Оценка эффективности инвестиционных проектов с учетом реальных характеристик экономической среды

• Часть 1
• Часть 2
• Часть 3
• Часть 4
• Часть 5
• Часть 6

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемая статья содержит материал по ряду задач, возникающих при оценке эффективности инвестиционных проектов, и по некоторым смежным вопросам, необходимым, по мнению авторов, для понимания основного ее содержания. Этим определяется некоторая “разношерстность” рассмотренных в статье тем.

Статья состоит из двух больших частей. В первой части излагаются общие принципы и показатели эффективности инвестиционных проектов. Эта область достаточно хорошо изучена. Новые — и, по мнению авторов, практически полезные — результаты здесь связаны с влиянием на методы оценки эффективности отклонений параметров экономической среды от тех, которые диктуются требованиями развитого рынка.

Вторая часть посвящена непосредственно методам оценки финансовой реализуемости и эффективности инвестиционных проектов. Основной упор вновь сделан на ситуацию несовершенного рынка, что типично для нынешней российской экономики.

Со всеми вопросами и проблемами, изложенными в статье, авторам приходилось сталкиваться в процессе практической оценки, а также при разработке учебных и методических материалов. По их наблюдениям, каждый из этих вопросов нередко ставил в тупик практических работников, связанных с расчетом эффективности инвестиционных проектов.

Основные, по мнению авторов, результаты, содержащиеся в статье, таковы.

В разделе 1.2 описано, как учитывать при оценке влияние инфляции и, главное, участия в проекте нескольких валют на методы оценки эффективности проекта. Такой учет особенно необходим, если (как до сих пор было в России) темп изменения валютного курса не соответствует “правильному”, определяемому темпами инфляции внутри страны и за рубежом. Показано, что если методы, изложенные в данном разделе, не использовать, а проводить расчет “обычным” образом, можно получить неоправданно оптимистичные прогнозы эффективности проекта, которые могут совсем не подтвердиться на практике.

В разделе 1.4. предлагается и исследуется показатель реальной чистой будущей стоимости проекта (RNFV). Представляется, что он в лучшей степени, чем “классический” NPV отражает результаты проекта для инвестора особенно в тех случаях, когда возможности вложения в ценные бумаги прибыли от проекта в той или иной степени ограничены. Вводится понятие реальной доходности проекта и показывается, почему в этом качестве неправильно использовать IRR. Там же вводится понятие проектов, альтернативных по капиталу, существенное в ситуации ограниченности денежных средств, и с использованием показателя RNFV изучаются условия эффективности таких проектов. Попутно рассматривается задача сравнения эффективности проектов с различными моментами начала и конца при разных нормах дисконта.

Разделы 1.1 и 1.3 носят вспомогательный характер. В первом из них с единой позиции “двухточечного приведения” исследуются такие известные понятия, как FMRR, MIRR и IRR и (в качестве одного из приложений последнего) единообразно определяются эффективные процентные ставки по займам в зависимости от условий кредитования. В разделе 1.3, посвященном финансовому рынку, вводятся понятия рисков первого и второго типа, показывается, за счет чего риск второго типа (оцениваемый волатильностью пакета ценных бумаг) является риском, т.е. возможностью возникновения неблагоприятных ситуаций, и описываются некоторые получившие распространение методы учета риска (в частности, введение показателя VAR).

Вторая часть статьи начинается вводным разделом 2.1. В нем говорится об общих методах оценки финансовой реализуемости и эффективности проекта. Несмотря на простоту изложенных там идей, количество практических ошибок, совершаемых из-за их непонимания, приводит в изумление.

В разделах 2.2 и 2.3 основным считается риск первого типа (возможность получения от проекта результатов, более низких, чем запланировано) — ситуация, типичная для современной экономики России. В разделе 2.2 говорится о двух способах его учета (переборе сценариев и введении поправки на риск) и подробно рассматривается второй из них.

В разделе 2.3 показано, как на основании этих понятий производить оценку финансовой реализуемости и эффективности проектов. Показывается, что бездумное использование “обычных” методов оценки финансовой реализуемости и эффективности проекта может при наличии рисков первого типа приводить к тому, что фактическая эффективность проекта окажется намного ниже расчетной.

