Методология построения страховых тарифов в условиях изменения динамики имущественного страхования

• Часть 1
• Часть 2
• Часть 3
• Часть 4

Брутто-ставка определяется из того же соотношения, что и в первой методике (1.3.13).

Методика II и методика, основанная на убыточности в течение тарифного периода (далее – методика убыточности), которая применялась для расчета тарифных ставок до официального введения вышеприведенных методик, являются разновидностями одного метода. Разница в том, что в методике II применяется линейная интерполяция убыточности, а в методике убыточности базой для расчета служит усредненное за срок тарифного периода значение убыточности страховой суммы. Методика убыточности в течение тарифного периода, заключается в следующем [38].

Также как в методике II, рассчитывается фактическая убыточность страховой суммы y_i за n лет (желательно n=5 лет - принятый тарифный период).

Определяется средняя величина убыточности страховой суммы за n лет как.

Определяется среднее квадратичное отклонение от средней убыточности

. (1.3.19)

Общая нетто-ставка определяется по формуле:

, (1.3.20)

где - коэффициент, зависящий от гарантии безопасности , который может быть взят из таблицы 1.1.

Брутто-ставка определяется из того же соотношения (1.3.13), что и в первой методике.

Но эти методики имеют свои особенности: 1) необходима статистика по рассматриваемому виду страхования, 2) расчет тарифа проводится при заранее известном количестве договоров, которые предполагается заключить со страхователями или на основании постоянного количества договоров.

В методике I используется утверждение о том, что если количество заключенных договоров достаточно велико, то сумма выплат страхового возмещения хорошо апроксимируется нормальным распределением. Конечно, чем больше число застрахованных объектов, тем ближе рассчитанный по данной методике тариф к тому, который достоверно обеспечивал бы проведение страхования.

Однако фактическая статистика показывает, что такая апроксимация в рисковых видах страхования становится оправданной при количестве договоров не менее 1000 [39] (основное условие , где - количество договоров страхования, а - вероятность наступления страхового события), а при сильном изменении количества действующих договоров возможно изменение параметров нормального распределения. Конечно, страховые организации в расчетах, представляемых при лицензировании в орган страхового надзора, редко принимают количество договоров страхования, которое планируется заключить со страхователями, со значениями менее 1000. Фактически же при введении нового вида страхования организация, как правило, не может обеспечить необходимый объем страхового портфеля, так как или не существует достаточного спроса, или, даже при наличии спроса, в процессе набора страхового портфеля данные методики дают очень приближенную оценку. Как показывает статистика, даже при больших объемах страхового портфеля нормальное приближение не дает хорошей аппроксимации, так как фактическое распределение обычно имеет правую асимметрию и имеет большее количество больших выплат, чем это предполагается нормальным распределением. Существуют другие распределения, которые дают гораздо более близкие результаты при аппроксимации.

Даже в случае, если по количеству заключаемых договоров риск может быть отнесен к массовому, такая оценка может дать очень приближенное значение, потому что при быстром возрастании портфеля поступления будут расти быстрее, чем выплаты (график 1), а при окончании роста поступлений рост выплат продолжается еще некоторое время. Процесс набора страхового портфеля достаточно долгий и может продолжаться несколько лет. Аналогичная ситуация, только прямо противоположная, имеет место в случае отказа от какого-либо вида страхования и уменьшения количества заключаемых и, соответственно, действующих договоров страхования. В этом случае рост поступлений снижается или прекращается, а снижение объема выплат происходит медленнее. Чаще страховая организация сталкивается с процессом набора страхового портфеля, так как система страхования в настоящее время в России слабо развита. Поэтому сейчас идет развитие тех видов, которые уже давно известны в мире, но только начинают проводится у нас. Соответственно, отказа от отдельных видов не происходит, и данный вопрос менее интересен с практической точки зрения.

Таблица 1.3

Расчет тарифов организации А по методике I, рекомендованной Росстрахнадзором

Расчет тарифов организации Б по методике I, рекомендованной Росстрахнадзором

Тарифы на 100 руб. страховой суммы по риску I (методика I)

Тарифы на 100 руб. страховой суммы по риску II (методика I)

* Под установленным следует понимать средний тариф, по которому фактически работает страховая организация.

