Оценка стоимости пакетных инвестиций и долевых интересов

• Часть 1
• Часть 2
• Часть 3

В работе рассматривается задача определения инвестиционной стоимости пакетов акций акционерных обществ открытого (ОАО) и закрытого типа (ЗАО), а также долей в обществах ограниченной ответственности (ООО). Предложен доходный подход для определения инвестиционной стоимости пакетов акций на основе дисконтирования потока чистого дохода, фактически приходящегося на оцениваемую долю.

Показано, как инвестиционная стоимость пакета (доли) связана с его рыночной стоимостью. Предложена методика определения рыночной стоимости пакетов акций (долей), основанная на простейшей модели сегментации фондового рынка. Эта методика может использоваться в том случае, когда акции АО не имеют устойчивых биржевых котировок и цен на внебиржевом рынке и метод прямого сравнения продаж непосредственно неприменим.

1. НЕОБХОДИМОСТЬ ОЦЕНКИ ПАКЕТОВ (ДОЛЕЙ)

Необходимость оценки пакетов ОАО доходным способом возникает, как было уже сказано, в том случае, когда акции не котируются на фондовой бирже и внебиржевом рынке. Такая же ситуация возникает при оценке пакетов ЗАО и долей в некоторых ООО, не имеющих аналогов продаж.

Заказчиком оценки стоимости пакетов (долей) могут выступать продавцы и потенциальные покупатели. Целью оценки является определение возможной цены сделки по купле-продаже пакета акций (доли). Оценщик выступает в этом случае в качестве консультанта заказчика и должен решить задачу, какой могла бы быть рыночная стоимость пакета (доли), если бы он был выставлен на открытом рынке. Другой случай определения рыночной стоимости пакетов связан с выкупом акций обществом по требованию акционеров в соответствии со ст. 76 Федерального Закона об Акционерных обществах 1995 года.

Акционеры имеют преимущественное право приобретения акций, продаваемых акционерами этого общества по цене предложения другому лицу. Уставом общества может быть предусмотрено преимущественное право общества на приобретение акций, если акционеры не использовали свое преимущественное право приобретения. Преимущественное право не изменяет рыночный характер сделки, поскольку цена сделки определяется по цене предложения другому лицу.

Другое положение складывается в ООО. Согласно федеральному Закону “Об ООО” 1998 года, доля при выходе одного из учредителей переходит к ООО с правом выкупа остальными учредителями без изменения относительной величины их долей. Действительная стоимость доли определяется по ее номинальной величине от нормативной стоимости 100 % собственного капитала общества, которая определяется по балансу общества методом чистых активов. Это делается на конец того отчетного периода, в котором произошел выход учредителя. В случае выкупа доли оставшимися учредителями выкупная стоимость возвращается ее бывшему владельцу. В противном случае, невыкупленная доля, с согласия общества, может быть предложена внешнему покупателю по той же нормативной цене.

Поскольку цена доли определяется по балансу нормативным образом, продавец доли отделен от покупателя и доля не выставляется на открытом рынке, то такую сделку нельзя считать рыночной. В этом случае нельзя говорить и о рыночной стоимости доли. Однако можно говорить о стоимости в использовании для владельца этой доли и об инвестиционной стоимости этой доли для типичного внешнего покупателя. Если нормативная цена доли оказывается меньше инвестиционной, то сделка может состояться. В противном случае — нет. В этом состоит суть услуги, которую оценщик может оказать потенциальному покупателю доли в ООО. В качестве консультанта он определяет приемлемый уровень стоимости доли с учетом инвестиционных целей, которые ставит покупатель.

Необходимо отметить, что в соответствии с Законом “Об оценочной деятельности в РФ” 1998 года, ненормативный термин “действительная стоимость” следует трактовать, как рыночную стоимость. Номинальная доля может быть заменена на фактическую с учетом премии (дисконта) за контрольность (минотарность) доли. Стоимость 100 % собственного капитала при этом определяется по экономическому балансу, который получается переоценкой стоимости активов по рыночной стоимости. Имеются судебные прецеденты, когда суд принял именно такую трактовку Закона “Об ООО”. В последнем случае оценщику следует определять уже возможную рыночную стоимость доли при условии его продажи на открытом рынке. Вот, кратко, основные проблемы оценки пакетов акций (долей) и место оценщика при их решении.

