принят в интервале [0;3]. Линия ограничения по величине показателя , параллельная оси , строится индивидуально по данным конкретного коммерческого банка, линия ограничения по величине показателя едина для конкретной отрасли или региона. На рис.7 положение линий и выбрано условно.

Штрих-пунктирными линиями на рисунке обозначены границы для решения задачи в общей постановке, толстой штрих-пунктирной линией – величина _min для решения задачи в частной постановке. Рабочая область выделена затемнением.

Для понимания правил пользования номограммой достаточно привести ряд условных упрощенных примеров.

Рис. 7. Номограмма для прогнозирования показателя удельного веса просроченной
ссудной задолженности ( - по вертикали; - по горизонтали)

Пример 1

Определить, какими путями банк может снизить уровень от его начальной величины 0.8 до величины 0.6 (см. рис.8а).

Рис. 8а. Иллюстрация правил пользования номограммой при прогнозировании . – пример 1

На номограмме находят точки пересечений кривых соответствующих Y_В =0.8 с горизонтальной линией Y_В =0.6 (шаг 1) и опускают из этих точек перпендикуляры до пересечения с осью (шаг 2). На оси в левой части номограммы находим точку пересечения при значении 0.5, а в правой части номограммы – при значении 1.33.

Поскольку номограмма построена при условии нормирования по , то для вычисления абсолютных значений искомых величин следует провести операцию, обратную нормированию.

Вывод: для решения поставленной задачи необходимо либо уменьшить на 62.5% текущего его объема, либо увеличить , путем выдачи новых кредитов в 1.33 раза (довести до 133%). При этом вырастет на 166.5%.

Естественно, что аналогичный результат можно получить в любой доступной банку последовательности действий по дискретному снижению и дискретному увеличению (). Следует помнить, что в связи с тем, что величины и связаны ограничением (13), а в номограмме присутствует исключительно ось , то после каждого дискретного шага необходимо сносить текущую точку на рабочую ось (шаг 3) и следующий этап начинать с полученной точки на указанной оси.

Пример 2

Определить, каким станет уровень при погашении 30% этого вида ссудной задолженности (рис. 8б). Текущее значение Y_В = 0.8.

На номограмме по оси влево от рабочей оси Y_В откладывают отрезок, равный 0.3 (шаг 1); из полученной точки восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кривой Y_В = 0.8 (шаг 2), и полученную точку сносят на ось Y_В (шаг 3). Значение Y_В в полученной точке равно 0.68.

Вывод: Уровень будет равен 0.68 (или 68%).

Рис. 8б. Иллюстрация правил пользования номограммой при прогнозировании – пример 2

Пример 3

Определить, каким станет уровень при увеличении кредитного портфеля в 1.8 раза, при начальном значении Y_В = 0,9 (см. рис.8в).

Рис. 8в. Иллюстрация правил пользования номограммой при прогнозировании – пример 3

По оси вправо от рабочей оси Y_В откладывают отрезок, равный приросту , т.е 0.8 (шаг 1); восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кривой Y_В = 0.9 (шаг 2) и сносят полученную точку на ось Y_В (шаг 3). Наблюдают результат.

Вывод: Уровень будет равен 0.5.

Пример 4

Насколько увеличится Y_В = 0.25 при уменьшении в два раза (на 50% или на 0.5).

Иллюстрация примера представлена на рис. 8г.

Рис.8г. Иллюстрация правил пользования
номограммой при прогнозировании – пример 4

На оси откладывают влево от рабочей оси Y_В отрезок, равный 0.5 (шаг 1), и восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кривой Y_В = 0.25 (шаг 2). Полученную точку сносят на ось Y_В (шаг 3), получают значение, равное 0,5.

Вывод: Y_В вырастет на величину 0.5 – 0.25 = 0.25 (или 25%).

Каковы экономические последствия возможных действий банка по снижению уровня просроченной задолженности?

Уменьшение возможно на практике двумя различными путями: 1) фактическим возвратом денежных средств заемщиком или третьим заинтересованным лицом (конструктивный путь) и 2) списанием безнадежной ко взысканию за счет резерва на возможные потери по ссудам (деструктивный путь).