Для примера в таблицах 1.3-1.4 приведены расчеты тарифных ставок по двум видам страхования на портфелях двух страховых организаций. Организация А имеет относительно стабильный портфель, у организации Б изменение объема портфеля в течение года возможно в несколько раз. Применение каждой из методик для организации Б имеет свои ограничения: при расчете тарифа по методике 1 для риска I не всегда соблюдается условие , для расчета по методике II для риска 1 в наличии слишком сильное (в несколько раз в течение каждого года) изменение объема страховых операций. Оба риска относятся к массовым видам страхования. Тем не менее видно, что методика I дает разные нетто-ставки для организаций А и Б. При этом нетто-ставка для организации Б на 1998 г. составляет 0,0977% по риску I и меньше, чем нетто-ставка организации А по этом риску - 0,1328%, хотя портфель организации А в 50 раз превышает портфель организации Б. Рассчитанная таким образом тарифная ставка организации Б явно занижена, что ведет к убыткам. Аналогичная картина наблюдается и для риска II. Сравнительные итоги расчетов по методике I приведены в таблицах 1.5-1.6. Установленный тариф - средний тариф, применяемый организацией на практике.

У организаций, только выходящих на страховой рынок отсутствует необходимая статистика. Имеющаяся общая статистика может иметь другие характеристики риска, в первую очередь, из-за антиселекции и неопределенности риска. Кроме этого, даже если у компании есть статистика за 5 лет проведения страховых операций (принятый тарифный период), то изменение объемов деятельности все равно сказывается на убыточности страховой суммы, вероятности требований и других характеристиках риска.

Вторая методика имеет другую особенность - расчет страхового тарифа должен производиться по убыточности ряда лет, определяемой на основании одного и того же количества застрахованных объектов, так как только в этом случае обеспечивается преемственность данных в части размеров среднего требования (основной нетто-ставки) и отклонений требований от среднего (рисковой надбавки), так как изменение объема страхового портфеля сказывается на размере страхового тарифа.

Если при этом убыточность определяется на основании сильно меняющегося количества договоров, то возрастает разброс значений. Изменение объема портфеля страховой организации в Российской Федерации дело привычное. Это связано не только с наличием страхового цикла, но и, в первую очередь, с политикой на рынке самой организации (введение новых видов, захват определенного сегмента рынка и т.д.), а также с недостаточным охватом потенциального рынка страхования, что приводит либо к расширению операций на рынке, либо к отказу от определенных видов и, соответственно, к сужению объема операций. При изменении портфеля может происходить увеличение разброса значений не только в небольших пределах, но и отличаться на несколько порядков, что приводит к увеличению среднего квадратичного отклонения. Также необходимо учесть, что при увеличении среднего квадратичного отклонения и увеличении количества лет, на основании данных за которые рассчитывается тарифная ставка, рисковая надбавка, которая прямо пропорциональна им обоим (1.3.8), быстро растет.

Чем на большем числе застрахованных объектов определяется уровень убыточности за предыдущие годы, тем достовернее результат расчета на будущее. Но если убыточность, анализируемая и прогнозируемая с помощью данного метода, относятся к разным объемам договоров, то гарантия безопасности опять становится очень приближенной, т.е. “можно говорить только об очень приближенном значении гарантии того, что собранных взносов хватит на выплаты страховых возмещений” [17, с. 17].

В данном случае расчет ставок по методике II и методике убыточности проведен на основании четырехлетнего тарифного периода (таблицы 1.7, 1.8 соответственно). При применении методики II разница в ставках становится обратной: ставки организации Б выше, чем организации А в 1,5-6 раз. Это связано с большими изменениями в объеме страховых операций организации Б относительно объема самого страхового портфеля. В этом случае организация Б попадает в худшую конкурентную ситуацию по отношению к организации А. К тому же, следует отметить, что разница в тарифных ставках, полученных по всем методикам для организации А существенно ниже, чем для организации Б.

