Справочник экономиста-афериста

Часть 2

Оглавление

Оглавление

О чем эта книга

Часть 1. «Оптимизация» способа осуществления необъективного экономического анализа

Раздел 1. Возможные критерии и методы оценки

§1.1. Общий обзор критериев и задач

§1.2. Усреднение фактических или прогнозируемых результатов

§1.3. Особые случаи использования неоднозначности результатов одно- и многокритериального анализа

а) Использование парадокса Симпсона

б) Использование корреляционного парадокса

§1.4. Выбор способа оценки эффективности в условиях риска (неопределенности)

а) Мода, медиана и математическое ожидание

б) Интервалы и вероятности

в) Вероятность превосходства, разность и отношение

§1.5. Использование нетранзитивных отношений

§1.6. Использование парадокса Блая

Раздел 2. Выбор между доходностью и стоимостью

§2.1. Сравнение проектов по доходности и по стоимости

а) Инвестиции различаются по масштабам

б) Инвестиции различаются по продолжительностям

в) Инвестиции различаются по моментам начала их осуществления

§2.2. Вложение и заимствование

§2.3. Усреднение показателей при расчете стоимости и доходности

§2.4. Аргументы «за» и «против»

Раздел 3. Как завысить (занизить) доходность

§3.1. Использование формулы простых процентов

§3.2. Приведение доходности к заданному временному интервалу в условиях риска

§3.3. Использование нелинейной зависимости между доходностью и прочими случайными величинами

§3.4. Использование парадокса Симпсона

§3.5. Метод разностных платежей

§3.6. Выбор оптимального значения IRR

Раздел 4. Как завысить (занизить) стоимость

§4.1. Выбор нормы дисконта

§4.2. Оценка многоэтапных инвестиций в условиях риска

§4.3. Усреднение дисконт-фактора и нормы дисконта

Часть 2. Не менее интересная

О чем эта книга.

Если вы работаете экономистом (или, как это сейчас иногда называется, менеджером, трейдером, дилером и т.п.), то, наверняка, одной из ваших служебных обязанностей является проведение экономического анализа тех или иных сделок, как уже заключенных, так и запланированных на будущее. При этом у вас, вероятно, частенько возникает желание «завысить» результаты этого анализа (если инициатором этих сделок являетесь вы сами), либо «занизить» их (если эти сделки осуществлены или предложены к осуществлению конкурентом-соперником). Первым средством исполнения такого желания является выбор «оптимальных» критериев и методов оценки. Описанию богатства этого выбора посвящен первый раздел книги.

Весьма вероятно, однако, что тот, для кого вы проводите свой анализ, (начальник, клиент, спонсор и т.д.) потребует от вас использовать в качестве критерия эффективности оцениваемых сделок либо их доходность (или внутреннюю норму доходности IRR), либо чистую современную стоимость NPV, чем существенно ограничит свободу ваших действий. Но и в этом случае выбор «наилучшего» из этих двух показателей может решить стоящую перед вами проблему. Как правильно сделать этот выбор, описывается во втором разделе.

Не исключено, правда, что вам будет конкретно указано, какой именно критерий из числа двух вышеупомянутых следует использовать при проведении анализа. Возможностей для каких-либо подтасовок в этом случае у вас будет еще меньше. Но даже когда нет возможности выбирать критерий, есть возможность выбрать способ расчета его значения. Что наглядно продемонстрировано в третьем и четвертом разделах.

Другой, иногда не менее важной, обязанностью экономиста (помимо осуществления анализа) является выдача прогнозов дальнейшего изменения конъюнктуры рынка (в особенности рынка фондового), которые можно было бы использовать в спекулятивных или иных целях. О том, как правильно формулировать эти прогнозы, дабы не быть уличенным в «лжепророчестве», повествует пятый раздел книги.

Залогом успешной работы всякого служащего является умение показать себя своему руководителю или клиенту с лучшей стороны. Для чего необходимо, в частности, регулярно выполнять установленный план и одерживать победу в «капиталистическом соревновании» с другими коллегами по работе или конкурентами по рынку. Описанию методов достижения успеха в этом нелегком деле посвящен шестой раздел.

И, наконец, последний, седьмой раздел книги посвящен рассмотрению возможностей использования практически совершенно не отраженных ни в отечественной, ни в зарубежной экономической литературе несовершенств традиционных мер риска.

Разделы книги представляют собой достаточно автономные повествования, и квалифицированный экономист может читать их в любой последовательности. Необходимым и достаточным условием понимания изложенного в книге материала является знание математики в объеме программы средней школы, а также основ теории вероятностей, изложенных в приложениях.

Часть 1. «Оптимизация» способа осуществления необъективного экономического анализа.

Раздел 1. Возможные критерии и методы оценки.

В настоящем разделе мы рассмотрим в основном наиболее интересные, эффективные и универсальные способы управления результатами экономического анализа.

§1.1. Общий обзор критериев и задач.

Всем известно, что всякий анализ, в том числе и экономический, производится с помощью тех или иных показателей и критериев, характеризующих исследуемый предмет в том или ином отношении. А поскольку даже родственные по своему информационному содержанию показатели зачастую дают если не противоречивые, то, по крайней мере, не вполне соответствующие друг другу показания, — путем выбора подходящего критерия почти всегда можно в существенной степени предопределить те выводы, которые будут сделаны вашим начальником, клиентом и т.д. на основе результатов вашего анализа.

Вот почему крайне важно иметь в своем арсенале как можно большее количество показателей, как общеизвестных, так и самоизобретенных¹. Ниже приводиться их примерный, далеко не полный перечень.

Критерии, характеризующие эффективность деятельности²:

• доходность (внутренняя норма доходности (IRR));
• чистая современная стоимость (NPV);
• срок окупаемости;
• время достижения капиталом заданного (критического) уровня.

Критерии, характеризующие риск деятельности:

• вероятность (прибыли, убытков и т.п.), а также закон распределения вероятностей (доходности, стоимости и т.п.);
• разность между математическим ожиданием³ и номинальным значением (доходности, стоимости и т.п.);
• стандартное отклонение (доходности, стоимости и т.п.);
• бета.

Критерии, характеризующие ликвидность деятельности:

• маржа между ценами возможной покупки и продажи используемых активов;
• транзакционные издержки, то есть затраты, связанные с заключением сделок по организации и ликвидации деятельности (биржевой сбор, затраты на поиск покупателя или продавца и т.п.);
• минимальное, максимальное или среднее время, необходимое для организации и ликвидации деятельности;
• минимальное, максимальное или среднее время поступления денег на счет после продажи используемых активов и время приобретения прав на эти активы в результате их покупки.

Критерии, характеризующие конъюнктуру рынка:

• объемы биржевых торгов;
• ставка рефинансирования;
• среднерыночная доходность различных видов деятельности (включая инвестирование в ценные бумаги);
• цена риска (разность между средней доходностью рыночного портфеля акций и банковской ставкой, деленная на стандартное отклонение доходности этого портфеля);
• кривые спроса и предложения.

Примечание: В случае, когда анализируется не прошлая, а будущая деятельность, значения вышеприведенных показателей являются, как правило, случайными величинами. В подобных ситуациях обычно используют математическое ожидание значения соответствующего критерия.

Разумеется, наиболее важными и часто используемыми являются критерии первой группы, характеризующие эффективность экономической деятельности.

Первые два из них являются наиболее употребительными. Они довольно подробно описаны в литературе [1,2], а во втором разделе данной книги в достаточном количестве содержаться примеры того, как путем выбора «оптимального» из этих двух показателей можно радикально повлиять на характер выводов, которые могут быть сделаны по результатам анализа.

Третий критерий, срок окупаемости, также достаточно хорошо известен среди экономистов (особенно старой закалки) и в настоящее время, далеко не всегда являясь корректной мерой эффективности экономической деятельности, служит еще и признаком отсталости и «непродвинутости» того, кто его применяет. Однако афишировать данный факт не рекомендуется, дабы не лишиться возможности использования этого критерия.

Последний, четвертый показатель в некотором отношении является «родственником» третьего. Его можно назвать сроком частичной окупаемости. Причем называть его так иногда не только можно, но и нужно, для того чтобы создать видимость общеизвестности и общепринятости сего критерия. Его применение особенно оправдано при оценке выгодности вложения денег в рискованные (нестабильно «растущие») ценные бумаги (например, в акции). Критическим уровнем капитала здесь может служить, к примеру, сумма, которая требуется инвестору для покупки какого-либо товара, либо минимальная величина стартового капитала необходимая для открытия собственного бизнеса и т.п. Этим уровнем может быть также цена покупки самой ценной бумаги (умноженная на количество бумаг), если к настоящему моменту ее рыночная котировка упала ниже этого уровня. В последнем случае критерий будет являться мерой ликвидности ценных бумаг, указывая время, через которое их можно будет продать без убытка⁴.

Наряду с вышеупомянутым подбором используемых показателей существует еще одно близкое по сути и не менее эффективное средство достижения поставленной цели.

В случае, когда две ситуации оцениваются при помощи какого-то одного критерия оценки, не составляет особого труда определить, какая из этих ситуаций является экономически более предпочтительной. Достаточно лишь сравнить значения выбранного критерия оценки. Такие задачи называются однокритериальными, и трудность их решения может состоять разве что в переборе излишне большого количества оцениваемых ситуаций с целью выбора наилучшей (оптимальной).

Однако достаточно часто сравнивать ситуации приходится не по одному, а сразу по нескольким показателям. Возможно, например, сравнение двух инвестиционных проектов по математическому ожиданию доходности (что является мерой их эффективности) и вероятности возникновения убытков в результате инвестирования (что является мерой их риска). Подобные задачи называются многокритериальными. И в случае, если сравнение по всем без исключения параметрам не дает однозначного ответа на вопрос «что следует предпо­честь?», такую задачу приходится так или иначе сводить к однокритериальному типу путем построения единого критерия — целевой функции, аргументами которой будут являться используемые показатели. А это дело всегда бывает связано с получением дополнительной информации со стороны (например, посредством опроса экспертов) либо «высасыванием» ее «из пальца». Понятно, что для нас больший интерес будет представлять второй вариант, поскольку он дает большую свободу выбора. Особенно же велика эта свобода в случае, когда критерии, используемые для оценки ситуации соизмеримы, то есть имеют одинаковую размерность, и, стало быть, их можно сравнивать между собой, а также складывать и усреднять.

Например, допустим, что из двух инвестиционных проектов первый позволяет увеличить наш капитал до 90 рублей при неблагоприятном развитии событий и до 110 рублей при благоприятном. Второй же обеспечит нам 80 рублей в худшем случае и 140 рублей в лучшем. Таким образом, по двум критериям — оптимистическому и пессимистическому прогнозам стоимости капитала — мы должны определить наиболее предпочтительный вариант вложения денег.

Так как ни один из этих двух инвестиционных проектов не превосходит другой по всем (т.е. по обоим) показателям, приходится прибегнуть к преобразованию данной двухкритериальной задачи в однокритериальную путем построения единой целевой функции. Поскольку критерии однородны, наша цель достигается относительно легко. Достаточно принять в качестве этой функции, ну хотя бы, среднее значение благоприятного и неблагоприятного прогнозов для каждого проекта:

1-й проект: (90+110)/2=100 рублей;

2-й проект: (80+140)/2=110 рублей.

Теперь, сравнивая показания целевой функции, мы можем определить наивыгоднейший вариант инвестирования. Таковым будет проект 2 (т.к. 110>100).

Если такой результат нас устраивает, можно переходить к оформлению отчета о проделанной работе.

Если же мы желаем видеть в числе «передовиков» первый проект, то и это желание осуществимо. Стоит лишь вместо среднего значения используемых критериев выбрать в качестве целевой функции минимальное из двух значений:

1-й проект: min(90;110)=90 рублей⁵;

2-й проект: min(80;140)=80 рублей.

(Данная целевая функция соответствует так называемому максиминному принципу принятия решений, основывающемуся на одном весьма известном законе Паркинсона, гласящем, что, если возможными являются несколько вариантов развития событий, то ожидать следует самый неблагоприятный из них.)

Как видите, сравнение минимальных возможных значений стоимости капитала для каждого из двух инвестиционных проектов приводит к полностью противоположному выводу: теперь более привлекательным выглядит первый из них (т.к. 90>80). Что, как говорится, и требовалось доказать.

Таким образом, многокритериальный анализ, несмотря на свою детальность и «всеобъемлющность», является делом еще более субъективным, чем однокритериальный. Поскольку допускает подтасовку не только показателей (критериев оптимальности), но и целевой функции (принципа оптимальности).

Необходимо заметить, что подобный волюнтаризм в обосновании и принятии решений не следует считать обманом или фальсификацией фактов. Его следует считать восполнением недостатка необходимой информации выгодными для себя предположениями и домыслами, ну или, в крайнем случае, подачей результатов анализа в такой форме, при которой недостаточно компетентный человек сам сделает выгодные для вас, хотя и не всегда правильные выводы.

Как видите, в принципе, представленная метода не отличается оригинальностью — журналистами и политиканами она облюбована давно. Хотя, из-за в среднем невысокого интеллектуального уровня «обслуживаемого» ими контингента, стимулов для превращения ее в научную теорию в сферах политики и журналистики пока что не возникало.

§1.2. Усреднение фактических или прогнозируемых результатов.

В параграфе 1.1 мы уже рассматривали пример, в котором путем перехода к среднему значению используемых соизмеримых показателей сводили задачу к однокритериальному типу. В данном параграфе мы подробно проанализируем варианты применения процедуры усреднения показателей в различных ситуациях.

Прежде всего, заметим, что предметом усреднения могут быть:

а) фактические данные, являющиеся, к примеру, результатом уже осуществленной деятельности;

б) прогнозируемые данные, полученные, скажем, в результате экспертных оценок.

Эффект от перехода к усредненному показателю в существенной степени определяется решениями, принятыми по двум следующим вопросам:

• Значения какого показателя усреднять? (доходности, стоимости, дисконт-фактора, цен покупки и продажи, срока окупаемости и т.д.);
• Какое среднее значение использовать? (среднеарифметическое, среднегеометрическое, среднеквадратическое, среднегармоническое и т.д.)

Разумеется, ответы на эти вопросы взаимосвязаны.

На двух следующих примерах мы покажем, как влияют на результаты анализа выбор критерия и выбор способа усреднения.

Пример 1.2.1: Усреднение срока окупаемости.

Допустим, что нам требуется оценить инвестиционный проект, доходность r которого является случайной величиной и составит 40% годовых в лучшем случае и 10% годовых в худшем. Учитывая, что банковская ставка равна 20% годовых, необходимо решить, стоит ли вкладывать деньги в данный проект или выгоднее будет поместить их на банковский депозит.

Если использовать в качестве критерия эффективности среднюю доходность рассматриваемых вариантов инвестирования, то оцениваемый проект следует признать более привлекательным, так как:

(10%+40%)/2=25%>20%.

Если же оценивать выгодность по сроку (частичной) окупаемости, то можно прийти и к противоположному выводу.

Время T, в течение которого вложенный капитал увеличится в (1+k) раз (то есть первоначальные затраты окупятся на k · 100%) равно:

Графики зависимости T от r при разных значениях k представлены на рис. 1.2.1.

Выберем k равным 50%, то есть будем рассматривать срок увеличения капитала в полтора раза. На основе значений функции T(r) при минимальной и максимальной доходностях (r=10% и r=40% годовых) рассчитаем средний срок окупаемости:

года.

Срок же окупаемости банковского вклада (при 20% годовых) равен: T(20%) − 2,22 года, что существенно меньше соответствующего показателя оцениваемого проекта. А это говорит о том, что банковский вклад выгоднее.

Вот так, выбирая между средней доходностью и средним сроком окупаемости, можно получить любой желаемый результат.

В последующих разделах описываются также и другие ситуации, в которых выбор усредняемого критерия имеет существенное значение. Так, в параграфах 2.3 и 4.3 рассмотрены, соответственно, такие пары альтернатив, как доходность со стоимостью и стоимость с дисконт-фактором.

Пример 1.2.2: Усреднение цен заявок на покупку и продажу.

Фирма владеет пакетом акций, рыночная стоимость которого составляет 8 тыс. рублей, если судить по цене биржевых заявок на их покупку (цена BID) и 12 тыс. рублей, судя по цене заявок на их продажу (цена ASK). Необходимо найти, что называется, реальную стоимость этого пакета.

Понятно, что реальная цена акций не может находиться вне пределов интервала, ограниченного ценами BID и ASK. Стало быть, она находится внутри него. И для получения ее, если можно так выразиться, точного значения при отсутствии прочей информации остается лишь усреднить эти две цены тем или иным способом.

Из числа этих способов первым на ум приходит вычисление среднего арифметического. В нашем случае оно равно:

(8+12)/2=10 тыс. рублей.

Однако же, если у нас имеется заинтересованность в получении меньшего результата, можно воспользоваться и средним геометрическим:

тыс. рублей.

Оснований для этого найдется достаточно. Вот лишь некоторые из них:

1. В случае если заявок на покупку акций нет, цену BID следует считать равной нулю. Однако же, если при этом заявки на продажу имеются, то среднее арифметическое от цен BID и ASK будет больше нуля. Тогда как осторожный инвестор в подобной ситуации предпочел бы не покупать таких акций ни по какой цене, то есть считал бы, что их реальная стоимость равна нулю. Среднее же геометрическое выдает именно такой результат, поскольку при равенстве цены BID нулю оно также будет нулевым, как бы ни была велика цена ASK.

2. Многие согласятся с тем, что отношение цен ASK/BID является более корректной мерой ликвидности акций, чем разность ASK-BID. А если так, то естественно предположить, что реальной стоимостью акций логичней будет считать такую цену, которая больше цены BID и меньше цены ASK в одно и то же количество раз,⁶ а не на одну и ту же сумму.

При желании можно найти доводы и в пользу среднего арифметического, хотя, как правило, нужда в них не возникает, поскольку для многих людей этот вид среднего является не только первым приходящим на ум, но также и последним. Поэтому достаточно бывает просто не упоминать при таком человеке о прочих возможных вариантах расчета. Тогда и обосновывать свой выбор не придется.

Конечно, разница между полученными нами в данном примере результатами не велика — они различаются всего на два процента. Однако при расчете, например, доходности акций даже такое отличие может оказаться существенным.

Другой пример манипуляции результатами анализа путем подбора способа усреднения можно найти в §4.3. В нем парой альтернатив являются среднее арифметическое со средним гармоническим.

§1.3. Особые случаи использования неоднозначности результатов одно- и многокритериального анализа.

Несмотря на то, что переход от однокритериальной задачи к многокритериальной, как правило, не представляет проблемы, он, тем не менее, в большинстве случаев еще не гарантирует появление возможности прийти в результате анализа к выгодному для себя решению. Именно поэтому особенно удивительными кажутся ситуации, в которых увеличение числа используемых показателей позволяет не просто найти обоснование выводам полностью противоположным тем, что могли бы быть сделаны ранее, но и обосновать эти выводы при помощи показаний каждого используемого критерия без каких-либо исключений.⁷ Происходить подобное может, в частности, вследствие проявления таких феноменов, как парадокс Симпсона и корреляционный парадокс.

а) Использование парадокса Симпсона.

Пример 1.3.1: Проведение опроса.

В рамках маркетингового исследования на предмет целесообразности размещения рекламы в телевизионных трансляциях футбольных матчей, были произведены два социологических опроса населения с интервалом в один год. В числе различных традиционных вопросов, заданных респондентам, главным был вопрос «смотрите ли вы футбол (по телевидению)?» В результате при первичном опросе были получены 51 положительный ответ и 49 отрицательных, а при вторичном — наоборот, 49 положительных и 51 отрицательный.

Таким образом, есть все основания считать, согласно двум полученным выборкам, что доля футбольных болельщиков в обществе за прошедший между двумя опросами год сократилась приблизительно с 51% до 49%.

Если подобный результат нас устраивает, то проблем нет. Но что делать, если нам очень хочется сделать вывод о росте этой доли?

На первый взгляд, прийти к полностью противоположному заключению без фальсификации имеющихся исходных данных в подобной ситуации нереально. Но на самом деле такая возможность иногда существует.

