Измерение процентного риска

Беляков А.В.

6. ИЗМЕРЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СТОИМОСТИ ПОЗИЦИИ

Расчет экономической стоимости процентной позиции рассмотрим на примере операции кредитования. Как показано в предыдущем разделе, в качестве нарицательной стоимости Р кредита, как и любого другого финансового инструмента, порождающего поток платежей, можно рассматривать современную стоимость этого потока, дисконтированную по рыночной ставке.

Для получения расчетных формул введем ряд обозначений. Пусть Р₀ –сумма кредита (номинал), i₀ – ставка процентов за период начисления, указанные в кредитном договоре, n – число периодов начисления, оставшихся до погашения кредита. Предполагается, что проценты выплачиваются по фиксированной ставке в конце каждого периода. Как правило, в качестве периода начисления используются месяц, квартал, полугодие или год. Например, если кредит в сумме 1000 руб. выдан на год по ставке 24% годовых с ежемесячной уплатой процентов, и до его погашения осталось 9 месяцев, то Р₀ = 1000, i₀ = 2%, n = 9.

Пусть в настоящий момент времени, приходящийся на начало очередного процентного периода, рыночная ставка для такого кредита оценивается в i процентов за период начисления. Современная стоимость рассматриваемого потока платежей находится по формуле:

( 9)

Здесь Р₀ i₀ — периодический процентный платеж, а — дисконтирующий множитель постоянной ренты:

( 10)

Для расчета величины Р в момент времени, не совпадающий с началом процентного периода, в правую часть формулы (9) необходимо внести множитель , где k равно доле текущего процентного периода, прошедшей с его начала:

( 11)

Например, предположим, что процентный период совпадает с календарным месяцем, и мы делаем расчеты 17 сентября на конец дня. Тогда величина к составит:

17/30=0,57.

В момент выплаты процентов рыночная стоимость кредита уменьшается на сумму выплачиваемых процентов.

Чтобы не усложнять выкладок, в дальнейшем мы будем предполагать, что текущий момент времени совпадает с началом процентного периода. Формулы для случая, когда это условие не выполнено, могут быть легко получены с учетом отмеченной поправки.

Из формулы (9) следует, что если рыночная ставка совпадает с договорной, то экономическая стоимость кредита равняется его номиналу.

Если же , то рыночная стоимость кредита меньше номинала, так как поступающие процентные платежи будут начисляться по ставке меньшей, чем рыночная. И наоборот, если , то .

Для иллюстрации приведем график зависимости экономической стоимости кредита от рыночных ставок, если Р₀=100, i₀=18, n=10.

Рис. 8. Зависимость экономической стоимости кредита от рыночных ставок

Можно показать, что:

. ( 12)

Для разницы между рыночной и номинальной стоимостью кредита введем обозначение:

Справедлива формула:

( 13)

С помощью предыдущей формулы можно рассчитать потери от скачкообразного (одномоментного) изменения процентных ставок. Предположим, что уровень ставок изменился с i₁ до i₂. Тогда:

( 14)

Например, пусть за три квартала до возврата кредита процентные ставки поднялись в один день с 28% до 30% годовых. Перед самым повышением ставки разница между стоимостью кредита и его номиналом была равна:

руб.

После повышения она составит:

руб.

Изменение стоимости кредита, вызванное ростом процентных ставок с 28% до 30% годовых, оказалось равным:

–1207,44+862,97= –344,47 руб.

Для оценки эластичности стоимости кредита от рыночной ставки используют производную:

. ( 15)

В частности, если i₀ = i, то:

. ( 16)

При малых изменениях ставки можно пользоваться приближенной формулой:

. ( 17)

При значительных изменениях ставки предпочтительнее точная формула (13).

Проиллюстрируем приведенные выкладки на примере. Пусть кредитный договор предусматривает ежеквартальную выплату процентов и возврат долга единым платежом в конце срока. Сумма долга составляет 100 тыс. руб., ставка равна 24% годовых, срок – 2 года. Такой кредит генерирует следующий поток платежей (рис. 9).

Рис. 9. Поток платежей

В конце каждого квартала выплачиваются проценты в размере 6 тыс. руб. и в конце срока возвращается сумма кредита.

Предположим, что через год после начала действия кредитного договора процентные ставки по аналогичным кредитам на год (срок, оставшийся до возврата кредита) выросли до 28% годовых, или до 7% за квартал. На оставшийся срок кредитный договор генерирует денежный поток, изображенный на рис. 10.

Рис. 10. Денежный поток

Размеры платежей остались прежними, но нарицательная стоимость Р кредита (потока платежей) изменилась, так как изменилась рыночная ставка. Новое значение Р вычислим по формуле:

Здесь a_4;0,07 – дисконтирующий множитель, а первое слагаемое равно современной стоимости постоянной ренты.

Увеличение процентных ставок на 4% вызвало уменьшение нарицательной стоимости кредита на 3 387,20 руб., или на 3,4%.

Обобщим формулу (9) для переменных потоков платежей. Пусть финансовый инструмент генерирует поток платежей p₁, p₂, … p_n, осуществляемых с постоянным периодом. Это может быть, например, кредит с плавающей ставкой или облигация с переменным купоном. Пусть вмененная процентная ставка за период равна i.

Нарицательная стоимость инструмента будет равна:

Подставив полученное выражение в формулу (17), получим:

Последнее выражение преобразуем следующим образом:

где

Величину D называют дюрацией, а величину D/(1+i) — модифицированной дюрацией. Обозначив ее через MD, получим формулу Маколея

Отметим, что формула Маколея — это приближенная формула, применимая лишь при малых значениях .

Важным следствием этой формулы является то, что стоимость финансового инструмента тем сильнее реагирует на изменение процентной ставки, чем больше средневзвешенный срок его потока платежей.

Экономическая стоимость финансового инструмента обладает следующим существенным недостатком. При ее расчете предполагается, что рыночные процентные ставки будут оставаться неизменными на весь оставшийся срок действия инструмента, и что полученные до окончания срока денежные средства (например, купонные платежи по облигациям, проценты по кредиту) могут быть реинвестированы по этим ставкам. Если же они реинвестированы под меньшую ставку или потрачены, то реальная прибыль будет гораздо ниже, чем предполагается на основе оценки экономической стоимости. В дальнейшем мы рассмотрим другой метод оценки прибыли, основанный на построении процентных сценариев. Он свободен от указанного недостатка, но опирается на несовершенные прогнозы будущих рыночных процентных ставок.

С другой стороны, формула Маколея получила широкое распространение среди участников финансовых рынков, особенно рынка ценных бумаг. Поэтому оценки, получаемые на основе этой формулы, стали важным ценообразующим фактором финансовых инструментов. Расчет экономической стоимости может быть использован для начальной оценки ожидаемой прибыли (или изменения капитала) от обладания или продажи актива (аналогично от дальнейшего исполнения обязательства или его немедленного погашения), которая (оценка) при необходимости может быть скорректирована другими методами, более полно учитывающими возможное изменение процентных ставок.

Продолжение статьи...

[an error occurred while processing this directive]

Версия для печати