2.ОЦЕНКА 100 % АКЦИОНЕРНОГО (СОБСТВЕННОГО) КАПИТАЛА

Существует три основных подхода к оценке акционерного капитала:

• затратный подход (балансовый),
• сравнительный,
• доходный.

Затратный (балансовый) подход состоит в оценке акционерного капитала методом чистых активов, когда из балансовой стоимости активов вычитаются обязательства акционерного общества. Расчетная формула метода:

S₁=стр.190+стр.290-стр.460-стр.590 -

— стр.690+стр.640+стр.650.

Например, для баланса, приведенного в табл. 1, стоимость собственного капитала методом чистых активов составляет 20,766 тыс. руб.

Следует отметить, что балансовая оценка акционерного капитала является условной и может использоваться только для предварительной оценки стоимости акций. Это связано с условностью правил принятой системы бухучета, выражающейся, в частности, в том, что активы учитываются по балансовой, а не рыночной стоимости. Более точный результат дает метод активов, примененный к экономическому балансу, который составляется путем оценки статей баланса по рыночной стоимости.

Пример построения экономического баланса проведен в табл.1.

Таблица 1

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ БАЛАНС на 1.01.99 г.

Основные фонды оцениваемого общества находятся в аренде и учитываются за балансом. Долгосрочные финансовые вложения в данном случае представляют собой прочие долгосрочные финансовые вложения, т.е. какие-то финансовые инструменты, не являющиеся инвестициями в зависимые и дочерние общества и долгосрочными займами. В настоящее время, на рынке практически отсутствуют высоколиквидные финансовые инструменты с высокой надежностью. Поскольку заказчиком не были предоставлены достоверные данные о виде финансовых активов, находящихся в распоряжении предприятия, на основании нашего опыта мы можем предположить, что таковые являются векселями либо облигациями.

Как видно из котировок на векселя крупнейших эмитентов, на рынке они продаются с значительным дисконтом по цене от 30 % до 50 % от номинала. Векселя других эмитентов продаются еще дешевле. Поэтому рыночная стоимость прочих долгосрочных финансовых вложений в любом случае не будет превышать 30 % от их номинала, что приводит к понижающему коэффициенту по этой позиции K=0.3. На самом деле, эта позиция может стоить еще дешевле и нашу оценку следует рассматривать, как предельную. Для более точного анализа нам необходима расшифровка прочих финансовых вложений, которая не была предоставлена заказчиком.

Запасы, по нашему опыту, не могут быть проданы дороже 50 % от балансовой стоимости. То же самое относится к дебиторской задолженности. Из приложения к бухгалтерскому балансу за 1998 г. видно, что просроченная задолженность составляла около 50 %, из нее длительностью свыше трех месяцев — около 90 %. Таким образом, выбор понижающего коэффициента по этой позиции вполне допустим.

Мы не учитываем в экономическом балансе НДС уплаченный, который может перекрываться только НДС полученным и не влияет на стоимость собственного капитала.

В результате, собственный капитал и резервы, как статья, дополняющая пассивы до активов, составила S₂=283,000 руб., т.е. почти на два порядка меньше стоимости полученной методом чистых активов. Этот пример показывает, что величина собственного капитала чрезвычайно чувствительна к точности рыночной оценки статей баланса.

Сравнительный подход состоит в оценке средней стоимости акций по данным о биржевых и внебиржевых продажах пакетов с корректировкой на их величину (метод рынка капитала). Базой для сравнения служит цена на единичную акцию ОАО. Поэтому данный метод используется для оценки минотарных (неконтрольных) пакетов. Метод продаж, наоборот, ориентирован на цены приобретения предприятия в целом либо контрольного пакета акций. В отсутствии данных о продажах сравнительный подход не применялся. В частности, этот подход обычно не применим к оценке пакетов ЗАО и долей в ООО.

Доходный подход состоит в оценке стоимости бизнеса, основанной на определении стоимости будущих доходов от его использования. В рамках доходного подхода выделяют метод дисконтирования потока дохода и метод прямой капитализации дохода. Рассмотрим их последовательно применительно к задаче определения стоимости 100 % акционерного (собственного) капитала общества.

Для вывода уравнения дисконтирования потока доходов на посленалоговой основе нам необходимо проанализировать структуру доходов и расходов, последствия налогообложения прибыли и перепродажи собственности в конце срока владения.