Вспомним, что в заполненной каждым опрошенным анкете наряду с ответом на основной вопрос зафиксирована и некоторая прочая информация, как-то: пол, возраст, социальный статус и т.д. Теперь эта информация может оказаться весьма полезной. Обратим внимание на тот факт, что отношение к такому «продукту», как футбол, у мужской и женской половин общества наверняка сильно отличается. А это существенно повышает наши шансы на успех — в последствии станет ясно почему. Поэтому попробуем разделить респондентов на две категории людей по половому признаку.

Допустим, что результаты этого раздела выглядят так, как представлено в табл. 1.3.1.

А теперь посмотрим, как изменилась доля любителей футбола среди мужчин и среди женщин. При первичном опросе она составляла 47/51=92,2% для первой категории людей и 4/49=8,2% для второй. А при вторичном — 44/47=93,6% и 5/53=9,4%, соответственно. Таким образом, как среди опрошенных мужчин, так и среди опрошенных женщин эта доля выросла. Что позволяет сделать вывод и о ее росте в обществе в целом, то есть прийти к полностью противоположному результату.

Суть данного явления состоит в следующем.

Значительное различие в отношении к спортивным телетрансляциям мужского и женского контингента приводит к тому, что суммарная доля футбольных зрителей в общем количестве опрошенных людей существенно зависит от того, представители какого пола окажутся в этой выборке в большинстве. Если число респондентов-мужчин случайно превзойдет число респондентов-женщин, доля любителей футбола может значительно превзойти 50%. Если же в выборке возобладают женщины — все наоборот. А теперь еще раз заглянем в табл.1.3.1. Нетрудно заметить, что, если в первичном опросе представители первой и второй категории участвовали в количествах, соответственно, 51 и 49 человек, то во вторичном эти числа составили уже 47 и 53 человека. То есть половой состав выборки несколько изменился, что при случайном выборе респондентов вполне естественно. Но даже такого незначительного изменения оказалось достаточно, для того чтобы в суммарном итоге доля поклонников футбола снизилась с 51% (при первом опросе) до 49% (при втором), несмотря на ее рост по каждой категории в отдельности.

Но что если деление опрошенных по половому признаку не дало бы желаемого эффекта? Ведь даже «невооруженным глазом» видно, что вероятность спонтанного проявления данного парадокса весьма мала, а цифры в табл.1.3.1 просто тщательно подобраны.

Да, это действительно так. Однако на случай неудачи имеются и другие способы раздела респондентов на категории, которые во всей своей совокупности могут сделать вероятность успеха довольно значительной.

К примеру, разделим опрошенных людей на состоятельных и малоимущих.

На первый взгляд может показаться, что этот вариант заранее обречен на фиаско. Ведь вряд ли отношение человека к футболу (к тому же телевизионному) существенно зависит от того, богат он или беден. Однако аналогия с ранее разобранным примером не всегда уместна.

Допустим, что в течение года, прошедшего между двумя опросами, в стране произошел ряд серьезных финансовых кризисов, моментально переведших очень многих людей из зажиточного состояния в нищенское. Стало быть, соотношение богатых и бедных респондентов в двух проведенных опросах будет существенно отличаться, что (так же, как и различие в отношении респондентов к футболу при делении их на мужчин и женщин) создает предпосылку для возникновения нужного нам эффекта.

Предположим, что раздел респондентов на богатых и бедных дал результаты, приведенные в табл.1.3.2.

Как видите, парадокс Симпсона вновь проявился. Только, в данном случае это произошло уже не столько оттого, что рассматриваемые категории людей по разному относятся к футболу (что, судя по имеющейся выборке, можно предположить, но нельзя говорить с уверенностью), сколько оттого, что существенно различается соотношение представителей этих категорий в первом и во втором опросах (77/23>17/83).

Таким образом, на примере двух вариантов дифференциации респондентов мы продемонстрировали два возможных принципа возникновения рассматриваемого парадокса.

Вот так иногда возможность выбора между однокритериальной оценкой и двухкритериальной позволяет доказать любое из двух взаимоисключающих утверждений.

Однако многих, наверняка, давно уже волнует вопрос о том, какой же все-таки из этих двух способов оценки является правильным, а какой ошибочным. В действительности же каждый из них может быть корректным в одной ситуации и неверным в другой.

Если, к примеру, у нас имеется уверенность в том, что изменение соотношения числа опрошенных мужчин и числа опрошенных женщин является случайным, то раздел респондентов по половому признаку при анализе их ответов вполне оправдан и приводит в среднем к более точным результатам. Если же мы наоборот уверены в том, что доли мужчин и женщин в обществе изменились⁸ также, как и их доли в выборке, то более корректным следует считать совокупный анализ всех полученных ответов.

То же самое касается и второго варианта деления по категориям. Если есть основания считать, что различие в отношении к футболу у богатых и бедных респондентов проявилось чисто случайно, то делить опрошенных по уровню их благосостояния незачем. И наоборот.

Однако при проведении подобных исследований, как правило, ни в чем нельзя быть абсолютно уверенным. Поэтому, какой бы способ анализа вы ни избрали, говорить о его стопроцентной некорректности нельзя.

Что касается возможных областей практического применения парадокса Симпсона, то использоваться он может, в частности:

а) при определении изменения доли в общем объеме рыночных торгов, приходящейся на какой-либо вид ценных бумаг (дифференциация объемов торгов может быть произведена, к примеру, по их «принадлежности» к той или иной бирже) (см. [4]);

б) при определении изменения вероятности выпуска бракованной продукции (дифференцировать продукцию можно, к примеру, по цехам, в которых она была изготовлена, или по примененным технологиям);

в) при сравнении инвестиционных портфелей по их доходностям (разделить портфель можно, в частности, на надежную и рискованную части) (см. §3.4 и [4]).

И еще. Необходимо подчеркнуть, что совсем не обязательно делить исходную информацию именно на две категории данных. Таковых вполне может быть и три, и четыре и более четырех. При этом задача будет сведена, соответственно, к трех-, четырех- и т.д. критериальному типу. Окончательное же решение в этом случае можно принимать уже не по единогласному «мнению» всех критериев, а по большинству их «голосов».

б) Использование корреляционного парадокса.

Пример 1.3.2: Сравнение двух банков по величине и срокам выданных ими кредитов.

При составлении рейтинга кредитных учреждений возникла необходимость сравнения двух банков по масштабам проводимой ими банковской деятельности. Понятно, что масштабы эти тем больше, чем больше величина и срок выданных банком кредитов. Поэтому основой для анализа послужили данные табл.1.3.3, указывающие, сколько кредитов того или иного свойства было выдано тем и другим банком.

Изучив эти цифры, один аналитик написал в своем заключении:

«При равенстве общего количества кредитных договоров (50=50) банк 2 превосходит банк 1 по числу выданных им крупных и долгосрочных кредитов (10<20). Поэтому рейтинг второго банка должен быть выше.»

Второй же аналитик написал иначе:

«При равенстве общего количества кредитных договоров (50=50) банк 1 превосходит банк 2 как по числу выданных им крупных кредитов (10+15>20), так и по числу долгосрочных (10+25>20). Поэтому рейтинг первого банка должен быть выше.»

Если теперь и мы изучим данные таблицы 1.3.3, то легко поймем, что рекомендации обоих аналитиков относительно рейтинга банков вполне обоснованы, несмотря на всю их противоречивость. Просто один из них сравнивал масштабы банковской деятельности по одному критерию, а другой — сразу по двум. Кто из них при этом был прав, однозначно сказать нельзя. Хотя, учитывая тот факт, что ценность кредита приблизительно пропорциональна его величине, умноженной на срок, следует признать, что первый аналитик был все-таки несколько «правее» второго.

Пример 1.3.3: Анализ изменения числа безработных.

Экономист, исследовавший динамику изменения уровня безработицы в городе, сделал заявление следующего характера:

«Темп роста числа безработных с высшим образованием и с опытом работы упал с 30-ти человек в месяц в январе до 20-ти человек в месяц в феврале.»

Однако затем, когда выяснилось, что такой вывод лично для него был невыгоден, он сказал, что оговорился, и что слова «упал с 30-ти человек в месяц в январе до 20-ти человек в месяц в феврале» следовало понимать как «увеличился с 20-ти человек в месяц в январе до 30-ти человек в месяц в феврале».

Возможно, кто-то из читателей уже поспешил счесть этого экономиста недостойным упоминания в данной книге, поскольку он, как может показаться, практикует несколько иной метод работы, заключающийся в обыкновенном вранье в расчете на то, что результаты его анализа никто не станет перепроверять.

Однако эти выводы несколько поспешны. На самом деле вполне можно предположить, что он говорил правду как до, так и после поправки, только вкладывал в свои слова различный смысл.

Сначала он имел в виду следующее:

«Темп роста числа безработных, имеющих одновременно и высшее образование, и опыт работы, упал с 30-ти человек в месяц в январе до 20-ти человек в месяц в феврале.»

А затем, после исправления, подразумевал совсем другое:

«Темп роста числа безработных с высшим образованием, а также числа безработных с опытом работы увеличился с 20-ти человек в месяц в январе до 30-ти человек в месяц в феврале.»

Нетрудно убедиться, что оба этих утверждения будут истинными, если исходные данные, послужившие для них основой, будут соответствовать цифрам, приведенным в табл.1.3.4.

За январь месяц количество безработных с высшим образованием увеличилось на 30–10=20 человек, а за февраль — на 20+10=30. И абсолютно то же самое можно сказать о безработных с опытом работы. Тогда как количество имеющих и образование, и опыт за январь увеличилось на 30 человек, а за февраль — только на 20.

Как видите в данном случае мы имеем дело с парадоксом, аналогичным рассмотренному в примере 1.3.2, только усугубленным еще и редкостным совпадением чисел. Хотя понятно, что даже, если бы исходные цифры и отклонялись незначительно от приведенных в таблице, неоднозначность возможных выводов не исчезла бы.

§1.4. Выбор способа оценки эффективности в условиях риска (неопределенности).

Не умаляя важности оценки таких параметров, как риск или ликвидность, необходимо признать, что первейшим пунктом экономического исследования в подавляющем большинстве случаев является анализ эффективности экономической деятельности. Однако деятельность эту почти всегда приходится осуществлять в условиях риска, то есть, когда ее результат (эффект) является величиной случайной и заранее не известен. Поскольку последний факт, с одной стороны, существенно усложняет задачу оценки эффективности, а, с другой, дает дополнительную свободу действий в выборе способа ее оценки, мы находим необходимым уделить особое внимание рассмотрению методов «оптимального» использования этой свободы.

а) Мода, медиана и математическое ожидание.

Известно, что, как правило, наиболее важным показателем, характеризующим случайную величину, является ее математическое ожидание (среднеарифметическое значение). Менее известными характеристиками, способными, тем не менее, служить альтернативами математическому ожиданию, являются, в частности, такие критерии, как мода (наиболее вероятное значение) и медиана (значение, которое случайная величина превышает с вероятностью 50%). Своей малоупотребительностью эти два критерия обязаны отчасти тому, что их показания довольно часто совпадают (или почти совпадают) с математическим ожиданием. Однако именно в экономике исключения из этого «правила» встречаются особенно часто. В основном потому, что здесь сплошь и рядом приходится иметь дело с величинами, которые принимают только неотрицательные значения (цена, время и т.п.), и, стало быть, не могут иметь нормальное распределение вероятностей. Такие случайные переменные, как правило, отличаются существенно асимметричными⁹ законами распределения вероятностей (к коим, в частности, относятся логнормальный и показательный законы) и потому их математическое ожидание, мода и медиана зачастую отнюдь не совпадают.

Вот примерный перечень случайных величин, которые обычно распределены асимметрично:

• стоимость ценных бумаг (акций, облигаций, векселей и т.д.) при высокой вероятности банкротства их эмитента;
• стоимость акций при невозможности банкротства (логнормальное распределение);
• стоимость опциона;
• время достижения стоимостью или доходностью портфеля заданного уровня;
• время продажи одной единицы товара (показательное распределение) или нескольких его единиц (распределение Эрланга);
• время получения (или уплаты) страховки (время ожидания страхового события) (показательное распределение);
• современная стоимость (NPV) договора страхования;
• стоимость портфеля инвестиций при различных стратегиях управления им;
• прибыль от продажи товара при различных вариантах его реализации (магазин, аукцион, ярмарка и т.д.).

Покажем теперь, насколько полезной может оказаться возможность выбора между математическим ожиданием, модой и медианой.

Пример 1.4.1: Будущая стоимость акций.

Будем считать, что сегодня рыночная стоимость акций некоторого эмитента составляет 1 рубль за штуку. Будущая же их стоимость по прошествии, скажем, 1 года является случайной величиной с логнормальным распределением вероятностей с математическим ожиданием 1,3 рубля за штуку и стандартным отклонением 0,4 рубля за штуку (см. рис.1.4.1). Необходимо определить, куда выгоднее вкладывать деньги, в эти акции или в банк. При условии, что банк начисляет на вклады 24% годовых.

Рассматривая будущую стоимость (также по прошествии 1 года) нашего капитала при вложении его в банк как случайную величину с нулевым стандартным отклонением, нетрудно заметить, что ее мода, медиана и математическое ожидание равны между собой и составляют 1,24 рубля на каждый первоначально вложенный рубль.

Значения же этих трех параметров для будущей стоимости акций различны и равны, соответственно, 1,135, 1,243 и 1,3 рубля за штуку (на рис.1.4.1 эти значения отмечены тремя пунктирными линиями).

Таким образом, если сравнивать будущую стоимость нашего капитала для обоих вариантов инвестирования по моде (1,135<1,24), то более выгодной альтернативой следует считать вложение в банк; если сравнивать по медиане (1,243≈1,24), то оба варианта приблизительно равны по своей выгодности; и наконец, сравнение математических ожиданий (1,3>1,24) выводит «на первое место» инвестирование в акции. То есть выбор критерия в данном случае играет решающую роль.

Существенную трудность, однако, иногда может представлять обоснование этого выбора. Ведь аналитика могут попросить еще и объяснить, почему он избрал именно тот, а не иной показатель. Особенно это касается случаев, когда его выбор остановился не на математическом ожидании, которое является более традиционным критерием в сравнении с двумя остальными. Чтобы не попасть впросак, следует заранее подобрать аргументы в пользу своего «избранника». Приведем лишь некоторые возможные доводы:

Аргументы в пользу моды:

1. Мода является наиболее вероятным значением случайной величины.

2. Иногда найти моду бывает легче, чем математическое ожидание или медиану (особенно, если определять ее по графику плотности вероятностей).

3. Использование моды в качестве предсказываемого значения является более корректным подходом при выдаче прогнозов, достоверность которых будет проверяться по принципу «сбылось — не сбылось». То есть, когда прогноз, отклоняющийся от фактического значения на величину, не превышающую заданной погрешности, будет считаться сбывшимся, и наоборот.

Аргументы в пользу медианы:

1. Если случайная величина имеет логнормальное распределение вероятностей, то ее медиана является среднегеометрическим бесконечного числа значений данной случайной величины (полученных в бесконечной серии испытаний).¹⁰ Таким образом, для логнормального распределения вероятностей медиана, так же, как и математическое ожидание, является средним значением.

Примечание: Следует, однако, иметь в виду, что если среднегеометрическое берется не от бесконечного, а от некоторого конечного числа n значений случайной величины x с логнормальным распределением вероятностей, то математическое ожидание результата будет равно:

,

где μ и σ параметры логнормального распределения.

Как видите (см. приложение 2), при n=1 формула, как и следовало ожидать, выдает математическое ожидание случайной величины x, а при n=∞ — медиану.

2. В случае, когда оцениваемый инвестированный проект позволяет увеличить вложенный в него капитал в R₁ раз за первый год, в R₂ раз за второй год и т.д., и при этом числа R₁, R₂, … R_n являются независимыми случайными величинами с одним и тем же логнормальным распределением вероятностей¹¹, то при инвестировании капитала сроком на n лет доходность r такого вложения составит:

годовых единиц,

а математическое ожидание M(r) этой доходности будет равно:

,

где μ и σ параметры логнормального распределения.

Из чего следует, что при достаточно большом сроке инвестирования n, математическое ожидание доходности этого вложения будет приблизительно равно уменьшенной на единицу медиане случайных величин R₁, R₂, … R_n:

M(r) ≈ exp(μ) − 1 = med(R_i) − 1,

(i — любое целое число из интервала [1; n]).

3. Иногда найти медиану бывает легче, чем математическое ожидание или моду.

4. Медиана монотонной функции f(x) некоторой случайной величины x равна значению данной функции, когда в качестве ее аргумента берется медиана данной случайной величины. То есть:

med(f(x))= f(med(x)).

Вследствие данного равенства, использование медианы вместо математического ожидания позволяет избежать казусов, описанных в параграфе 1.2, связанных с усреднением значений нелинейных функций и значений их аргументов.

5. Использование медианы в качестве предсказываемого значения случайной величины максимизирует достоверность прогнозов, если их точность оценивается по принципу «больше — меньше»; то есть, учитывается лишь то, в какую сторону фактическое значение отклонилось от предсказан­ного, «вверх» или «вниз»; после чего проверяется, равно ли (хотя бы приблизительно) количество «заниженных» прогнозов количеству «завышенных».

Аргументы в пользу математического ожидания:

1. Математическое ожидание — это среднеарифметическое значение случайной величины.

2. Иногда интерес представляет, прежде всего, распределение вероятностей суммы большого количества независимых случайных величин, каждое из которых вносит приблизительно одинаковый вклад в общую сумму, где одним из слагаемых является оцениваемая случайная величина. Поскольку распределение этой суммы практически полностью определяется лишь математическими ожиданиями и стандартными отклонениями слагаемых (так как является приблизительно нормальным распределением независимо от того, каким именно законам распределения подчиняются слагаемые)¹², учитывать какие-либо иные характеристики этих слагаемых помимо двух вышеупомянутых не имеет смысла.

Однако надо признать, что обосновывать отказ от использования математического ожидания обычно бывает значительно труднее, чем обосновать его использование. Поэтому желательно, чтобы отказ этот исходил от самого начальника, клиента или, одним словом, заказчика проводимого исследования. Для его получения, как правило, бывает достаточно описать смысл математического ожидания в чересчур мудреных терминах. Например, так: «математическое ожидание — это такое значение, при котором достигается минимум среднего квадрата отклонения полученных в бесконечной серии испытаний фактических значений случайной величины от этого значения». Ответ на подобную «интертрепацию», скорее всего, будет приблизительно таким: «А зачем нам квадрат? Не, квадрат нам не нужен». После чего вполне естественным будет выглядеть предложение другого, более «приемлемого» критерия.

б) Интервалы и вероятности.

Еще одним возможным способом оценки случайной величины является раздел диапазона ее возможных значений на отдельные интервалы с определением вероятностей попадания данной случайной величины в каждый из этих отрезков.

Можно, к примеру, установить некоторое, скажем так, «плановое» значение случайной величины и затем рассчитать вероятность «выполнения» или «невыполнения» этого «плана» (или, другими словами, вероятность того, что случайная величина превысит плановое значение или не превысит его). В частности, при оценке будущей стоимости инвестиционного портфеля в качестве планового уровня его стоимости можно использовать либо стоимость первоначальных вложений, либо тот уровень, которого капитал достиг бы за тот же срок, будучи инвестированным в банковский депозит или во что-либо еще.

Можно также использовать иной подход: задаться некоторым значением вероятности, а затем вычислить, каким должен быть план, чтобы он выполнялся (или не выполнялся) с заданной вероятностью. В частности, если задаться вероятностью 50%, то рассчитанный для этого значения план будет являться медианой данной случайной величины.

И тот и другой расчет легко можно осуществить визуальным способом по графику интегральной функции распределения вероятностей¹³ оцениваемой случайной переменной.

На рис.1.4.2.а показан вид этой функции для двух случайных величин с нормальным распределением вероятностей, имеющих одинаковые математические ожидания, но различные стандартные отклонения. Будем считать, что большее значение этих случайных величин является более благоприятным. Стало быть, функция F(x) показывает нам вероятность невыполнения (или недовыполнения) плана, если последний будет установлен на уровне x.