В разделе 2.4 приведены соображения по оценке эффективности проектов при участии в них иностранного капитала. Здесь вновь мы возвращаемся к учету инфляции, но уже не только для нескольких валют, но и для нескольких стран.

Предполагается, что основные показатели эффективности (NPV и IRR) известны читателю, хотя в статье они вводятся и обсуждаются заново.

Авторы писали эту статью совместно, согласовывая понятия, результаты и интерпретации. Случаи, когда осуществить такое согласование не удалось, помечены в подстрочном примечании.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ

1.1. НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА “СТАРЫЕ” ПРОБЛЕМЫ

1.1.1. Приведение разновременных ценностей. FMRR, MIRR, IRR. Эффективная процентная ставка по кредитам

Все дальнейшее содержание статьи основывается на том давно уже ставшим общепринятым положении, что разновременные ценности могут сравниваться между собой и что это сравнение осуществляется посредством их приведения тем или иным способом к заранее выбранным моментам времени.

Рассмотрим расчетный период, разделенный на M частей точками t₀=0, t₁, … , t_M. Назовем часть расчетного периода между последующими точками шагом расчета (шагами). Пронумеруем их так, чтобы шаг с номером m представлял собой интервал (t_m ; t_m+1). Таким образом, шаги расчета получают номера от 0 до M-1. Под денежным потоком j (t), как обычно, будем понимать зависимость денежных поступлений и выплат от времени (в данном случае — от номера шага расчета m). Значение денежного потока на шаге m обозначим через j (m). В дальнейшем, если понадобится, мы будем уточнять, как распределен поток внутри шага: относится j (m) к началу шага t_m, к его концу t_m+1 или имеет место какое-то более сложное распределение. На некоторых шагах расчета — обозначим их номера через

-значения денежного потока отрицательны; мы будем обозначать их через j _ (m_-). Неотрицательные элементы денежного потока мы будем обозначать через j ₊, а номера соответствующих им шагов расчета — через m₊.

Одноточечное приведение (к любой точке расчетного периода, обычно — началу или концу какого-либо шага) производится посредством “обычного” дисконтирования (и/или компаундирования) по экзогенно задаваемой ставке d, которая будет в дальнейшем называться ставкой обобщенного депозита. Происхождение термина очевидно: если в начале расчетного периода (в начале года 0) положить на депозит некоторую сумму K, то к концу расчетного периода (к концу года M-1), если депозитная ставка не меняется по шагам (годам), на нем образуется сумма, равная

. При d, совпадающей с нормой дисконта E, полученная сумма называется FV (Future Value). Как d, так и E могут зависеть от времени. Одноточечное приведение используется для конструирования многих основных показателей эффективности денежного потока. Именно с его использованием образуются такие показатели, как NPV, PI, NFV.

Двухточечное приведение производится посредством приведения разных элементов денежного потока к двум различным точкам. Мы рассмотрим случай, когда отрицательные элементы денежного потока приводятся к началу расчетного периода, а положительные — к концу. Это приведение может производиться по одной или нескольким ставкам, либо задаваемым экзогенно, либо определяемым самим денежным потоком. В случае экзогенного задания мы рассмотрим случай двух ставок: d_ для отрицательных, а d₊ для неотрицательных значений денежного потока (В ряде случаев предполагается, что ставки приведения для положительных и отрицательных значений денежного потока могут различаться между собой и отличаться от “правильной” нормы дисконта). В этом случае приведенный поток сводится к двум “элементам”:

элементу

(1.1)

в точке t₀ (приведение к началу нулевого шага)

и элементу

(1.2)

в точке t_M (приведение к концу шага с номером M-1).

В этих формулах суммирование производится по всем шагам расчетного периода (просто отрицательные и неотрицательные значения денежного потока приводятся по-разному).

Двухточечное приведение позволяет определить, в дополнение к указанным выше, три новых показателя эффективности денежного потока: показатели его доходности.