Выбирая конструктивный путь решения проблемы, банк восстанавливает объем кредитно-инвестиционного ресурса и, вновь направляя его в сферу кредитования (рост ), еще больше снижает величину Y_В. При этом доходы банка увеличиваются на объем ранее созданных резервов, связанных с возможными потерями по ссудам [13], улучшаются общие показатели банка и обеспечивается рост прибыли, а в конечном счете – собственных средств.

Выбирая деструктивный путь, банк вынужден списать задолженность с баланса (уменьшив тем самым Y_В), но при этом кредитно-инвестиционный ресурс банка не восстанавливается (уменьшается) и потенциальные доходы банка также уменьшаются на величину списанных ссуд.

Заметим, что в ряде случаев возможны ситуации, когда банк списывает ссудную задолженность (Y_В уменьшается), а затем все-таки получает реальный возврат денежных средств, восстанавливая, таким образом, доходы и кредитно-инвестиционный ресурс.

С учетом условия соответствия показателей российских банков международным стандартам финансовой отчетности и рассуждений при рассмотрении вариантов общей постановки задачи нас в большей степени будет интересовать участок номограммы в диапазоне от 0 до 0.15 (при этом = 0-15%).

Принимая во внимание гипотезу 4) о том, что нормированная величина кредитного портфеля банка () дискретно не может изменяться на величину большую, чем 0,1, определим, что нас интересует участок номограммы в пределах [0.9; 1.1], при условии 1.1 £ {, }.

Рабочая область номограммы представлена на рис.9 в более крупном масштабе.

Предположим, что на малом сегменте [0.9;1.1] кривые семейства гипербол, соответствующих изменению (), приближенно представимы в виде прямых линий. Допустимая ошибка аппроксимации принимается равной величине £ 2.0%.

Рис.9. Динамика изменения в рабочей
области (=0.9-1.1; =0-0.15)

Для аппроксимации можно воспользоваться известной формулой Тейлора для разложения функции в ряд [14]:

и взять столько членов, сколько требуется для сохранения точности расчетов, а соответственно адекватности действий, предпринимаемых банком.

На сегменте [0.9;1.1] проведем расчет точности аппроксимации по формуле Тейлора для величин , равных 0.15 (в окрестности точки =0.85; вариант 1) и 0.05 (в окрестности точки =0.95; вариант 2), с использованием разложения до двух и трех членов.

Разложение в ряд Тейлора до трех членов, применительно к условиям задачи, будет иметь следующий вид:

или

.

Результаты расчетов приведены в табл.1.

Таким образом, ошибки аппроксимации при использовании линейного уравнения не превышают 1.0% и соответствуют заданной точности решения задачи. При использовании разложения до трех членов точность решения задачи повышается до 0.1%.

Следовательно, исходные кривые с заданной степенью точности могут быть аппроксимированы уравнениями в виде двух членов разложения в ряд Тейлора.

На том же сегменте проведем расчет точности аппроксимации по формуле Тейлора для величин , равных 0.85 (в окрестности точки = 0.15) и 0.95 (в окрестности точки = 0.05), с использованием разложения до двух и трех членов.

Таблица 1

Сравнительные данные значений функции и разложения в ряд Тейлора

Разложение в ряд Тейлора до трех членов будет иметь вид:

Результаты расчетов двух обозначенных вариантов при заданных условиях приведены в табл.2.

Из табл.2 видно, что значение ошибки как для 2-х, так и для 3-х членов разложения в ряд Тейлора превышают принятую допустимую величину ошибки, что естественно, так как разложение Тейлора может быть справедливо лишь в относительно малых окрестностях заданного значения аргумента. В нашем же случае изменение происходит в пределах всей области его допустимых значений.

Таблица 2

Сравнительные данные значений функции и разложения в ряд Тейлора

В данном случае ни линейная, ни квадратичная аппроксимация не обеспечивает на заданном интервале изменения аргумента допустимых ошибок, аппроксимация не может быть применена для решения задачи и следует пользоваться исключительно исходной формулой функции.

Выводы

1. Прогнозирование величины показателя удельного веса просроченной ссудной задолженности осуществляется на долгосрочном и краткосрочном периодах. Задачи возникающие на каждом из этих периодов различны по уровню сложности, применяемому математическому аппарату и достигаемой точности решения.

