Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами

Недосекин А.О.

2. АНАЛИЗ РИСКА ИНВЕСТИЦИЙ [18]

2.1. Описание проблемы и подход к ее разрешению

Начнем наше изложение c двух базовых определений.

Инвестиции - временный отказ экономического субъекта от потребления имеющихся в его распоряжении ресурсов (капитала) и использование этих ресурсов для увеличения в будущем своего благосостояния.

Инвестиционный проект - план или программа мероприятий, связанных с осуществлением капитальных вложений с целью их последующего возмещения и получения прибыли.

Инвестиционный процесс - развернутая во времени реализация инвестиционного проекта. Началом инвестиционного процесса является принятие решения об инвестициях, а концом - либо достижение всех поставленных целей, либо вынужденное прекращение осуществления проекта.

Инвестиционный проект предполагает планирование во времени трех основных денежных потоков: потока инвестиций, потока текущих (операционных) платежей и потока поступлений. Ни поток текущих платежей, ни поток поступлений не могут быть спланированы вполне точно, поскольку нет и не может быть полной определенности относительно будущего состояния рынка. Цена и объемы реализуемой продукции, цены на сырье и материалы и прочие денежно-стоимостные параметры среды по факту их осуществления в будущем могут сильно разниться с предполагаемыми плановыми значениями, которые оцениваются с позиций сегодняшнего дня.

Неустранимая информационная неопределенность влечет столь же неустранимый риск принятия инвестиционных решений. Всегда остается возможность того, что проект, признанный состоятельным, окажется de-facto убыточным, поскольку достигнутые в ходе инвестиционного процесса значения параметров отклонились от плановых, или же какие-либо факторы вообще не были учтены. Инвестор никогда не будет располагать всеобъемлющей оценкой риска, так как число разнообразий внешней среды всегда превышает управленческие возможности принимающего решения лица [19], и обязательно найдется слабоожидаемый сценарий развития событий (любая катастрофа, к примеру), который, будучи неучтен в проекте, тем не менее, может состояться и сорвать инвестиционный процесс. В то же время инвестор обязан прилагать усилия по повышению уровня своей осведомленности и пытаться измерять рискованность своих инвестиционных решений как на стадии разработки проекта, так и в ходе инвестиционного процесса. Если степень риска будет расти до недопустимых значений, а инвестор не будет об этом знать, то он обречен действовать вслепую.

Способ оценки риска инвестиций прямо связан со способом описания информационной неопределенности в части исходных данных проекта. Если исходные параметры имеют вероятностное описание (например, см. [2, 3]), то показатели эффективности инвестиций также имеют вид случайных величин со своим импликативным вероятностным распределением (понятие импликативной вероятности см. в [1]). Однако чем в меньшей степени статистически обусловлены те или иные параметры, чем слабее информационность контекста свидетельств о состоянии описываемой рыночной среды и чем ниже уровень интуитивной активности экспертов, тем менее может быть обосновано применение любых типов вероятностей в инвестиционном анализе.

Альтернативный способ учета неопределенности - так называемый минимаксный подход. Формируется некий класс ожидаемых сценариев развития событий в инвестиционном процессе и из этого класса выбирается два сценария, при которых процесс достигает максимальной и минимальной эффективности соответственно. Затем ожидаемый эффект оценивается по формуле Гурвица [2, 3] с параметром согласия l . При l =0 (точка Вальда) за основу при принятии решения выбирается наиболее пессимистичная оценка эффективности проекта, когда в условиях реализации самого неблагоприятного из сценариев сделано все, чтобы снизить ожидаемые убытки. Такой подход, безусловно, минимизирует риск инвестора. Однако в условиях его использования большинство проектов, даже имеющих весьма приличные шансы на успех, будет забраковано. Возникает опасность паралича деловой активности, с деградацией инвестора как лица, принимающего решения.

Вот наглядный пример. Любой игрок в преферанс (даже такой захудалый, как я) знает, что в ходе торговли за прикуп игрок с высокой степенью повторяемости должен заявлять на одну-две взятки больше, чем у него есть на руках, в расчете на добрый прикуп. Иначе, по результатам множества игр он окажется в проигрыше или, в лучшем случае, “при своих”, потому что его соперники склонны к разумной агресии, т.е. к оправданному риску. Понимая инвестиции как разновидность деловой игры, мы скажем по аналогии: инвестору вменяется в обязанность рисковать, но рисковать рационально, присваивая каждому из потенциальных сценариев инвестиционного процесса свою степень ожидаемости. В противном случае он рискует потерпеть убыток от непринятия решения - убыток чрезмерной перестраховки. В карточной игре приличная карта, приличный прикуп приходят не так часто. В том же преферансе игрок, объявивший шесть взяток и сыгравший по факту восемь, вызывает всеобщее недовольство вероятным “перезакладом”. Становится обидно за партнера, за его неумение играть, когда по-настоящему приличная карта приходит так редко.