Первые два из них “устроены” одинаково и отличаются только ставками приведения: они равны (при тех или иных условиях) величине депозитной ставки, при которой сумма

, положенная на депозит в момент 0, превращается в момент t_M в сумму

. Эта ставка обозначается через FMRR- Financial management rate of return (норма доходности финансового менеджмента). Она равна такой величине x, что

. (1.3)

При S_(0) № 0 это уравнение всегда имеет корень, который является единственным и неотрицательным. В том частном случае, когда d₊=d_=E, FMRR “превращается” в другой показатель, который называется MIRR — Modified internal rate of return (модифицированная внутренняя норма доходности) [1]. Формуле для MIRR удобно придать другой вид. Из (1.1), (1.2) и (1.3) вытекает, что

=

,

где PI — Profitability Index (Индекс доходности -ИД). Так как

, то из приведенной формулы для MIRR немедленно следует эквивалентность неравенств

NPVі 0; PIі 1 и MIRRі E.

Следует отметить, что существуют и иные “разновидности” показателей типа MIRR и FMRR.

Третий показатель не предполагает экзогенного задания депозитных ставок d_ и d₊. Ставка приведения, одинаковая и для дисконтирования, и для компаундирования, в этом случае подбирается таким образом, чтобы она же удовлетворяла уравнению (1.3).

Подставляя (1.1) и (1.2) в (1.3) и учитывая условие d_ = d₊ =x, находим отсюда (для упрощения формул примем t₀=0):

Из этого уравнения с учетом равенства

после сокращения на величину

получается

. (1.4)

Т.е. x = IRR — Internal rate of return (ВНД-внутренняя норма доходности).

Таким образом, все указанные показатели доходности денежного потока определяют некоторый темп роста его накопленного эффекта, MIRR и FMRR — при экзогенно заданных условиях двухточечного приведения, а IRR — при приведении по ставке, равной доходности. К этому вопросу с несколько других позиций мы вернемся в п.1.4.1.

Способ, которым здесь была введена IRR, несколько отличается от общепринятого. Для некоторых задач, в частности, связанных с доходностью ряда финансовых инструментов, он оказывается более удобным. Одна из них — определение эффективной процентной ставки по займам. Возможная модель, приводящая к понятию эффективной ставки, такова.

Рассмотрим промежуток времени единичной продолжительности (скажем, 1 год). Пусть в моменты времени t_m_ кредитор выдает “во внешнюю среду” (заемщикам) займы, равныеЅ j _(t_{m_})Ѕ , а в моменты t_m+ он получает на эти займы средства, равные j ₊(t_m+) (возврат долга и проценты). При этом числа m_ и m₊ не обязательно равны друг другу. Выданные займы приводятся к началу промежутка по некоторой ставке d_ по формуле (1.1), полученные средства (возврат займов и/или проценты по ним) приводятся к концу промежутка по ставке d₊ по формуле (1.2) с t_M =1, а по формуле (1.3) определяется x. Если теперь d_ , d₊ и x подбираются так, чтобы d_ = d₊= x, полученная величина x и называется эффективной процентной ставкой. Описанная процедура обобщает определение, данное в [2] (стр. 16) для случая однократного предоставления в долг суммы S(0) при условии возвращения суммы S(T) через время T.

Одна из возможных экономических интерпретаций эффективной процентной ставки состоит в том, что именно по этой ставке растет капитал кредитора по данному займу, если возвращаемые по нему средства немедленно вновь выдаются “во внешнюю среду” на неизменных условиях. Если же выдача займа кредитором происходит не в начале некоторого отрезка времени, а внутри него, средства, находящиеся во “внешней среде” и еще не отвлеченные для этого займа, приносят доход по эффективной ставке и потому могут быть по ней же продисконтированы к началу отрезка. Из способа введения показателя IRR ясно, что эффективная процентная ставка равна IRR денежного потока, оттоками которого являются займы, выданные в течение года, а притоками — возврат и обслуживание этих займов (даже если они выходят за пределы года). Для завершения рассуждения следует определить, в каких случаях определенная таким образом эффективная процентная ставка является единственной: ведь IRR, в общем случае, этим свойством не обладает [3]. Легко показать единственность IRR для случая, когда займ выдается отдельными траншами на неизменных условиях, а возврат и обслуживание долга по траншу начинается не раньше его выдачи (тогда для каждого транша IRR сохраняет постоянное значение). Введем следующее определение:

Денежный поток П назовем потоком с постоянными частичными IRR, если его можно разбить на последовательность потоков П_i (П=

П_i), имеющих начальные элементы с номерами n_i (n₁=0) и, возможно, пересекающихся друг с другом, таких что:

• для каждого потока П_i ЧД_i >0;
• при j > i n_j і n_i;
• 

причем все IRR_i одинаковы, т.е. не зависят от i (IRR_i=Const =IRR).

