Динамические модели оптимального отбора инвестиционных проектов

Введение

В работе рассматривается задача об отборе наилучшего проекта из m взаимоисключающих альтернативных проектов, имеющих разные параметры.

Проблема отбора наилучшего инвестиционного проекта формализуется как задача оптимального управления дискретной системой¹. Для решения задачи применяется дискретный принцип максимума Понтрягина².

1. Постановка динамической задачи отбора оптимального инвестиционного проекта

Динамика изменения основных средств предприятия FA_it в результате реализации i-го инвестиционного проекта описывается дискретным уравнением

FA_it+1 = FA_it + α_itINV_it, i = 1, m, t = 0, n, (1)

где α_it — булевые переменные, принимающее значение 0 или 1;

INV_it — потребность в финансовом ресурсе для реализации i-го проекта в периоде t;

m — количество рассматриваемых альтернативных инвестиционных проектов;

n — максимальное число из n_i;

n_i — период окончания i-го проекта.

Если финансовый ресурс INV_it инвестируется в i-й проект в периоде t, то α_it = 1, если не инвестируется, то α_it = 0.

Данное ограничение формализуется следующим образом:

α_it [0,1], i = 1, m, t = 0, n. (2)

Так как проекты взаимоисключающие, должно выполняться еще одно ограничение:

Для каждого инвестиционного проекта заданы начальные условия в период анализа проектов t = 0:

FA_i0 = 0, i = 1, m. ⁽⁴⁾

Выражение для чистого приведенного дохода предприятия в результате выбора одного из проектов запишется:

где t_0i — период начала осуществления i-го проекта;

FCF_it — свободный денежный поток i-го инвестиционного проекта (Free Cash Flow) в периоде t; r_i — ставка дисконтирования для i-го проекта, учитывающая различную степень риска инвестиций.

Предполагается, что все инвестиционные проекты осуществляются за счет финансовых ресурсов предприятия. Экономическая эффективность проектов оценивается в целом, и схема финансирования не учитывается. Рассматриваются денежные потоки от операционной (производственной) и инвестиционной деятельности³. Считается, что денежный поток, генерируемый инвестиционным проектом, имеет место в конце периода, т.е. является постнумерандо.

Свободный денежный поток i-го инвестиционного проекта FCF_it в конце периода t определяется как разница денежных потоков от операционной деятельности (Operating Cash Flow) OCF_it и инвестиционной (Investment Cash Flow) ICF_it:

FCF_it = OCF_it – ICF_it, t = t_0i, n_i. (6)

Денежный поток от операционной деятельности рассчитывается (здесь и далее предполагается t = t_0i,n_i; i = 1, m):

OCF_it = REV_it – NOC_it – PT_it, (7)

где REV_it — выручка (Revenue) от реализации произведенной продукции i-го проекта в периоде t;

NOC_it — чистые операционные издержки (NetOperating Costs);

PT_it — налог на прибыль (Profit Tax).

Выручка i-го проекта определяется:

REV_it = P_it Q_it, (8)

где P_it — цена продукции;

Q_it — прогноз объема продаж продукции.

Чистые операционные издержки включают: материальные затраты (Material Costs) MC_it, заработную плату (Wages and Salary) WS_it, начисления на заработную плату (Wages Charges) WC_it, другие затраты (other cost) OC_it,:

NOC_it = MC_it+ WS_it + WC_it + OC_it. (9)

Материальные затраты i-го инвестиционного проекта рассчитываются:

MC_it = Cm_it Q_it (10)

где Cm_it — материальные затраты на единицу продукции. Фонд заработной платы определяется:

WS_it = w_it L_it, (11)

где w_it — средняя ставка заработной платы персонала;

L_it — численность производственного персонала.

Численность персонала рассчитывается по формуле

где l_it — норматив выпуска продукции средним работником за период t.

Начисления на заработную плату определяются:

WC_it = τ^w WS_it, (13)

где τw — ставка единого социального налога.

Накладные и коммерческие затраты OC_it вычисляются следующим образом:

OC_it = w_i (MC_it + WS_it + WC_it), (14)

где w_i — процент от затрат на материалы, зарплату, начислений на зарплату i-го проекта.

Подставим (12) в (11), а (10), (11), (13) и (14) в (9), получим формулу для чистых операционных издержек в следующем виде:

NOC_it = Q_itC_it (1 + w_i), (15)

где C_it — себестоимость продукции (затраты на единицу продукции), рассчитывается по формуле:

Налог на прибыль вычисляется:

PT_it = τ_c(REV_it – NOC_it – DEP_it), (17)

где τ_c — ставка налога на прибыль;

DEP_it — амортизационные начисления (Depreciation).

Для расчета износа основных средств (внеоборотных активов) предприятия (Fixed Assets) FA_t используется метод равномерного начисления амортизации:

DEP = μFA_it, (18)

где μ — норма амортизации;

FA_it — стоимость основных средств в i-м проекте в начале периода t.

Процесс производственной деятельности t-го проекта описывается производственной функцией Леонтьева

P_itQ_it = f_iFA_it, (19)

где P_itQ_it — стоимость прогнозируемого объема продаж продукции (выручка) i-го проекта;

f_i — фондоотдача основных средств, характеризующая производственный процесс i-го проекта.