Таблица 1.7

Тарифы на 100 руб. страховой суммы на 01.01.99 г. (методика II)

Для уменьшения влияния изменения объема страхового портфеля на величину тарифа можно было бы разбить период заключения договоров на несколько равных независимых периодов, но в настоящее время практически ни одна страховая организация, кроме ОАО “Росгосстрах” не обладает таким портфелем, который при разбиении на более короткие периоды удовлетворял бы закону больших чисел в этих периодах.

В условиях изменения объема страхового портфеля относительно спокойным для страховщика является сам процесс набора страхового портфеля (на Западе считается нормальным, если объем страхового портфеля возрастает на 5-10% в год, рост более 33% в год считается слишком быстрым, так как может спровоцировать в будущем большой рост объема требований [3]; у наших организаций рост объема страхового портфеля может достигать 200-300% в год), так как в данном случае, особенно при быстром росте страхового портфеля выплаты страхового возмещения обеспечиваются за счет растущих поступлений, что может маскировать недостаточность страхового тарифа.

Таблица 1.8

Тарифы на 100 руб. страховой суммы на 01.01.99 г.
(методика убыточности страховой суммы)

Любой экономический процесс, в том числе и процесс развития страховых операций, подчиняется закону насыщения рынка: вначале небольшой рост, пока происходит утверждение товара на рынке, затем резкий рост объемов продажи, после чего замедление роста. На этот процесс насыщения также оказывает влияние страховой цикл, поэтому при продаже нового страхового продукта процесс увеличения объема страхового портфеля будет более сложным, но тем не менее сохранит основные черты процесса насыщения, особенно при введении нового вида, не имеющего аналогов. Когда рост объемов страховой деятельности уменьшится, соответственно уменьшится и рост поступлений. Рост требований будет продолжаться еще некоторое время с прежней скоростью, что должно быть обеспечено за счет созданных технических резервов. Если принять, что основная часть договоров по страхованию иному, чем страхование жизни, заключается на срок 1 год, то рост требований будет продолжаться еще приблизительно полгода. В этом случае недостаточность страхового тарифа уже не будет маскироваться ростом поступлений, но существующий объем ответственности может оказаться непосильным для организации.

Если страховой тариф был рассчитан по доступным общим статистическим данным, то весьма вероятно, что он будет ниже минимально необходимого для данного вида страхования. Чем дольше продолжался период увеличения объема страховых операций, тем большей может оказаться принятая на себя ответственность, и тем больше будет разрыв между необходимым и существующим объемами страховых резервов. Существует только один способ выявить такую ситуацию – постоянно отслеживать характеристики риска и объем имеющейся ответственности, и сравнивать их с теми, на основании которых был определен страховой тариф. При определении недостаточности страхового тарифа на основании собственных статистических данных возможно скорректировать страховой тариф. Такой метод не защитит полностью от возможности банкротства, но снизит ее.

Если страховая организация сознательно занижает взнос для набора страхового портфеля, при планировании продолжения деятельности по данному виду страхования, она вынуждена будет определить минимальный тариф и со временем поднять реальный тариф до его уровня. Необходимо найти компромисс между снижением тарифа для увеличения объема портфеля и финансовой устойчивостью страховой организации. В этом случае страховая организация должна обладать собственными средствами и инвестиционным доходом для компенсации недостаточности страхового тарифа.

На основании вышесказанного становится ясно, что страховая организация должна правильно определить характеристики, спланировать изменение объема страхового портфеля и, в соответствии с ним, рассчитать страховой тариф, так как, с одной стороны, больший объем страхового портфеля обеспечивает лучшее распределение риска, что приводит к возможности снизить тариф, а, с другой стороны, если при определении характеристик риска была допущена ошибка, приведшая к более низкому страховому тарифу, это может привести к принятию большого объема ответственности по низким ставкам.

При этом не существует методики, которая позволила бы своевременно пересчитать и скорректировать страховой тариф в случае, если он оказался недостаточным. Данный вопрос представляет интерес не только в связи с изменением существующих объемов деятельности по известным видам страхования, характеристики которых тоже изменяются со временем, но и потому, что введение любого нового вида страхования, особенно в нашей стране, не имеющей в настоящее время высокой страховой культуры, приведет к наличию развивающихся страховых портфелей с рисками, страховые характеристики которых мало известны.