Понятно, что для каждого П_i при E < IRR NPV_i>0, а при E > IRR NPV_i<0 (если бы для потока П_i это условие нарушалось, его IRR_I отличалась бы от IRR).

Очевидно, что для потока с постоянными частичными IRR значение IRR существует и совпадает с IRR_i (т.е. является единственным).

Действительно,

,

при Е=IRR_i все NPV_i (Е) =0 по условию,

при E<IRR_i NPV(E)>0 (так как все NPV_i(E)>0)

и, наконец, при Е > IRR_i все NPV_i(E)<0. Поэтому NPV(E)<0, откуда вытекает существование и единственность IRR.

Примером (используемым также и в дальнейшем) потока, имеющего единственное значение IRR, является стандартный поток, имеющий ЧД >0.

Денежный поток П={

}

(m=0;1;…;M-1) называется стандартным, если существует такое k, что 0 < k Ј M-1, j (m) < 0 при всех m < k и j (m) і 0 при всех m і k. Иными словами, денежный поток называется стандартным, если он содержит вначале только “минусы”, а затем только “плюсы” или нули.

Существование IRR у стандартного потока с положительным ЧД вытекает из того, что при E=0 NPV(E) = = ЧД>0, а

. Единственность же может быть установлена как непосредственно, так и на основании теоремы Декарта о числе положительных корней многочлена (число положительных корней многочлена равно числу перемен знаков его коэффициентов или меньше этого последнего на четную величину). [4], стр. 255.

Поток заимствований и выплат каждого транша при условиях, описанных выше, является стандартным потоком с положительным ЧД, а весь займ, выдаваемый отдельными траншами на неизменных, также описанных выше условиях, представляет собой поток с постоянными частичными IRR. Поэтому IRR такого займа всегда существует и единственна.

Приведем теперь несколько примеров использования понятия IRR для вычисления эффективных процентных ставок при однократной выдаче займа.

Пример 1. Займ, равный C, выдается в начале года под p процентов годовых (p выражен в долях единицы), с начислением процентов m раз в год. При каждом начислении ставка (в долях единицы) равна

. Займ погашается в конце года. Найдем в этом случае эффективную процентную ставку p_e=x.

Так как проценты начисляются в моменты времени

, (k=1, 2,...,m), эффективная процентная ставка определится из уравнения

+

,

откуда, сокращая на С и суммируя геометрическую прогрессию, получим

. (1.5)

Это одна из наиболее известных и распространенных формул (“формула сложных процентов”). К ее выводу и истолкованию полезно, на наш взгляд, сделать следующие замечания.

1. Как вытекает из вывода формулы (впрочем, это ясно и из содержательных соображений, и из определения IRR), величина займа С роли не играет. Поэтому в дальнейшем мы будем принимать ее за единицу.

2. Формула (1.5) получится (и таким же способом), если не ограничивать продолжительность выплаты займа единицей (одним годом), а принять его равным n, безразлично, целому или дробному, лишь бы целым было произведение mЧ n (при этом, разумеется, k=1, 2, …, mЧ n).

3. Интересно, что результат вычислений эффективной ставки не зависит от того, выплачиваются проценты по займу в моменты времени k/m или капитализируются. Объяснение состоит в том, что в обоих случаях кредитор наращивает процент, начисленный в момент k/m, хотя и разными способами. Если заемщик процент выплачивает, кредитор (по предположению) тут же отдает его во “внешнюю среду” (другим заемщикам) на тех же условиях. Если же заемщик не выплачивает процента, а капитализирует его (добавляет к сумме долга), он берет возврат возрастающего таким образом долга на себя. Для кредитора результат в обоих случаях будет один и тот же: ему безразлично, какой из заемщиков оплатит наращение процента.