2. При прогнозировании на долгосрочную перспективу показатель является нелинейной функцией многих переменных, определяемых макроэкономическими (внешними) и микроэкономическими (внутренними) факторами, значительная часть которых трудно поддается прогнозной оценке и формализации. Показано, что в условиях имеющейся неопределенности задача является слабоструктурированной и может быть решена приближенно. Как правило ее решение требует сочетания сложного математического аппарата (вероятностно-статистический и имитационно-оптимизационный подходы) с использованием неформальных экспертных процедур.

3. На краткосрочном периоде в ряде случаев удается осуществить более точный прогноз показателя с учетом двух доминантных переменных: просроченной ссудной задолженности () и текущей ссудной задолженности (). Для этих случаев при достаточно правдоподобных гипотезах на изменение величин , и сформулирована оптимизационная задача (система соотношений (11)-(15)) и определен общий вид функции (см. рис.2).

4. Полученные в работе результаты позволяют сопоставить рутинные процедуры, используемые при краткосрочном прогнозе величины , с научно-обоснованным подходом к данному процессу и свидетельствуют о следующем:

а). в практической деятельности сложившийся тип ментальной установки руководителей и специалистов банков при характеристике взаимосвязи . и тяготеет к “линейному” способу мышления;

б). фактическая взаимосвязь , и характеризуется значительной нелинейностью гиперболического типа и в большинстве случаев не поддается аппроксимации линейными функциями;

в). в задаче выделена “рабочая область” (предпочтительный диапазон изменения рассматриваемых параметров) внутри которой линеаризация связей с допустимой ошибкой возможна лишь для показателей и .

5. Разработан численный метод практического прогнозирования показателя на краткосрочном периоде (метод нормированных номограмм). На основе семейств зависимостей гиперболического типа метод позволяет выявить альтернативные способы достижения “желаемой” величины с использованием конструктивного и деструктивного путей, предполагающих различные экономические последствия применяемых мер по изменению величин и . Сформулированы методические принципы построения таких номограмм в зависимости от различных задач прогнозирования, при этом процедура нормирования вызвана требованиями практики, когда планирование осуществляется от единицы или 100%.

Приведены конкретные примеры иллюстрирующие применение предложенного метода.

Метод является удобным и наглядным инструментом для прогнозирования величины показателя удельного веса просроченной ссудной задолженности и может быть рекомендован для использования в практической деятельности кредитных организаций.

Литература

1. Отчет Сбербанка России за 1999г. – М., Сбербанк России, 1999.
2. Бюллетень банковской статистики N 8(87). – М., Центральный банк Российской Федерации, 2000.
3. Бюллетень банковской статистики N 10(89). – М., Центральный банк Российской Федерации, 2000.
4. Банковская система России: кризис и перспективы развития. /А.Ведев, И.Лаврентьева, Е.Шарипова и др. – М.: АЛ “Веди”, 1999.
5. Вестник Банка России, N35(463), 28.06.2000. – М., Центральный Банк Российской Федерации.
6. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. Учеб. Пособие для вузов / Пер. с англ. Под ред. М.Р.Ефимовой. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999.
7. Лотов А.В. О понятии обобщенных множеств достижимости их построении для линейных управляемых систем. – ДАН СССР, т.250, N5, 1980.
8. Лотов А.В. О понятии и построении обобщенных множеств достижимости для линейных управляемых систем в частных производных. – ДАН СССР, т.261, N2, 1981г.
9. Лотов А.В. Анализ потенциальных возможностей экономических систем. “Экономика и математические методы”, т.17, вып.2, 1981.
10. Егорова Н.Е., Каменев Г.К., Лотов А.В. Использование метода обобщенных множеств достижимости в имитационной системе отраслевого планирования. / Сб. “Методы имитационного моделирования экономических систем”. – М., ЦЭМИ АН СССР, 1985.
11. Романовский П.И. Общий курс математического анализа (в сжатом изложении). – М., Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.
12. Бронштейн И.Н, Семендяев К.А. Справочник по математике (для инженеров и учащихся втузов. – М., Наука, 1980.
13. Инструкция Банка России от 30.06.97г. N62а “О порядке формирования и использования резерва на возможные потери по ссудам”.
14. Банах С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Пер. с польского, ред. С.И.Зуховицкий. – М., Наука, 1966.

Смулов Алексей Михайлович

Версия для печати