Нетрудно заметить, что, выбрав на оси x плановое значение левее точки пересечения графиков, можно утверждать, что случайная величина с меньшим стандартным отклонением является более предпочтительной, поскольку дает меньшую вероятность невыполнения плана. К аналогичному выводу можно прийти, если, задавшись вероятностью меньшей, чем 50%, сравнить соответствующие этой вероятности плановые уровни оцениваемых переменных.

Если же зафиксировать план правее точки пересечения или, если установить вероятность на уровне, превышающем 50%, более привлекательной будет выглядеть другая случайная величина.

Однако существуют и ситуации, полностью исключающие подобный субъективизм в выборе оптимального варианта. Когда случайные величины отличаются по своим математическим ожиданиям значительно сильнее, чем по стандартным отклонениям, точка пересечения их интегральных функций распределения может находиться на уровне, соответствующем либо слишком малой вероятности, либо слишком большой. Теоретически, графики могут даже вообще не пересекаться. Один из таких случаев представлен на рис.1.4.2.б. Понятно, что в подобной ситуации выбор предопределен.

Конечно, следует признать, что описанный метод достаточно примитивен, поскольку даже не большой знаток теории вероятностей может не удовлетвориться подобными аргументами и потребовать предоставления какой-либо дополнительной информации. Поэтому иногда имеет смысл предвосхитить это желание и сразу произвести более комплексный анализ, заключающийся в установке или расчете не одного, а двух плановых значений¹⁴. Причем, дабы не провоцировать лишние сомнения и дополнительные вопросы, лучше, если плану минимум будет соответствовать вероятность невыполнения меньше 50%, а плану максимум — больше 50%. Это создаст иллюзию более всестороннего исследования ситуации.

Разумеется, в ситуациях, подобных представленной на рис.1.4.2.а, такие усложнения могут привести лишь к дополнительным трудностям. Однако при анализе случайных величин с далеким от нормального распределением вероятностей такой подход может привести к довольно неожиданному эффекту, который мы продемонстрируем на следующем примере.

Пример 1.4.2: Изменение величины страховки.

Фирма получила предложение заключить договор со страховой компанией на следующих условиях:

1. При заключении договора фирма устанавливает желаемый размер страховой суммы и уплачивает страховой компании фиксированную долю k от этой суммы, равную 84%.

2. Договор действует до первого наступления страхового события¹⁵ (сколько бы лет ни пришлось его ждать).

3. Сразу после наступления страхового события компания выплачивает фирме страховую сумму в полном объеме, после чего договор прекращается.

Известно, что страховое событие происходит в среднем один раз в два года (или 0,5 раза в год). Причем оно (как и большинство других непредсказуемых явлений) обладает следующим свойством: если начать ждать первого осуществления этого события, начиная с некоторого произвольно выбранного момента времени, то время такого ожидания (являясь величиной случайной) не будет зависеть от того, когда в последний раз это событие происходило ранее, до начала ожидания.

Решив заключить такой договор и предварительно определившись с размером страховой суммы, фирма поручила своему экономисту оценить, не стоит ли увеличить эту сумму на ΔS рублей или уменьшить ее на ту же величину. Требуется решить данную задачу, учитывая тот факт, что банковская ставка r составляет 10% годовых.

Обозначим через T время, которое пройдет между днем заключения договора и днем получения страховой суммы. Оно является случайной величиной, подчиняющейся показательному закону распределения вероятностей¹⁶, что является следствием вышеупомянутой независимости этого времени от момента подписания договора. Параметр этого распределения λ в данном случае будет равен 0,5 единицы в год.

Рассматривая увеличение размера страховой суммы на ΔS рублей как инвестиционный проект, найдем его чистую современную стоимость¹⁷ NPV, являющуюся функцией времени T:

.

Область значений данной функции есть интервал при ΔS>0 и при ΔS<0.

Затем, решая это уравнение относительно T, найдем обратную функцию T(NPV):

.

Область определения T(NPV) совпадает с областью значений NPV(T).

Зависимость NPV(T) является монотонно убывающей функцией при ΔS>0 и монотонно возрастающей при ΔS<0. Следовательно, вероятность P(NPV<x) того, что случайная величина NPV окажется меньше по своему значению некоторого заданного уровня в x рублей, принадлежащего области определения T(NPV), при ΔS>0 будет равна вероятности того, что случайная величина T превысит уровень:

лет,

а при ΔS<0 — вероятности того, что T окажется меньше этого уровня.

Следовательно, для вышеозначенных значений x интегральная функция распределения вероятностей случайной величины NPV будет равна:

при ΔS>0 (то есть при увеличении страховой суммы) и:

при ΔS<0 (то есть при уменьшении страховой суммы).

Для прочих значений аргумента x функция F(x) будет равна либо нулю, либо единице.

Графики F(x) для ΔS=1 тыс. рублей и ΔS=-1 тыс. рублей представлены на рис.1.4.3. Они дают нам всю необходимую информацию для сравнения двух инвестиционных проектов, один из которых заключается в увеличении страховой суммы на 1 тыс. рублей, а другой — в уменьшении ее на ту же величину.

Выберем в качестве плана минимум и плана максимум уровни в -100 и 100 рублей, соответственно. Согласно графикам, вероятность того, что NPV наших действий по изменению размера страховки окажется меньше минус ста рублей, (то есть вероятность невыполнения плана минимум) составляет приблизительно 20,6% при увеличении страховой суммы и 27,7% при ее уменьшении. Аналогичные вероятности для плана максимум равны 72,3% и 79,4%, соответственно. Из чего легко можно сделать вывод, что первый инвестиционный проект (увеличение страховки) превосходит второй по обоим показателям и, стало быть, является более выгодным.

Однако достаточно установить планы минимум и максимум на уровнях -200 и 200 рублей, и теперь уже второй проект превзойдет первый также по обоим показателям, поскольку 9,6%>0 и 100%>90,4%.

А между тем, чистые современные стоимости NPV обоих вариантов действий имеют нулевые математические ожидания и совершенно одинаковые стандартные отклонения.

Как уже отмечалось ранее, можно применить и другой подход: установить желаемые вероятности выполнения обоих планов, а затем найти плановые уровни NPV для обеих альтернатив. Данные табл.1.4.1 показывают, что и этот метод позволяет обосновать любые выводы. Первые две ее строки «свидетельствуют» в пользу увеличения страховки, а две последние — в пользу уменьшения.

Заметим, что использование рассмотренного нами метода может оказаться эффективным не только при оценке страховых договоров, но и при исследовании любых других сделок, NPV денежных потоков которых является случайной величиной с асимметричным законом распределения вероятностей. Следует только придерживаться примененной нами схемы анализа, то есть рассматривать увеличение суммы сделки и ее уменьшение как два инвестиционных проекта, которые необходимо сравнить по их эффективности.

в) Вероятность превосходства, разность и отношение.

Рассмотренные выше способы анализа экономической эффективности можно назвать абсолютными в том смысле, что они базируются в основном на расчете критериев, так или иначе показывающих, насколько привлекательной является оцениваемая альтернатива сама по себе, то есть взятая в отрыве от других существующих альтернатив.

Теперь же мы переходим к рассмотрению относительных (сравнительных) способов, основывающихся не столько на оценке абсолютной привлекательности каждого из возможных вариантов действий, сколько на исследовании возможных отношений между их экономическими эффектами.¹⁸ Конкретнее, мы переходим от сравнения вероятностных характеристик результатов оцениваемых проектов к расчету вероятностных характеристик взаимоотношений между этими результатами.

В частности, выбирать из двух инвестиционных проектов наиболее выгодный можно, например, посредством сравнения математических ожиданий их доходностей, то есть путем сопоставления абсолютных оценок. А можно, к примеру, рассчитать вероятность того, что какой-то один из этих проектов окажется де-факто более доходным, чем другой, или же вычислить математическое ожидание разности или отношения их доходностей.

И хотя на первый взгляд кажется, что все эти методы приведут, скорее всего, к одинаковым результатам, в действительности степень взаимного несоответствия полученных с их помощью выводов иногда приобретает совершенно невообразимые масштабы.

Рассмотрим следующий случай.

Пример 1.4.3: Розничная продажа с переменной наценкой.

Магазин А и магазин Б реализуют в розницу товар, который сами закупают оптом один раз в три недели (не обязательно в один и тот же день) по одной и той же оптовой цене. При этом оба они в течение каждого трехнедельного периода розничной продажи товара уменьшают величину розничной наценки, магазин А — с 8% до 2%, а магазин Б — с 7% до 1%, ввиду того, что товар является скоропортящимся и его качество быстро снижается. Причем уменьшение величины наценки производится линейно.

На основе вышеуказанной информации уже можно сделать вывод о том, что стоимость, которую мы увидим на ценнике товара, посетив магазин А в случайный момент времени, является случайной величиной с равномерным распределением вероятностей на интервале между 102% и 108% от оптовой цены. То же самое касается и магазина Б, только границы интервала возможных значений розничной цены будут другими, а именно: 101% и 107% от оптовой стоимости товара.

Кажется, что, если пренебречь качеством, то покупать товар в магазине Б однозначно выгоднее, и никакой анализ не в состоянии опровергнуть это заключение.

Но представим, что магазин Б закупает товар каждый раз ровно через одну неделю после того, как его закупит магазин А. На рис.1.4.4, приведены временные диаграммы изменения розничных наценок для этого случая. Как видите, на каждую неделю, на протяжении которой цена магазина А превышает цену магазина Б, приходится целых две недели, в течение которых имеет место обратная ситуация: первый из них устанавливает более низкую наценку. Следовательно, вероятность того, что после покупки товара в магазине А, сделанной в случайный момент времени, у нас не будет оснований впоследствии сожалеть о том, что мы не обратились в другой магазин, составляет 2/3 или примерно 66,7%, что существенно больше 50%. Стало быть, если аналогичная картина имеет место быть и в отношении прочих товаров (закупаемых оптом в различные моменты времени), то магазин А имеет полное право заявить, к примеру, в своей рекламе, что более 66% продаваемой в нем продукции реализуется им по более низкой розничной цене, чем в магазине Б.

Таким образом, при определенных условиях можно найти аргументы даже в пользу безнадежно невыгодной на первый взгляд альтернативы.

Случаи, аналогичные только что рассмотренному примеру, могут возникать во многих ситуациях связанных с теми или иными циклическими процессами. В частности, при исследовании периодических изменений:

а) запасов чего-либо (например, денег);

б) времени ожидания отправления ближайшего автобуса, поезда и т.д.;

в) цен товаров и сроков их годности;

г) цен облигаций и других ценных бумаг с регулярно выплачиваемым доходом и т.п.

Еще одним возможным способом сравнительного анализа двух вариантов действий является исследование разности значений двух случайных величин-критериев, характеризующих экономическую эффективность соответствующего варианта.

Сразу предупредим, что рассчитывать математическое ожидание этой разности все равно, что рассчитывать разность математических ожиданий данных случайных величин (даже в том случае, когда эти величины зависимы), чем мы уже занимались в §1.4.а.

Однако помимо этого показателя (математического ожидания) можно использовать и ряд других. В частности в последнем рассмотренном нами примере имеет смысл использовать среднее значение от максимальной и минимальной величины разности в розничных наценках магазинов А и Б. Еще раз взглянув на рис.1.4.4, легко заметить, что эта разность может составлять либо -1% от оптовой цены, либо 5%. Среднеарифметическое этих двух чисел равно 2%, что на целый процент больше разности средних (по времени) величин наценок:

.

Данный аргумент также может быть использован в рекламе, только уже магазином Б. При этом можно даже ничего и не усреднять, а просто объявить максимальное и минимальное значения ценовой разницы. А уж образованный народ сам посчитает в уме среднее арифметическое.

Еще больший интерес по сравнению с разностью случайных величин представляет их отношение, то есть коэффициент, показывающий, во сколько раз одна из переменных превосходит другую. Правда, надо сказать, интерес оно представляет лишь в тех случаях, когда величина, стоящая в знаменателе дроби, имеет достаточно большое стандартное отклонение.

Обратимся еще раз к примеру 1.4.1, где сравнивались такие инвестиционные проекты как покупка акций и банковский депозит. Посмотрим, во сколько раз конечная стоимость C_A нашего капитала при его инвестировании на один год в акции будет больше его конечной стоимости С_Б при вложении в банк на тот же срок, при условии, что первоначальный капитал в обоих случаях равен 1 млн. рублей. То есть, другими словами, найдем математическое ожидание отношения . Поскольку знаменатель этой дроби является величиной детерминированной (не случайной), искомый показатель будет равен математическому ожиданию числителя, деленному на знаменатель:

.

Как видите, ничего интересного и неожиданного мы не получили. А все потому, что знаменатель исследуемой дроби не является случайной величиной.

А теперь попробуем найти математическое ожидание обратного отношения . Эту дробь можно рассматривать как отношение двух логнормально распределенных случайных величин, распределение одной из которых, стоящей в числителе, имеет параметры μ_Б=ln(1,24) и σ_Б = 0, поскольку, фактически, эта величина не случайна. Параметры же μ_A и σ_A другой из них, находящейся в знаменателе, можно рассчитать, исходя из ее математического ожидания и стандартного отклонения, которые нам известны и равны соответственно 1,3 и 0,4 млн. рублей. Однако производить этот расчет в данном случае незачем.

Мы знаем, что отношение двух случайных величин с логнормальным распределением вероятностей также является логнормально распределенной случайной величиной с параметрами:

и ,

где μ_числ., σ_числ. и μ_знам., σ_знам. — параметры переменных, стоящих в числителе и знаменателе, соответственно.

Стало быть, математическое ожидание m этого отношения составит:

.

Выразив параметры μ_числ., μ_знам., σ_числ., σ_знам. через математические ожидания m_числ., m_знам. и стандартные отклонения S_числ., S_знам. числителя и знаменателя и упростив выражение, получим:

.

В нашем примере m_числ. = 1.24, m_знам. = 1.3, S_знам. = 0.4 млн рублей. Следовательно, математическое ожидание отношения конечной стоимости инвестированного на год капитала при его вложении в банк к его конечной стоимости при вложении на год в акции составит:

,

несмотря на то, что знаменатель превосходит числитель по математическому ожиданию (1,3>1,24).

Таким образом, если мы заявим, что вложение денег в банк позволяет инвестору получить через год сумму большую в среднем в 1,044 раза по сравнению с суммой, которую он получил бы при вложении тех же денег на год в акции, мы будем абсолютно правы. Хотя, в принципе, прав будет и тот, кто скажет, что в среднем банковский депозит позволяет увеличить капитал в меньшее количество раз, чем акции. Здесь мы вновь сталкиваемся с несовершенством нашего языка, заключающемся в его неспособности к передаче всех математических тонкостей, которое, как видите, может быть использовано весьма эффективно.

Суть выявленного парадокса легко обнаруживается в следующем, более простом примере.

Рассмотрим две случайные величины, первая из которых с вероятностью 100% принимает значение 1, а вторая с вероятностями 50% принимает значения 0,5 и 1,5. Как видите, математические ожидания обеих переменных равны единице. Следовательно, равно единице и отношение этих ожиданий.

Однако математическое ожидание отношения первой величины ко второй составляет:

,

что существенно больше 1.

Полезно также обратить внимание на еще один интересный факт. Данный метод хорошо «работает» и при сравнении двух независимых, совершенно эквивалентных по вероятностным характеристикам случайных величин. В частности, при сравнении выгодности вложений в акции двух различных эмитентов с одинаковыми математическими ожиданиями r₁, r₂ и стандартными отклонениями доходностей S₁, S₂, при условии независимости этих доходностей.

Так, для акций с r₁ = r₂ = 0.3 = 30% годовых и S₁ = S₂ = 0.4 = 40% годовых математическое ожидание отношения будущей стоимости капитала при его вложении в акции первого эмитента к его будущей стоимости при вложении в акции второго будет равно:

.

То есть, несмотря на то, что оба инвестиционных проекта (при неизменности вероятностных характеристик их доходности во времени) в среднем будут увеличивать стартовый капитал ежегодно в одно и то же количество раз, коэффициент увеличения этого капитала одного из этих проектов (любого) будет в среднем в 1,095 раза больше аналогичного коэффициента другого.

И в заключение особо подчеркнем, что многие методы, разобранные в настоящем параграфе, с той же степенью эффективности могут быть использованы также и при анализе экономического эффекта уже принесенного какими-либо свершившимися в прошлом событиями, в частности, при выборе показателей для характеристики среднегодовой эффективности осуществленной за последние несколько лет экономической деятельности и т.п. Например, разделив прошлое на несколько временных интервалов и рассчитав для каждого полученного промежутка отношение значения какого-либо критерия к значению того же показателя предыдущего периода времени, обычно можно легко доказать, что в среднем за прошедшее время в определенном смысле имел место рост значений данного критерия. Даже если в более актуальном смысле этого роста не было.

§1.5. Использование нетранзитивных отношений.

Нетранзитивные отношения являются одним из самых интересных и, в то же время, одним из самых малоизвестных математических феноменов. Но несмотря на это ситуации, в которых они явно или незримо присутствуют, возникают в экономике сплошь и рядом или, во всяком случае, гораздо чаще, чем могут предположить те, кто еще не прочитал настоящий параграф. Который, к стати говоря, именно по этой причине посвящен не столько разбору математических аспектов этого явления, сколько демонстрации его широкой распространенности.

Для начала же, мы уточним смысл самого понятия «отношение».

Термин этот используется в математике не только как синоним слова «дробь», но и как понятие, обозначающее всякую функцию некоторого количества аргументов, которая может принимать одно из двух логических значений: «истина» и «ложь». Типичными примерами в данном случае могут служить математические отношения «больше», «меньше» и «равно», обозначаемые, соответственно, символами ">", "<" и "=" и определенные (заданные) для любой пары действительных чисел.

Задать отношение можно не только для пары чисел, но и для пары любых других элементов каких-либо множеств, например, множества исследуемых инвестиционных проектов. Обозначим символом "" функцию, принимающую значение «истина», если инвестиционный проект, «имя» которого стоит слева от этого символа, превосходит по своей выгодности инвестиционный проект, чье название поставлено с правой стороны, и «выдающую» значение «ложь» в противном случае. Тогда выражение будет истинным, если проект A более выгоден, чем проект B, и ложным, когда данный факт не имеет места.

Одним из свойств, которыми могут обладать отношения, является транзитивность. Так, математическое отношение «больше» является транзитивным, поскольку из одновременной истинности выражений и всегда следует истинность выражения . А вот транзитивность вышеопределенного отношения "" хотя интуитивно и предполагается, в действительности имеет место не всегда. Причин тому может быть две: выбор не совсем корректного критерия выгодности инвестиций и нетранзитивность самих предпочтений инвестора в сложившейся ситуации.

Далее на нескольких конкретных примерах мы рассмотрим некоторые типичные случаи возникновения феномена нетранзитивности и варианты его практического использования.

Пример 1.5.1: Три группы ценных бумаг.

Аналитик фондового рынка разделил обращающиеся на нем ценные бумаги на три группы с условными названиями «Акции», «Облигации» и «Векселя», в которые вошли следующие виды бумаг:

в группу «Акции» — наиболее ликвидные акции;

в группу «Облигации» — долгосрочные государственные дисконтные облигации;

в группу «Векселя» — векселя и краткосрочные негосударственные облигации.

Затем на основе экспертных оценок он присвоил каждой группе соответствующий ей рейтинг отдельно по каждому из трех показателей: доходности, стабильности дохода и ликвидности. Результаты — свел в таблицу:

Затем аналитик решил, что из любых двух групп ценных бумаг более привлекательной для инвестирования следует считать ту, которая превзойдет другую как минимум по двум из трех представленных показателей. Так, например, облигации по сравнению с акциями имеют более высокие рейтинги стабильности дохода (2>1) и ликвидности (3>2) (хотя и уступают акциям в доходности (1<3)). Следовательно, вложение денег в облигации будет считаться более выгодным вариантом инвестирования, чем покупка акций.