Последнее замечание позволяет получить формулу для эффективной процентной ставки более простым способом. Так как величина эффективной процентной ставки не зависит от поведения заемщика, допустим, что заемщик до конца срока погашения займа не выплачивает процент, а капитализирует его. Тогда, по условию займа (считаем его единичным), к концу n-го года (напомним, что n может быть и нецелым) его долг составит

. Но с другой стороны, он равен

(ср. формулу (1.3)). Отсюда получается искомая формула для p_e=x.

Другое рассуждение того же типа состоит в предположении, что заемщик в конце каждого периода начисления не капитализирует проценты, а выплачивает и их, и основной долг, после чего полученная сумма

вновь отдается в виде займа во “внешнюю среду”, и так повторяется до полного погашения исходного займа.

Интересно отметить, что формула (1.5) или такого типа получается при значительно более разнообразных условиях выплаты займа, чем описанные в примере 1. Покажем это на двух следующих примерах.

Пример 2 (Выплата основного долга равными частями). В момент 0 выдается единичный займ на n лет под p процентов годовых (выраженных в долях единицы). Выплата части основного долга и процентов происходит через равные промежутки времени m раз в течение года. В конце каждого такого промежутка выплачивается часть основного долга, равная 1/(mn), и процент по ставке p/m, начисляемый на сумму остававшегося в этом промежутке долга. Найдем эффективную процентную ставку p_e=x =IRR для такого кредита. Для упрощения промежуточных записей обозначим p/m через q; mЧ n через L и

через z.

Из определения IRR в этих обозначениях для z получится уравнение:

.

После вычисления фигурирующих в уравнении сумм (вторую из них проще всего подсчитать дифференцированием по z выражения

) можно убедиться (хотя бы непосредственной подстановкой), что корнем этого уравнения является z=1+q. На основании общих свойств IRR это — единственный положительный корень уравнения. Подставляя значения q и z, вновь получаем формулу (1.5) для эффективной процентной ставки.

Замечание. При указанном в примере правиле начисления процентов (независимо от того, выплачиваются они или капитализируются) формула (1.5) справедлива при значительно более общем графике погашения основного долга (см. пример 18 в п. 1.4.5).

В качестве предельной формула (1.5) может быть верна и при некоторых других способах начисления процентов.

Пример 3. Условия выплат по займу такие же, как в основной части примера 2, но процент по ставке p/m начисляется каждый раз на сумму исходного долга, равного 1, т.е. m раз в год течение n лет выплачивается сумма, равная

(мы сохраняем обозначения предыдущего примера).

Практически такая схема выплат используется при так называемом “потребительском кредите” [5]: к единичному займу, выдаваемому на срок n лет, добавляется величина процентов, равная pЧ n=qЧ L, и полученная сумма выплачивается равными долями m раз в течение года.

Уравнение для z в этом случае имеет вид

Обозначим левую часть этого уравнения через f(z). Легко непосредственно проверить, что f(1+q)

0, а f(1+q+1/L)<0.

Так как это уравнение имеет единственный корень (что следует либо из единственности положительной IRR, либо непосредственно из строго монотонного убывания f(z)), то он лежит между (при L>1- строго между) (1+q) и (1+q+1/L). Т.е. его можно записать в виде z=1+q+

/L где

(при L>1 ), а для эффективной процентной ставки получается выражение (1.6), “похожее на (1.5)”:

(1.6)

Значение

, содержащееся между нулем и единицей, может быть определено численным способом для разных значений q и L (или, что то же самое, p, m n). Впрочем, так как

зависит от этих величин, использование формулы (1.6), если и имеет какое-либо преимущество перед прямым численным решением уравнения для z, то только теоретическое. Легко видеть, например, что при

и постоянном m (1.6) переходит в (1.5) в силу ограниченности

.

Если эффективную процентную ставку, полученную по формуле сложных процентов (пример 1), обозначить через p_e0, то очевидно, что

, хотя для не слишком большой продолжительности займа (не более 10 лет) эта оценка обычно оказывается слишком грубой (см. рис.1).

 Рис 1. Граница отношения

для потребительского кредита

На основании полученных формул для некоторых значений номинальных процентных ставок p, продолжительности кредита n лет и ежемесячных выплат (m=12) в среде Excel методом подбора параметра

были вычислены эффективные процентные ставки p_e. Результаты см. в табл. 1 и 1а.