Влияние амортизации на текущую прибыль до налогообложения

Для анализа доходов и расходов в текущем году введем обозначения:

D — доходы всего;

B — полная балансовая стоимость основных средств, равная цене приобретения собственности, по которой потенциальный покупатель поставит ее на баланс;

a — средняя норма амортизации по всем основным средствам в текущем году;

A=aB — амортизационные начисления;

И=na — накопленный текущий износ за предполагаемое время n (лет) владения собственностью;

O=B(1-na/2) — средняя остаточная балансовая стоимость собственности за период владения;

H=0.02*O — среднее значение налога на имущество, составляющего 2 % от остаточной стоимости;

P — расходы всего без амортизации A и налога на имущество H;

q=D-P — чистый операционный доход без амортизации и налога на имущество;

П — балансовая прибыль до налогообложения.

.

Последствия налогообложения прибыли

Чистый доход N после налогообложения прибыли (30 %) до капитальных затрат получается умножением П на 0.7 и прибавлением амортизации A, которая является неденежным расходом и после реализации продукции остается в распоряжении предприятия:

.

Здесь q*=0.7q — чистый операционный доход после налогообложения прибыли без учета амортизации и налога на имущество.

Заметим, что стоимость B основных средств можно связать с неизвестной пока стоимостью X акционерного (собственного) капитала общества по формуле:

,

где d=B₂/S₂ —относительная доля основных средств в затратной стоимости собственного капитала, определяемой по экономическому балансу. При этом предполагается, что указанная доля примерно сохраняется при замене затратной стоимости собственного капитала на доходную.

Последствия налогообложения перепродажи собственности

Пусть X_n — возможная цена перепродажи бизнеса в конце срока владения с учетом возможного изменения цен на рынке в твердой валюте. Величина X_n зависит от начальной стоимости X и относительного изменения D_n стоимости предприятия на рынке:

.

Величина D_n может зависеть от фактически накопленного износа основных средств, но не зависит от начисленной амортизации, если за время владения не производились капитальные вложения, что и предполагается далее. Такое положение характерно для сравнительно небольших сроков владения собственностью n = 5 — 7 лет.

С точки зрения увеличения стоимости собственного капитала, это основной случай, поскольку на амортизационные отчисления проценты обычно не начисляются или начисляются по сравнительно низкой депозитной ставке, что делает использование этих средств на капитальные вложения менее выгодным, чем реинвестирование в основной бизнес по внутренней норме дохода.

Через O_n будем обозначать остаточную стоимость собственности на конец n-го года:

.

По действующим правилам положительная разница X_n-O_n облагается налогом на прибыль 30 %, а отрицательная — относится на убытки, которые не влияют на налог в текущем году, но должны погашаться балансодержателем за счет прибыли будущих периодов. В результате перепродажи инвестор получает свою долю и выходит из бизнеса. Поэтому убытки остаются за балансодержателем и не должны учитываться при определении стоимости бизнеса с точки зрения типичного инвестора.

Таким образом, прибыль Q_n для целей налогообложения при перепродаже собственности можно представить в виде:

=

=

.

Отсюда следует, что чистый доход X*_n от перепродажи имеет вид:

=

=

=

=

=

=

.

Здесь

=

=

Функция N(D) учитывает последствия налогообложения прибыли при перепродаже собственности.

Встроенные опционы и их оценка

Величину прибыли для налогообложения:

можно представить в виде европейского колл-опциона [6] на будущую стоимость бизнеса X_n с ценой исполнения O_n и сроком n лет. Это ничем не отличается от колл-опциона на акцию предприятия, поскольку текущая стоимость бизнеса равна стоимости всех его акций [6]. Воспользуемся формулой Блэка-Шоулза для текущей стоимости европейского колл-опциона [7]:

Здесь X — текущая стоимость бизнеса, “сигма”— среднее квадратическое отклонение величины j, i — условно безрисковая ставка дисконтирования, “фи”— функция, определяемая равенством:

;

;

,

где

.

Здесь N(x) представляет функцию распределения стандартного нормального закона с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция Ф(k,m) затабулирована в [7].

Для оценки последствий налогообложения перепродажи собственности воспользуемся будущей стоимостью колл-опциона по той же безрисковой ставке i:

.

В результате получим:

.