Поэтому, целью настоящей работы является разработка методики расчета страхового тарифа в процессе изменения объема страховых операций с учетом оценки достоверности используемых характеристик риска и определение достаточности применяемого тарифа.

2. ФОРМИРОВАНИЕ СТРАХОВОГО ТАРИФА В УСЛОВИЯХ ДИНАМИКИ СТРАХОВОГО ПОРТФЕЛЯ

2.1. Изменение основной нетто-ставки и рисковой надбавки в структуре тарифа

Для определения подхода к расчету страхового тарифа в условиях изменения динамики объема страхового портфеля рассмотрим влияние изменения количества договоров страхования на главные составляющие тарифа: основную нетто-ставку и рисковую надбавку.

Основная нетто-ставка соответствует средним ожидаемым выплатам и представляет собой отношение средней выплаты к средней страховой сумме, умноженное на вероятность наступления страхового события (1.3.5). Учитывая, что вероятность наступления страхового события представляет собой отношение числа страховых случаев к общему числу договоров страхования (1.3.1), получаем, что основная нетто-ставка равна отношению общей суммы выплат к общей страховой сумме:

, (2.1.1)

где N - общее количество договоров страхования, заключенных за некоторый период в прошлом,

M - количество страховых случаев в N договорах,

- страховая сумма при заключении i-го договора, ,

- страховое возмещение при k-м страховом случае, k=1,...,M,

S - средняя страховая сумма по одному договору страхования,

- среднее возмещение по одному страховому событию.

Объективность и случайность наступления страхового события приводят к тому, что такая характеристика страхового риска, как вероятность наступления страхового случая должна являться величиной постоянной. Поэтому соотношение числа страховых случаев и объектов страхования прямо связаны друг с другом: при увеличении количества застрахованных объектов увеличивается и число страховых случаев в данном страховом портфеле, и обратно, при уменьшении количества застрахованных объектов число страховых случаев также уменьшается. Но так как страхование не является замкнутой системой, и на него оказывают влияние различные внешние факторы, связанные с жизнедеятельностью общества и его отдельных индивидов, то изменение внешних условий (уровень жизни, криминогенная обстановка, уровень развития техники и т.д.) также влияют на вероятность наступления страховых случаев. Однако, такие изменения внешней среды, как правило, бывают долгосрочными, то есть проявляются не сразу и действуют в течение длительного времени. В свою очередь, изменение условий внешней среды вызывает изменения основных статистических характеристик риска, находящегося в портфеле страховой организации: вероятности наступления страховых случаев и размеров вреда.

Размер ожидаемой суммы выплат по виду страхования представляет собой произведение ожидаемого количества требований (EM) на ожидаемый размер среднего требования (EX). Ожидаемое количество требований для пуассоновского распределения представляет собой произведение вероятности наступления страхового случая на количество заключенных договоров:

, (2.1.2)

ожидаемый размер среднего требования будет зависеть только от вида страхования.

При определении ожидаемого требования на один объект страхования EX₁, получим, что оно не будет зависеть от количества заключенных договоров:

. (2.1.3)

Учитывая, что EX и S_В представляют собой одну и ту же величину по определению, и разделив ожидаемое среднее требование по одному объекту страхования EX₁ на среднюю страховую сумму по одному объекту S, получим основную нетто-ставку на единицу страховой суммы (2.1.1).

Рассмотрим теперь влияние количества договоров страхования на размер рисковой надбавки. Как видно из формул (1.3.6, 1.3.8), она обратно пропорциональна и при прочих равных условиях быстро убывает до .

Найдем по формулам (1.3.6, 1.3.8) производные для рисковой надбавки () в зависимости от количества договоров страхования N. Они будут иметь вид

. (2.1.4а)

. (2.1.4б)

Как следует из формул (2.1.4а, 2.1.4б) производная функции всегда отрицательна при любом N. Это означает, что рисковая надбавка всегда убывает с увеличением количества заключаемых договоров страхования.