Перебрав все возможные пары групп, легко убедиться в том, что установленное аналитиком отношение — будем, как и прежде, обозначать его символом "" — является нетранзитивным, поскольку согласно установленному принципу сравнения, облигации превосходят по своей привлекательности акции, векселя более выгодны, чем облигации, но акции, тем не менее, привлекательнее векселей. Таким образом, «круг замкнулся». Теперь этот аналитик может хоть каждый день представлять начальству рационализаторские предложения о «повышении» эффективности инвестиционной деятельности заключающиеся в простом переводе капитала из первой группы ценных бумаг во вторую, из второй в третью, из третьей в первую и т.д. Кроме того, нетранзитивность фактически позволяет ему «доказать», что любая из этих групп является наиболее выгодной из всех. Достаточно лишь соответствующим образом их проранжировать. К примеру, доказательство наивысшей предпочтительности облигаций в символьном виде будет выглядеть так:

облигации акции векселя.

На основании него непосвященный человек, предполагающий транзитивность данного отношения, естественно сделает вывод о том, что:

облигации векселя.

Хотя на самом деле последнее выражение является ложным.

Пример 1.5.2: Проект-«посредник».

Имеются два варианта инвестирования средств: банковский депозит (проект Б) и покупка акций (проект А). Доходность банковского вклада r_Б (банковская ставка) составляет 20% годовых, то есть годовой вклад увеличит первоначальный капитал в 1 + r_Б = 1,2 раза. Доходность же акций r_A для такого же срока вложения является случайной величиной с математическим ожиданием 30% годовых и стандартным отклонением 32% годовых, причем величина (1 + r_A) имеет логнормальное распределение вероятностей¹⁹.

Необходимо доказать, что первый инвестиционный проект (банковский вклад) экономически более эффективен²⁰, чем второй. Что в символьной форме будем обозначать как Б А.

Попробуем использовать в качестве сравнительного критерия эффективности математическое ожидание дроби , показывающей, во сколько раз коэффициент увеличения первоначального капитала при вложении денег в банк превышает соответствующий коэффициент вложения денег в акции. Тогда запись Б А (переводящаяся на обычный язык как «проект Б более эффективен, чем проект А») будет означать, что:

.

Найти математическое ожидание отношения двух логнормально распределенных случайных величин нетрудно, если воспользоваться выведенной нами в §1.4 формулой его расчета на основе математических ожиданий числителя и знаменателя и стандартного отклонения знаменателя. В данном примере:

.

То есть выбранный нами критерий эффективности не позволяет доказать, что Б А. Тем не менее, это еще не означает, что необходимо искать ему замену. Попробуем пойти обходным путем.

Введем в рассмотрение еще один, третий инвестиционный проект, с меньшей средней доходностью, но примерно с таким же уровнем риска, как и у акций. Допустим, что этим требованиям удовлетворяет покупка векселей, которую мы назовем проектом В. Будем считать, что его доходность r_B при годовом вложении имеет математическое ожидание 25% годовых и стандартное отклонение 32% годовых. Кроме того, будем считать, что величина (1 + r_B) имеет распределение вероятностей близкое к логнормальному.

Сравним теперь банковский депозит с этим проектом при помощи нашего критерия эффективности:

.

То есть можно утверждать, что Б B.

А сейчас аналогичным образом сравним между собой проекты В и А:

.

Из чего следует, что B A.

Теперь достаточно будет предать гласности два последних результата, Б B и B A, и у всякого здравомыслящего человека сложится впечатление, что Б A. Хотя в действительности это впечатление будет ложным.

Как видите, благодаря нетранзитивности отношения, используемого в качестве критерия эффективности, введение инвестиционного проекта-«посредника» позволяет «доказать» более высокую эффективность банковского вклада по сравнению с вложением денег в акции.

Пример 1.5.3: Рейтинг ликвидности банков.

Портфели ликвидных активов трех банков, А, Б и В, состоят исключительно из купонных облигаций с купонным периодом в один год. Однако моменты начала и окончания этих периодов не совпадают. По облигациям первого банка купонный доход выплачивается в начале марта каждого года. По облигациям второго — в начале июля. Третий же банк получает его в начале ноября. Вследствие чего стоимости этих портфелей за последние двенадцать месяцев изменялись так, как показано на рис.1.5.1.

Будем считать один из банков более ликвидным, чем другой, в случае если в течение более чем шести месяцев из этих двенадцати стоимость его облигационного портфеля превышала стоимость портфеля облигаций другого банка. В символьных выражениях будем использовать знак "", причем название более ликвидного банка будем ставить слева от этого знака, а менее ликвидного — справа.

Глядя на рис.1.5.1, мы можем обнаружить истинность трех следующих выражений:

Банк А Банк Б, Банк Б Банк В и Банк В Банк А.

Таким образом, место, которое каждый из этих трех банков будет занимать в рейтинге их ликвидности, целиком и полностью будет зависеть то того, кто этот рейтинг составляет, поскольку все три нижеперечисленных выражения истинны:

Банк А Банк Б Банк В,

Банк Б Банк В Банк А,

Банк В Банк А Банк Б.

Пример 1.5.4: Покупка долговых обязательств.

Наряду с прочими активами банк владеет тремя государственными дисконтными облигациями номинальной стоимостью по 1 млн. руб., которые будут погашены по номиналу через один год. Сегодня перед ним открываются три варианта дальнейших действий.

Во-первых, имеется возможность, продав все эти облигации, купить на вырученные деньги долговые обязательства²¹ фирмы, стоящей на грани банкротства, вероятность исполнения которых равна 60%, а вероятность полного неисполнения (дефолта) — 40%. В случае исполнения банк получит по ним через один год 5 млн. руб., при дефолте же — не получит ничего.

Во-вторых, банк может продать лишь две из этих трех облигаций и приобрести долговые обязательства другой, еще более неблагонадежной фирмы, вероятность исполнения которых составляет 40%, а вероятность дефолта — 60%. При благоприятном исходе банк получит по этим обязательствам через один год те же 5 млн. руб., при неблагоприятном — опять же, ничего. Кроме того, в любом случае он получит 1 млн. руб. по непроданной облигации.

И в-третьих, банк может вообще не продавать облигаций, а просто ожидать дня их погашения.

В табл.1.5.2 приведены возможные суммы дохода (в верхней строке), который банк получит через один год, а также вероятности, соответствующие этим суммам при различных вариантах действий.

Обозначим через x₁, x₂ и x₃ сумму дохода, который банк получит, соответственно, при первом, втором и третьем вариантах действий. Понятно, что x₁ и x₂ являются случайными величинами. Причем можно считать их независимыми, поскольку банкротство одной фирмы, скорее всего, никак не связано с банкротством другой.

Нетрудно убедиться, что математические ожидания всех этих трех переменных равны 3 млн. рублей:

M(x₁) = 0 · 40% + 5 · 60% = 3 млн руб.

M(x₂) = 1 · 60% + 6 · 40% = 3 млн руб.

M(x₃) = 3 · 100% = 3 млн руб.

Следовательно, если судить о выгодности имеющихся альтернатив по математическим ожиданиям доходов, которые они «обещают», то все три варианта действий следует считать одинаково выгодными.

Можно, однако, избрать и другой критерий их предпочтительности.

Например, будем считать из любых двух альтернатив более выгодной ту, которая с вероятностью, превышающей 50%, приносит больший по сравнению с другой альтернативой доход.

Посчитаем теперь вероятность того, что второй вариант действий принесет банку, в конечном счете, больший доход, чем принес бы первый:

P(x₂ > x₁) = 60% · 40% + 40% = 64% > 50%.

Аналогичным образом сравним третий вариант со вторым и первый с третьим:

P(x₃ > x₂) = 60% > 50%, P(x₁ > x₃) = 60% > 50%.

Примечание. Если бы вероятность исполнения долговых обязательств при первом варианте действий, а также вероятность их неисполнения при втором варианте равнялись числу (которое представляет собой отношение меньшей части отрезка к большей при его золотом сечении), — все три вышеприведенные вероятности были бы одинаковыми (и составляли бы примерно 61,8%).

Как видите, тут мы вновь сталкиваемся с явлением нетранзитивности, так как вынуждены признать, что вторая альтернатива лучше (выгоднее) первой, третья лучше второй, а первая лучше третьей.

Используя данный факт, аналитик легко может «доказать», например, что один (любой) из первых двух вариантов действий выгоднее другого, привлекая в случае надобности третий вариант в качестве «посредника».

Заметим, что нетранзитивные отношения могут охватывать замкнутой «цепью» не только три, но и большее число элементов.

Представим, например, что наш банк рассматривает не три, а четыре альтернативы, и таблица возможных значений его будущего дохода и соответствующих им вероятностей для каждой из этих альтернатив имеет следующий вид:

Обозначим через x_i доход банка при i-ом варианте действий, и посчитаем вероятности того, что x₂ окажется больше x₁, x₃ — больше x₂, x₄ — больше x₃, а x₁ — больше x₄ (исходя из предположения о независимости этих величин):

Как видите, вероятности эти даже несколько увеличились по сравнению с «трехальтернативным» случаем. Кроме того, они «выровнялись». Хотя математическое ожидание величины будущего дохода при любом варианте действий одинаковое — 2 млн. рублей.

Пример 1.5.5: Время ремонта аппаратуры.

На промышленном предприятии имеется отдел ремонта неисправной радиоаппаратуры. Каждый поступающий на ремонт аппарат состоит из двух блоков, только один из которых является неисправным (вероятность неисправности сразу обоих блоков пренебрежимо мала).

Время тестирования первого блока с целью поиска в нем возможной неисправности составляет 20 минут. Для устранения же этой неисправности, в случае если тест обнаружит ее, требуется еще 5 минут.

Тестирование второго блока занимает 10 минут. И столько же времени требуется на устранение неисправности, если она будет выявлена в результате теста.

На рис.1.5.2 представлены временные диаграммы трех возможных способов ремонта одного неисправного аппарата. Одно деление временной шкалы соответствует 5 минутам. Белыми кружками отмечены моменты возможного окончания работы. Через t_T1, t_T2 обозначены продолжительности тестирования, соответственно, первого и второго блоков, а через t_y1, t_y2 — продолжительности устранения неисправности в первом и во втором блоках.

Суть первого способа ремонта заключается в тестировании сначала первого блока, а уже затем, в случае его исправности, второго.

Второй способ предполагает проверку сначала второго блока, а затем, в случае необходимости, первого.

И, наконец, третий способ заключается просто в полной замене всех деталей аппарата, которые могут быть неисправными, на что требуется ровно 30 минут.

Известно, что в первом блоке неисправность возникает в среднем в два раза чаще, чем во втором. Следовательно, вероятность того, что в ремонте нуждается первый блок неисправного аппарата, равна 2/3, а вероятность того, что ремонта требует второй блок, составляет 1/3.

Представим в виде таблицы распределение вероятностей времени ремонта одного неисправного аппарата для каждого из трех способов его (ремонта) осуществления.

Произведя несложные вычисления, нетрудно убедиться в том, что ремонт одного из аппаратов при помощи первого способа займет меньше времени, чем ремонт другого аппарата²² с помощью второго способа с вероятностью:

.

Второй же способ с вероятностью 2/3 требует меньших затрат времени по сравнению с третьим. И наконец, третий способ с той же вероятностью 2/3 «гарантирует» более быстрый ремонт в сравнении с первым.

Как видите, все три вероятности превышают 50%. Хотя среднее время ремонта (его математическое ожидание) во всех трех случаях равно 30 минутам.

Предположим, что в отделе ремонта данного предприятия работают три человека: инженер, рабочий и студент-практикант. Причем инженер практикует исключительно первый способ ремонта, рабочий — исключительно второй, а студент-практикант — третий. Если между ними организовать соревнование и выдавать премию инженеру, в случае если он «обгонит» рабочего, рабочему — когда он «перегонит» студента, а студенту — когда он опередит инженера, то каждый из соревнующихся будет получать премию в среднем чаще, чем в 50 случаях из ста. С другой стороны, изменив соответствующим образом правила «состязаний», можно добиться и обратного эффекта.

Организация подобных «беспроигрышных» (в определенном смысле) соревнований является еще одним способом использования нетранзитивных отношений, о котором мы еще будем говорить в шестом разделе. В этом разделе мы опишем некоторые пути искусственного создания «нетранзитивных ситуаций».

В заключение заметим, что дискретность случайных величин, с которыми мы имели дело в двух последних примерах, не следует считать необходимым условием возникновения явления нетранзитивности. Можно было бы привести и другие аналогичные примеры, в которых эти величины были бы непрерывными²³. Однако в этом случае расчеты существенно бы усложнились.

§1.6. Использование парадокса Блая.

В этом параграфе мы, как всегда при помощи конкретных числовых примеров, рассмотрим еще одно интересное явление из области теории вероятностей, носящее название парадокса Блая [5].

Пример 1.6.1: Варианты страхования.

В ближайший месяц могут произойти три неблагоприятных для фирмы события, от которых она желала бы застраховаться, используя для этого 2 млн. рублей свободных денег. Известно, что первое событие произойдет с вероятностью 47%, второе — с вероятностью 35%, а третье — 20%. Все события независимы.

В настоящий момент экономисту этой фирмы поручено рассмотреть две следующие альтернативы:

1. Застраховаться только от первого события на сумму 4 млн. руб. При этом на оплату страхового взноса будут затрачены все 2 млн. руб. свободных денег.

2. Застраховаться от второго события на сумму 2 млн. руб., а также от третьего события на ту же сумму. При этом из имеющихся 2 млн. руб. в уплату страховых взносов уйдет только 1 млн. руб.

Помимо этого, однако, у экономиста всегда есть возможность при желании ввести в рассмотрение еще и третий, тривиальный вариант, заключающийся в отказе от страхования вообще. Поэтому мы будем рассматривать сразу все три эти альтернативы.

Обозначим через x₁, x₂ и x₃ величину денежной суммы, которую фирма будет иметь «на руках» через один месяц, в случае если изберет, соответственно, первый, второй и третий вариант действий. Распределение вероятностей этих величин приведены в следующей таблице:

Вероятности 52%, 41% и 7%, представленные во второй строке таблицы, рассчитаны на основе вероятностей второго и третьего неблагоприятных событий. Если, согласно второму варианту действий, фирма застрахуется от них обоих, то у нее «на руках» останется 1 млн. рублей, к которому либо ничего не прибавится, если ни одно из страховых событий не произойдет (вероятность такого исхода составляет (1 − 0.35) · (1 − 0.2) = 0.52); либо прибавится 2 млн. рублей, если произойдет какое-то одно из страховых событий (вероятность чего равна (1 − 0.35) · 0.2 + 0.35 · (1 − 0.2) = 0.41); либо прибавится целых 4 млн. рублей, если произойдут сразу оба события (вероятность этого равна 0.35 · 0.2 = 0.07).

Сравним теперь попарно все три рассматриваемые альтернативы посредством расчета вероятностей того, что одна из величин x₁, x₂, x₃ превзойдет по своему значению другую:

P(x₂ > x₁) = (52% + 41%) · 53% + 7% = 56,29% ,

P(x₃ > x₂) = 52% ,

P(x₃ > x₁) = 53% ,

Величина x₂ превосходит x₁ с вероятностью большей, чем 50%. То есть второй вариант страхования по сравнению с первым окажется скорее более выгодным для фирмы, чем менее выгодным.

В свою очередь величина x₃ с вероятностями, превышающими 50%, превосходит x₁ и x₂.

Таким образом, можно сделать вывод, что лучше всего для фирмы будет выбрать третий вариант действий, а хуже всего — первый.

Но посчитаем теперь для каждой из величин x₁, x₂, x₃ вероятности того, что данная величина будет иметь максимальное значение среди значений всех этих трех переменных (то есть, будет больше каждой из двух оставшихся переменных):

P(x₁ = max(x₁, x₂, x₃)) = P(x₁ > x₂ и x₁ > x₃) = 47% · (52% + 41%) = 43.71%,

P(x₂ = max(x₁, x₂, x₃)) = P(x₂ > x₁ и x₂ > x₃) = 41% · 53% + 7% = 28.73%,

P(x₃ = max(x₁, x₂, x₃)) = P(x₃ > x₁ и x₃ > x₂) = 53% · 52% = 27.56%.

(Проверим правильность вычислений: 43,71%+28,73%+27,56%=100%.)

То есть из трех величин x₁, x₂, x₃ первая может оказаться максимальной с вероятностью 43,71%, вторая — с вероятностью 28,73%, а третья — с вероятностью 27,56%.

Полученные результаты приводят нас к совершенно неожиданному заключению: первый вариант, который мы только что признали наихудшим, имеет максимальные шансы оказаться наилучшим! Тогда как третий вариант по своей привлекательности «переместился с первого места на последнее»! В этом и заключается парадокс Блая.

Данный прецедент позволяет сделать следующий вывод: альтернатива, которая при поочередном сравнении ее с каждой из прочих альтернатив в отдельности всякий раз оказывается наилучшей, может оказаться наихудшей при сравнении ее со всеми прочими альтернативами одновременно. Или, другими словами, попарное сравнение и сравнение комплексное в общем случае дают разные результаты.

Каким образом все это можно использовать на практике, наверное, ясно каждому.

Допустим, что наш экономист желал бы представить в наилучшем свете первый вариант. В этом случае ему будет достаточно ввести в рассмотрение третью альтернативу и показать, что x₁ имеет максимальные шансы оказаться наибольшей величиной среди x₁, x₂ и x₃.

Если же он захочет «заступиться» за второй вариант, то вводить третью альтернативу не следует. Достаточно лишь сравнить между собой величины x₁ и x₂, то есть рассчитать вероятность того, что x₂ будет больше x₁, и показать, что она превышает 50%.

Конечно, рассмотренный нами пример может показаться надуманным и малоинтересным с практической точки зрения. Ведь вероятности 56,29%, 52% и 53% ненамного превышают 50%, и потому достаточно даже незначительного изменения условий задачи (например, изменения вероятностей страховых событий), чтобы парадокс, в том виде, в каком он здесь представлен, исчез.

Действительно, вероятность спонтанного проявления парадокса Блая, скажем так, в «чистом» виде (когда рассматриваемые альтернативы при смене метода их сравнения меняют свой порядок в рейтинге привлекательности на полностью противоположный), по-видимому, весьма невелика. Но дело заключается в том, что для практических нужд этого в большинстве случаев и не требуется.

Попробуем упростить условия нашей задачи.

Будем считать, что существует лишь два неблагоприятных события, от которых фирма желала бы застраховаться. Оба они независимы и в течение ближайшего месяца могут произойти с вероятностями 40%.

Первый рассматриваемый вариант действий будет заключаться в страховании от одного из этих событий на сумму 4 млн. рублей, второй — в страховании от другого события на сумму 2 млн. рублей, третий — по-прежнему, в отказе от какого бы то ни было страхования.

Теперь распределение вероятностей денежной суммы, которой фирма будет располагать через месяц, примет более простой вид (см. табл.1.6.2):

Произведем расчеты, аналогичные выполненным ранее:

P(x₂ > x₁) = 60%,

P(x₃ > x₂) = 60%,

P(x₃ > x₁) = 60%.

P(x₁ = max(x₁, x₂, x₃)) = P(x₁ > x₂ и x₁ > x₃) = 40%,

P(x₂ = max(x₁, x₂, x₃)) = P(x₂ > x₁ и x₂ > x₃) = 40% · 60% = 24%,

P(x₃ = max(x₁, x₂, x₃)) = P(x₃ > x₁ и x₃ > x₂) = 60% · 60% = 36%.

Как видите, в данном случае смена способа сравнения по-прежнему перемещает первый вариант действий с последнего места в рейтинге привлекательности (при попарном сравнении) на первое (при комплексном сравнении). Но третий вариант при этом с первого места перемещается уже не на последнее, а на промежуточное. То есть парадокс Блая проявляется лишь «частично».

Но, несмотря на это, наш экономист по-прежнему может его использовать. И даже более эффективно, чем прежде. Поскольку сравнение исключительно величин x₁ и x₂ опять же свидетельствует в пользу второй альтернативы, а комплексное сравнение x₁, x₂ и x₃ — в пользу первой; причем оба свидетельства стали более «убедительными», поскольку вероятность P(x₂ > x₁) превышает 50% уже на целых 10%, да и отношение P(x₁ = max(x₁, x₂, x₃)) к P(x₂ = max(x₁, x₂, x₃)) несколько увеличилось.

Также как и с явлением нетранзитивности с парадоксом Блая можно столкнуться при анализе не только дискретных, но и непрерывных случайных величин. Что подтверждается следующим примером.