Инструментом, который позволяет измерять возможности (ожидания), является теория нечетких множеств. Впервые мы находим ее применение к инвестиционному анализу в [6]. Используя предложенный в этой работе подход, построим метод оценки инвестиционного риска, как на стадии проекта, так и в ходе инвестиционного процесса.

2.2. Описание метода анализа эффективности инвестиций в нечеткой постановке

В литературе по инвестиционному анализу (например, в [20, 21, 22]) хорошо известна формула чистой современной ценности инвестиций (NPV - Net Present Value). Возьмем один важный частный случай оценки NPV, который и будем использовать в дальнейшем рассмотрении:

1. Все инвестиционные поступления приходятся на начало инвестиционного процесса.

2. Оценка ликвидационной стоимости проекта производится post factum, по истечении срока жизни проекта.

Тогда соотношение для NPV имеет следующий вид:

, ( 17)

где

I - стартовый объем инвестиций,

N - число плановых интервалов (периодов) инвестиционного процесса, соответствующих сроку жизни проекта,

D V_i - оборотное сальдо поступлений и платежей в i-ом периоде,

r_i - ставка дисконтирования, выбранная для i-го периода с учетом оценок ожидаемой стоимости используемого в проекте капитала (например, ожидаемая ставка по долгосрочным кредитам),

C - ликвидационная стоимость чистых активов, сложившаяся в ходе инвестиционного процесса (в том числе остаточная стоимость основных средств на балансе предприятия).

Инвестиционный проект признается эффективным, когда NPV, оцененная по (17), больше определенного проектного уровня G (в самом распространенном случае G = 0).

Замечания.

1. NPV оценивается по формуле (17) в постоянных (реальных) ценах.

2. Ставка дисконтирования планируется такой, что период начислений процентов на привлеченный капитал совпадает с соответствующим периодом инвестиционного процесса.

3. (N+1)-й интервал не относится к сроку жизни проекта, а выделен в модели для фиксации момента завершения денежных взаиморасчетов всех сторон в инвестиционном процессе (инвесторов, кредиторов и дебиторов) по кредитам, депозитам, дивидендам и т.д., когда итоговый финансовый результат проекта сделается однозначным.

Если все параметры в (17) обладают “размытостью”, т.е. их точное планируемое значение неизвестно, тогда в качестве исходных данных уместно использовать так называемые треугольные нечеткие числа с функцией принадлежности следующего вида (рис. 3).

Рис. 3. Функция принадлежности треугольного нечеткого числа А

Эти числа моделируют высказывание следующего вида: “параметр А приблизительно равен и однозначно находится в диапазоне [a_min, a_max]”.

В общем случае под нечетким числом понимается нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности [6]. Такое описание позволяет разработчику инвестиционного проекта взять в качестве исходной информации интервал параметра [a_min, a_max] и наиболее ожидаемое значение , и тогда соответствующее треугольное число построено. Далее будем называть параметрызначимыми точками треугольного нечеткого числа . Вообще говоря, выделение трех значимых точек исходных данных весьма распространено в инвестиционном анализе (см., например, [20, 23]). Часто этим точкам сопоставляются субъективные вероятности реализации соответствующих (“пессимистического”, “нормального” и “оптимистического”) сценариев исходных данных. Но мы не считаем себя вправе оперировать вероятностями, значений которых не можем ни определить, ни назначить (во введении к настоящей работе мы коснулись этого предмета, в частности, говоря о принципе максимума энтропии). Поэтому в инвестиционном анализе мы замещаем понятие случайности понятиями ожидаемости и возможности.