В зависимости от принятой гарантии безопасности и некоторой величине вероятности наступления страхового случая q в пределах от 0,001 до 0,01 рассчитаем долю рисковой надбавки в общей нетто-ставки:

.

Тогда доля рисковой надбавки в общей нетто-ставке в зависимости от количества договоров будет следующей:

Таким образом, при росте количества договоров при прочих равных условиях доля рисковой надбавки изменяется достаточно ощутимо.

При быстром изменении количества заключенных договоров, например от 3000 до 10000 рисковая надбавка при вероятности q=0,001 может изменить общую нетто-ставку более чем на 10%. Рассчитаем изменение гарантии безопасности.

Для расчета примем, что

- фактическая общая нетто-ставка

при принятой гарантии безопасности

при фактической гарантии безопасности

q - вероятность наступления страхового события

n - количество договоров страхования

В случае, если общая нетто-ставка оказалась на 10% ниже фактической:

Откуда получаем коэффициент фактической гарантии безопасности:

.

Тогда

Таким образом, ошибка в 10% в общей нетто-ставке может изменить принятую в расчетах гарантию безопасности более, чем на 10%. Т.е., если при расчете страхового тарифа основная нетто-ставка была принята на 10% меньше фактической, а гарантия безопасности принята в размере 84%, то при количестве договоров 3000 фактическая гарантия безопасности окажется менее 56%, а при 10000 договоров - менее 48%. Это связано с тем, что основная нетто-ставка не будет покрывать ожидаемых выплат. В этом случае увеличение количества договоров увеличивает недостаток финансовых ресурсов для обеспечения всех выплат.

Использование вышеприведенных формул математической статистики возможно в том случае, когда , т.е. на таком портфеле, когда ожидаемое количество выплат по нему не меньше 10. При расчете нетто-ставки, проводимому по методике I [27], даже в условиях, когда объем страхового портфеля таков, что наблюдается выполнение неравенства , рисковая надбавка может составлять более 50% общей нетто-ставки.

Из вышесказанного следует, что если фактическое количество договоров окажется меньше принятого в расчетах, гарантия безопасности окажется также ниже заложенной в расчетах, а минимальный тариф, необходимый для обеспечения расчетной гарантии безопасности, соответственно, окажется выше расчетного. Чем больше была заложена гарантия безопасности, тем выше должен быть тариф для ее обеспечения.

Как уже говорилось, введение рисковой надбавки связано с тем, что реальная статистика по принятым на страхование рискам может отличаться от статистики событий, полученной из независимых источников, или статистики, складывающейся в процессе работы самой страховой компании, а также с необходимостью защитить страховую компанию от неопределенности риска и, соответственно, будущих выплат в результате антиселекции риска и изменения во времени различных внешних факторов - криминогенной обстановки, роли, отводимой технике безопасности, сегментации рынка страхования и т.д. - от набора рисков, на которых наблюдалась статистика, их взаимосвязей и взаимоисключений.

Страховая организация всегда находится между желанием повысить гарантию безопасности и уменьшить страховой тариф.

Теоретически рисковая надбавка может быть снижена за счет перестрахования, потому что в этом случае происходит снижение разброса выплат из-за однородности портфеля. Практически постановка статистического учета обычно осуществляется таким образом, что указанная сумма выплаты не учитывает возмещение доли перестраховщиков по данному убытку. Это согласуется с правилом, что перед страхователем всегда полную ответственность несет страховщик независимо от исполнения обязанностей перестраховщиками. Поэтому при расчете страхового тарифа возможность снижения рисковой надбавки за счет перестрахования не учитывается.

Рассмотрим ситуацию, когда расчет страхового тарифа происходит в процессе набора портфеля с постоянной гарантией безопасности. Пусть t₀ - момент времени, в который начинается заключение договоров; - количество договоров, заключенных к моменту времени ; - количество заключенных договоров к моменту времени , рост количества заключенных договоров за период времени составит 30 % от , средняя страховая сумма не изменяется со временем. Тогда рост объема собранных взносов и страховой суммы пропорционален росту договоров с некоторым коэффициентом. Рассмотрим отношение основных нетто-ставок и рисковых надбавок, вычисленных по формулам (1.3.5, 1.3.8) соответственно. Вероятность наступления страхового события в момент времени t₁ - q₁, в момент времени t₂ - q₂, а рост страховых сумм (соответственно и рост премий) будет прямо пропорционален росту договоров. При этом S и S_В соответственно средняя страховая сумма на один объект страхования и сумма среднего требования на один страховой случай, связаны между собой некоторым коэффициентом k.