Таблица 1

ЗНАЧЕНИЯ

(до шестого знака)

Замечание. Как и в примере 2, здесь возможны обобщения. Пусть долг возвращается с шагом

года произвольными порциями

(k=1,...,L), такими, что и

. Тогда уравнение для z перепишется в виде

.

С другой стороны, из замечания к примеру 2 вытекает, что

является корнем уравнения

, где

 — остаток долга на шаге

. Это можно проверить и прямым счетом, и на основании соображений примера 18 из п.1.4.5. Так как

и

.

, и поэтому

. Другую границу для корня

можно получить так. Пусть

. Тогда

,

и прямой подстановкой легко проверить, что

.

Поэтому, как и в основном тексте примера,

,

где

.

Если долг отдается таким образом, что при фиксированном

и

, то в пределе вновь получается формула (1.5).

1.1.2. Еще раз о норме дисконта

Представление о норме дисконта основывается на упомянутом уже положении о сравнимости разновременных ценностей и о том, что это сравнение осуществляется посредством дисконтирования. Иными словами, сумма денежных средств, равная “сегодня” S, эквивалентна сумме, равной

через некоторое определенное время, скажем, через год. Обратно, сумма S через год эквивалентна сумме

“сегодня”. При этом через

обозначается “истинная” или “правильная” норма дисконта, которая может быть и функцией времени (по предположению о сравнимости “разновременных денег” она существует, хотя может быть нам и неизвестна).

На безарбитражном рынке в данный момент времени для заданного уровня риска “правильная” норма дисконта должна быть одинаковой для всех денежных сумм и, в частности, для всех проектов.

Покажем это для нормы дисконта, не зависящей от времени (в общем случае доказательство становится более громоздким). Будем также считать, что продолжительность шага расчета равна году. Пусть утверждение о единственности

неверно, и для двух инвестиционных проектов, П1 и П2, “правильные” нормы дисконта равны, соответственно, Е₁ и Е₂, причем Е₂>E₁. Допустим, что на шаге m из П1 в П2 передается сумма денег, равная s, а на шаге k>m из П2 в П1 возвращается сумма, равная

, где p — некоторая ставка процента. Легко подсчитать, что за счет такой процедуры NPV (ЧДД) П1 получит приращение, равное

,

а NPV П2 — равное

.

Если E₁ < p < E₂, приращения NPV обоих проектов (а следовательно, и суммарного) положительно. Рассматривая объединенный проект (П1+П2), получим, что существует процедура, следуя которой, можно создать дополнительный доход (NPV) только за счет финансовых операций, безо всякого дополнительного риска, чего не должно быть на безарбитражном рынке.

Полученное противоречие и доказывает утверждение об одинаковости норм дисконта для разных проектов с одинаковыми уровнями риска.

1.2. Об учете влияния инфляции и наличия нескольких валют

1.2.1. Обоснования

Обоснования необходимости учета инфляции при оценке эффективности как одновалютных, так — особенно — многовалютных проектов приводились неоднократно (см., например, [6], [7]). Там собраны необходимые определения, а также основные принципы и основные формулы. В данной статье будут рассмотрены некоторые, как нам кажется, полезные обобщения и уточнения, а также приведены существенные для практического расчета эффективности новые результаты по учету использования в проекте нескольких валют.

Пользуясь случаем, мы еще раз хотим отметить несостоятельность воспроизводимых с удивительным постоянством “обоснований” отказа от учета инфляции, сводящихся к следующему:

• эффективность проекта в случае однородной инфляции (одинаковой для всех продуктов и ресурсов) якобы не зависит от ее величины, и поэтому ее учет не является необходимым. В крайнем случае, он может играть лишь вспомогательную роль;
• прогноз инфляции на достаточно длительный срок является, мягко говоря, делом, не вполне надежным, и поэтому ее учет может вести к дополнительным ошибкам.

В [6] показана неверность этих утверждений (что, впрочем, нередко случается с очевидными истинами). При прогнозе инфляции существует возможность если не избежать ошибок, то заранее определить их знак, что придает проблеме прогноза существенно иной характер. Инфляция редко бывает однородной, особенно в многовалютных проектах. Кроме того, однородная инфляция также должна учитываться из-за ее влияния на оборотный капитал и ставки процента (очевидно, что выплата, скажем, 30% годовых в постоянных ценах, т.е. при отсутствии инфляции, гораздо труднее для проекта, чем при инфляции, равной 30% в год).