Теперь мы можем задаться следующим набором нечетких чисел для анализа эффективности проекта:

- инвестор не может точно оценить, каким объемом инвестиционных ресурсов он будет располагать на момент принятия решения;

- инвестор не может точно оценить стоимость капитала, используемого в проекте (например, соотношение собственных и заемных средств, а также процент по долгосрочным кредитам);

- инвестор прогнозирует диапазон изменения денежных результатов реализации проекта с учетом возможных колебаний цен на реализуемую продукцию, стоимости потребляемых ресурсов, условий налогообложения, влияния других факторов;

- инвестор нечетко представляет себе потенциальные условия будущей продажи действующего бизнеса или его ликвидации;

- инвестор нечетко представляет себе критерий, по которому проект может быть признан эффективным, или не до конца отдает себе отчет в том, что можно будет понимать под “эффективностью” на момент завершения инвестиционного процесса.

Замечания.

1. В том случае, если какой-либо из параметров известен вполне точно или однозначно задан, то нечеткое число вырождается в действительное число А с выполнением условия. При этом существо метода остается неизменным.

2. В отношении вида . Инвестор, выбирая ожидаемую оценку , руководствуется, возможно, не только тактическими, но и стратегическими соображениями. Так, он может позволить проекту быть даже несколько убыточным, если этот проект диверсифицирует деятельность инвестора и повышает надежность его бизнеса. Как вариант: инвестор реализует демпинговый проект, компенсацией за временную убыточность станет захват рынка и сверхприбыль, но инвестор хочет отсечь сверхнормативные убытки на той стадии, когда рынок уже будет переделен в его пользу. Или наоборот: инвестор идет на повышенный риск во имя прироста средневзвешенной доходности своего бизнеса.

Таким образом, задача инвестиционного выбора в приведенной выше постановке есть процесс принятия решения в расплывчатых условиях, когда решение достигается слиянием целей и ограничений [24].

Чтобы преобразовать формулу (17) к виду, пригодному для использования нечетких исходных данных, воспользуемся сегментным способом, как это сделано в [6].

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a (см. рис. 3) и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам и : [a₁, a₂] и [b₁, b₂] соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:

операция “сложения”:

[a₁, a₂] (+) [b₁, b₂] = [a₁ + b₁, a₂ + b₂], ( 18)

операция “вычитания”:

[a₁, a₂] (-) [b₁, b₂] = [a₁ - b₂, a₂ - b₁], ( 19)

операция “умножения”:

[a₁, a₂] (´ ) [b₁, b₂] = [a₁ ´ b₁, a₂ ´ b₂], ( 20)

операция “деления”:

[a₁, a₂] (/) [b₁, b₂] = [a₁ / b₂, a₂ / b₁], ( 21)

операция “возведения в степень”:

[a₁, a₂] (^) i = [a₁ⁱ , a₂ⁱ]. ( 22)

По каждому нечеткому числу в структуре исходных данных получаем интервалы достоверности [I₁, I₂], [r_i1, r_i2], [D V_i1, D V_i2], [C₁, C₂]. И тогда, для заданного уровня a , путем подстановки соответствующих границ интервалов в (1) по правилам (18) - (22), получаем:

( 23)

Задавшись приемлемым уровнем дискретизации по a на интервале принадлежности [0, 1], мы можем реконструировать результирующее нечеткое число путем аппроксимации его функции принадлежности m _NPV ломаной кривой по интервальным точкам.

Часто оказывается возможным привести к треугольному виду, ограничиваясь расчетами по значимым точкам нечетких чисел исходных данных. Это позволяет рассчитывать все ключевые параметры в оценке степени риска не приближенно, а на основе аналитических соотношений. Это будет показано на расчетном примере в конце настоящей работы.

Перейдем к оценке собственно риска инвестиций. На рис. 4 представлены функции принадлежности и критериального значения .

Рис. 4. Функции принадлежности NPV и G

Точкой пересечения этих двух функций принадлежности является точка с ординатой a ₁. Выберем произвольный уровень принадлежности a и определим соответствующие интервалы [NPV₁, NPV₂] и [G₁, G₂]. При a > a ₁ NPV₁ > G₂, интервалы не пересекаются, и уверенность в том, что проект эффективен, стопроцентная, поэтому степень риска неэффективности инвестиций равна нулю. Уровень a ₁ уместно назвать верхней границей зоны риска. При 0 £ a £ a ₁ интервалы пересекаются. На рис. 5 показана заштрихованная зона неэффективных инвестиций, ограниченная прямыми G = G₁, G = G₂, NPV = NPV₁, NPV = NPV₂ и биссектрисой координатного угла G = NPV.