Здесь

 — функция, учитывающая последствия налогообложения перепродажи собственности в модели Блэка-Шоулза.

Заметим, что функция N использует среднегодовое значение параметра изменения стоимости собственности j, а функция N* — только его среднеквадратическое отклонение. Пример расчета параметра “сигма” для индекса изменения стоимости строительства приводится в разделе определения ставки дисконтирования и параметров роста.

Влияние амортизации на текущую стоимость бизнеса. С учетом сделанного замечания общее уравнение для определения текущей стоимости X предприятия (бизнеса) имеет вид:

.

Здесь i — ставка дисконтирования, т.е. желаемая и возможная в данном бизнесе норма дохода на собственный капитал общества. Подставляя сюда ранее найденные выражения для N, X*_n, приходим к следующему уравнению дисконтирования потока дохода для неизвестной текущей стоимости X собственности:

+

+

.

Решая уравнение дисконтирования относительно неизвестной X, приходим к обычной формуле метода прямой капитализации чистого операционного дохода на посленалоговой основе:

.

Здесь k* — соответствующая ставка капитализации, определяемая по формуле:

+

+

.

Определение стоимости акционерного (собственного) капитала доходным методом

Стоимость акционерного капитала общества совпадает с текущей стоимостью доходов на собственный капитал. Поэтому рыночную стоимость S₃ 100 % акционерного капитала доходным методом может быть определена как неизвестное X из уравнения дисконтирования денежных потоков на посленалоговой основе, которое с учетом использования заемного капитала можно представить в виде:

+

+[

-

-

.

Здесь Y — потребная величина кредита, необходимая для продолжения текущего использования собственности;

PWAF(i,n)=[1-(1+i) ⁿ]/i — фактор текущей стоимости аннуитета за n лет по ставке i;

i — ставка дисконтирования доходов;

n — предполагаемый срок владения собственностью (лет);

q*=0.7q — средняя величина ЧОД после налогообложения прибыли до отвлечения средств по форме № 2 по ОКУД согласно доступным ретроспективным данным;

q — средняя величина ЧОД до налогообложения по форме № 2 по ОКУД без учета амортизационных начислений;

a — средняя норма амортизации по амортизируемым активам;

d — доля амортизируемых активов в собственном капитале общества, определяемая по экономическому балансу;

g— приведенная годовая ставка процента по кредиту;

PWF(i,n)=1/(1+i) ⁿ — фактор текущей стоимости реверси, в конце срока владения, характеризующей ее ликвидность (лет);

D _n=(1+j)ⁿ —1 — предполагаемое относительное изменение стоимости собственности в валюте за время владения собственностью;

j — соответствующее среднегодовое относительное изменение стоимости собственности;

N(D) — функция, учитывающая результаты налогообложения продажи собственности, определяемая формулой:

При составлении уравнения дисконтирования для определения стоимости бизнеса мы предполагаем умозрительно, что предприятие продается в текущий момент времени, и пытаемся найти его стоимость при текущем использовании для нового владельца-пользователя. Такое предположение необходимо для правильного определения текущей стоимости бизнеса. Из этого предположения, в частности, следует, что новый покупатель поставит основные фонды на баланс по цене приобретения. Эта цена будет совпадать для него с восстановительной стоимостью фондов и служить базой для начисления амортизации и налога на имущество. Все эти неявные предположения отражены в уравнении.

Несколько другой подход используется при определении ликвидационной стоимости предприятия (бизнеса). В этом случае предприятие никому не продается (даже умозрительно) и ищется его текущая стоимость с учетом реальных доходов (убытков) от его деятельности за время, оставшееся до ликвидации, продажи активов и погашения обязательств в конце срока. В частности, базой для начисления амортизации и налога на имущество будет уже текущая балансовая восстановительная и остаточная стоимость. В конце срока продается не предприятие (бизнес), а отдельные активы предприятия. Все это необходимо учитывать при составлении уравнения дисконтирования.

Уравнение дисконтирования доходов может быть решено относительно неизвестной X в виде формулы метода прямой капитализации:

.

Здесь Q — ожидаемый доход с учетом процентной прибыли (убытка) от использования заемных средств, определяемый по формуле:

;

K — ставка капитализации, определяемая равенством:

+

+

.