Пример 1.6.2: Два вида акций.

Доходность r_A акций предприятия А, а также доходность r_Б акций предприятия Б являются независимыми случайными величинами с математическими ожиданиями 25% и 20% годовых и стандартными отклонениями 50% и 20% годовых, соответственно. Причем величины (1 +r_А) и (1 +r_Б) имеют логнормальное распределение вероятностей. Банковская ставка r составляет 20% годовых.²⁴

Требуется определить, в которые акции выгоднее вкладывать деньги.

Будем рассматривать вложение денег в банковский депозит как третий альтернативный инвестиционный проект (тривиальная альтернатива).

Сравним попарно все три варианта инвестирования (расчеты мы опускаем):

P(r > r_А) = 53.5%,

P(r > r_Б) = 53.3%,

P(r_Б > r_А) = 51.9%.

Все вероятности превышают 50%, что дает основания считать вложение в банк наиболее привлекательным проектом, а вложение в акции предприятия А — наименее привлекательным.

Но произведем теперь комплексные сравнения:

P(r = max(r_А, r_Б, r)) = 28.5%,

P(r_Б = max(r_А, r_Б, r)) = 30.6%,

P(r_А = max(r_А, r_Б, r)) = 40.9%.

И вот уже «на первое место выходят» акции предприятия А, а место «аутсайдера» занимает банковский вклад.

Таким образом, несмотря на то, что исходные данные задачи подобраны не так уж тщательно, парадокс Блая проявляется вновь, причем полностью. Что же касается его частичных проявлений, то они возможны практически во всех случаях сравнения трех приблизительно одинаковых по средней доходности, но разных по риску инвестиционных проектов.

И в заключение заметим, что ситуации, в которых парадокс Блая имеет место, также как и ситуации, описанные в предыдущем параграфе (§1.5), могут быть созданы и искусственно, о чем еще будет сказано в шестом разделе.

Раздел 2. Выбор между доходностью и стоимостью.

Необходимо признать, что количество книг по оценке инвестиций, выпущенных к настоящему времени, давно уже превзошло количество их потенциальных читателей. Не будем говорить о том, плохи эти книги или хороши; отметим лишь тот факт, что большинство прочитавших их людей обычно обретает твердую уверенность в том, что современная экономическая теория предлагает нам два практически равноценных и эквивалентных по своим показаниям критерия оценки инвестиционных проектов: внутреннюю норму доходности IRR и чистую современную стоимость NPV. Иногда, правда, наиболее продвинутые читатели уясняют также и то, что использовать внутреннюю норму доходности следует осторожно, поскольку существуют некоторые, немногочисленные случаи, когда естественные на первый взгляд выводы, сделанные с помощью этого критерия, могут оказаться неверными. Однако такие люди встречаются еще реже, чем упомянутые случаи. К тому же, даже им обычно бывает очень трудно полностью отказаться от доходности в пользу стоимости. Поэтому, если тот, для кого вы проводите свой экономический анализ, окажется человеком «начитанным» и пожелает конкретно указать, какие критерии эффективности инвестиций следует использовать, весьма вероятно, что он либо предложит вам на выбор критерии IRR и NPV, либо потребует использовать внутреннюю норму доходности IRR, поскольку доходность всегда была ближе сердцу российского экономиста, чем любой из ее «заморских конкурентов». Однако иллюзии по поводу равноценности показателей IRR и NPV развеиваются достаточно легко путем приведения многочисленных аргументов против первого из них, которые еще будут перечислены в §2.4. Так что, даже если «заказчик» и настаивает на критерии IRR, при желании его обычно бывает нетрудно переубедить и склонить к использованию NPV. Таким образом, возможность выбора среди этих двух показателей, как правило, существует даже тогда, когда вы имеете дело с относительно образованным «клиентом».

В данном разделе мы поговорим о том, как правильно пользоваться этой возможностью.

§2.1. Сравнение проектов по доходности и по стоимости.

Утверждение о том, что большей доходности инвестиционного проекта соответствует большая выгодность (или эффективность), у многих экономистов возражений не вызывает. Да и с тем, что выгодность инвестиции пропорциональна ее чистой современной стоимости NPV, спорить тоже мало кто станет. А раз так, то большей доходности вроде бы всегда должна соответствовать и большая NPV.

В настоящем параграфе будут рассмотрены три простейших случая, позволяющих доказать ошибочность этого заключения.

а) Инвестиции различаются по масштабам.

Пример 2.1.1: Выбор объема производства.

Предприятие решает, какую сумму ему следует вложить в производство, 1 млн. руб. или 2 млн. руб. В первом случае по прошествии 1 месяца оно сможет продать произведенную им продукцию за 1,05 млн. руб., во втором — за 2,08 млн. руб.

Доходность инвестиций, таким образом, с ростом объема производства снижается, поскольку составляет 1,05/1–1=5% в месяц при вложении 1-го млн. руб. и 2,08/2–1=4% в месяц при вложении 2-х млн. руб. (Что является типичным следствием насыщения рынка данной продукцией и падения ее цены.) Следовательно, если судить о выгодности инвестиций по их доходности (а точнее, если считать, что более доходное вложение является и более выгодным), следует предпочесть первый вариант — вложение 1 млн. руб.

Однако если принимать решение на основе чистой современной стоимости имеющихся альтернатив, то при банковской ставке менее 3% в месяц предпочтение будет отдано инвестированию 2 млн. руб., поскольку:

млн руб.,

млн руб.,

а значит, при банковской ставке менее 3% в месяц NPV₂ будет превышать NPV₁.

Таким образом, критерии IRR и NPV могут давать и противоречивые показания. И, стало быть, выбирая более подходящий из них, можно полностью предопределить результаты экономического анализа.

Важно заметить, что даже, если «клиент» вопреки уговорам упорно требует использовать в качестве критерия выгодности только доходность (или ее внутреннюю норму), а вам, тем не менее, очень хочется показать, что второй вариант инвестирования лучше первого, то достичь этой цели можно и без использования чистой современной стоимости. Достаточно лишь воспользоваться методом разностных платежей.

Посмотрим, как изменятся денежные потоки предприятия при «переходе» от первой альтернативы ко второй. Очевидно, что затраты при этом возрастают на 2–1=1 млн. руб., а доходы на 2,08–1,05=1,03 млн. руб. То есть, другими словами, отказываясь от первой альтернативы в пользу второй, предприятие на дополнительно вложенный миллион рублей получает через месяц дополнительный доход в 1,03 млн. рублей (соответственно, доходность такого вложения будет равна 3% в месяц.). Очевидно, что такой «переход» будет выгоден, в случае если банковская ставка составляет менее 3% в месяц. И то же самое «говорит» нам критерий NPV (см. выше), без которого мы благодаря методу разностных платежей, как видите, сумели обойтись.

б) Инвестиции различаются по продолжительностям.

Пример 2.1.2: Продажа товара.

На производство одной партии товара предпринимателю необходимо затратить 100 тыс. рублей денег и 1 месяц времени. Оптовая фирма согласна купить у него одну такую партию по цене 105 тыс. руб., если предприниматель потребует немедленной оплаты переданного ей товара, или по цене 108 тыс. руб., если он согласится поставить товар в кредит с отсрочкой оплаты в 1 месяц. То есть в первом случае предприниматель получит за свой товар 105 тыс. рублей по прошествии 1 месяца после затраты 100 тыс. рублей на его изготовление, а во втором — 108 тыс. рублей по прошествии 2 месяцев.

Доходность такой деятельности для первого и второго вариантов реализации продукции составит, соответственно:

в месяц и в месяц.

А ее чистая современная стоимость при банковской ставке, например, 2% в месяц будет равна:

тыс. руб. в первом случае и:

тыс. руб. во втором.

И вновь доходность и стоимость «подталкивают» нас к совершенно противоположным выводам. Ибо первый вариант более доходен, а второй имеет большую современную стоимость.

И так же, как и в первом примере, мы можем избежать необходимости использования критерия NPV, воспользовавшись методом разностных платежей.

При «переходе» от первого варианта ко второму размер первоначальных затрат не меняется. Однако доход, который предприниматель получит 1 месяц спустя уменьшается со 105 тыс. руб. до нуля, что эквивалентно затратам 105 тыс. рублей. Доход же, который будет им получен по прошествии 2 месяцев увеличивается с нуля рублей до 108 тыс. руб. Таким образом, отказываясь от первой альтернативы в пользу второй, предприниматель как бы инвестирует дополнительные 105 тыс. рублей через месяц после начала производства, а спустя еще один месяц получает дополнительный доход в размере 108 тыс. рублей. Доходность этой операции равна 108/105–1=2,86% в месяц, что больше банковской ставки (2% в месяц), на основе которой мы рассчитывали чистую современную стоимость.

в) Инвестиции различаются по моментам начала их осуществления.

Пример 2.1.3: Продажа сезонного товара.

На складах оптовой базы «завалялась» партия некоторого товара. Чтобы ее продать, необходимо затратить 100 тыс. рублей на рекламу и на развоз товара по магазинам, которым потребуется шесть месяцев для того, чтобы реализовать весь товар в розницу. После чего оптовая база получит причитающиеся ей деньги — 300 тыс. рублей.

Однако все эти действия можно осуществить не только сейчас, но и спустя полгода. При этом в результате продажи база получит уже не 300, а 310 тыс. рублей, ввиду того, что товар сезонный и через полгода его розничная цена несколько вырастет.

Необходимо определить, какой из существующих вариантов является более выгодным при условии, что банковская ставка равна 10% полугодовых.

Как и прежде, сравним существующие альтернативы по доходности (IRR) и по стоимости (NPV):

Первый вариант:

полугодовых;

тыс. рублей.

Второй вариант:

полугодовых;

тыс. рублей.

То есть первый вариант уступает второму в доходности, но превосходит его по стоимости. Ситуация аналогична двум вышеописанным.

Что же касается метода разностных платежей, то в этом примере он также может служить альтернативой критерию NPV. Однако в данном случае необходимо будет рассчитать внутреннюю норму доходности уже не двух, а трех денежных потоков (одного расхода и двух доходов), для чего простейший способ расчета доходности, которым мы пользовались ранее, уже не годится. Потребуется прибегнуть к составлению и решению квадратного уравнения.

§2.2. Вложение и заимствование.

Оценивая привлекательность вложения денег, мы считаем его выгодным, если его доходность превосходит банковский процент.

Когда же речь идет о заимствовании, мы считаем его выгодным для заемщика в том случае, когда ссудный процент меньше банковской ставки.

На следующем примере мы покажем, как легко бывает иногда перепутать эти два принципа принятия решения.

Пример 2.2.1: Строительные работы.

Строительная организация оценивает целесообразность заключения с заказчиком договора на выполнение строительных работ на следующих условиях.

Сначала заказчик перечисляет ей в качестве предоплаты 65 млн. руб. Затем в течение одного квартала строительная организация производит подготовительные работы, после чего затрачивает 100 млн. руб. на покупку стройматериалов и наем бригады строителей. Спустя еще три квартала все работы будут завершены, а заказчик уплатит оставшуюся часть причитающихся с него денег, составляющую 37 млн. руб.

Внутренняя норма доходности IRR этого инвестиционного проекта равна 23,97% в квартал. (В чем нетрудно убедиться, рассчитав его чистую современную стоимость, используя значение 23,97% в качестве нормы дисконта:

.)

Если предположить, что банковская ставка составляет, к примеру, 6% в квартал, то можно признать рассматриваемый инвестиционный проект выгодным, так как 23,97%>6%.

Однако же рассчитав его NPV:

млн. руб.,

легко принять и полностью противоположное решение, поскольку -0,032<0.

Секрет этого противоречия заключается в том, что график зависимости чистой современной стоимости NPV этого проекта от нормы дисконта r с ростом r пересекает в точке r=23,97% горизонтальную ось в направлении снизу вверх (что типично для займа), а не сверху вниз (что типично для вложения денег). Поэтому тот факт, что его IRR превышает банковскую ставку, говорит скорее о его убыточности, чем о выгодности.

Более подробное описание данного явления можно найти в [1].

Таким образом, мы обнаруживаем еще один случай, когда результаты экономического исследования могут существенно зависеть от выбранного критерия оценки.

§2.3. Усреднение показателей при расчете стоимости и доходности.

В §1.2 мы уже разбирали ситуации, в которых существует возможность существенного влияния на результаты проводимого анализа путем выбора усредняемого показателя. В данном же параграфе мы покажем, насколько полезным может оказаться подобный метод при расчете доходности (или IRR) и стоимости (или NPV) экономической деятельности.

Понятно, что доходность и стоимость являются величинами так или иначе взаимосвязанными. Посмотрим, каким может быть характер этой зависимости.

В самом простейшем (но не тривиальном) случае инвестиционный проект заключает в себе два денежных потока — первоначальную затрату некоторой суммы денег S₁ и последующий доход S₂. Причем величина затраты бывает, как правило, фиксирована и заранее известна. А вот доход обычно имеет случайный, заранее не предопределенный размер. Разумеется, доходность r такого инвестирования также является величиной случайной. Если обозначить через r_Б банковскую ставку, а через T — время, разделяющее моменты осуществления затраты и получения дохода, то зависимость NPV от r будет иметь следующий вид:

.

Нетрудно заметить, что достаточно принять интервал T за единицу измерения времени (что в подобных случаях для упрощения расчетов практикуется довольно часто), и эта зависимость становится линейной; а значит какой бы из двух показателей, NPV и r, мы ни избрали в качестве усредняемого, итог анализа будет одним и тем же.

Отчасти благодаря именно этому факту среди не слишком «глубокомыслящих» экономистов давно сложилось подсознательное мнение, что если один из инвестиционных проектов обеспечивает более высокую среднюю доходность, то он имеет и более высокую среднюю NPV.

Разумеется, мнение это соответствует действительности далеко не всегда, причем отнюдь не только по причинам, изложенным в двух предыдущих параграфах (§2.1 и §2.2).

Так, даже в рамках только что описанной элементарной модели инвестиционного проекта можно выделить целых три характерных и достаточно часто встречающихся на практике случая, когда зависимость NPV(r) носит нелинейный характер:

1. S₂ — случайная величина (S₁ и T детерминированы) и T≠1. При этом функция NPV(r) имеет вышеуказанный вид.

2. S₁ — случайная величина (S₂ и T детерминированы). При этом:

.

3. T — случайная величина (S₁ и S₂ детерминированы). При этом:

(поскольку ).

Три нижеприведенных примера соответствуют именно этим трем случаям.

Пример 2.3.1: Инвестирование со случайным доходом.

При вложении денег сроком на один квартал инвестиционный проект приносит на каждый вложенный рубль доход в 1,2 рубля при благоприятном стечении обстоятельств и 0,9 рубля при неблагоприятном. Оба исхода одинаково вероятны. Требуется оценить эффективность данного инвестиционного проекта в сравнении с банковским депозитом при условии, что банковская ставка составляет 30% годовых или квартальных.

Примем срок в один год в качестве единицы измерения времени (то есть будем измерять доходность в годовых процентах).

Доходность рассматриваемого проекта будет равна 1.2⁴ − 11 = 107.36% годовых в случае удачи и 0.9⁴ − 1 = −34.39% годовых в противном случае.

В данном примере существует три альтернативных варианта использования нелинейного характера зависимости между доходностью и стоимостью.

Первый из них заключается в выборе подходящего критерия эффективности.

Если имеется желание завысить выгодность оцениваемого проекта, следует сравнивать данный проект и банковский депозит по их доходностям. При этом средняя доходность проекта, равная: (107.36% − 34.39%)/2 = 36.485% годовых, превзойдет банковскую ставку (30% годовых).

Если же требуется получить противоположный результат, сравнивать следует чистые современные стоимости или даже просто величины доходов, приносимых рассматриваемым инвестиционным проектом и квартальным банковским депозитом, при условии равенства первоначальных вложений. Так, помещая, скажем, 1 млн рублей на три месяца в банк мы можем получить по прошествии этого срока 1,0678 млн рублей дохода. Однако, инвестируя ту же сумму в оцениваемый проект, мы получим в среднем лишь (1.2 + 0.9)/2 = 1.05 млн рублей, что, естественно, свидетельствует о его невыгодности.

Второй вариант предполагает сравнение инвестиций исключительно по их доходностям, рассчитанным, однако же, с помощью двух различных способов.

Так, усреднение возможных значений доходности нашего проекта, как уже было показано выше, дает результат 36,485% годовых, что больше банковской ставки (30% годовых). Однако если усреднить возможные величины приносимого им дохода, а затем рассчитать его доходность на основе полученного среднего, результат будет совсем другим:

годовых (21,55%<30%).

И наконец, третий вариант заключается в сравнении альтернатив исключительно на основе их чистых современных стоимостей или же просто на основе величин дохода, который они могут принести (опять же, разумеется, при условии равенства первоначальных затрат).

Как уже было показано выше, при вложении в рассматриваемый инвестиционный проект 1 млн. рублей мы будем иметь через 1 квартал в среднем 1,05 млн. рублей. Тогда как от банковского депозита при тех же условиях мы можем получить 1,0678 млн. рублей (1,05<1,0678).

Но возьмем теперь среднюю доходность проекта (36,485%) и посчитаем, какой доход должен приносить квартальный банковский депозит на вложенный миллион рублей, чтобы его годовая доходность составляла такую же величину:

млн рублей.

А это уже существенно больше, чем 1,0678 млн. рублей.

Заметим, что, рассматривая второй и третий варианты проведения анализа, мы вообще-то несколько забегаем вперед. Поскольку методы завышения и занижения доходности и стоимости будут рассматриваться в двух последующих разделах.

Пример 2.3.2: Покупка акций с продажей фьючерса.

В условиях существования фьючерсного рынка акций одной из многочисленных возможностей инвестирования денег является покупка некоторого количества акций, сопряженная с одновременной, последующей, а то и предшествующей продажей этих акций в том же количестве путем заключения фьючерсного контракта²⁵.

Допустим, что инвестор собирается купить акции в количестве 1000 штук. Но не сегодня, а только через полгода. Сегодня же он намеревается заключить фьючерсный контракт на продажу этой тысячи (еще не купленных) акций (с тем, чтобы застраховаться от падения их рыночной цены), срок исполнения которого наступит через 1 год.

Сегодня рыночная цена акций составляет 1 рубль за штуку. Цена же, которую они будут иметь через полгода, является логнормально распределенной случайной величиной X с математическим ожиданием 1,15 руб./шт. и стандартным отклонением 0,3 руб./шт. Банковская ставка равна 10% полугодовых.

Попробуем оценить эффективность этого инвестиционного проекта.

Несмотря на то, что фьючерсная цена акций, по которой сегодня можно заключить контракт на их продажу с исполнением через год, условиями задачи не определена, мы легко найдем ее логическим путем.

Поскольку сегодняшняя покупка акций с одновременным заключением фьючерсного контракта на их продажу была бы эквивалентна по уровню риска вложению денег в банк на период времени с сегодняшнего дня до дня исполнения фьючерса,²⁶ доходность подобной покупки-продажи должна хотя бы приблизительно равняться доходности банковского депозита. Иначе либо никто не станет вкладывать деньги в банк, либо держатели этих акций продадут их и одновременно заключат фьючерсные контракты на их покупку, с тем чтобы продержать вырученные от продажи деньги на банковских депозитах вплоть до дня исполнения заключенных контрактов.

Исходя из этих соображений, можно сделать вывод, что сегодня фьючерсные сделки купли-продажи акций с исполнением через 1 год должны заключаться рыночными трейдерами по цене, превышающей цену обычных (нефьючерсных) сделок (цену-спот) в раз. Стало быть, сегодня наш инвестор сможет продать свои акции по фьючерсной цене 1,21 руб./шт.

Однако мы не знаем точно, по какой цене он сможет купить их через полгода. Следовательно, доходность r всей операции в целом также является величиной случайной, равной:

полугодовых единиц.

Математическое ожидание этой величины мы можем найти достаточно легко, если воспользуемся выведенной в §1.4.в формулой расчета математического ожидания отношения двух логнормально распределенных случайных величин:

=12,38% полугодовых.