Рис. 5. Фазовое пространство (NPN, G)

Взаимные соотношения параметров G_1,2 и NPV₁,2 дают следующий расчет для площади заштрихованной плоской фигуры:

( 24)

Поскольку все реализации (NPV, G) при заданном уровне принадлежности a равновозможны, то степень риска неэффективности проекта j (a ) есть геометрическая вероятность события попадания точки (NPV, G) в зону неэффективных инвестиций:

, ( 25)

где Sa оценивается по (24).

Тогда итоговое значение степени риска неэффективности проекта:

( 26)

В важном частном случае (см. рис. 6), когда ограничение определено четко уровнем G, то предельный переход в (9) при G_{2 ®} G₁ = G дает:

( 27)

Для того чтобы собрать все необходимые исходные данные для оценки риска, нам потребуется два значения обратной функции m _NPV^-1(a ₁). Первое значение есть G (по определению верхней границы зоны риска a ₁), второе значение обозначим G'. Аналогичным образом обозначим NPV_min и NPV_max - два значения обратной функции m _NPV^-1(0).

Рис. 6. Пример четкого критерия эффективности

Также введем обозначение - наиболее ожидаемое значение . Тогда выражение для степени инвестиционного риска V&M, с учетом (26) и длинной цепи преобразований, имеет вид:

( 28)

где

( 29)

( 30)

Исследуем выражение (28) для трех частных случаев:

1. При G = NPV_min (предельно низкий риск) R = 0, a ₁= 0, G' = NPV_max, и предельный переход в (28) дает V&M = 0.

2. При G = G' = (средний риск) a ₁= 1, R = (NPV_max - )/(NPV_max- NPV_min)=1-P, предельный переход в (28) дает V&M = (NPV_max-)/(NPV_max- NPV_min).

3. При G = NPV_max (предельно высокий риск) P = 0, a ₁= 0, G' = 0, и предельный переход в (28) дает V&M = 1.

Таким образом, степень риска V&M принимает значения от 0 до 1. Каждый инвестор, исходя из своих инвестиционных предпочтений, может классифицировать значения V&M, выделив для себя отрезок неприемлемых значений риска. Возможна также более подробная градация степеней риска. Например, если ввести лингвистическую переменную “Степень риска” со своим терм-множеством значений {Незначительная, Низкая, Средняя, Относительно высокая, Неприемлемая}, то каждый инвестор может произвести самостоятельное описание соответствующих нечетких подмножеств, задав пять функций принадлежности m * (V&M).

Описание метода анализа эффективности инвестиций в нечеткой постановке с оценкой степени риска ошибки инвестиционного решения - завершено. Рассмотрим простой пояснительный пример.

2.3. Пример анализа риска

Исходные данные проекта: N = 2, = (1, 1, 1) - точно известный размер инвестиций, = = = (0.1, 0.2, 0.3), === (0, 1, 2), = (0, 0, 0) - остаточная стоимость проекта нулевая, = (0, 0, 0) - критерием эффективности является неотрицательное значение NPV.

Результаты расчетов по формуле (23) для уровней принадлежности a = [0, 1] с шагом 0.25 сведены в табл. 12.

Аппроксимация функции m _NPV (рис. 7) показывает ее близость к треугольному виду:

( 31)

Этим видом мы будем пользоваться в расчетах.

Таблица 12

РАСЧЕТЫ ИНТЕРВАЛОВ ДОСТОВЕРНОСТИ

a	Интервалы достоверности по уровню принадлежности a для:
	r	D V	NPV
1	[0.2, 0.2]	[1, 1]	[0.527, 0.527]
0.75	[0.175, 0.225]	[0.75, 1.25]	[0.112, 1.068]
0.5	[0.15, 0.25]	[0.5, 1.5]	[-0.280, 1.438]
0.25	[0.125, 0.275]	[0.25, 1.75]	[-0.650, 1.944]
0	[0.1, 0.3]	[0, 2]	[-1, 2.470]

Рис. 7. Приведение NPV к треугольному виду

Пусть принято положительное решение об инвестировании капитала . Тогда a ₁= m _NPV(0) = 0.655, G' = m _NPV^-1(a ₁) = 1.197 и, согласно (28) - (31), R = =0.288, V&M = 0.127.

2.4. Коррекция оценки риска в ходе инвестиционного процесса

Продолжим рассмотрение расчетного примера. Пусть принято решение о начале инвестиционного процесса, и по результатам первого периода зафиксировано оборотное сальдо D V₁= 1 при фактически измеренной ставке дисконтирования r₁= 0.2. Тогда перерасчет интервальной оценки NPV по (23) дает:

( 32)

Результаты расчетов по формуле (32) сведены в табл. 13.