3. ВЫБОР СТАВКИ ДИСКОНТИРОВАНИЯ И ПАРАМЕТРОВ РОСТА

Два подхода к выбору ставки дисконтирования

Существуют два основных подхода к определению ставки дисконтирования. Первый заключается в том, что за ставку дисконтирования i принимается желаемая и возможная в данном бизнесе норма дохода на вложенный капитал. Второй способ состоит в том, что за i принимается условно безрисковая ставка по альтернативным вложениям капитала i₀ в различные финансовые инструменты, к которой прибавляются поправки на риски, сопутствующие данному бизнесу.

Альтернативными финансовыми инструментами могут служить:

• валютные и рублевые депозиты в сравнительно надежных банках, например, Сбербанке РФ;
• облигации федерального займа (ОФЗ);
• внутренние валютные займы (ВВЗ) и т.п.

Наиболее доступным инструментом в настоящий момент являются валютные и рублевые депозиты. Средние ставки по этим инструментам не менее чем по 100 банкам можно найти на сайте Росбизнесконсалтинга. Чтобы снять инфляционную составляющую, все расчеты по определению текущей стоимости будущих доходов ведутся в твердой валюте, обычно — в долларах США. При этом, если за условно безрисковую принимается рублевая ставка, то необходимо найти ее валютный эквивалент. Формула для валютного эквивалента рублевой ставки носит название формулы Фишера. Смысл этой формулы состоит в том, что разница между рублевой и валютной ставками по одному финансовому инструменту с точностью до малых членов равна ожидаемой годовой инфляции рубля к соответствующей валюте.

Таким образом, будущая инфляция как бы закладывается в рублевую ставку и отсюда может быть найдена. Например, в рублевой депозитной ставке Сберегательного банка РФ присутствует ожидаемая инфляция рубля к доллару США, которую можно определить как разницу с действующими валютными депозитными ставками.

Следует тут же отметить, что при использовании метода прямой капитализации предполагается постоянство чистого операционного дохода в валютном выражении. Если это не так, и к постоянству тяготеет сам рублевый доход, то следует использовать рублевую условно безрисковую ставку, например, рублевую депозитную ставку Сберегательного банка или прибавлять к валютной ставке по альтернативному финансовому инструменту ожидаемую годовую инфляцию. В последнем случае необходимо учитывать возможное изменение стоимости за время владения также в рублях, т.е. учитывать инфляцию рубля по отношению к твердой валюте.

Случай нерегулярных доходов

В том случае, когда ни рублевый доход, ни его валютное содержание не имеют тенденции к постоянству, остается использовать метод дисконтирования потока нерегулярных доходов. Если прогнозирование потока дохода осуществляется в валюте, то берется валютная ставка по альтернативным инструментам. В противном случае — соответствующая рублевая ставка. Можно показать, что формула метода прямой капитализации остается в силе для нерегулярного потока дохода, если заменить постоянную величину дохода средней, определяемой по формуле:

.

Коэффициент перед знаком суммы равен обратной величине к сумме дисконтирующих множителей. Таким образом, введенная величина действительно представляет среднее с весами. Смысл преобразования состоит в том, что нерегулярный поток дохода заменяется регулярным (постоянным), имеющим такое же значение текущей стоимости, т.е. эквивалентным нерегулярному.

В частности, когда ЧОД меняется по закону геометрической прогрессии,

, t=1,2,...,n, где w — относительное среднегодовое изменение q, которое может быть больше и меньше нуля. Если известно конечное значение q_n, то величина w определяется по формуле

.

Подставляя в формулу для среднего, получим после преобразования:

.

Таким образом, в модель может быть введен параметр относительного ежегодного изменения дохода w, подобно изменению стоимости собственности на рынке j.

Метод суммирования рисков

Вернемся к поправкам на риски различной природы, сопутствующие бизнесу (метод суммирования рисков). В работе [9] выведена следующая формула, обосновывающая метод суммирования рисков:

.

Здесь

 — условно безрисковая ставка по альтернативному финансовому инструменту;

 — риск (вероятность) неполучения предполагаемого чистого операционного дохода в текущем году;

 — риск (вероятность) непродажи собственности в конце предполагаемого срока владения по различным причинам;

— среднее время (количество лет), необходимое для продажи собственности, характеризующее риск ликвидности;

— фактор фонда возмещения.