В качестве альтернативы оцениваемому инвестиционному проекту будем рассматривать вложение 1100 рублей через полгода на полугодовой банковский депозит, позволяющее инвестору получить по окончании срока вклада (то есть через год, считая от сегодняшнего дня) доход в размере 1210 рублей. Эта сумма в точности равна доходу, который инвестор получил бы через год в результате продажи 1000 акций по фьючерсной цене 1,21 руб./шт.

Таким образом, ввиду того, что сравниваемые варианты вложения средств (покупка-продажа акций и банковский депозит) различаются лишь по величине первоначальных затрат (1000·X рублей и 1100 рублей), прочие же их параметры (величина дохода, а также моменты осуществления затрат и получения дохода) совпадают, — вместо чистой современной стоимости (NPV) мы можем использовать в качестве критерия эффективности данных инвестиций величину этих самых затрат.

Теперь так же, как и в предыдущем примере перед нами открываются три пути использования нелинейности функции NPV(r).

Во-первых, манипулировать результатами анализа можно просто посредством выбора подходящего критерия эффективности, осуществляемого между доходностью и стоимостью.

Так, средняя доходность инвестирования в акции, как мы уже рассчитали выше, составляет 12,38% полугодовых. Банковский же депозит дает всего лишь 10% полугодовых.

Однако покупка акций (в количестве 1000 штук) требует затраты в среднем 1000 · 1.15 = 1150 рублей. Тогда как вложение в банк всего лишь 1100 рублей обеспечивает в будущем точно такой же доход, что и продажа 1000 акций по фьючерсной цене 1,21 руб./шт.

Во-вторых, добиться желаемого результата можно путем выбора оптимального способа расчета доходности.

Если с доходностью банковского вклада сравнивать математическое ожидание доходности вложения в акции, то второй вариант инвестирования покажется более привлекательным.

Если же «с целью упрощения вычислений» рассчитать среднюю доходность акций приближенно, через отношение величины дохода от их продажи к средней величине затрат на их покупку, результат сравнения будет иным:

полугодовых (5,22%<10%).

И в третьих, достичь поставленной цели можно посредством подбора способа расчета средней величины затрат (или же средней величины NPV).

Как следует из условий задачи, математическое ожидание величины затрат на покупку акций превышает сумму, которую необходимо внести в банковский депозит (1150 руб. > 1100 руб.). Что свидетельствует в пользу банковского вклада.

Однако, рассчитав средние затраты на покупку акций приближенно, на основе дохода от их продажи и средней доходности всей этой торговой операции, мы получим совершенно другое число:

рублей (1076,7<1100).

Теперь уже вложение в акции может показаться более эффективным по сравнению с банковским вкладом.

Пример 2.3.3: Продажа партии товара.

Торговая фирма собирается закупить партию товара по цене 100 тыс. рублей, которую впоследствии намеревается реализовать уже за 105 тыс. рублей. Время реализации T (определяемое моментом получения фирмой денег) составит по оптимистическим прогнозам 1 месяц, а по пессимистическим — 6 месяцев. Банковская ставка равна 2% в месяц. Требуется оценить эффективность этого инвестиционного проекта.

В данном примере, как и в двух предыдущих, существует несколько вариантов использования свойств нелинейных зависимостей.

Рассчитаем возможные значения доходности и чистой современной стоимости рассматриваемого проекта.

В благоприятном случае (при Т = 1) эти показатели будут равны:

в месяц; тыс. рублей.

А в неблагоприятном (при Т = 6):

в месяц; тыс. рублей.

Средняя доходность оцениваемого проекта превышает банковскую ставку:

в месяц ().

Что говорит о его выгодности.

Однако его средняя NPV меньше нуля:

тыс. рублей.

Из чего следует, что банковский депозит является более эффективным вложением денег.

Примерно такое же значение средней NPV мы получим, если рассчитаем его на основе среднего времени реализации товара²⁷:

месяца, тыс. руб.

Таким образом, выбирая подходящий критерий оценки, можно прийти к любому выводу.

Аналогичный эффект дает нам и подбор способа расчета средней доходности.

Как уже было показано выше, усреднение значений доходности, соответствующих оптимистическому и пессимистическому прогнозам, позволяет доказать более высокую эффективность оцениваемого проекта по сравнению с банковским вкладом (2,9% > 2%).

Тем не менее, рассчитав среднюю доходность на основе среднего времени реализации, получим существенно иной результат:

в месяц (1.4% < 2%).

Манипуляция способами расчета чистой современной стоимости, в принципе, здесь также возможна. Но, к сожалению, расчет средней NPV через среднюю доходность в данном случае было бы трудно обосновать; расчет же стоимости через среднее время реализации, как уже было показано, не дает значительного эффекта, ввиду слабо выраженной нелинейности функции NPV(r).

В заключение заметим, что метод, рассмотренный в настоящем параграфе, а также в §1.2, в большинстве случаев позволяет завышать и занижать доходность в более значительной степени, чем стоимость, что вполне объяснимо. Ведь выгодность инвестиционного проекта непосредственно определяется двумя группами параметров: величинами его денежных потоков и моментами их поступления. И если доходность зачастую бывает связана нелинейными зависимостями с каждым из этих параметров, то стоимость линейно зависит от величин потоков и почти линейно (в чем мы убедились на последнем примере) от моментов их поступления.

§2.4. Аргументы «за» и «против».

Учитывая, что выбор между доходностью и стоимостью имеет иногда столь важное значение, приведем перечень возможных доводов в пользу того и другого критерия, при помощи которых можно, если потребуется, обосновать свой выбор.

Аргументы в пользу доходности (IRR):

1. С помощью доходности удобно оценивать инвестиционный проект с произвольным масштабом, то есть приносящий доход, пропорциональный вкладываемым в него средствам. Поскольку при расчете доходности, по сути, учитываются не абсолютные величины затрат и доходов, а лишь соотношения между этими величинами.

2. С помощью доходности удобно оценивать инвестиционный проект, который можно осуществить многократно, несколько раз подряд реинвестируя полученные доходы. Поскольку само приведение доходности к годовому, квартальному или иному проценту неявно предполагает возможность реинвестирования капитала.

3. Для расчета доходности не требуется знать величину действующей банковской ставки, тогда как для расчета NPV знать эту ставку необходимо.²⁸

4. В отличие от NPV, использовать доходность можно даже в том случае, когда банковская ставка по кредитам существенно превосходит ставку по вкладам.

5. Знание доходности инвестиционного проекта позволяет определить пределы возможных колебаний банковской ставки, при которых этот проект продолжает оставаться выгодным.

Аргументы в пользу стоимости (NPV):

1. NPV удобно использовать для оценки инвестиционных проектов, имеющих фиксированный масштаб (то есть фиксированную в рублевом выражении величину затрат и доходов), а также проектов, которые можно осуществить лишь один раз.

2. NPV всегда имеет одно и только одно значение, тогда как внутренняя норма доходности инвестиций с более чем двумя денежными потоками может оказаться неоднозначной или же вообще не иметь значения.

3. Внутренняя норма доходности инвестиционного проекта с более чем двумя денежными потоками в общем случае вообще не позволяет оценить его выгодность (даже если известна банковская ставка), поскольку не всегда можно определить, следует ли рассматривать этот проект как вложение денег или как их заимствование. Критерий же NPV лишен этого недостатка.

4. В случае, когда одна из двух инвестиций имеет по сравнению с другой более высокую NPV, но менее высокую доходность, более выгодной является та, которая обладает большей NPV.

5. Чистая современная стоимость в отличие от доходности обладает свойством аддитивности, поскольку NPV нескольких инвестиционных проектов, осуществляемых вместе, равна сумме NPV каждого из них в отдельности.

Раздел 3. Как завысить (занизить) доходность.

К сожалению, возможность самостоятельного выбора критерия оценки инвестиций предоставляется экономисту далеко не всегда. «Заказчик» исследования вполне может определенно «намекнуть», что из всех показателей для него важнейшим является доходность (или ее внутренняя норма). Однако при этом он скорее всего не станет указывать, каким способом эту доходность следует рассчитывать.

О том, насколько существенно значения этого показателя могут зависеть от способа его вычисления, повествует настоящий раздел.

§3.1. Использование формулы простых процентов.

Одним из самых легких способов завышения и занижения доходности является использование при ее расчете формулы простых процентов.

Пример 3.1.1: Доходность бескупонных облигаций.

Рыночная стоимость бескупонных облигаций, срок погашения которых наступает через полгода, составляет 82,65% от номинала. Банк же начисляет 10% по квартальным вкладам и 46,41% по годовым (заметьте, что 1.1⁴ − 1 = 46.41%). Необходимо доказать как то, что вложение денег в эти облигации является более доходной инвестицией, чем банковский вклад, так и то, что оно имеет меньшую доходность по сравнению с вложением в банк.

Купив сегодня эти облигации по цене 82,65% от их номинала, можно получить по ним через полгода 100%, то есть сумму, в 100%/82,65%=1,21 раза (или на 21%) превышающую первоначальные затраты. И ровно столько же можно получить, вложив деньги на два квартала в банк: 1.1² − 1 = 21%.

Таким образом, сравнение полугодовых доходностей рассматриваемых инвестиционных проектов говорит об их одинаковой эффективности.

Но попробуем теперь рассчитать по формуле простых процентов квартальную и годовую доходности облигаций:

21%/2=10,5% квартальных,

21% · 2 = 42% годовых.

Нетрудно заметить, что квартальная доходность облигаций превосходит соответствующий показатель банковского депозита (10,5%>10%), а годовая — наоборот, «не дотягивает» до него (42%<46,41%). Хотя мы знаем, что в действительности эффективность обоих вариантов инвестирования одинакова.

Следовательно, при переходе от более короткого периода времени к более продолжительному пересчет доходности инвестиции по формуле простых процентов приводит к занижению ее эффективности, а при переходе от более длинного интервала к более короткому — к завышению.

Особенно сильно этот эффект проявляется при больших значениях доходности.

§3.2. Приведение доходности к заданному временному интервалу в условиях риска.

Пересчет доходности инвестиций при переходе к другому (по длительности) периоду времени представляет для нас интерес не только в плане возможного использования формулы простых процентов. Существует еще одно, не менее интересное обстоятельство, связанное с этой процедурой.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 3.2.1. Эффективность производства.

Изготовление одной партии нового товара (производственный цикл) занимает три месяца. Поэтому и минимальный срок вложения денег в это производство равен одному кварталу. Доходность же такой инвестиции является величиной случайной и составит 20% квартальных в случае успеха и -10% квартальных в случае неудачи. Оба результата равновероятны.

Требуется оценить годовую доходность этого проекта.

Традиционный способ приведения доходности к иному временному интервалу заключается в ее пересчете при помощи формулы сложных процентов. Применительно к нашему случаю, она будет иметь следующий вид:

r_Г = (1 + r_К)⁴ − 1.

где r_Г — годовая доходность, r_K — квартальная доходность.

Однако, если мы попытаемся адаптировать эту формулу к использованию в условиях риска (то есть в ситуациях, в которых r_K является величиной случайной), мы обнаружим по крайней мере два возможных способа ее модернизации, приходящих на ум практически одновременно.

Во-первых, мы можем считать, что формула сложных процентов отражает функциональную зависимость между значениями случайных величин r_K и r_Г. Тогда в нашем примере среднюю годовую доходность инвестиций следует рассчитывать так:

Во-вторых, можно истолковать ее как выражение функциональной зависимости между математическими ожиданиями величин r_К и r_Г, то есть считать, что:

.

(Заметьте, что, хотя в общем случае M((1 + r_К)⁴) − 1 ≠ (1 + M(r_K))4 − 1, — при отсутствии риска, то есть, когда r_К неслучайна, неравенство превращается в тождество.)

Прибегнув к первому варианту обобщения формулы сложных процентов, мы должны будем записать в своем аналитическом отчете приблизительно следующее:

Средняя (ожидаемая) годовая (или приведенная к годовым единицам) доходность квартального вложения денег равна (1 + M((1 + r_K)⁴ − 1) = 36.48% годовых.

При избрании же второго варианта наш отчет будет содержать несколько иную формулировку:

Приведенная к годовым единицам (или к годовому проценту) средняя (ожидаемая) доходность квартального вложения денег равна (1 + M(r_K))⁴ − 1 = 21.55% годовых.

Несмотря на кажущуюся эквивалентность смыслового содержания этих двух высказываний, при внимательном прочтении можно понять, что речь в них идет о разных годовых доходностях, которые, в чем мы только что убедились, могут весьма существенно различаться по своей величине.

Однако два вышеописанных способа вычисления средней годовой доходности не являются единственными альтернативами. Если немного подумать, нетрудно обнаружить еще один достаточно резонный вариант расчета.

Поразмыслим над тем, какой смысл мы обычно вкладываем в слова: «средняя доходность вложения денег сроком на один квартал составляет N процентов годовых». Произнося их, мы зачастую (хотя, быть может, и не всегда) подразумеваем, что, если инвестор вложит деньги на один квартал в данный инвестиционный проект, а затем в начале каждого из трех последующих кварталов будет реинвестировать свой капитал в проекты с такой же доходностью, то полученный им в конце года доход составит N процентов от первоначальных затрат.

А теперь представим, что мы решили вложить деньги в рассматриваемый нами инвестиционный проект (производство нового товара) сроком на один год, то есть осуществить не один, а четыре производственных цикла. При этом будем считать, что доходность каждого квартала этого года (доходность каждого цикла), независимо от итогов предшествующих кварталов, с равными вероятностями может составить как 20%, так и -10%.

Поскольку оба этих исхода равновероятны, то, скорее всего, из четырех кварталов года два окажутся прибыльными, и два — убыточными²⁹. Следовательно, наиболее вероятным значением полученной за год доходности является следующее:

(1 + 0.2)² · (1 − 0.1)² − 1 = 16.64% годовых.

В аналитический же отчет можно включить, к примеру, одно из двух нижеприведенных утверждений:

Наиболее вероятное значение доходности годового вложения денег для нашего инвестиционного проекта составляет 16,64% годовых.

При одинаковом количестве успехов и неудач доходность (любого по сроку) вложения будет равна 16,64% годовых.

Примечание. В общем случае, когда доходность инвестиции r может принимать n возможных значений r₁, r₂, … r_n с вероятностями p₁, p₂, … p_n соответственно, эти рассуждения потребуется несколько усложнить.

Будем считать, что срок вложения наших денег составляет не четыре, а T кварталов. Причем T — достаточно большое натуральное число. Тогда в результате этого инвестирования приблизительно r₁ · T кварталов принесут нам доходность r₁, p₂ · T кварталов «дадут» доходность r₂ и т.д. Следовательно, наиболее вероятным результатом такого инвестирования будет увеличение первоначального капитала приблизительно в:

(1 + r₁)^p₁·T · (1 + r₂)^p₂·T · ... (1 + r_n)^p_n·T раз,

что будет соответствовать доходности:

Таким образом, три вышеописанных варианта расчета позволяют получить три совершенно разных оценки годовой доходности нашего проекта: 36,48%, 21,55% и 16,64%.

Самое же интересное заключается в том, что в данном примере каждая из этих оценок при соответствующих обстоятельствах может оказаться наиболее корректной из всех.

Допустим, что мы вкладываем деньги в рассматриваемый инвестиционный проект сроком на один год (то есть на четыре производственных цикла). Обозначим через r_K1, r_K2, r_K3 и r_K4 доходности, которые будут получены нами в первом, втором, третьем и четвертом кварталах этого года. Если всю прибыль первого, второго и третьего кварталов (как положительную, так и отрицательную) мы будем капитализировать, то к окончанию срока инвестирования первоначально вложенный капитал увеличится в:

(1 + r_K1) · (1 + r_K2) · (1 + r_K3) · (1 + r_K4)раз.

При условии независимости случайных величин r_K1, r_K2, r_K3 и r_K4, математическое ожидание этого произведения будет равно:

А поскольку в нашем примере средняя ожидаемая доходность каждого квартала одинакова и составляет (20% − 10%)/2 = 5% квартальных, то есть M(r_K1) = M(r_K2) = M(r_K3) = M(r_K4) = 5%, средняя ожидаемая доходность M(r_Г) четырехквартального вложения будет равна:

M(r_Г) = M((1 + r_K1) · (1 + r_K2) · (1 + r_K3) · (1 + r_K4)) − 1 = (1 + 0.05)⁴ − 1 = 21.55%.

Что полностью совпадает с одним из результатов, полученных выше.

А теперь допустим, что случайные величины r_K1, r_K2, r_K3 и r_K4 зависимы. В нашей ситуации такое предположение является вполне естественным, так как доходность инвестиции в производство первой партии любого нового товара зачастую в значительной степени предопределяет доходности инвестиций в изготовление последующих партий (а вернее сказать, уточняет прогнозируемые значения этих доходностей), поскольку она обычно несет в себе существенный объем информации, недополученный по тем или иным причинам в ходе маркетингового исследования рынка аналогичных товаров.

Рассмотрим предельный случай. Будем считать, что доходность второго, третьего и четвертого производственных циклов будут в точности равны доходности первого цикла (то есть r_K1 = r_K2 = r_K3 = r_K4 = r_Г). При этом мы также будем предполагать, что, вложив деньги в производство сроком на четыре квартала, мы уже не сможем ликвидировать начатую деятельность раньше, чем через год даже в случае, если первый производственный цикл принесет нам убытки.³⁰ Тогда математическое ожидание доходности r_Г, которая будет получена при годовом инвестировании, составит:

годовых.

Что опять же совпадает с одной из полученных нами ранее оценок.

Как видите, сделав не особенно важное, на первый взгляд, допущение о зависимости величин r_K1, r_K2, r_K3 и r_K4, мы «подняли» среднюю годовую доходность с 21,55% до 36,48%. И «подъем» этот мог бы быть еще более существенным, если бы мы имели основания полагать, что у нас будет возможность без особых потерь свернуть производство по прошествии первого же квартала, в том случае если полученная доходность r_K1 окажется отрицательной, и вложить свой капитал на три оставшихся квартала, например, в банковский депозит. Так что, при соответствующих обстоятельствах оценку 36,48% можно считать даже заниженной.

А теперь обратимся к другому предельному случаю. Будем считать, что какое бы значение ни приняли случайные величины r_K1, r_K2, r_K3 и r_K4, произведение (1 + r_K1) · (1 + r_K2) · (1 + r_K3) · (1 + r_K4) непременно будет равно некоторой постоянной величине. Или же предположим, что из четырех производственных циклов ровно половина окажется прибыльной, и ровно половина — убыточной. В данном примере оба допущения эквивалентны, вполне согласуются с исходными условиями задачи и, к тому же, вполне объяснимы.

Представим, например, что изделие, которое мы собираемся производить, является приложением к какому-то другому товару, расширяющим функциональные возможности последнего³¹. Причем приблизительное количество владельцев этого товара нам известно, и мы уверены, что все они рано или поздно в течение года захотят приобрести наше изделие-приложение. Таким образом, мы знаем общий годовой объем спроса, однако не знаем, каким будет распределение этого спроса по четырем кварталам года. Стало быть, суммарный годовой результат нашей деятельности будет более определенной величиной, нежели результаты каждого из четырех производственных циклов.

Из сделанного нами предположения о постоянстве вышеуказанного произведения квартальных коэффициентов роста капитала следует, что доходность нашей годовой деятельности в любом случае составит:

r_Г = (1 + r_K1) · (1 + r_K2) · (1 + r_K3) · (1 + r_K4) − 1 = (1 + 0.2)² · (1 − 0.1)² − 1 = 16.64% годовых.

Так что все три представленных нами альтернативных способа расчета годовой доходности по заданной квартальной находят достаточно убедительные обоснования.

Еще одной весьма полезной для работников фондового рынка иллюстрацией к рассматриваемой нами теме может служить следующий пример.

Пример 3.2.2. Вложение в акции с продажей фьючерса.

Доходность r вложения денег в акции сроком на один квартал в среднем составляет 6% квартальных при стандартном отклонении 14% квартальных. Банковская ставка равна 5% квартальных.

Требуется оценить доходность годового вложения денег в эти акции, сопряженного с одновременным заключением фьючерсного контракта на их продажу со сроком исполнения, наступающим через один год.