Приведение к треугольному виду дает:

( 33)

откуда a ₁= m _NPV(0) = 0.241, G' = m _NPV^-1(a ₁) = 1.257, и, согласно (28) - (30), R = 0.101, V&M = 0.013.

Таблица 13

РАСЧЕТЫ ИНТЕРВАЛОВ ДОСТОВЕРНОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ КОРРЕКЦИИ ОЦЕНКИ РИСКА

a	Интервалы достоверности по уровню принадлежности a для:
	r	D V	NPV
1	[0.2, 0.2]	[1, 1]	[0.527, 0.527]
0.75	[0.175, 0.225]	[0.75, 1.25]	[0.333, 0.738]
0.5	[0.15, 0.25]	[0.5, 1.5]	[0.153, 0.967]
0.25	[0.125, 0.275]	[0.25, 1.75]	[-0.012, 1.227]
0	[0.1, 0.3]	[0, 2]	[-0.167, 1.489]

Видим, что за счет снижения уровня неопределенности степень риска понизилась почти на порядок. Таким образом, у инвестора появляется эффективный инструмент контроля эффективности инвестиционного процесса.

2.5. Измерение уровня информационной неопределенности

Из расчетов видно, что чем значительнее неопределенность в исходных данных, тем выше риск. Поэтому в ряде случаев инвестор просто обязан отказаться от принятия решения и предпринять дополнительные меры по борьбе с неопределеннностью. Чтобы знать, когда оправдан отказ от принятия решения, инвестору необходим измеритель неопределенности сложившейся информационной ситуации (неустойчивости проекта [2, 3]). Логично производить такие измерения по показателю a ₁. Для случая полной определенности a ₁=0. Применительно к m _NPV(x) вида (31) расчеты дают a ₁₁= 0.655, а для m _NPV(x) вида (33) a ₁₂= 0.241 < a ₁₁ . Инвестор опять же может интерпретировать значения a ₁ лингвистически, как и в случае лингвистической оценки степени риска, и таким образом обозначить для себя границу a ₁, за которой неопределенность перестает быть приемлемой.

2.6. Развитие предложенного подхода

В качестве дополнительного критерия эффективности инвестиций инвестор может потребовать, чтобы уровень внутренней ставки доходности (IRR - Internal Rate of Return) проекта превышал некий нечеткий порог . Тогда, если по критерию { ý } степень риска инвестиций составляет V&M₁, а по критерию { ý } она же составляет V&M₂, то результирующая степень риска может быть оценена как V&M = max (V&M₁, V&M₂).

Строгий с математической точки зрения подход к использованию показателя IRR в инвестиционном анализе см. в [25].

Выводы

Нечеткие множества - это инструмент расчета возможностей [5]. Умея грамотно описать нечеткость исходных данных, мы логическим путем переходим к нечеткости результирующих показателей. Оценка инвестиционного риска - это оценка меры возможности неблагоприятных событий в ходе инвестиционного процесса, когда ожидаемость таких событий, задаваемая функцией принадлежности соответствующих нечетких чисел, известна или определяется специальными методами.

Подход, основанный на нечеткостях, преодолевает недостатки вероятностного и минимаксного подходов, связанные с учетом неопределенности. Во-первых, здесь формируется полный спектр возможных сценариев инвестиционного процесса. Во-вторых, решение принимается не на основе двух оценок эффективности проекта, а по всей совокупности оценок. В-третьих, ожидаемая эффективность проекта не является точечным показателем, а представляет собой поле интервальных значений со своим распределением ожиданий, характеризующимся функцией принадлежности соответствующего нечеткого числа. А взвешенная полная совокупность ожиданий позволяет оценить интегральную меру ожидания негативных результатов инвестиционного процесса, т.е. степень инвестиционного риска.

Метод, названный нами V&M-метод оценки риска инвестицийÓ , и предложенный здесь показатель степени риска, названный нами V&M-показатель оценки риска инвестицийÓ , использованы в разработанной консультационной группой “Воронов и Максимов” программной модели “МАСТЕР ПРОЕКТОВ: Предварительная оценка” и широко применяются в автоматизированном инвестиционном анализе.

Продолжение статьи...

Версия для печати