Для обоснования формулы метода суммирования рассмотрим уравнение дисконтирования доходов на доналоговой основе с учетом рисков:

. (1)

Правая часть уравнения (1) представляет по смыслу математическое ожидание (среднее) современной стоимости потока будущих доходов.

Вывод основной формулы

Из уравнения (1) получим нынешнюю стоимость аннуитета:

.

Собирая коэффициент при X, отсюда получим выражение для ставки капитализации:

(2)

Другими словами, при найденном значении i уравнение с рисками (1) эквивалентно уравнению без рисков:

,

в том смысле, что оба они имеют одно и то же решение

. Таким образом, формула (2) выражает собой искомую связь условно безрисковой ставки

и рисков r,R,l.

Исследование основной формулы

Если r=R=l=0, т.е. риски отсутствуют, то из формулы (2) получим

, где

— условно безрисковая ставка. Для дальнейшего исследования функции i=i(r,R,l) найдем ее частные производные по всем переменным в начальной точке:

Итак, при отсутствии рисков значение функции i совпадает с условно безрисковой ставкой

, а при увеличении рисков — возрастает по всем переменным.

Для аппроксимации функции i=i(r,R,l) воспользуемся разложением Тейлора. С точностью до членов первого порядка получим:

. (3)

Эта формула и обосновывает метод суммирования условно безрисковой ставки

и рисков r,R,l с весами, зависящими от

и n, учитывающими влияние рисков различной природы на общую ставку капитализации.

Пример 1. Условно безрисковая ставка, определенная по ВВЗ на 1997 год, равна

= 25 % в валюте. Предполагаемый срок владения n=3 года, возможное время реализации имущества на рынке l = 1 год, риски потери дохода и невозврата основной суммы r=R=50 %. Требуется определить общую ставку дисконтирования с учетом рисков.

Решение.

а) По формуле (2) имеем:

i=0.25[1-(1–0.5)/1.25³⁺¹]/(1–0.5)[1–1.25–³]=

=0.25[1–0.5/2.44]/[0.5(1–0.51)]=

=0.250.795/0.245=0.81.

б) По приближенной формуле (3) получим:

i=0.25+0.250.5+0.25/[1.25^3–1](0.5+ln1.25)=

=0.375+0.25/0.9530.723=0.375+0.19=0.56.

Видно, что разница между значением i, вычисленным по точной формуле (2), и ее линейным приближением (3) может быть существенной.

Используя приближенные формулы:

,

можно аппроксимировать формулу (3) таким образом:

. (4)

Пример 2. В условиях предыдущего примера рассчитать i по приближенной формуле (4).

Решение.

i=0.25+0.250.5+0.5/3+0.25/3=0.625,

т.е. больше, чем по формуле (3).

В каждом учебнике по оценке недвижимости (см., например, [1–3]) упоминается метод суммирования рисков. Обычно говорится, что общая ставка капитализации получается суммированием безрисковой ставки и поправок на риски различной природы. Однако нигде не сказано, как вычислить эти поправки. Формула (3) восполняет этот пробел и впервые обосновывает математически метод суммирования рисков. Вместе с этим, показана ограниченность этого подхода, т.к. формула суммирования рисков (3) оказывается лишь приближением к полученной нами более точной формуле (2), которой мы и предлагаем пользоваться.

Выбор параметров роста

Общая идея определения параметра j изменения стоимости собственности на рынке состоит в сравнении подходящего индекса рублевых цен с индексом изменения курса доллара.

Несмотря на продолжающийся рост рублевых цен на доходную недвижимость в связи с падением курса рубля к доллару, наблюдается падение стоимости собственности в долларах, вызванное соответствующим уменьшением валютного эквивалента доходов. Поскольку изменение стоимости собственности в долларах на рынке непосредственно влияет на стоимость недвижимости в рамках доходного подхода, то попытаемся проиллюстрировать этот процесс на примере изменения индекса фактических цен на СМР по данным, предоставленным нам Тверским Областным Комитетом Государственной Статистики согласно справке № 02 — 17 от 24.03.1999 г. (см. табл. 2).

Отметим, что среднее геометрическое относительных индексов 1+j_t изменения стоимости СМР в $ к предыдущему году в ст. 6 за пять лет составляет 1+j=0.923, т.е. среднегодовое изменение стоимости СМР в валюте составляет

j = 0.923 — 1 = — 0.077 = — 7.7 %.