Наконец, нельзя упускать из виду, что отказ от учета инфляции фактически содержит в себе ее прогноз, причем далеко не лучший: инфляция автоматически принимается равной нулю.

1.2.2. Показатели, характеризующие инфляцию

В соответствии с [6] будем рассматривать отдельно случаи непрерывного и дискретного времени. Известно, что в непрерывном времени в некоторой фиксированной валюте инфляцию можно описывать индексом общей инфляции J_G(t_j,t_i), характеризующим общее повышение цен от момента t_i до момента t_j. Будем, как обычно, считать, что для индекса общей инфляции выполняются условия обратимости:

(1.7)

и транзитивности:

=

, (1.8)

благодаря чему можно корректно (независимо от значения t_i) ввести темп общей инфляции в момент t:

. (1.9)

Если в индексе общей инфляции для всех t_j в качестве t_i выбирается один и тот же момент времени, принимаемый за начальный (нулевой), индекс называется базисным.

Аналогично индексу инфляции вводится индекс цены на некоторый (k-ый) продукт, определяемый как отношение цены на этот продукт (

) в момент t_j к цене на тот же продукт (

) в момент t_i. Для иностранной валюты цена в момент времени t — это ее курс c (t), изменение которого описывается индексом валютного курса

.

Известно, что для индексов цены условия (1.7) и (1.8) выполняются автоматически.

Определение показателей инфляции в дискретном времени (когда расчетный период разбивается на отдельные шаги расчета) имеет некоторые особенности. Здесь необходимо, в первую очередь, ясно договориться, между какими точками рассматривается инфляция. Обычно, хотя и не всегда, если в качестве нулевой точки рассматривается конец нулевого шага, инфляция по отношению к ней оценивается в конце текущего шага, а если нулевой точкой является начало нулевого шага, то — в начале текущего шага. Так как формулы при этом меняются незначительно, мы в разделе, посвященном инфляции, будем рассматривать только первый случай, оговорив, что в расчете проекта точки, в которых определяется инфляция, могут быть выбраны и иначе.

Среди показателей, характеризующих инфляцию, приходится часто использовать:

• базисный индекс общей инфляции J_G(t_m,0) или GJ_m — индекс общей инфляции за период от начальной точки (t = 0) до конца m-го шага расчета. Величина GJ_m, естественно, зависит от выбора начальной точки. Если принять за начальную точку конец нулевого шага, GJ₀ = 1, в других случаях GJ₀ может быть иным;
• цепной индекс общей инфляции J_G(t_m,t_m-1) или J_m — индекс общей инфляции за m-й шаг, отражающий отношение среднего уровня цен в конце m-го шага к среднему уровню цен в начале этого шага или, что то же самое — в конце предыдущего. Если за начальную точку принимается конец нулевого шага, то J₀ приписывается значение 1;
• МJ_m — средний базисный индекс инфляции на m-ом шаге — индекс общей инфляции за период от начальной точки до середины m-го шага расчета.

Из соотношения (1.8) в случае дискретного времени вытекает, что

. (1.10)

Темп (уровень, норма) общей инфляции для дискретного времени определяется как средняя величина за шаг единичной длины (обычно год или месяц), вычисляемая в долях единицы за единицу времени (год, месяц) по формуле

, (1.11)

где

 — темп общей инфляции на m-ом шаге,

 — индекс общей инфляции за тот же шаг.

Эта величина отличается от значения, получающегося в (1.9), которое для случая постоянного темпа на m-ом шаге, имеющем длину D _m, (не обязательно единичную) равно, очевидно,

. (1.12)

Практически в расчетах удобно пользоваться формулой (1.12), заменяя в заключительном соотношении

на 1+j_m. Например, для шага произвольной длины D _m при постоянном темпе инфляции внутри шага

.

Так же как индексы инфляции, вводятся и индексы цен. В дальнейшем, в частности, будут использоваться индексы валютного курса: базисный

и цепной

.