Подставим формулы (8), (15), (17) в выражение для денежного потока от операционной деятельности t-го инвестиционного проекта (7) и, учитывая (8), (18), (19), получим:

Выражение в скобках является рентабельностью инвестиций в форме денежного потока t-го проекта (Cash Flow Return On Investments) CFROI_it:

С учетом (19) операционный денежный поток запишется:

OCF_it = CFROI_itFA_it. (21)

Инвестиционный денежный поток ICF_it расходуется на капиталовложения INV_it в основные средства:

ICF_it = α_itINV_it. (22)

Выражение для чистого приведенного дохода предприятия (5) с учетом (6), (21) и (22) в результате выбора одного из проектов определится:

Таким образом, задача выбора оптимального инвестиционного решения из m альтернативных вариантов запишется в следующем виде:

Сформулируем задачу оптимального управления: зная начальное состояние основных средств для каждого инвестиционного проекта (28), необходимо выбрать такое допустимое управление инвестициями (26)-(27) для дискретной системы (25), чтобы чистый приведенный доход предприятия (24) принял максимальное значение.

2. Решение динамической задачи отбора инвестиционного проекта

Применим для решения задачи дискретный принцип максимума Понтрягина⁴. Запишем гамильтониан:

В соответствии с принципом максимума в каждой точке оптимальной траектории функция Гамильтона H_t достигает максимума относительно управления. Из условия максимума гамильтониана найдем оптимальное управление в период начала осуществления i-го проекта t_0i, определяющее выбор наилучшего i-го проекта:

где значение R_it0t определяется:

Таким образом, наилучшим проектом будет проект, у которого максимальное значение R_it0t. Сопряженная система запишется:

Для сопряженных переменных на правом конце должно выполняться условие трансверсальности:

Ψ_ini+1 = 0, i = 1, m. (32)

Сформулируем численный алгоритм выбора наилучшего инвестиционного решения из m взаимоисключающих альтернативных вариантов в начальный период:

1) подготавливаются исходные данные для m различных проектов: прогнозируемые цены и объем продаж продукции, удельные материальные затраты, количество и средняя зарплата сотрудников для периодов t = t_0i, n_i;

2) рассчитывается по формуле (10) себестоимость продукции C_it каждого i-го проекта для периодов t = t_0i, n_i;

3) рассчитывается по формуле (20) рентабельность инвестиций в форме денежного потока CFROI_it каждого i-го проекта, t = t_0i, n_i;

4) рассчитываются по формуле (31) сопряженные переменные Ψ_it+1 для каждого i-го проекта для периодов t = n_i, t_0i;

5) вычисляются по формуле (30) значения R_itoi для каждого i-го проекта;

6) выбирается по формулам (29),(30) наилучший проект с максимальным значением R_itoi.

3. Аналитическое решение динамической задачи отбора оптимального инвестиционного проекта

Для распространенного случая, когда инвестиции осуществляются однократно, а операционные денежные потоки проектов являются постоянными, возможно аналитическое решение дискретной задачи. В этом случае из формулы (21) следует, что рентабельности инвестиций проектов постоянны CFROI_it = const. Получено аналитическое выражение для сопряженной переменной⁵:

С учетом формулы (30) и условий однократных инвестиций в периоде начала осуществления i-го проекта t_0i значение R_itoi определится:

Учитывая, что выражение в круглых скобках в формуле (34) представляет собой приведенную стоимость аннуитета с периода t_0i по n_i (коэффициент аннуитета) B(n_i,r_i, t_0i), запишем:

Таким образом, отбор наилучшего инвестиционного проекта определяется следующими факторами: рентабельностью инвестиций CFROI_i, коэффициентом аннуитета B(n_i, r_i, t_0i), коэффициентом дисконтирования 1/(1 + r )^t_oi, объемом инвестиций INV_i0.

Максимум R_i0 достигается при максимизации произведения рентабельности инвестиций i-го проекта CFROI_i и коэффициента аннуитета B(n_i, r_i, t_0i) и объема инвестиций INV_i0.

При рассмотрении проектов, начинающихся одновременно в начальный период времени t_0i = 0, функция R_i0 будет иметь выражение:

R_it0i = [CFROI_i B(n_i, r_i) – 1]/INV_i0.(36)

Из анализа формулы (36) следует, что в случае равенства периодов окончания проектов n_i = n, рисков проектов r_i=r, объемов инвестирования проектов INV_i0 = INV₀ наилучшим будет проект с максимальной рентабельностью инвестиций CFROI_t.

При рассмотрении проектов с бесконечным горизонтом планирования функция R_i.₀ запишется:

Заключение

Проблема отбора инвестиционного проекта из нескольких альтернативных вариантов формализована как задача оптимального управления дискретной системой. С использованием дискретного принципа максимума Понтрягина найдена структура оптимального управления. Для случая осуществления однократных инвестиций и постоянных денежных потоков проектов найдено аналитическое решение дискретной задачи. Показано, что отбор наилучшего инвестиционного проекта определяется следующими факторами: рентабельностью инвестиций в форме денежного потока CFROI_t, коэффициентом аннуитета B(n_i, r_i, t_0i), коэффициентом дисконтирования 1/(1 + r_i)^t_0i, объемом инвестиций INV_i0 .

¹ Павлов О.В. Принятие инвестиционных решений на основе теории оптимального управления дискретными системами // Проблемы управления Control sciences. 2010. 4.

² См.: Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М., 1973; Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М., 2003.

³ См.: Бреши Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. М., 1997; Бирман Г., Шмидт С. Капиталовложения: Экономический анализ инвестиционных проектов. М., 2003; Бригхем Ю, Гасперски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс: в 2 т. СПб., 1998; Хелферт Э. Техника финансового анализа. СПб., 2003; Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика: учеб. пособие. М., 2004.

⁴ Болтянский В.Г. Указ. соч.; Лагоша Б.А. Указ. соч.

⁵ См.: Павлов О.В., Мошкова Т.А. Математические модели оптимального управления инвестициями в реальные активы // Вестн. СГАУ. 2010. 3(23).

Версия для печати