Поскольку покупка ценных бумаг с одновременной их продажей по фьючерсу эквивалентна по уровню риска вложению денег в банк, доходность такой инвестиции должна приблизительно равняться доходности банковского вклада. Стало быть, в нашем примере фьючерсная цена, по которой инвестор сможет продать акции, будет примерно в (1 + 0.005)⁴ = 1.2155 раза превышать цену-спот, по которой он их купит. Доходность же всей операции в целом будет, таким образом, соответствовать банковской ставке, составляя 21,55% годовых.

Предположим, однако, что в результате низкой ликвидности рынка или по каким-то иным причинам инвестору удалось заключить фьючерсный контракт на продажу акций по цене, превышающей цену их покупки только лишь в 1,2 раза. Что соответствует доходности уже не 5%, а всего лишь квартальных.

Естественно, в подобной ситуации у него может возникнуть желание несколько завысить результаты своей инвестиционной деятельности. Что вполне осуществимо.

Мы выяснили, что за год инвестированный в акции капитал вырастет в 1,2 раза. Посмотрим теперь, во сколько раз он увеличится за каждый из четырех кварталов года.

Понятно, что за каждый из первых трех кварталов цена акций вырастет в среднем в 1,06 раза (поскольку ожидаемая доходность акций составляет 6% квартальных). Следовательно, во столько же раз в среднем будет увеличиваться и стоимость капитала³². А вот определить рост этой стоимости за четвертый квартал будет несколько труднее.

Поскольку речь идет об акциях, у нас есть все основания предположить, что их рыночная цена в любой будущий момент времени является случайной величиной с логнормальным распределением вероятностей. Что мы и сделаем.

Будем считать, что цена покупки акций равна 1 рублю за штуку. Тогда (учитывая независимость доходностей акций на двух любых непересекающихся временных отрезках) можно заключить, что их стоимость на начало четвертого квартала будет иметь математическое ожидание 1.06³ = 1.191 руб./шт. и стандартное отклонение 0,2748 руб./шт.³³ При этом, как мы предположили выше, фьючерсная цена продажи этих акций равна 1,2 руб./шт. Используя выведенную в §1.4 в формулу расчета математического ожидания двух логнормально распределенных величин, найдем среднюю ожидаемую величину отношения цены продажи акций к их цене на начало четвертого квартала:

.

Таким образом, хотя в целом за год капитал увеличивается всего в 1,2 раза, что, как уже было показано выше, в пересчете равно 4,66% квартальных, средняя ожидаемая доходность рассматриваемого инвестиционного проекта за первый, второй и третий кварталы составляет 6%, а за четвертый — даже 6,12%, значительно превышая тем самым банковскую ставку (5%).

Еще более впечатляющих результатов можно достичь, если оценивать эффективность на основе математических ожиданий доходностей каждого квартала, выраженных в годовых процентах.

Обозначим доходности первого, второго, третьего и четвертого кварталов черезr_K1, r_K2, r_K3 и r_K4. При этом величины (1 + r_K1), (1 + r_K2), (1 + r_K3) и (1 + r_K4) будут иметь логнормальное распределение вероятностей. Математические ожидания и стандартные отклонения первых трех из них нам известны из условий задачи; они равны, соответственно, 1,06 и 0,14 квартальных единиц. Математическое ожидание величины (1 + r_K4) мы только что рассчитали. Оно составляет 1,0612 квартальных единиц. Ее стандартное отклонение тоже можно рассчитать, учитывая, что (1 + r_K4) есть отношение константы 1,2 к логнормально распределенной случайной величине с известными характеристиками. Опуская вычисления, скажем, что оно равно 0,24484 квартальных единиц.

Нетрудно доказать, что если случайная величина (1+X) распределена логнормально, то:

,

где T — любое целое или дробное число; μ и σ — параметры логнормального распределения величины (1+X); m_x и s_x — математическое ожидание и стандартное отклонение величины X.

Следовательно, в нашем примере:

То есть средняя ожидаемая доходность, которую наш инвестиционный проект принесет инвестору в каждом из первых трех кварталов года, равна 40,05% годовых! Что же касается последнего квартала, то для него соответствующий показатель составляет целых 72,45% годовых!³⁴

В заключение заметим, что все вышеописанные методы пересчета доходности, разумеется, могут применяться не только для оценки эффективности будущих инвестиций, но и для анализа уже осуществленных проектов. В последнем случае расчеты, скорее всего, будут даже проще для понимания.

§3.3. Использование нелинейной зависимости между доходностью и прочими случайными величинами.

Весьма эффективным способом манипулирования величиной средней доходности инвестиций является метод, описанный в §1.2 и уже применявшийся нами при расчете доходностей в §2.3. Поэтому в данном разделе мы не будем возвращаться к демонстрации его возможностей, порекомендуем лишь еще раз просмотреть три расчетных примера параграфа 2.3. Кроме того, заметим, что в предыдущем параграфе при пересчете доходностей мы пользовались во многих отношениях аналогичным приемом, также основанным на использовании свойств нелинейных зависимостей между случайными величинами.

§3.4. Использование парадокса Симпсона.

Анализ доходностей инвестиций является еще одной сферой деятельности экономиста, в которой могут иметь место проявления парадокса Симпсона.

Пример 3.4.1. Сравнение двух инвестиционных портфелей.

Два инвестора вложили по 100 тыс. рублей в разнообразные инвестиционные проекты. Ровно один год спустя стоимость инвестиционного портфеля первого из них составила 120 тыс. рублей, а стоимость портфеля второго — 125 тыс. рублей.

Требуется доказать, что первый инвестор вложил свой капитал более эффективно, чем второй.

Одним из возможных путей решения этой задачи является раздел каждого из двух сравниваемых инвестиционных портфелей на части по какому-либо признаку с последующим попарным сравнением соответствующих частей.

Допустим, что мы поделили портфели по степени рискованности входящих в них инвестиций на две составляющие части: спекулятивную (рискованную) и надежную. При этом стоимости каждой из них на начало и на конец года оказались следующими (см. табл. 3.4.1):

Посчитаем теперь доходности каждой из этих двух составляющих и сравним их. Как видите, первый портфель превосходит второй как по доходности спекулятивной (32%>29,3%), так и по доходности надежной части (16%>12%). Хотя суммарные итоги свидетельствуют в пользу второго портфеля (20%<25%).

Таким образом, переходя от сравнения общих результатов к «более комплексному анализу» можно прийти к совершенно иным выводам.

Нетрудно догадаться, что причина этого противоречия заключается в том, что первый инвестор вложил в спекулятивные проекты лишь 25% от своего первоначального капитала. Второй же инвестор вложил в них целых 75%. Поэтому, несмотря на превосходство первого портфеля над вторым по относительным показателям, по абсолютному результату второй инвестор «обошел» первого.

Не лишним будет подчеркнуть, что залогом успеха в применении данного метода является оптимальный выбор способа раздела инвестиционного портфеля. Что достаточно наглядно демонстрирует следующий пример.

Пример 3.4.2. Выбор варианта раздела инвестиционного портфеля.

Инвестор вложил свой капитал общей стоимостью в 100 тыс. рублей сроком на один год в три инвестиционных проекта: А, Б и В. В проекты А и В он инвестировал по 30 тыс. рублей, а в проект Б — 40 тыс. рублей. По прошествии одного года стоимость его инвестиционного портфеля составила 120 тыс. рублей. При этом стоимости каждой из трех составляющих этого портфеля, А, Б и В, оказались равными, соответственно, 38, 48 и 34 тыс. рублей (38+48+34=120).

Попробуем найти способы завышения и занижения эффективности этих инвестиций, для чего сведем исходные данные в таблицу:

Конечно, в качестве результата анализа эффективности вложений можно просто привести доходности каждого из инвестиционных проектов, входящих в портфель (без указания распределения капитала между ними). Однако этот вариант имеет по меньшей мере два следующих недостатка.

Во-первых, среднеарифметическое значение этих доходностей (которое всякий, кто будет просматривать результаты анализа, наверняка станет рассчитывать) в общем случае может оказаться приблизительно равным доходности всего портфеля в целом. В нашем же примере имеет место даже строгое равенство: (26,7%+20%+13,3%)/3=20%.

Во-вторых, хотя в нашем примере количество входящих в портфель инвестиций невелико (всего три проекта), в общем случае оно может оказаться довольно большим. Что усложнит оценку эффективности портфеля в целом.

Поэтому имеет смысл прибегнуть к делению инвестиционного портфеля на меньшее количество частей по какому-либо признаку.

Допустим, что согласно мнению экспертов проект А является спекулятивным (то есть рискованным) и низколиквидным; проект Б — надежным, но тоже низколиквидным; а проект В — и надежным, и ликвидным.³⁵ Тогда перед нами открываются два варианта раздела портфеля на две части: раздел по степени риска и по степени ликвидности. Их результаты представлены в табл. 3.4.3.

А теперь посмотрим, какой из этих вариантов позволяет представить результаты инвестирования в более выгодном свете.

Раздел по степени риска позволяет включить в аналитический отчет цифры 26,7% и 17,1% годовых. Деление же по уровню ликвидности приводит к менее внушительным показателям: 22,9% и 13,3% годовых. Таким образом, если не упоминать о том, какая доля капитала приходится на каждую из двух частей, получившихся в результате раздела портфеля, то первый вариант деления безусловно является более предпочтительным, если требуется завысить доходность, и менее предпочтительным в противном случае (поскольку 26,7%>22,9% и 17,1%>13,3%).

§3.5. Метод разностных платежей

В параграфе 2.1 мы рассмотрели случаи, когда из двух инвестиционных проектов более эффективным является тот, который имеет меньшую по сравнению с другим доходность. Эффективность же мы определяли двумя способами: на основе критерия NPV и при помощи метода разностных платежей. Оба этих способа приводили нас к одинаковым выводам.

В том же параграфе мы в общих чертах сформулировали один метод достижения желаемых результатов сравнительного анализа двух инвестиций, описание которого следовало бы поместить в настоящем разделе, поскольку основан он на использовании в качестве критерия эффективности исключительно доходности (или ее внутренней нормы IRR). Напомним, в чем этот метод заключается.

Сначала необходимо рассчитать и сравнить между собой доходности обоих инвестиционных проектов. И если проект, который мы желали бы представить как более выгодный, имеет более высокую доходность по сравнению с другим, следует просто указать на данный факт в своем отчете, и всякий, кто будет его читать, сам сделает нужный нам вывод. В противном же случае следует воспользоваться методом разностных платежей и тогда, если нам повезет, и ситуация, с которой мы имеем дело, окажется аналогичной рассмотренным в §2.1, сравнение доходности разностных платежей с банковской ставкой позволит нам прийти к желаемому заключению.

§3.6. Выбор оптимального значения IRR.

В параграфе 2.2 мы рассмотрели пример, в котором инвестиционный проект с отрицательной чистой современной стоимостью имел, тем не менее, внутреннюю норму доходности (IRR), превышающую банковскую ставку (23,97%>6%). Однако тогда мы не стали упоминать о том, что величина 23,97% квартальных является только одним из двух значений внутренней нормы доходности данного проекта. Второе же ее значение составляет 5,85% в квартал, о чем свидетельствует следующее равенство:

.

Величина же 5,85% меньше банковской ставки (5,85%<6%).

Таким образом, в случаях, аналогичных данному примеру, когда показания критерия IRR неоднозначны, существует возможность выбора среди нескольких его значений одного, наиболее подходящего. Причем выбор этот может принципиальным образом предопределять результаты анализа, если максимальное из этих значений окажется больше банковской ставки, а минимальное — меньше.

Раздел 4. Как завысить (занизить) стоимость.

Несмотря на то, что доходность на сегодняшний день продолжает оставаться одним из самых популярных критериев оценки эффективности инвестиций, в последнее время он постепенно сдает свои позиции такому показателю, как чистая современная стоимость (NPV). При грамотной «эксплуатации» этот показатель не только ни в чем не уступает доходности, но и во многом превосходит его по своим «потребительским качествам». Что существенно снижает вероятность принятия с его помощью неправильного решения. И тем не менее, при «очень умелом» использовании даже чистая современная стоимость в некоторых случаях позволяет прийти к, мягко говоря, неоднозначным выводам. Описанию этих относительно немногочисленных случаев посвящен данный раздел.

§4.1. Выбор нормы дисконта.

Одним из самых проблемных моментов в применении критерия NPV является выбор адекватного значения нормы дисконта, используемого для расчета современной стоимости будущих денежных потоков. Дело в том, что практически во всей экономической литературе теоретическое обоснование допустимости и оправданности использования этого критерия (а также неразрывно связанная с этим обоснованием интерпретация его экономического смысла) производится авторами исключительно в рамках идеализированной модели рынка кредитных ресурсов, на котором доходность возможного вложения денег равна доходности их возможного заимствования (или, другими словами, банковская ставка по вкладам равна ставке по кредитам). На практике же подобная ситуация даже в «нечистом» виде встречается далеко не всегда, поскольку проценты, начисляемые банком по депозитам и по займам, как правило, различаются, и довольно существенно. В связи с этим неизбежно возникает вопрос: какую величину использовать в качестве нормы дисконта — ставку по вкладам, ставку по кредитам, их среднее значение или же что-либо еще?

Рассмотрим следующий пример.

Пример 4.1.1. Расчет чистой современной стоимости.

Инвестиционный проект требует затраты 100 тыс. рублей сегодня (для организации некоторой коммерческой деятельности) и еще 70 тыс. рублей через один год (для ликвидации этой деятельности). Доход же он принесет через полгода, в размере 200 тыс. рублей. При этом известно, что банк начисляет на шестимесячные депозиты 10% полугодовых, а шестимесячные кредиты выдает под 20% полугодовых.

Попробуем рассчитать чистую современную стоимость данного проекта.

Совершенно ясно, что используемая при этом норма дисконта не должна лежать вне интервала, ограниченного банковскими ставками по вкладам и займам (в данном случае между 10% и 20% полугодовых). Из чего следует, что по крайней мере приблизительное значение современной стоимости можно рассчитать при помощи среднего арифметического этих двух величин ((10%+20%)/2=15%):

тыс. рублей.

Если полученное число нас устраивает, то проблем нет. В противном случае можно попытаться его скорректировать. Для этого достаточно будет лишь учесть некоторые дополнительные обстоятельства.

Допустим, что в настоящий момент часть нашего капитала уже инвестирована в банковский депозит, и финансировать все затраты, связанные с оцениваемым инвестиционным проектом, мы собираемся не за счет заимствования, а исключительно за счет этих депонированных средств. (То есть в нужные моменты мы будем просто снимать деньги со своего банковского счета, кредитуя таким образом самих себя.) Понятно, что в подобной ситуации процент, под который банк согласился бы выдать нам кредит, совершенно не должен нас интересовать. Хотя это и не означает, что ссуду, взятую «из собственного кармана», следует считать беспроцентной. Ведь, снимая деньги со своего банковского счета, мы уменьшаем величину вклада, а, следовательно, теряем проценты, которые могли бы быть начислены на снятую со счета сумму. Проценты же эти определяются величиной депозитной банковской ставки.

Таким образом, в случае предполагаемого самофинансирования оцениваемого инвестиционного проекта при расчете его NPV правильнее всего будет использовать в качестве нормы дисконта банковскую ставку по вкладам (10%):

тыс. рублей.

А сейчас предположим, что в настоящий момент мы не имеем никаких банковских депозитов, а, наоборот, находимся перед банком в долгу. Причем будем считать этот долг настолько большим, что даже полученный от нашего инвестиционного проекта доход (200 тыс. рублей) не позволит погасить его полностью. Разумеется, в данных обстоятельствах нас уже не будет интересовать процент, начисляемый по банковским вкладам. Поскольку, если мы и пожелаем вложить в банк полученный нами через полгода доход, мы направим его не на открытие депозита, а на частичное погашение нашего долга. (Для нас это будет выгоднее. Ведь процент, начисляемый по вкладам, меньше взимаемого по кредитам.) Вложение же денег, так сказать, в уменьшение своего долга позволит получить или, точнее говоря, сэкономить ровно столько процентов, сколько банк начисляет по выданным кредитам.

Так что теперь уже самым корректным подходом будет использование в качестве нормы дисконта кредитной (а не депозитной) ставки (20%):

тыс. рублей.

Необходимо также рассмотреть еще одну ситуацию. Представим, что при реализации нашего проекта затраты на организацию деятельности (100 тыс. рублей) мы собираемся осуществить при помощи заемных средств. Полученный же через полгода доход (200 тыс. рублей) намереваемся сразу же направить на полное погашение взятого кредита (вместе с «набежавшими» процентами) и на открытие полугодового банковского депозита, за счет которого будем впоследствии финансировать затраты на ликвидацию деятельности (70 тыс. рублей). Тогда в течение первого полугодия мы будем являться должниками банка, а в течение второго — он будет нашим должником. И, следовательно, можно считать, что в первом полугодии как депозитная, так и кредитная ставка равны для нас 20% полугодовых, а во втором — 10%. То есть мы вновь оказываемся как бы в условиях идеализированного рынка, только теперь цена кредитных ресурсов на нем меняется³⁶. В подобной ситуации проблем с дисконтированием будущих денежных потоков не возникает, хотя вычисления несколько усложняются. Методика расчета чистой современной стоимости для таких случаев приводится во многих книгах по теории финансов в разделах, посвященных применению критерия NPV или анализу временных структур процентных ставок. В нашем примере это следует делать так:

тыс. рублей.

Обратите внимание, что полученный результат отнюдь не лежит в пределах, ограниченных значениями NPV, рассчитанными для 10-процентной нормы дисконта и 20-процентной (то есть между 23,967 и 18,056 тыс. руб.); несмотря на то, что среднегодовое значение банковской ставки находится между 10% и 20%. На первый взгляд это может показаться неожиданным, хотя данный факт вполне объясним. Ведь и в первом, и во втором полугодии банковский процент отклоняется от своего среднегодового значения в невыгодную для нас сторону.

Нетрудно заметить, что возможным является также и другой случай, противоположный только что рассмотренному. Допустим, что в настоящий момент времени мы держим на банковском депозите достаточно крупную сумму денег и первоначальные затраты, связанные с нашим инвестиционным проектом,³⁷ собираемся осуществлять исключительно за счет этих средств. Так что в течение первого полугодия никаких кредитов нам не потребуется. Однако как раз на тот момент, когда этот проект принесет нам доход (200 тыс. рублей), у нас запланирована крупная затрата денег на какие-то цели. Причем настолько крупная, что, несмотря на весь этот доход, мы вынуждены будем взять в банке кредит сроком как минимум на шесть месяцев. Таким образом, второе полугодие мы будем находиться в долгу перед банком. В подобных обстоятельствах рассчитывать чистую современную стоимость нашего проекта следует по формуле:

тыс. рублей.

В заключение приведем еще два возможных способа вычисления чистой современной стоимости. Для их обоснования обратимся к теории. Подумаем, чему равна сегодняшняя стоимость денежной суммы размером в N рублей, которая будет получена нами в будущем, через T лет, если банковская ставка по депозитам составляет d, а по кредитам — c годовых единиц.

Очевидно, что для обеспечения возможности получить N рублей через T лет достаточно сегодня положить на банковский депозит сумму в рублей. С другой стороны, в счет ожидаемого через T лет дохода величиною N рублей можно уже сегодня взять в банке заем на сумму рублей. Стало быть, современная (сегодняшняя) стоимость этих грядущих денег лежит либо внутри, либо на одной из границ интервала .

Если депозитная и кредитная ставки практически равны (то есть d=c), вышеуказанный интервал вырождается в точку и всякая неопределенность исчезает. Что и позволяет сформулировать концепцию современной стоимости в ее простейшем, классическом виде, как это обычно делается в не особенно продвинутой литературе. Если же имеет место неравенство d<c, то возникают проблемы, которые, вообще-то говоря, как уже было показано выше, в большинстве случаев вполне разрешимы. Тем не менее, экономист, масштабы зарплаты которого не сильно обязывают к глубоким раздумьям, имеет полное право не утруждать себя творческим отношением к своей работе и оценивать стоимость каждого из будущих денежных потоков, что называется, по минимуму или по максимуму, объясняя такой подход либо сверхосторожностью, либо супероптимизмом. Понятно, что для получения минимального значения чистой современной стоимости инвестиционного проекта следует дисконтировать его будущие доходы при помощи кредитной ставки, а будущие расходы — при помощи депозитной. Для получения же максимального значения нужно действовать наоборот. В нашем примере подобные вычисления дают следующие результаты:

Взглянем теперь на весь ряд значений NPV, полученных нами выше в результате использования разнообразных вариантов расчета. Он включает в себя следующие числа:

8,815, 13,636, 18,056, 20,983, 23,967, 28,788 и 33,207.