Таблица 2

ИНДЕКСЫ ЦЕН НА СМР К СМЕТНЫМ ЦЕНАМ
1991 г. (БЕЗ НДС)

Среднее арифметическое логарифмов a_t относительных индексов 1+j_t составляет a= -0.079= -7.9 %. Дисперсия величины a_t равна D=0.2136, среднеквадратическое отклонение a_t составляет D^1/2=0.4622= =46.22 %. Параметры логнормального распределения могут пригодиться при использовании формулы Блека-Шоулза для встроенных опционов [8] при оценке стоимости предприятия.

Относительное ежегодное изменение доходов w зависит от конкретной обстановки, сложившейся на данном предприятии, и общей экономической ситуации. Косвенным индикатором изменения доходов может служить индекс арендных ставок по офисным, торговым и производственным площадям. Для примера рассмотрим изменение средних месячных арендных ставок по торговым помещениям в регионе (см. табл. 3).

Таблица 3

ИЗМЕНЕНИЕ АРЕНДНЫХ СТАВОК ПО ТОРГОВЫМ ПЛОЩАДЯМ ТВЕРИ В $ ЗА 1 КВ.М. В МЕС.

Среднее геометрическое индексов за пять лет составляет 1 + w = 0.806. Отсюда относительное среднегодовое изменение доходов от аренды торговых помещений составляет:

w = 0.806 — 1 = — 0.194 = — 19.4 %.

Эта величина характеризует снижение доходов от сдачи в аренду нежилой собственности. По производственным объектам этот спад более значителен.

Данные по изменению доходности, связанному с изменением реальной покупательной стоимости рубля по отношению к доллару, можно найти также на сайте Минфина РФ в Internet по адресу: www.eeg.ru. Схема вычисления аналогична нашей: индекс инфляции цен производителей в рублях делится на индекс роста номинального обменного курса доллара.

4. ТОЧНОСТЬ МЕТОДА ПРЯМОЙ КАПИТАЛИЗАЦИИ

Ранее было установлено, что стоимость акционерного (собственного) капитала предприятия может быть получена методом прямой капитализации. В этом пункте исследуется точность метода прямой капитализации относительно систематических и случайных ошибок в определении его параметров. Систематические ошибки стоимости связаны с ошибками в определении ЧОД и ставки капитализации. Ошибки в определении ставки капитализации возникают вследствие неточного знания ее параметров.

Случайные ошибки метода прямой капитализации связаны с введением в основное уравнение дисконтирования рисков различной природы. Риски суть те же вероятности наступления неблагоприятных событий в виде неполучения запланированного дохода в текущем году или невозврата основной суммы в конце срока владения. Уравнение дисконтирования в этом случае представляет собой уравнение для математического ожидания современной стоимости проекта, которая является случайной величиной. В силу случайности современной стоимости собственности возникает ошибка в виде ее отклонения от среднего значения, которое получается по методу прямой капитализации. Мерой этого отклонения является дисперсия или среднеквадратическое отклонение (СКО).

Систематические ошибки метода прямой капитализации X=q/k связаны с ошибками Dq, Dk в определении параметров q и k соответственно. Для того, чтобы оценить влияние этих ошибок на величину стоимости собственности X, найдем производные от X по q и k:

. (5)

Теперь ошибка DX в определении X в линейном приближении определяется по формуле:

, (6)

а ее модуль оценивается величиной:

. (7)

Неравенство (7) показывает, например, что при k=0.1, что вполне возможно, ошибка DX в определении величины стоимости X может быть в 100 раз больше ошибки в определении ставки капитализации Dk, поскольку последняя делится на k². Этот пример показывает неустойчивость формулы метода прямой капитализации X=q/k относительно k. Малейшие ошибки в определении ставки капитализации k могут вызвать значительную погрешность в стоимости собственности X. Об этом не мешает помнить тем оценщикам, которые, правильно определив величину ЧОД, делят его затем на ставку капитализации, взятую, что называется, “с потолка”. Это же обстоятельство заставило нас посвятить два раздела этой статьи вопросам определения ставки капитализации при различных условиях финансирования, амортизации и налогообложения.