Нетто-ставки и рисковые надбавки в начале и в конце анализируемого периода будут соответственно

,

,

.

Сравним тарифы, полученные при расчете по методике I (табл. 1.5, 1.6) для организаций А и Б в моменты времени t₁ и t₂, которые примем соответственно для риска I - 01.01.98 г. и 01.01.99 г., для риска II - 01.01.96 г. и 01.01.97 г.

Данные для наглядности сведены в табл.у 2.1.

Таблица 2.1

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Фактически получаем, что основная нетто-ставка для организации Б ниже, чем для организации А, а рисковая надбавка ведет себя по разному в зависимости от объема портфеля. То есть, при работе с изменяющимся портфелем необходимо помнить, что если средняя величина требований определена с погрешностью, то рисковая надбавка усиливает эту погрешность. При этом на величину рисковой надбавки также влияет и разброс значений выплат. Из-за неопределенности риска, которая может быть усилена рисковой надбавкой, фактическая гарантия безопасности может оказаться меньше заложенной в расчетах.

Поэтому вопросы определения размера страхового портфеля и его прогнозирования на будущее очень важны для страховой организации. Это связано с тем, что фактический объем страхового портфеля может изменить гарантию безопасности проведения страховых операций: улучшить, если портфель будет больше прогнозируемого и ухудшить, если количество заключенных договоров будет меньше ожидаемого. Одновременно при перерасчете страхового тарифа необходимо обращать внимание на изменение объема портфеля в этот момент времени: уменьшается он, увеличивается или остается практически неизменным. При расчете страхового тарифа также необходимо учесть будущие выплаты по имеющимся договорам страхования. Самый простой вариант - учесть при расчете размер сформированных резервов как будущие обязательства. Но в случае, если ранее тариф был определен с погрешностью из-за неопределенности риска или изменившихся внешних условий, эта погрешность не будет снижена при новом расчете тарифа, так как в принятых правилах формирования технических резервов за базу формирования резервов берется сумма уплаченных страховых платежей, которая зависит от размера установленного тарифа.

Таким образом, главным для правильного определения тарифа является учет всех факторов, влияющих на него, и как можно более точное определение средней ожидаемой выплаты и объема страхового портфеля, то есть максимальное уменьшение неопределенности риска.

2.2. Прогнозирование основных показателей, используемых при расчете страхового тарифа

Все вышеизложенное показывает, насколько важным является прогнозирование и планирование процесса развития страховых операций. Под прогнозом при этом понимается вероятная, с высокой степенью достоверности оценка будущего состояния на основании фактических сведений о прошлом и настоящем развитии. Цель – выявить главные закономерности и тенденции и предвидеть направления динамики развития. Постоянное отслеживание поступивших страховых премий и выплаченных возмещений позволяют своевременно корректировать применяемые тарифы, определять фактический уровень собственного удержания и оценивать реальное финансовое состояние компании.

Страховые взносы по всем договорам, если по ним не предоставлялась рассрочка платежа, уже оплачены, но будущие требования по некоторым из них еще неизвестны или не предъявлены. Если рассчитывать тариф с учетом всех договоров, то необходимо учесть как уже предъявленные требования, так и будущие, для чего их необходимо прогнозировать.