1.2.3. Дефлирование денежных потоков. Участие в проекте нескольких валют

В [6] и [7] указано, что при оценке эффективности и финансовой реализуемости проекта денежные потоки следует строить в прогнозных ценах (с учетом прогнозируемой инфляции), а вычислять показатели эффективности — в дефлированных ценах, т.е. ценах, соответствующих покупательной способности денег в начальный момент времени. Там же даны некоторые рекомендации по прогнозу инфляции и описан процесс дефлирования, заключающийся в делении значения денежного потока на шаге m на GJ_m. К приведенным там обоснованиям дефлирования полезно добавить, что оно является, по-видимому, наиболее удобным способом обеспечения сравнимости как значений денежного потока на различных шагах расчета, так и денежных потоков (а, следовательно, показателей эффективности) разных проектов. За счет инфляции внутри шага результаты дефлирования могут оказаться не вполне корректными (например, изменяться при разбиении шага расчета на несколько). Если темп инфляции за шаг не превышает 5 -10%, этим эффектом обычно можно пренебречь. В противном случае его следует стремиться уменьшить следующими способами:

• уменьшением длины шагов расчета;
• заменой GJ_m на значение базисного индекса инфляции в середине шага

  ;

• переходом к “непрерывному дефлированию”, при котором значение потока в момент

  

делится на

,

где

.

Выражения, используемые в двух последних способах, основаны на предположении постоянства темпа инфляции внутри шага. Соответствующие формулы должны, разумеется, применяться и для вычисления прогнозных цен.

Остановимся теперь на том, как влияет на показатели эффективности проекта наличие в нем нескольких валют. Расчет будем вести в дискретном времени и рассмотрим две валюты, которые будем называть “рубли” и “доллары” (или “валюта”). Обобщение на случай большего количества валют, используемых одновременно, принципиально очевидны, но загромождают записи.

Для корректного учета влияния нескольких валют на эффективность проекта, в частности, применительно к России, необходимо, в первую очередь, учесть, что изменение величины валютного курса внутри страны может отличаться от “правильного”. Рассмотрим это подробнее.

Введем индекс общей внешней долларовой инфляции J_$(t_m,t_n), определяемый как индекс общей инфляции за пределами России от конца шага n до конца шага m для цен, выраженных в долларах. Обозначим базисный индекс общей внешней долларовой инфляции на шаге m через J_$(t_m,0)=GJ_$m, а цепной ее индекс — через J_$(t_m,t_m-1) = J_$m. Введем также местный индекс долларовой инфляции , определяемый как индекс общей инфляции в России от конца шага n до конца шага m для цен, выраженных в долларах, и, соответственно, базисный

и цепной

индексы. Как обычно, будем считать выполненными условия (1.7) и (1.8). Обозначения J_G(t_m,0)= GJ_m и J_G(t_m,t_m-1)=J_m сохраним для индексов внутренней рублевой инфляции (базисного и цепного соответственно).

Дальнейшие рассуждения будем проводить в предположении, что на внутреннем рынке существует свободная и бесплатная конвертация валют и что валюты находятся в равновесии (нет финансовых причин предпочитать какую-либо одну из них).

Иначе говоря, равновесие валют предполагает коммутативность диаграммы, приведенной на рис. 2.

Сформулируем следующее определение: при заданных значениях внутренней рублевой и внешней долларовой инфляции валютный курс считается правильно меняющимся, если для любого продукта отношение его внутренней долларовой цены к внешней не меняется во времени (по шагам расчета). В частном случае при правильно меняющемся курсе внутренняя валютная цена продукта может равняться внешней, но это необязательно.

Нетрудно установить, как должен быть связан индекс правильно меняющегося валютного курса с показателями инфляции. Пусть в начале m-го шага внутренняя долларовая цена продукта равна P_i (m-1), внешняя — P_e (m-1). В конце шага внутренняя долларовая цена станет равной P_i (m), которую — в силу предположения о равновесии валют на внутреннем рынке — можно определить двумя способами:

• как результат роста цены P_i (m-1) с местным индексом долларовой инфляции

  ;

• как результат конвертирования цены продукта в рубли на шаге m-1 (это соответствует умножению на валютный курс

  ), последующего роста цены с цепным индексом рублевой инфляции J_m и обратной конвертации получившейся рублевой цены в валюту на шаге m (это соответствует делению на валютный курс

  

Версия для печати