Как видите, они охватывают довольно широкий диапазон.

В общем случае числа эти могут и различаться по знаку. В нашем примере достаточно будет увеличить величину затрат на ликвидацию деятельности с 70 тыс. руб., скажем, до 90 тыс. руб. либо надлежащим образом изменить величины других денежных потоков, и в этом ряде появятся отрицательные значения.

§4.2. Оценка многоэтапных инвестиций в условиях риска.

В настоящем параграфе мы рассмотрим ситуацию, подобную описанной выше, в примере 3.2.1. Только теперь оценку эффективности инвестиций мы будем производить на основе критерия NPV.

Пример 4.2.1. Оценка эффективности предпринимательской деятельности.

Предприниматель составляет бизнес-план организации производства нового товара, в которое собирается инвестировать 100 тыс. рублей. Период одного полного оборота капитала (производственный цикл) равен 1 месяцу. Однако минимальный срок вложения денег в данный бизнес составляет 2 месяца, поскольку арендовать у завода производственное помещение на меньший период времени не представляется возможным. Арендная плата составит 60 тыс. рублей независимо от объемов производства и должна будет вноситься в начале каждого месяца.

Поскольку подобного рода изделия ранее никогда не производились, в настоящий момент нельзя предсказать абсолютно точно цену, по которой их можно будет продавать. Поэтому доходность данного бизнеса является величиной случайной, которая без учета арендной платы составит при благоприятном исходе 200% в месяц, а при неблагоприятном — 100%³⁸. Каждому исходу соответствует вероятность 50%. Причем доходность второго месяца (опять же без учета арендной платы) в любом случае будет равна доходности первого (поскольку цена продажи товара вряд ли будет меняться).

Основные показатели этой деятельности сведены в таблицу 4.2.1.

Как видите, в случае удачи первоначально вложенные в дело 100 тыс. рублей (из которых 60 тыс. сразу же «уйдут» на оплату аренды помещения) через 1 месяц превратятся в (100 − 60) · 3 = 120 тыс. руб., а через 2 месяца — в (120 − 60) · 3 = 120 тыс. руб. Если же предпринимателю не повезет, стоимость капитала уменьшится сначала до (100 − 60) · 2 = 80 тыс. руб., а затем до (80 − 60) · 2 = 40 тыс. руб. Соответственно, доходность деятельности в первом и во втором месяцах в благоприятном случае составит 120/100 − 1 = 20% и 180/120 − 1 = 50%, а в неблагоприятном — 80/100 − 1 = −20 и 40/80 − 1 = 50%.³⁹

Средняя доходность обоих производственных циклов, таким образом, равна нулю. Казалось бы, данный инвестиционный проект невыгоден. Однако же конечная стоимость капитала составляет в среднем 110 тыс. рублей, существенно превышая тем самым первоначальные затраты (100 тыс. руб.).

Попробуем оценить эффективность инвестирования на основе чистой современной стоимости. При банковской ставке 2% в месяц средняя NPV первого производственного цикла будет, как и следовало ожидать, отрицательной:

тыс. руб.

Однако же средняя NPV обоих циклов в совокупности положительна:

тыс. руб.

Секрет же кажущегося противоречия заключается в том, что вторичное вложение денег в производство (по прошествии первого месяца) имеет положительную NPV, несмотря на нулевую среднюю доходность; поскольку в случае успеха размер этого вложения составит 120 тыс. рублей, а в случае неудачи — только 80 тыс., и, стало быть, 50% прибыли или убытка будут «начислены» на различные суммы. Поэтому по абсолютной величине средний доход будет больше нуля. С подобными случаями мы уже сталкивались ранее.

Таким образом, получается, что если предприниматель будет оценивать эффективность своей деятельности путем расчета NPV одного производственного цикла (одного полного оборота капитала), как это обычно делается на практике, то данный инвестиционный проект покажется не выгодным. Если же он будет рассчитывать NPV двух циклов в совокупности, результат оценки деятельности будет совсем другим.

И, разумеется, деятельность эта стала бы еще более привлекательной, если бы у предпринимателя была возможность арендовать производственное помещение сроком на один, а не на два месяца. Поскольку в этом случае он мог бы свернуть свое производство уже по прошествии одного месяца (то есть, как говорят экономисты, обладал бы опционом на ликвидацию деятельности), если бы ее доходность оказалась недостаточно большой.

Наш же пример интересен тем, что, несмотря на фактическое отсутствие у предпринимателя опциона на прекращение деятельности⁴⁰, для всеобъемлющей оценки выгодности данного рода деятельности недостаточно знать только лишь результаты одного оборота капитала.

§4.3. Усреднение дисконт-фактора и нормы дисконта.

При расчете чистой современной стоимости весьма эффективно может применяться метод, описанный в §1.2.

Пример 4.3.1. Оценка эффективности инвестиций с учетом стоимости капитала.

Фирма владеет пакетом акций общей стоимостью 1 млн. рублей. По прогнозам экспертов через год он будет стоить в лучшем случае 1,6 млн. руб. (что соответствует доходности 60% годовых), а в худшем — 0,9 млн. руб. (что соответствует -10% годовых). Один из сотрудников фирмы выступил с предложением о продаже этих акций и покупке на вырученные деньги пакета облигаций, доходность которых равна 20% годовых. Требуется найти аргументы в пользу этого предложения и против него.

Поскольку покупка облигаций будет финансироваться не за счет займа или снятия денег с банковского депозита, а за счет продажи акций, доходность последних можно использовать в качестве нормы дисконта (стоимости капитала) при расчете NPV инвестирования денег в облигации.

При отсутствии прочей информации ориентировочную величину средней ожидаемой доходности акций можно найти, усредняя имеющиеся прогнозные значения: (60%-10%)/2=25% годовых.

На основе полученного результата рассчитаем среднюю NPV вложения денег в облигации сроком на один год:

Она отрицательна, что представляется естественным, поскольку средняя стоимость капитала превосходит доходность оцениваемой инвестиции.

Тем не менее, попробуем найти NPV иным способом. Рассчитаем ее отдельно для наилучшего и наихудшего случаев:

А затем усредним полученные значения:

NPV = (0,333…-0,25)/2 = 0,04166… млн. руб.⁴¹

Теперь, как видите, чистая современная стоимость стала положительной, что говорит о выгодности оцениваемого инвестиционного проекта.

Таким образом, нам удалось найти аргументы как для сторонника покупки облигаций, так и для ее противника.

Кстати говоря, примененные способы расчета стоимости можно обосновать и иначе, если вместо нормы дисконта оперировать коэффициентом роста капитала. Вложение денег в акции позволяет увеличить капитал в 1,6 раза в лучшем случае и в 0,9 раза в худшем. Среднее арифметическое этих двух значений равно (1,6+0,9)/2=1,25 раза, а среднее гармоническое:

раза.

Используя при расчете NPV соответствующее среднее, можно вновь получить вышеприведенные результаты:

млн. рублей,

млн. рублей.

Следует, однако, иметь в виду, что для обоснования использования среднего гармонического значения заявления о вашем стремлении ко всеобщей гармонии будет, скорее всего, недостаточно. Необходимо запастись и иными аргументами.

Часть 2

¹ Кстати говоря, изобретать собственные показатели экономисту, как правило, рано или поздно приходится, поскольку в экономике пока еще предостаточно областей, из которых до сих пор доносится тщетный «скрип мозгов» видных деятелей науки. К примеру, по сей день продолжаются работы по созданию более или менее приемлемой меры ликвидности. И даже традиционные меры риска не лишены серьезных недостатков, что будет показано в 7 разделе.

² Под деятельностью понимается также и совершение отдельных сделок, в частности, пассивное вложение денег в ценные бумаги или иное имущество.

³ В зарубежной литературе математическое ожидание принято также называть ожидаемым значением. Мы тоже иногда будем использовать это выражение в том же смысле.

⁴ Продавать ценные бумаги с убытком обычно бывает нецелесообразно из налоговых соображений. Ибо до тех пор, пока котировка бумаг не вырастет до цены, по которой они были куплены, доход, получаемый в виде роста их стоимости, будет «поглощаться» ранее полученным убытком. Следовательно, налог с этого дохода уплачиваться не будет. Хотя, все зависит от применяемой в каждом конкретном случае системы налогообложения.

⁵ Функция min(x₁;x₂;…x_n) равна минимальному из n чисел, перечисленных в скобках.

⁶ Именно такую цену дает нам среднее геометрическое.

⁷ Такой принцип принятия решений называется принципом Парето.

⁸Не столько по причине перехода некоторых людей из одной категории в другую, сколько вследствие более естественных демографических процессов.

⁹ Имеется в виду асимметричность графика плотности вероятности относительно математического ожидания.

¹⁰ Тогда как математическое ожидание любой случайной величины является среднеарифметическим бесконечного ряда ее значений.

¹¹ Их также можно рассматривать как ряд последовательных реализаций одной и той же случайной величины R с логнормальным распределением.

¹² Данный факт устанавливается центральной предельной теоремой Ляпунова.

¹³ Значение этой функции равно вероятности того, что случайная величина окажется меньше значения аргумента этой функции.

¹⁴ Названы они могут быть, к примеру, планом минимум и планом максимум, оптимистическим и пессимистическим прогнозами, уровнями существенного убытка и существенной прибыли и т.д.

¹⁵ Страховым событием может являться, например, наводнение, ограбление, пожар и т.д.

¹⁶ Интегральная функция распределения которого равна .

¹⁷ Эту стоимость не следует путать с чистой современной стоимостью всего договора страхования в целом, которая нас в данном случае не интересует, поскольку вопрос заключается не в том, страховаться или не страховаться, а в том, увеличить страховую сумму или уменьшить.

¹⁸ Строго говоря, в указанном смысле все способы оценки экономической эффективности могут быть представлены как относительные. Поскольку в явной или неявной форме они всегда основываются на сравнении исследуемого варианта действий с каким-то базовым вариантом. К примеру, рассчитывая NPV инвестиционного проекта, мы, по сути, оцениваем, насколько эта инвестиция выгоднее вложения денег в банк или заимствования их у банка.

¹⁹ Соответственно, ее математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение будут равны 1,3 и 0,32 годовых единиц.

²⁰ В данном случае эффективность инвестиции не следует путать с ее предпочтительностью или выгодностью. Поскольку предпочтения инвестора, как правило, определяются не только уровнем эффективности, но и степенью риска, ликвидности и т.п.

²¹ Обязательства эти могут быть оформлены и как кредиторско-дебиторская задолженность, и как ценные бумаги.

²² Речь идет о ремонте двух различных аппаратов, потому что в этом случае продолжительность ремонта одного из них не будет зависеть от продолжительности ремонта другого.

²³ Одним из подобных примеров может служить сравнительная оценка трех таких инвестиционных проектов, как вложение денег в банк, покупка кол-опциона и покупка пут-опциона. Другим примером — оценка времени достижения капиталом заданной величины при его вложении в банк, в акции и, скажем, частично в банк, частично в страховой полис.

²⁴ Тот факт, что доходность акций предприятия Б при ненулевом стандартном отклонении имеет математическое ожидание равное банковской ставке, представляет собой вполне нормальное явление, если доходность эта не коррелирует с доходностью рыночного портфеля акций (рыночного индекса).

²⁵ Фьючерсный контракт (фьючерс) — есть договор купли-продажи товара, заключаемый на условиях отсрочки его оплаты и поставки. День предстоящей оплаты и поставки, называемый днем исполнения фьючерса, а также цена оплаты товара, называемая фьючерсной ценой, оговариваются при заключении контракта.

²⁶ Эквивалентна в том смысле, что доходность этой операции является величиной детерминированной (то есть известной заранее), также, как и доходность банковского вклада.

²⁷ Что является следствием недостаточно сильно выраженной нелинейности зависимости NPV от T .

²⁸ Тем не менее, чтобы оценить выгодность инвестиционного проекта в полной мере, в любом случае необходимо сравнить его доходность с банковской ставкой. Сама по себе доходность позволяет судить о его выгодности лишь в сравнении с вложением денег «под подушку».

²⁹ Справедливым также будет являться утверждение о том, что из четырех кварталов года в среднем два окажутся прибыльными, и два — убыточными.

³⁰ Такое предположение вполне резонно, например, в случае если мы арендуем помещение и нанимаем рабочих сразу на целый год.

³¹ Например, автосигнализация является приложением к автомобилю, доступ в интернет — приложением к компьютеру и т.п.

³² При этом мы не учитываем изменений стоимости фьючерсного контракта.

³³ Расчет стандартного отклонения по имеющимся в задаче исходным данным достаточно сложен. Необходимо вычислить сначала параметры логнормального распределения стоимости акций на начало второго квартала, затем найти аналогичные параметры распределения их стоимости на начало четвертого квартала. После чего можно будет рассчитать и искомое стандартное отклонение (см. приложение 2).

³⁴ Высокое среднее значение доходности четвертого квартала является следствием относительно большой величины ее стандартного отклонения (24,484%).

³⁵ Обратите внимание, что данная экспертами характеристика инвестиций вполне согласуется с их доходностями, приведенными в табл. 3.4.2. Поскольку большей доходности, как правило, соответствует меньшая надежность и ликвидность.

³⁶ Другими словами, временная структура процентных ставок является «неровной» (неравномерной).

³⁷ Эти затраты равны 128,788 тыс. руб. и включают 100 тыс. руб., необходимых для организации коммерческой деятельности, и 28,788 тыс. руб., составляющих NPV данного инвестиционного проекта (ее расчет приведен ниже). Тем, кому непонятно, почему NPV включена в затраты, рекомендуем обратится к [1].

³⁸ То есть, если бы арендная плата равнялась нулю, то капитал, вложенный в производство, увеличился бы за один оборот (за один месяц) либо в 3 раза (на 200%), либо в 2 раза (на 100%).

³⁹ Обратите внимание на то, что хотя доходность и первого, и второго производственного цикла (с учетом арендной платы) становится известной предпринимателю уже к концу первого месяца и может оказаться отрицательной, отказываться в случае неудачи от продолжения производства товара во втором месяце предпринимателю невыгодно, поскольку договор аренды он заключает сроком на два месяца и арендную плату ему все равно придется платить.

⁴⁰ Формально такой опцион существует, однако он заведомо не будет исполнен, поскольку, как уже было сказано выше, предпринимателю это не выгодно.

⁴¹ Аналогичный результат можно получить, усредняя максимальное и минимальное из возможных значений дисконт-фактора и используя полученное среднее при расчете NPV.

⁴² «Лучший» в данном случае означает «наивыгоднейший из всех предложенных с точки зрения того, кому предлагают».

⁴³ Каждый из трех перечисленных показателей, даже взятый в отдельности, позволяет рассчитать прогнозное значение будущей банковской ставки.

⁴⁴ Прогнозы, полученные первым способом, для спекулянта бесполезны, поскольку основаны на предположении о справедливости значений рыночных показателей. Спекуляция же (в обобщенной интерпретации) заключается в использовании несоответствий рыночной конъюнктуры прогнозам спекулянта.

⁴⁵ Здесь и далее при отсутствии особых оговорок мы будем предполагать, что на рассматриваемом нами промежутке времени дивиденды по акциям не выплачиваются.

⁴⁶ А акции, кстати, можно использовать в качестве залога по кредиту.

⁴⁷ Отсутствие зависимости между значением одной случайной величины и мат. ожиданием другой (или, другими словами, отсутствие регрессионной зависимости между случайными величинами) еще не означает, что эти величины независимы. Поскольку при этом, если не мат. ожидание, то, например, дисперсия одной из них может зависеть от значения другой. Хотя на практике довольно часто любые две переменные, имеющие нулевой коэффициент корреляции (что при отсутствии регрессионной зависимости имеет место всегда), уже считают независимыми.

⁴⁸ Исключения иногда могут составлять случаи, когда на рассматриваемый временной интервал «попадает» какое-то значительное событие, исход которого повлияет на цену акций намного существеннее, чем исходы всех остальных «попадающих» на тот же интервал событий.

⁴⁹ Понятие «предостережение» не следует путать с понятием «прогноз». В нашем случае выдача предостережения является предсказанием (прогнозом) падения цены. Отсутствие же предостережения можно расценивать как прогнозирование ее роста.

⁵⁰ Потому что стандартное отклонение дневной доходности акций существенно превышает ее математическое ожидание.

⁵¹ То есть такому «оценщику» не важно знать, в каком направлении на графике «движется» время. Даже если изменить без его ведома направление временной оси графика на противоположное — степень удачности оцениваемых им сделок, с его точки зрения, не изменится.

⁵² Признаться, при пассивном вложении денег в акции инвестор получил бы еще больший убыток. Но это чистая случайность.

⁵³ Оно являлось бы таким доказательством только в том случае, если бы заявки на совершение всех своих сделок (или уведомления о намерении их совершить) трейдер выдавал хотя бы за один день до их исполнения.

⁵⁴ В данном случае желательно использовать экспоненциальное скользящее среднее.

⁵⁵ Правда, среднее время, которое для этого требуется, равно бесконечности.

⁵⁶ Аналогичная ситуация имеет место при игре в рулетку. Хотя вероятность выпадения нуля (zero) кажется пренебрежимо малой, шансы остаться в выигрыше в результате длительной серии игр у игрока довольно невелики.

⁵⁷ Желательно, конечно, выторговать для себя более выгодное соотношение ставок.

⁵⁸ Поэтому опытные аналитики предпочитают продавать свои знания посредством организации разнообразных учебных курсов и семинаров, а не применять их на практике.

⁵⁹ Покупка облигаций рассматривается в данном примере просто как вариант безрискового вложения денег, «место» которого вполне могли бы занять другие аналогичные инвестиционные проекты с фиксированной доходностью, например, банковский вклад.

⁶⁰ Эту вероятность можно определить по графику, приведенному на рис.5.7.2 соответствующего параграфа.

⁶¹ В основном это касается случаев, когда в промежутке между биржевыми торговыми сессиями двух соседних дней на рынок поступает важная информация, в результате чего цены грядущих торгов с самого момента их открытия уже устанавливаются на гораздо более высоком уровне по сравнению с ценами закрытия предыдущего дня.

⁶² Вероятностью выпадения нуля, при котором все ставки уходят в доход казино, мы пренебрегаем.

⁶³ Поскольку оптимальность действий менеджера на каждом «шаге» (в начале каждого квартала) зависит от того, что он собирается делать на последующих «шагах», поиск оптимальной доли вложений в паевой фонд для более ранних периодов времени следует производить только после того, как будут найдены оптимальные доли для более поздних периодов. (Данный случай представляет собой типичную задачу динамического программирования.)

⁶⁴ Надо сказать, что вероятность выполнения плана зависит не только от степени близости к этой «грани», но и от степени рискованности инвестиций в паевой фонд. А потому при достаточно большом стандартном отклонении доходности этих инвестиций даже значительное уменьшение размера стартового капитала не вызывает существенного снижения вероятности успеха.

⁶⁵ В подобных случаях имеет смысл также воспользоваться стратегией Даламбера, поскольку, учитывая равенство стартовых условий, каждого участника соревнования перед его началом можно считать стоящим, как мы это называли ранее, «на грани» успеха (см. §6.1.б).

⁶⁶ Мы предполагаем при этом, что размеры первоначальных капиталов соревнующихся равны.

⁶⁷ Имеется в виду предел, до которого можно увеличить эти вероятности, при условии что все они будут при этом равны друг другу.

⁶⁸ Если играть в эту «игру» в паре со своим «помощником», то ее правила можно несколько изменить: право на выбор сразу двух стратегий можно за собой уже не резервировать, поскольку ваш «помощник» всегда может вступить в «игру» в нужный для вас момент в качестве третьего участника (внеся свой вступительный взнос в призовой фонд) или же не вступать в нее.

⁶⁹ Расчет размеров кредита несложен, и мы его опускаем.

Версия для печати