Если мы наблюдали в течение какого-то периода времени (в течение k единиц времени) за процессом заключения договоров n(t), сбором страховой премии p(t) и производимыми выплатами x(t), то имеется возможность прогнозировать эти значения в периоды времени k+1, k+2 и т.д. Статистические данные, имеющиеся в результате наблюдений за каким-либо из этих показателей, можно рассматривать как случайный набор случайных данных, т.е. как реализацию случайного процесса. Математическое ожидание E любого случайного процесса является его “средним” показателем, вокруг которого происходит разброс остальных значений с отклонением . В нашем случае эти процессы можно описать следующим образом:

; (2.2.1)

; (2.2.2)

. (2.2.3)

Отклонение определяется неучтенными факторами и при отсутствии систематической ошибки среднее значение этого разброса равно 0. Дисперсия отклонения определяет достоверность прогноза.

Если за период времени t заключено N(t) договоров, при этом по i-му договору получена премия , то общая премия, собранная за единицу времени составит

.

(2.2.4)

В соответствии с теорией вероятности среднее значение общей страховой премии за период t можно определить как математическое ожидание этой величины. Так как количество заключенных договоров также является случайной величиной, и при этом оно не зависит от размера премии по каждому договору, то ожидаемое значение общей страховой премии за период времени t можно определить как произведение среднего числа договоров, заключенных в период времени t и средней страховой премии, приходящейся на один договор:

.

(2.2.5)

Случайный процесс, описывающий динамику собираемой премии за период времени t, приобретает вид

. (2.2.6)

Также можно прогнозировать ожидаемую величину выплат страховых возмещений в период времени t, определяя ожидаемое количество выплат M(t) и среднюю величину ожидаемой выплаты .

Аналогично (2.2.5) имеем:

,

откуда

. (2.2.7)

Более целесообразным для прогноза ожидаемой величины выплат в имущественном страховании представляется рассмотреть общий суммарный иск к компании по заключенным договорам. При рассмотрении задач математического моделирования сложных систем, а в особенности экономических, по неполным и неточным данным прослеживается аналогия с задачами теории связи (в частности теории очередей). Название происходит из практической теории очередей на телефонных станциях, рассмотренной датским математиком Эрлангом и в простейшем виде определяемой следующим образом: очередь состоит из нескольких обслуживающих телефонных станций, куда прибывают клиенты, которые проводят разговоры. При этом, из статистических данных следует, что этот процесс обладает определенными свойствами и может быть достаточно точно описан, т.е. время между прибытиями клиентов распределено экспоненциально (2.1.3) и также экспоненциально распределено время, требующееся на обслуживание одного клиента. При этом прибытие клиентов независимо друг от друга, как и продолжительность разговоров. Необходимо определить оптимальное количество станций. Фактически это представляет собой описание процесса страхования, выраженную в других понятиях:

В этом случае страхование рассматривается как модель резервуара, который имеет начальный уровень, увеличивающийся на величину приходящей премии (процесс детерминирован во времени, более или менее устойчив и может быть предсказан с определенной долей вероятности) и уменьшающийся на величину выплаченных страховых возмещений (процесс случаен, подвержен колебаниям и непредсказуем). В практике принимается утверждение, что размеры интервалов между страховыми случаями (а, следовательно, и между выплатами страховых возмещений) и размеры отдельных возмещений не влияют друг на друга, т.е. рассматриваются как полностью независимые [21 и 40]. Из практики известно, что экспоненциальное распределение наиболее точно отражает процесс предъявления требований во времени, особенно его частный случай - распределение Пуассона.

Если в течение определенного времени компания принимает k заявлений о выплате страхового возмещения, каждое из которых имеет размер , то общая величина заявленных претензий составит

. (2.2.8)

Количество страховых требований k, предъявленных за период времени t, на основании анализа статистических данных может быть описано распределением Пуассона (2.1.2), которое в соответствии с теорией очередей Эрланга имеет следующие свойства:

1. Интервалы между исками распределены по экспоненциальному закону;
2. Вероятность поступления иска с определенного момента за малый интервал времени не зависит от поступления исков до этого момента;
3. Интервалы между исками независимы;
4. За один малый интервал может быть предъявлен только один иск;
5. Если на интервале времени был предъявлен иск, то момент его предъявления распределен равномерно на этом интервале;
6. Если известно число исков, предъявленных за некоторый промежуток времени, то моменты предъявления исков независимы друг от друга и равномерно распределены на этом промежутке.

Дата публикации: 08.04.2002