Ошибка определения ставки капитализации на доналоговой основе. Ошибка D_k в определении величины k в зависимости от ошибок в определении ставки капитализации определяется соответствующей формулой. Рассмотрим, например, формулу для ставки капитализации на доналоговой основе в простейшей модели с рисками:

. (8)

Производные функции k по всем переменным (кроме j) при нулевых значениях параметров были определены в предыдущем пункте:

;

;

. (9)

Ошибка Dk в определении k выражается теперь в линейном приближении через ошибки Di, Dr, DR, Dl, Dj параметров i,r,R,l,j по формуле:

. (10)

Модуль ошибки Dk оценивается через сумму модулей слагаемых в правой части (10):

. (11)

Пример 3. Предположим, что

i=25 %, r=R=0.2, n=5, l=1, j=0, q= $100,000 и

Di=2 %, Dr=DR=0.1, Dl=0.5, Dj=2 %, Dq=$20,000.

Требуется определить величину стоимости X и ошибку DX в ее определении.

Решение. По формуле (8) получим:

Отсюда стоимость X собственности равна X=q/k=100 000/0.355=$281,690.

По формуле (11) получим теперь:

Подставляя это значение в неравенство (7), получим:

Заметим, что относительная величина ошибки DX/X=143,000/281, 690=0.508=50.8 % довольно велика и соизмерима с величиной стоимости.

Практически это означает, что величина стоимости может быть и больше, и меньше X на ошибку DX, т.е. находится в интервале от $138,690 до $424,690. Это не должно пугать, т.к. рыночная стоимость по смыслу есть средняя величина рыночных цен и, если середина отрезка определена правильно, то разброс значений не играет роли. С другой стороны, в отчете об определении рыночной стоимости можно указывать точность расчетов, поскольку лучше знать истинное положение вещей, чем действовать с закрытыми глазами.

В заключение параграфа отметим, что мы ограничились здесь одним примером оценки точности определения ставки капитализации. Однако предложенная методика может применяться к любой формуле для определения ставки капитализации на доналоговой и посленалоговой основе.

Случайные ошибки. Случайные ошибки возникают при учете рисков. В этом случае правая часть уравнения дисконтирования:

, (12)

по смыслу должна представлять собой математическое ожидание (среднее) потока будущих доходов. Однако это не совсем так, как будет показано в этом параграфе. Мы получим здесь точное уравнение для среднего значения стоимости, которое, впрочем, дает достаточно близкое значение ставки капитализации, и выведем формулу для дисперсии стоимости, которая с учетом рисков будет случайной величиной.

Случайные ошибки возникают в силу отклонения случайной величины (СВ) от ее математического ожидания. Мерой этого отклонения является дисперсия или корень из дисперсии, т.е. среднеквадратическое отклонение (СКО).

Обозначим через , t=1,2,...,n, случайную величину, принимающую значение q с вероятностью (1-r) и 0 с вероятностью r, независимо друг от друга. Эта величина будет означать величину ЧОД в t-й год с учетом риска его неполучения по различным причинам. Обозначим через A случайное событие, состоящее в том, что собственность удается продать в конце срока владения. Противоположное событие происходит, когда объект не удается продать по каким-то причинам, например, по причине его ареста за долги. Вероятность события A равна (1-R), а противоположного — R.

Вместо уравнения для среднего значения стоимости (12) определим случайное значение стоимости по формуле:

Здесь “if A” означает: “если произошло событие A”, и аналогично для противоположного события “не A”.

Обозначим через m_X математическое ожидание (среднее) случайной величины X, а через m(X|A)-условное математическое ожидание X при условии, что произошло событие A. Математическое ожидание СВ X определим теперь по формуле:

Отсюда получим формулу для ставки капитализации:

(13)

при j<i, что обычно и бывает.

Таким образом, точное выражение (13) для ставки капитализации дает примерно то же значение, что и ранее полученная формула.

Определим теперь дисперсию D_X СВ X:

.

Подсчитаем отдельные слагаемые, воспользовавшись известной формулой D_X=mX²-(m_X)²:

Подставляя сюда выражение для m_X, получим после преобразования:

Аналогично преобразуется второе слагаемое в выражении для дисперсии:

*

Собирая слагаемые в формуле для дисперсии, после преобразования получим:

Выражение для дисперсии может быть представлено также в такой форме:

Отсюда получим искомую формулу для СКО X:

Пример 4 (продолжение примера 3). В условиях примера 3 рассчитать величину СКО X.

Решение. Воспользуемся полученной формулой:

Версия для печати